- PMMATl - příklady k procvičení
Řešte v R následující nerovnice:
a)  x2-6x + 9>0              b)   x2-4<0              c) |x + l|<6
|5-2x| d)   l---------[>-3                  e)     x2-2x-3<3(x-l)
x + 2 x2-4x
+ 3>x2 +|x-
D
2.  Ukažte graficky, že soustava nerovnic  x + y<3,2x-y>0,x + 2y>5 má jediné řešení.
3. Napište negace výroků:
a)  Žádné auto není modré nebo aspoň jedno auto je bílé.
b)  Žádný člověk není bez chyby a každý člověk se může mýlit.
c)  Bude-li pršet, půjdu do kina nebo do divadla.
d)  Aspoň dva lidé odešli.
e)  Pro každý trojúhelník ABC platí, že průsečík os jeho stran splývá s průsečíkem
os jeho vnitřních úhlů.
f)    VxgN: 3yeN: yx =y
4.  Rozhodněte o správnosti úsudku ve známé písničce: „Kdyby byl Bavorov, co jsou Vodňany, dal bych Ti hubiček na obě strany. Ale zeje za vodou, za vodičkou studenou, nedám Ti má milá ani jedinou."
5. Dokažte, že následující výroky jsou tautologie:
a) (A => B) <=> (-.B =>-.A)           b)n(A^B)«(AAnB)
6. Na základě výrokové logiky ověřte, zda následující úsudek je správný : Viníkem je Petr nebo Pavel. Je-li viníkem Petr, pak Pavel nebyl vil hodin na místě činu. Je-li viníkem Pavel, pak je jasný motiv činu.Tedy, jestliže byl Pavel vil hodin na místě činu, pak je jasný motiv činu.
7. Rozhodněte, zda vektory
a)  u = (1,1,1,1), v = (1,2,1,1), w =(2,3,3,3), t = (1,2,3,4)
b)  u_= (1,2,3,4), v = (1,1,1,1), w =(2,3,3,3), t = (2,2,1,0) jsou ve V4 lineárně závislé či nezávislé.
8. Rozhodněte, zda podmnožina W c Vn je podprostorem vektorového prostoru Vn :
a) W= {(x1,x2,...,xn)|x1,x2,...xnG Z}      b) W={ (r,2r,...,nr)|reR}
9. Najděte všechna re R, pro která je vektor t = (r, 1,2) lineární kombinací vektorů u_= (1,2,-1), v.= (1,1,0), w = (2,-1,3)
10. Vektory u_, v , w tvoří bázi vektorového prostoru V. Rozhodněte, zda též vektory
2u + v_+ 3w_, v + 2w , 3u - v_+ 7w tvoří bázi ve V.
11. Rozhodněte, zda všechny lineární kombinace vektorů
a)  u = (1,2,1,2), v = (2,1,2,1), w= (1,1,1,1), t = (-2,0,-1,-3), s = (-1,1,0,-2)
b)  u = (-1,1,0,-1), v = (2,0,1,3), w = (1,2,3,4), t = (2,3,4,6), s = (1,-3,5,-7) tvoří vektorový prostor V4 .
12. Ve vektorovém prostom V4 určete některou bázi, která obsahuje vektor u = (1,2,3,4).
ESF - PMMATl - příklady k procvičení
-2
13. a) Ve vektorovém prostoru V4 je podprostor W tvořen všemi lineárními kombinacemi vektorů a = (1,1,0,1), b = (1,0,0,1), c = (2,-1,0,0,), d = (1,0,0,0). Určete dimenzi a jednu z bází podprostoru W. b)Ve vektorovém prostoru V5 je podprostor W tvořen všemi lineárními kombinacemi vektorů a = (1,1,0,1,1), b = (0,1,1,-1,2), c = (1,-1,1,0,1,), d = (1,2,1,0,3) a e_= (2,1,2,0,4). Určete dimenzi a jednu z bází podprostoru W.
14. Určete hodnost matice A
a)^ =
í 2	4	6     -8	0^
3	7	-2     -1     5	
[lO	22	8   -18   loj	
í 2	1	3   -1   0^	
1	3	5      0   2	
4	7	13   -1   4	
[-1	2	2          1      3;	
b)A =
(   1      2      3]
-4      5    -6
7-8      9
10     11     12
14    15     16
c)A
15. Vypočtěte součin matic A.B_, je-li
d)A_=
n 1 2 1
0    o
1    o -1 o
o*)
1
o
0   0-1
a)A=
(3 1
2
0    3^		r\	0	(
3    1	,B=	1	1	b)A=
4    2,		v0	-h	v
r 1 -1
c)A=
f 3 -2 1 1 1 0 7       1
-1
5
,B=
r 4 1 -1 2
1 o
■1 o
1    3 1   2
0
1
-1
-1
h
1
2 3
d)A=
2	3	O	í
3 -2	1 1	0 1	,B=
2	1	0y	v
r 1 2
o
-2 1
1
2^
1    -1
1    -2
1
0
16. Vypočtěte (3.A + BT ).CT , je-li
A =
(\ 2 1
-1    2 0    1
-2    1
17. Matice A =
r 1 -1
2
3^ -1 -1
n 4 3
B =
r-2
3
-4
-8
■5 1
2 4
■4^
7 ■2
2
C =
r 1 2
v-3
n
o 1
2 1
-1
3 0
2 -1
2
2 7
,B=
3
1
l'
2 -1
3
2^
0
1
■2.
0       1    fl
1    -2    1
0
2 ■2
. Určete libovolnou matice B tak, aby matice A.B nebyla
definována a matice B.A byla definována. Součin B.A spočtěte.
ESF - PMMATl - příklady k procvičení
18. Vypočtěte determinanty: 3    1    9
a)
4   5    7	
1    2    3	b)
4   0    1	
3   0    1
3   0   7
0    1
c)
7    2
1     1
1    0
9    5
3 6 6
3
0 0 0
1
d)
2
-1
1
2
-1
2        2 1        1
3        1 -1       5
-2    -2
1	-2
2	1
2	-1
3	-1
1	1
e)
2 4 3 2 -1
-1      2
2    -1
2       1 -1      3
3       1
-1 1
2
-1
3
D
10 2 12 2 10 2 1 12 10 2 0 2 2 11 2    112   0
■4xj +x2 +2x3 = 2
19.   Užitím Cramerova pravidla řešte soustavu lineárních rovnic:
2Xl-2x2+ x3+   x4 =6 3xj —x2 +   x3 =10
2xi +3x9 + x, +   xd =0 a)    5x!+x2+2x3=29                   b)      *        2       3        4
5xj +6x2 +3x3 +2x4 =3
7xj +9x2 +4x3 +2x4 =3
20.  Řešte soustavu lineárních rovnic:
2xj + x2 + x3 - x4 =  2 2xj +3x2 + x3 = 1
xi _ x2 + 2x3 + x4 =   7 a)   x1+2x2+3x3=5   , b)
3XÍ+2X2-X3+2X, =  1 -Xj + x2 +4x4 = 6
xi + x2 +3x3 +5x4 =11
Xj + x2 + x3 = 0 , c)  2xj+4x2+3x3 =0 Xj +5x2 +5x3 = 0
d)
xi + 4x2 +5x3 + 2x4 = 2 2xj + 6x2 + 8x3 +3x4 = 3
2xj +3x2 +2x3            = 2
,e)
Xj +2x2 + 4x3 - 3x4 = 2 3xj +5x2 + 6x3 - 4x4 = 7 4xj +5x2 - 2x3 +  3x4 =11 3xj +8x2+24x3 -19x4 = 4
Xj + x2 + 3x3 +  3x4 + 2x5 = 2 ' 3xj + 2x2 + 5x3 +   2x4 + 3x5 = 3 Xj +2x2 +7x3 +10x4 +5x5 =5 21. Oběma způsoby výpočtu určete matici inverzní k matici A
(3      1-2^                f   3   -1      í]              (5
a)   A =
2 -1
b) A =
■2 4
0
3
c) A =
3 1
2
9^
2
4
ESF - PMMATl - příklady k procvičení
22. Jordánovou metodou určete matici inverzní k matici A :
(2      1    0    CA                  (\    2       3      4^
a) A =
2   0   0
1    3   4
-12   3
b) A =
J
2 3 1 1 1   0
1       2
1     -1
2    -6
J
23. Řešte maticovou rovnici:
ro i i>		r2   0    4^
1    0    1	x =	6   2   0
li   i  Oy		v0    4    6J
24. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory matice A:
(   2   -3      3^                     f 3      4   0^
a)A =
0
-2
3      0 6   -3
b) A =
j
0-2   0 -1    -1    2
25. Určete definiční obor funkce
a) f(x) = vsinx +
1
,b) f{x) = J-x.
cos
71X
V9^x2                     V               2
26. Rozhodněte, která z následujících funkcí je lichá a která sudá:
cosx
, c) f(x) = A/-ln(x2+5x + 5)
a) f(x) = |x + l|  , b) f(x)
,  c) f(x) = x4-l   , d) f(x) = Vx
27. Vypočtěte limity:
a) lim
x  -1
x->l x
■1
,   b)  lim
.    Vx+~2-V2
.2
d) lim-
xz+l
x^0              x
1         , ,.     x2 +3x + 4
,   e) lim—
,   c) lim
x->3
.    Vx + 13-2Vx+T
2x2+5x + 7
x + 1                  2x-7 g) hm              -,h) lim-------—  ,
x— a/i + 2x2        x-3(x-3)3 28. Derivujte a upravte:
a) y = (x2-7x + 4)5  , b)y = log2-±^
1-x
f) lim
5x
x2-9
3-x + 3
x  +6x
.. r     2x-3 i) hm--------—
x^(x-l)2
^         tgx
, c) y = ^-
xz+l
, d)y =
arctg x In x
_ vtgx
X-Q                       X+1                   X                                      jl + X
e)y = ------y  '   f)y=     n     -arctgx--,g) y = arctgx + ln------    , h) y = x
1+x                      2                   2                              Vl-x
29. Najděte rovnici tečny a normály ke grafu funkce f(x) v daném bodě T: a)f(x) = ln(x + VxT+T),T = [0,?]   , b) f(x) = ^^- , T = [-1,?]  ,
c) f(x)
lnX     ,T = [1,?]   ,d)f(x)     ^~l
3 + x2 T = [l,?]
1-lnx                                    Vx+1
30. Určete intervaly monotónnosti a lokálni extrémy funkcí:
i
a)y = x3-12x-6   ,   b)y = 3-23Vx2"   ,   c)y = x-ex    ,   d) y =
■In x'
ESF - PMMATl - příklady k procvičení____________________________-_5_
31. Najděte intervaly, na nichž je daná funkce konvexní (respektive konkávni) a určete její inflexní body.
-x^
a) y = x(l - x)2  , b) y =------- , c) y = xe 2
1 + x
32. Užitím 1'Hospitalova pravidla vypočtěte následující limity:
4x3-2x-l        ,.,.    \[x-\Í2      . ,.    x-2arctgx      „ ,.       lnx a) hm—;------—   — , b) lim-p=----j= , c) lim-                  , d) lim
X->o
•5x  +x   -x + 3         x^2Vx-V2         x-*°         x                 x^o+lnsinx
e) lim
f 1         1    ^   «v    ex-x-l      .  ,.   f   1                ^    um-      2-2
__n —---------—  , f) lim------------ , g) lim--------cotg x   , h) lim x ex
x^\x      sin  xj        x^° 1-cosx          x^o+^sinx             J         x^°
i) lim (sin x)*8* ,j) lim(l + 3tg2x)c
\COtg X
x^0+                                  x^O
33. Vyšetřete průběh funkce:
1/1                                                 ^
a) f(x) = x4-2x2+2   , b) f(x) = --x4+-x3   ,c)f(x) = —
3-x
1 —                                                                                                    -
d)f(x) = arctg—\  ,   e) f(x) = (l + x2)e"x2   ,     f) f(x) = (x + 2)ex 1 + x
34. Vypočtěte hodnotu diferenciálu funkce f(x) v daném bodě při daném přírůstku neodvisle proměnné:
a) f(x) = ^±l,x0 =2,dx=0,001 ,b)f(x) = (x2+4x + l)-(x2-Vx"),x0=l,dx = 0,01 x   -1
35. Vypočtěte přibližně pomocí diferenciálu: a) arctgl,05  , b) ifijtt
36. Napište rozvoj funkce
a)  f (x) = In cos x  podle mocnin x do stupně 4.
b)  f (x) = x80 - x40 + x20 podle mocnin (x-1) do stupně 2. a spočtěte přibližně f(l,005)
37. Užitím Taylorovy věty vypočtěte Ve s chybou menší než 10"4 .
E SF - PMMAT1 - příklady k procvičení - výsledky
l.a)xeR-{3}     b)  xe (-2;2)     c)   xe(-7;5)    d)   xe (-oo;-ll)u(-2;oo) e)xe(2;5)         f)    xe (-00;-2/3)u (l/2;2)
2.  Všechny tři hraniční přímky daných polorovin se protínají v bodě Q=[l ;2] a z grafu je
patrné, že bod Q je jediným společným bodem daných tří polorovin.
3. a) Aspoň jedno auto je modré a žádné auto není bílé.
b)  Aspoň jeden člověk je bez chyby nebo aspoň jeden člověk se nikdy nemýlí.
c)  Bude pršet a nepůjdu ani do kina ani do divadla.
d) Odešel nejvýše jeden člověk.
e) Existuje aspoň jeden trojúhelník, ve kterém průsečík os stran nesplývá s průsečíkem os vnitřních úhlů.
f)  3xgN: VyeN: yx * y 4. Úsudek je nesprávný.
6. Označíme výroky takto: P: viníkem je Petr , Q: viníkem je Pavel, R: Pavel nebyl vil hodin na místě činu , S : je jasný motiv činu . Úsudek vyjádříme výrokovou formulí: V:  [(PvQ)a(P^RJa(Q^ S)] => (-.R => S) a ukážeme, že V je tautologie.
7.  a) jsou lineárně nezávislé      b) jsou lineárně závislé
8.  a) není   b) je 9.r = 3
10. ano
11. a) ne   b) ano
12. např. u , (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0)
13. a) dimW = 3, báze je např. a , b , c b) dimW = 3, báze je např. a , b , c
14. a) 2      b) 3
15. a)
í 3	-3>	í
4	2	,b)
1-2	-6y	v
c) 3
' -6
0 4
3
d)   3
9^ -4
8 -6
,c)
f 15
2
9
30
-1 3 1 9
-4 -1
4
-3
-4
1
10
9
-3 16 15
\	r 0	21
,d)	15	-1
J	,16	-ísj
16.
f
4-3      4
7-8      7
-1    -2    -1
6
13 1
-2^
-9
-5
17. Např. B:
(q 0 {ŕ		ŕQ   Q\
000	>B.A =	0   0
[O       0       0j		vo oj
18. a) 7 , b) -24 , c) 39 , d) -2 , e) 28 , f) -30
19. a) x = (3,4,5)T , b) x = (3/5 , -6/5 , 12/5 , 0)T
20. a) x = (l,-l,2)T, b)x = (l,-l,2,l)T , c) x = (0,0,0)T , d) nemá řešení
e)  x = (4,-l,0,0)T + r.(8,-6,l,0)T + s.(-7,5,0,l)T
f)   x = (-1,3,0,0,0)T + r.(l,-4,l,0,0)T + s.(4,-7,0,l,0)T + t.(l,-3,0,0,l)T
21. a)
36
r n
-17 -10
-2	5^	f
21 6	-11 2y	,b)J-30 v
-6 6
-2    2^
7    8
13    2j
,c)
r o   6
-6   -7
-3^1 17
E SF - PMMAT1 - příklady k procvičení - výsledky
22. a)
2-10      0^ -3200 31   -19      3   -4
-23      14   -2
, b)
f  22    -6
-17       5
-1      0
V
■26      17^
20   -13
2      -1
V
4    -1      -5
23.
r 2
-2 4
n
1      5 ■1    -1
J
24.  a) aj =3 ,(0,l,l)T  ; a2 =0 , (-3,0,2)T ; a3 =-1  , (1,0,-1)T
b) aj =2 ,(0,0,l)T ; a2 =-2 , (-16,20,1)T ; a3 =3 , (-1,0,1)T
25. a) < 0,3)  , b) (-oo,0 > u{l,3,5,...} , c)   < ~4,~5~       } u ("^       ~l >
26. a) ani sudá ani lichá , b) lichá , c) sudá , d) lichá
3            íi       —i                     i                          Fi
27. a) —  , b) —  , c) — , d) 1 , e) —  , f) 5 , g)------, h) neex., i) - <=o
2            4           16                     2                          2
28. a) 5(2x - 7)(x2 -7x + Af, b)
1
In2  í-x2
,c)
x   +1 - x • sin 2x
(x-lľ
cos2 x
„ x-lnx-(l + x2)arctgx      , (x3-x2+x+ l)ex     ^                    ,      2
d)------/ ,      \ ,  ,----— , e) ^-----?------^9          , f) x • arctgx , g)
(x3 + x)-In2 x
(l + xO!
1-x
4     '
h) x
tgxf tgx      In x l   x      cos"x
■ + ■
,2
b) t: y = -x , n: y = x + 2   ,   c) t: y = x - 1 , n: y = -x + 1
29. a) t: y = x , n: y = -x
b) t: y = —x--  , n: y = -4x + 4
4       4
30. a) roste na (-°°,-2) a na (2,°o), klesá na (-2,2), lok.max. y(-2)=10, lok.min. y(2)=-22
b)  roste na (-°°,0), klesá na (0,°°), lok.max. y(0) = 3
c)  roste na (-°°,0) a na (l,°°), klesá na (0,l),lok.min. y(l) = e
d) roste na (-1,0) ana (l,°°), klesána (-°°,-l) ana(0,l), lok.minimay(-l) = y(l) =1
31. a) konkávni na   -°°,—  , konvexní na    — ,oo    inflexe v bodě x = —
l       V                      13     J                              3
b)konkávni na (-oo-V3")ana (o,V3~), konvexní na (-V3,o)ana(V3,oo), inflexe
v bodech x = -v 3 , x = 0 , x = v 3 . c) konkávni na (-oo-V3")ana (o,V3~), konvexní na (-V3,o) ana (VŠ,°o), inflexe
v bodech x = —v3 , x = 0 , x = v3 .
32.a)|,b)-|=,c)l,d)l ,e)-^,f)l,g)0,h)oo,i)i,j)e3
ES F - PMMATl - príklady k procvičení - výsledky___________________- 8-
33.
34. a)-0,0004898 , b) 0,09     35.a)- + 0,025   , b) 1,0066
4
2              4
36.a) --——  , b) l + 60(x-l)+2570(x-l)2 , f( 1,005) = 1,36425 ,   37. 1,64869