Link: OLE-Object-Data

   Řešení písemné práce 12. 12. 2004

   

   Příklad 1.: U 10 výrobců byly zjišťovány náklady (znak X -- v Kč) a ceny (znak Y -- v Kč) pro
   stejný výrobek. Výsledky (X,Y): (30,18; 50,26), (30,19; 50,23), (30,21; 50,27), (30,22;
   50,25), (30,25; 50,22), (30,26; 50,32), (30,26; 50,33), (30,28; 50,29), (30,30; 50,37),
   (30,33; 50,42). Jsou uvedeny číselné charakteristiky:

   m[1] = 30,248 Kč, m[2] = 50,296 Kč, s[1]^2 = 0,002096 Kč^2, s[2]^2 = 0,003684 Kč^2, s[12] =
   0,002292 Kč^2.

   a)    Vypočtěte koeficient korelace a interpretujte ho. (Návod: poznámka 3.16.) (1 bod)

   b)    Najděte koeficienty regresní přímky vyjadřující závislost cen na nákladech. Vypočtěte
   index determinace a interpretujte ho. Vzrostou-li náklady o 10 haléřů, o kolik haléřů vzrostou
   ceny? (Návod: věta 4.3., příklad 4.4.) (2 body)

   c)    Pomocí koeficientů variace porovnejte variabilitu nákladů a cen. (Návod: definice 3.10.,
   příklad 3.11.) (1 bod)

   Řešení:

   ad a) . Znamená to,  že mezi náklady a cenou existuje silná přímá lineární závislost --
   s rostoucími náklady roste i cena výrobku.

   ad b) . Regresní přímka má tedy rovnici y = 17,2198 + 1,0935x. Její index determinace je ID^2
   = 0,8248^2 = 0,68, což znamená, že variabilita cen je vysvětlená z 68% regresní přímkou.
   Vzrostou-li náklady o 10 haléřů, ceny vzrostou v průměru o 10,935 haléřů.

   ad c) Koeficient variace pro náklady: , koeficient variace pro ceny: . Vidíme tedy, že
   variabilita cen je menší než variabilita nákladů.

   

   Příklad 2.: V sérii 50 výrobků je 5 zmetků. Ze série třikrát po sobě náhodně vybereme jeden
   výrobek, který vždy vrátíme zpět. Náhodná veličina X udává počet zmetků mezi vybranými
   výrobky.

   a)    Určete typ rozložení náhodné veličiny X a napište vzorec pro její pravděpodobnostní
   funkci. (Návod:  příklad 8.3.) (1 bod)

   b)    Najděte střední hodnotu, rozptyl a směrodatnou odchylku náhodné veličiny X. (Návod: věta
   9.13.) (1,5 bodu)

   c)    Vypočtěte pravděpodobnost, že mezi vybranými výrobky budou aspoň dva zmetky. (Návod:
   příklad 8.3.) (1,5 bodu)

   Řešení:

   ad a) X ~ Bi(n, u), kde n = 3, u = 5/50 = 0,1,

   ad b) E(X) = nu = 3.0,1 = 0,3, D(X) = nu(1- u) = 3.0,1.0,9 = 0,27,

   ad c) P(X>=2) = p(2) + p(3) = 0,028

   

   Příklad 3.: Měřením délky deseti válečků byly získány tyto hodnoty: 5,38  5,36  5,35  5,40 
   5,41  5,34  5,29  5,43  5,42  5,32. Předpokládáme, že uvedené hodnoty jsou číselné realizace
   náhodného výběru rozsahu 10 z rozložení N(m, s^2), kde parametry m a s^2 neznáme.

   a)    Vypočtěte číselné realizace výběrového průměru a výběrového rozptylu. (Návod: definice
   11.2.) (1 bod)

   b)    Sestrojte 95% empirický interval spolehlivosti pro směrodatnou odchylku s. (Návod: věta
   12.9.) (1,5 bodu)

   c)    Na hladině významnosti 0,01 testujte hypotézu, že střední hodnota délky válečků je 5,40
   mm proti oboustranné alternativě. (Návod: poznámka 13.5.(b), příklad 13.7.(b)) (1,5 bodu)

   Řešení:

   ad a)

   ad b)

   Znamená to, že 0,0316 mm < s < 0,0839 mm s pravděpodobností aspoň 0,95.

   

   ad c) Testujeme H[0]: m = 5,40 mm proti H[1]: m != 5,40 mm na hladině významnosti 0,01.
   Sestrojíme oboustranný empirický 99% interval spolehlivosti pro neznámou střední hodnotu při
   neznámém rozptylu.

   d = m -  t[1-a/2](n-1) =

   h = m +  t[1-a/2](n-1) =

   Protože , nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti 0,01.