Link: OLE-Object-Data

                                   Řešení písemné práce 2.4.2006



   Příklad 1.:

   a) V následující tabulce jsou uvedeny počty správně vyřešených příkladů u přijímací zkoušky
   z matematiky a jejich absolutní četnosti.

   +---------------------------------------------+
   |  x[j  |]0     |1     |2      |3     |4      |
   |-------+-------+------+-------+------+-------|
   | ]n[j  |5      |10    |16     |18    |13     |
   +---------------------------------------------+

   Sestavte variační řadu a nakreslete graf četnostní funkce a empirické distribuční funkce.
   (Návod: definice 2.4., příklad 2.5.) (2 body)

   b) Z datového souboru 1,4  9,9  0,2  9,9  9,6  4,1  2,3  0,9  4,8  7,6  1,9  1,0  3,1  8,1 
   4,5  3,9  0,3  2,8  0,5  3,6  vypočtěte medián a kvartilovou odchylku. (Návod: definice 3.4.,
   příklad 3.5.) (1 bod)

   c) Hodnoty znaku X mají aritmetický průměr -1 a rozptyl 0,5. Najděte aritmetický průměr a
   rozptyl hodnot znaku Y = -2 + 5X. (Návod: věta 3.18. (a), příklad 3.19.) (1 bod)

   

   Řešení:

   ad a) Variační řada

                            +-----------------------------------------+
                            |x[[j]  |n[j   |p[j      |N[j   |F[j      |
                            |-------+------+---------+------+---------|
                            |]0     |]5    |]5/62    |]5    |]5/62    |
                            |-------+------+---------+------+---------|
                            |1      |10    |10/62    |15    |15/62    |
                            |-------+------+---------+------+---------|
                            |2      |16    |16/62    |31    |31/62    |
                            |-------+------+---------+------+---------|
                            |3      |18    |18/62    |49    |49/62    |
                            |-------+------+---------+------+---------|
                            |4      |13    |13/62    |62    |1        |
                            +-----------------------------------------+

   

+--------------------------------------------------------------------------------------------------+
|Graf četnostní funkce                            |Graf empirické distribuční funkce               |
+--------------------------------------------------------------------------------------------------+

   

   ad b) Soubor uspořádáme podle velikosti:

   0,2  0,3  0,5  0,9  1,0  1,4  1,9  2,3  2,8  3,1  3,6  3,9  4,1  4,5  4,8  7,6  8,1  9,6  9,9 
   9,9

   Rozsah souboru n = 20.

   Výpočet mediánu: na = 20.0,5 = 10, .

   Výpočet dolního kvartilu: na = 20.0,25 = 5, .

   Výpočet horního kvartilu: na = 20.0,75 = 15, .

   Výpočet kvartilové odchylky: q = x[0,75] -- x[0,25] = 6,2 -- 1,2 = 5.

   

   ad c) m[1] = -1, s[1]^2 = 0,5, m[2] = -2 + 5m[1] = -2 -- 5 = -7, s[2]^2 = 5^2 s[1]^2 = 25.0,5 =
   12,5.

   

   Příklad 2.:

   a)      Náhodný pokus spočívá v hodu třemi mincemi. Jev A znamená padnutí aspoň dvou líců, jev
   B padnutí nejvýše dvou rubů. Najděte opačné jevy k jevům A, B. (Návod: poznámka 5.3. (e)) (1
   bod)

   b)      Jevy A, B jsou stochasticky nezávislé, přičemž P(A) = 0,2 a P(B) = 0,3. Jaká je
   pravděpodobnost nastoupení aspoň jednoho z jevů A, B? (Návod: vlastnost P3 ve větě 5.7.,
   definice 6.1.) (1 bod)

   c)      Nechť X ~ N(1, 1/4). Vypočtěte P(1 < X < 2). (Návod: 4. vlastnost ve větě 7.5. (a),
   příklad 8.9.) (2 body)

   

   Řešení:

   ad a)

    ... padne nevýše jeden líc (neboli padnou aspoň dva ruby), ... padnou právě tři ruby.

   ad b)

   ad c)

   

   Příklad 3.: Kontrola zvážila 5 tabulek čokolády. Výsledky vážení (v gramech) byly: 198, 199,
   197, 202, 200. Předpokládáme, že tyto výsledky představují realizace náhodného výběru rozsahu
   5 z normálního rozložení N(m, s^2).

   a)      Vypočtěte výběrový průměr a výběrový rozptyl. (1 bod) (definice 11.2.)

   b)      Sestrojte 95% interval spolehlivosti pro střední hodnotu m. (1,5 bodu) (věta 12.9.
   (b))

   c)      Sestrojte 95% interval spolehlivosti pro rozptyl s^2. (1,5 bodu) (věta 12.9. (c))

   

   

   Řešení:

   ad a) m = 199,2 g, s^2 = 3,7 g^2

   ad b) d = m -  t[1-a/2](n-1) = 199,2 - t[0,975](4) = 199,2 - 2,7764 = 196,8

             h = m +  t[1-a/2](n-1) = 199,2 + t[0,975](4) = 199,2 + 2,7764 = 201,6

            196,8 g < u <  201,6 g s pravděpodobností aspoň 0,95.

   ad c) 

             

              1,33 g^2 < s^2 <  30,58 g^2 s pravděpodobností aspoň 0,95.

   

   Hodnocení

   ... A, ... B, ... C,  ... D, ...E,  ... F