Výsledky kontrolních úkolů z předmětu Statistika Kapitola 1 2. 3. 4. 5. a) Uspořádaný datový soubor pro znak X: (1 2 2 2 3 3 4 4 5 5)T Uspořádaný datový soubor pro znak Y: (0 0 0 1 1 2 2 2 2 3)T b) Vektor variant pro znak X: (1 2 3 4 5)T Vektor variant pro znak Y: (0 1 2 3)T c) Relativní četnost tříčlenných domácností: 0,2 d) Relativní četnost nejvýše tříčlenných domácností: 0,6 e) Relativní četnost bezdětných domácností: 0,3 f) Relativní četnost dvoučlenných bezdětných domácností: 0,2 g) Podmíněná relativní četnost těch dvoučlenných domácností, které jsou bezdětné: Kapitola 2 7. a) Jednorozměrný tečkový diagram Variační řada Graf četnostní funkce Graf empirické distribuční funkce b) Kont. tabulka abs. četností Kont. tab. abs. kumul. četností Kont. tab. sloupcově podmíněných rel. čet. Kont. tab. řádkově podmíněných rel. čet. Graf simultánní četnostní funkce c) Znaky nejsou četnostně nezávislé, protože již pro j=1, k=1 neplatí multiplikativní vztah: p11 = p1. p.1. V našem případě totiž . 8. a) Optimální počet třídicích intervalů je 7. Tabulka rozložení četností Histogram Graf intervalové empirické distribuční funkce b) Pro znak Y je optimální počet třídicích intervalů 6 Kontingenční tabulka absolutních četností Dvourozměrný tečkový diagram c) Znaky X a Y nejsou četnostně nezávislé, protože již pro j=1, k=1 není splněn multiplikativní vztah f11 = f1. f.1. V našem případě totiž . Kapitola 3 5. Průměrná mzda v celé akciové společnosti vzrostla o . 6. Průměr = 457,4, medián = 450, modus = 470, rozptyl = 1493,24, směrodatná odchylka = 38,64, koeficient variace = 0,08. 7. Průměr = 112, rozptyl = 851. 8. a = 1000, h = 100. 9. Koeficient korelace = 0,92 10. Koeficient korelace = -1/3 Kapitola 4 6. Protože součin směrnic daných přímek je větší než 1, nemůže se jednat o sdružené regresní přímky. 7. . 8. a) Koeficient korelace = 0,6264, což znamená, že mezi výsledky matematického a verbálního testu existuje středně silná přímá lineární závislost. b) y = 19,908 + 0,5015 x x = 20,8852 + 0,7823 y c) Výsledek ve verbálním testu se zlepší o 5,015 bodu. d) Výsledek v matematickém testu se zlepší o 7,823 bodu. 9. Úsek i směrnice se zvětší o 10%. 10. Při teplotě °C. Kapitola 5 2. Ů = {[ů1, ů1], [ů1, ů2], ..., [ů1, ů6], ..., [ů6, ů6]} 3. a) A1 ...A5 b) c) 6. 0,4306 7. 2/3 a 1/3 8. 0,125 a 0,1157 9. 18/19 Kapitola 6 2. a) p + q -- pq, b) p + q 3. A a B jsou stochasticky nezávislé jevy. 4. 0,25 a 0,219 5. 0,06 6. a) 1/15, b) 8/15, c) 6/15 7. 8. Pro stochasticky nezávislé jevy. 9. Jevy A1, ..., An tvoří úplný systém hypotéz. 10. 0,233 11. a) 0,0149, b) 0,6644 Kapitola 7 2. 3. Diskrétní: (a), (d), (f), spojité: (b), (c), (e), (g), (h) 6. đ(x) nemůže být větší než 1, protože má význam pravděpodobnosti. 7. ö(x) může být větší než 1, protože nemá význam pravděpodobnosti. 8. đ(1)=1/36, đ(1,5)=2/36, đ(2)=3/36, đ(2,5)=4/36, đ(3)=5/36, đ(3,5)=6/36, đ(4)=5/36, đ(4,5)=4/36, đ(5)=3/36, đ(5,5)=2/36, đ(6)=1/36 9. Náhodné veličiny X1, X2 nejsou stochasticky nezávislé, protože není splněn multiplikativní vztah: (x1, x2) R2: đ(x1, x2) = đ1(x1) đ2(x2). 10. Multiplikativní vztah (x1, x2) R2: ö(x1, x2) = ö1(x1) ö2(x2).je splněn, tedy náhodné veličiny X1, X2 jsou stochasticky nezávislé. Kapitola 8 2. 0,939 3. e-2,5 = 0,0821 4. 0,0455 5. a = -20, b = 35 6. X ~ F(1,1) Kapitola 9 1. u0,95 = 1,64485, u0,10 = -1,28155, ÷20,975(10) = 20,483, ÷20,025(9) = 2,7, t0,90(8) = 1,3968, t0,05(6) = -1,9432, F0,975(5,7) = 5,2852, F0,025(8,6) = 1/ F0,975(6,8) = 1/4,6517 = 0,215 2. K0,025(X) = 2.u0,025 -1 = -2.1,95996 -- 1 = 4,91992 3. Y ~ N(12, 97), K0,99(Y) = ?97.u0,99 + 12 = 34,9119 4. a) X ~ Bi(4,1/3), E(X) = 4/3, D(X) = 8/9 b) X ~ Hg(15, 5, 4), E(X) = 4/3, D(X) = 44/63 5. E(Y) = 1,15.E(X2) = 1805,96 6. a) b) E(X) = 1,06 c) D(X) = 0,8164 7. X -- počet získaných bodů, X nabývá hodnot -6, -2, 2, 4 s pravděpodobnostmi 1/64, 9/64, 27/64, 27/64, E(X) = 3 8. X ~ Bi(3, ˝), E(X) = 3/2, D(X) = ľ = E(X2) -- [E(X)]2, tedy E(X2) = 3 E(Y) = -100. E(X2) + 300. E(X) + 500 = 650 9. a) b) E(Z) = 6, D(Z) = 5,36 10. 528 11. Kovariance se 10 x zmenší, koeficient korelace se nezmění. 12. Aspoň 75%. 13. Hledaná pravděpodobnost je nejvýše . Kapitola 10 1. Pomocí Bernoulliovy věty: n ? 10 000, pomocí Moivre- Laplaceovy věty: n ? 666 2. a) 0,00135, b) 0,9973, c) 0,15542 3. Je zapotřebí aspoň 2 305 výstřelů. Kapitola 11 4. M ~ N(100, 10) 5. a) 0,18673, b) 0,00248 6. k1 = 0,532, k2 = 1,587 Kapitola 12 2. m = 8, s2 = 15,78 3. D(T1) = 25b2/216 = 0,116b2, D(T2) = b2/48 = 0,021b2. Lepší odhad je T2, protože má menší rozptyl. 7. 62 měření 8. 0,0018 < ó2 < 0,0405 s pravděpodobností 0,95 9. 25,93 h < ě < 29,07 h s pravděpodobností 0,95 10. a) 0,0484 < ó12/ó22 < 4,4672 s pravděpodobností 0,95, b) - 10,788 < ě1- ě 2 < 0,788 s pravděpodobností 0,95 11. 1,14 kg < ě < 5,84 kg s pravděpodobností 0,95 Kapitola 13 7. Testujeme H0: ě = 125 proti H1: ě < 125 na hladině významnosti 0,01. Sestrojíme 99% pravostranný interval spolehlivosti pro ě, když ó2 neznáme. Protože 125 (-?, 124,83), H0 zamítáme na hladině významnosti 0,01. 8. Testujeme H0: ě1 - ě2 = 0 proti H1: ě1 - ě2 ? 0 na hladině významnosti 0,05. Sestrojíme 95% interval spolehlivosti pro ě1 - ě2, když ó12, ó22 neznáme, ale předpokládáme, že jsou stejné. Protože 0 (-1,8017, 2,035), H0 nezamítáme na hladině významnosti 0,05. 9. Přejdeme k rozdílovému náhodnému výběru. Označíme ě = ě1 - ě2. Testujeme H0: ě = 0 proti H1: ě ? 0 na hladině významnosti 0,05. Sestrojíme 95% interval spolehlivosti pro ě, když ó2 neznáme. Protože 0 (-0,5915, -0,3285), H0 zamítáme na hladině významnosti 0,05. 10. Testujeme H0: ó2 = 0,36 proti H1: ó2 > 0,36. Sestrojíme levostranný 95% interval spolehlivosti pro ó2. Protože 0,36 (0,5025, ?), zamítáme H0 na hladině významnosti 0,05. 11. Testujeme H0: ó1/ó2 = 1 proti H1: ó1/ó2 ? 1 na hladině významnosti 0,05. Sestrojíme 95% interval spolehlivosti pro ó1/ó2. Protože 1 (0,9858, 2,1414), H0 nezamítáme na hladině významnosti 0,05.