Link: OLE-Object-Data

                                 Řešení písemné zkoušky 21. 1. 2006

   

   Příklad 1.: Je dána kontingenční tabulka obsahující hodnoty simultánní četnostní funkce p(x,y)
   vektorového znaku (X, Y):

   

   +----------------------------------------------+
   |      x      |               y                |
   |             |--------------------------------|
   |             |    0     |    1     |    2     |
   |-------------+----------+----------+----------|
   |      0      |   0,20   |   0,20   |   0,00   |
   |-------------+----------+----------+----------|
   |      1      |   0,05   |   0,25   |   0,03   |
   |-------------+----------+----------+----------|
   |      2      |   0,05   |   0,01   |   0,05   |
   |-------------+----------+----------+----------|
   |      3      |   0,05   |   0,01   |   0,10   |
   +----------------------------------------------+

   

   a)      Doplňte tabulku o marginální četnostní funkce p[1](x), p[2](y). (0,6 bodu)

   b)      Vypočtěte průměry znaků X, Y. (0,8 bodu)

   c)      Vypočtěte rozptyly znaků X, Y. (1,2 bodu)

   d)      Vypočtěte a interpretujte koeficient  korelace znaků X, Y. (1,4 bodu)

   

   Řešení:

   ad a)

   +------------------------------------------------------------+
   |      x      |                 y                 | p[1](x)  |
   |             |-----------------------------------|          |
   |             |     0     |     1     |     2     |          |
   |-------------+-----------+-----------+-----------+----------|
   |      0      |   0,20    |   0,20    |   0,00    |   0,40   |
   |-------------+-----------+-----------+-----------+----------|
   |      1      |   0,05    |   0,25    |   0,03    |   0,33   |
   |-------------+-----------+-----------+-----------+----------|
   |      2      |   0,05    |   0,01    |   0,05    |   0,11   |
   |-------------+-----------+-----------+-----------+----------|
   |      3      |   0,05    |   0,01    |   0,10    |   0,16   |
   |-------------+-----------+-----------+-----------+----------|
   |   p[2](y)   |   0,35    |   0,47    |   0,18    |    1     |
   +------------------------------------------------------------+

   

   ad b)

   m[1] = 1.0,33 + 2.0,11 + 3.0,16 = 1,03, m[2] = 1.0,47 + 2.0,18 = 0,83,

   ad c)

   s[1]^2 = 1^2.0,33 + 2^2.0,11 + 3^2.0,16 -- 1,03^2 =  1,1491,

   s[2]^2 = 1^2.0,47 + 2^2.0,10 -- 0,83^2 = 0,5011,

   ad d)

   s[12] = 1.1.0,25 + 1.2.0,03 + 2.1.0,01 + 2.2.0,05 + 3.1.0,01 + 3.2.0,1 -- 1,03.0,83 = 0,3051,

   r[12] = = 0,4021

   Mezi znaky X a Y existuje slabá přímá lineární závislost.

   

   Příklad 2.: V jedné dílně pracují nezávisle na sobě tři dělníci. Náhodná veličina X[i] udává
   počet zmetků, které vyrobí i-tý dělník za jednu směnu, i = 1, 2, 3. Dlouhodobým pozorováním
   byly zjištěny hodnoty pravděpodobnostní funkce p[i](x[i]) , i = 1, 2, 3.

   

   +-----------------------------------------------+
   |1.dělník       |2.dělník       |3.dělník       |
   |---------------+---------------+---------------|
   |x[1|p[1](x[1]) |x[2|p[2](x[2]) |x[3|p[3](x[3]) |
   |---+-----------+---+-----------+---+-----------|
   |]0 |0,01       |]0 |0,09       |]0 |0,00       |
   |---+-----------+---+-----------+---+-----------|
   |1  |0,52       |1  |0,63       |1  |0,41       |
   |---+-----------+---+-----------+---+-----------|
   |2  |0,36       |2  |0,28       |2  |0,52       |
   |---+-----------+---+-----------+---+-----------|
   |3  |0,11       |3  |0,00       |3  |0,07       |
   +-----------------------------------------------+

   

   a)      Pomocí střední hodnoty počtu zmetků posuďte, který z dělníků podává nejlepší výkon. (1
   bod)

   b)      Pomocí rozptylu počtu zmetků posuďte, který z dělníků podává nejvyrovnanější výkon.
   (1,5 bodu)

   c)      Jaká je střední hodnota a rozptyl počtu zmetků vyrobených v této dílně za jednu
   pracovní směnu? (1,5 bodu)

   

   Řešení:

   ad a) E(X[1]) = 1,57, E(X[2]) = 1,19, E(X[3]) = 1,66. Znamená to, že nejlepší výkon podává
   druhý dělník.

   ad b) D(X[1]) = 0,4851, D(X[2]) = 0,3339, D(X[3]) = 0,3644. Znamená to, že nejvyrovnanější
   výkon podává druhý dělník.

   ad c) E(X[1] + X[2] + X[3]) = E(X[1]) + E(X[2]) + E(X[3]) = 1,57 + 1,19 + 1,66 = 4,42,

   D(X[1] + X[2] + X[3]) = D(X[1]) + D(X[2]) + D(X[3]) = 0,4851 + 0,3339 + 0,3644 = 1,1834

   

   Příklad 3.: Nechť X[1], ..., X[10] je náhodný výběr z   N(m, s^2), kde parametry m, s^2
   neznáme. Realizace výběrového průměru M je m = 21,2 a realizace výběrového rozptylu S^2 je s^2
   = 30,25. Na hladině významnosti a = 0,01 testujte nulovou hypotézu H[0]: m = 25 proti
   alternativní hypotéze H[1]: m < 25. Test proveďte pomocí

   a)      intervalu spolehlivosti, (2 body)

   b)      kritického oboru. (2 body)

   

   Řešení:

   ad a)

   Při testování nulové hypotézy proti levostranné alternativě konstruujeme pravostranný interval
   spolehlivosti.

   h = m +  t[1-a](n-1) = 21,2 + t[0,99](9) = 21,2 + 1,7392527.2,8214 = 26,11

   Protože číslo c = 25 leží v intervalu (-infty; 26,11), hypotézu H[0]: m = 25 nezamítáme na
   hladině významnosti 0,01.

   ad b)

   Vypočteme realizaci testového kritéria

   Číslo t[0] porovnáme s opačnou hodnotou kvantilu t[0,99](9) = 2,8214. Protože -2,1848 je větší
   než -2,8214, hypotézu H[0]: m = 25 nezamítáme na hladině významnosti 0,01.

   

   Hodnocení

   ... A, ... B, ... C,  ... D, ...E,  ... F