Masarykova univerzita v Brně Ekonomicko­správní fakulta Matematika E Luboš Bauer Miloslav Mikulík 2 Úvod do maticového počtu Systémy lineárních algebraických rovnic, úvod Zavedení pojmu inverzní matice Základní poznatky z kapitoly 1 a úlohy k procvičení Základní pojmy lineární algebry 1 Cíl kapitoly Cílem studia této kapitoly je osvojit si provádění těchto operací s maticemi: násobení matice číslem, sečítání dvou matic, násobení dvou matic osvojit si pojmy: relace " , , <, >, =" mezi maticemi osvojit si pojmy: jednotková matice, nulová matice, diagonální matice, horní a dolní trojúhelníková matice, horní schodovitá matice naučit se zapsat systém lineárních rovnic užitím maticové notace a umět rozhodnout, zda nějaký vektor je nebo není řešením daného systému lineárních algebraických rovnic 1.1 Úvod do maticového počtu Pojem matice V denním životě se často setkáváme s různými tabulkami čísel. Jedná se vlastně o skupinu čísel zapsaných do několika řádků a několika (třeba jiného počtu) sloupců. Příkladem je např. tabulka, v níž je uvedena spotřeba surovin, označme je S1, . . . , Sm, potřebná při výrobě výrobků, které označíme V1, . . . , Vn. Spotřeba je uvedena v nějakých v úloze specifikovaných jednotkách. Následující tabulka charakterizuje výrobu v čokoládovně při výrobě 5 druhů výrobků, označených jako V1, V2, V3, V4, V5. V našem příkladě se uvádí spotře- ba surovin S1, S2, S3, to jest po řadě tuku, kakaa a cukru v kg na 1 kg každého z výrobků V1, . . . , V5. Např. při výrobě 1 kg výrobku V2 spotřebujeme 0, 4 kg tuku. V1 V2 V3 V4 V5 tuk 0, 00 0, 4 0, 3 0, 6 0, 6 kakao 0, 05 0, 2 0, 1 0, 1 0, 0 cukr 0, 10 0, 2 0, 2 0, 1 0, 2 Tabulka 1.1: Tabulka pro výrobu v čokoládovně Vynecháme-li záhlaví v tabulce, jedná se o uspořádanou skupinu 15 čísel, zapsaných do tří řádků a pěti sloupců. Pro takové uspořádané skupiny čísel si zavedeme následující definicí pojem matice. Definice 1.1. Maticí typu (m, n) budeme rozumět každou uspořádanou skupinu m n reálných čísel zapsaných do m řádků a n sloupců. Každé z těchto čísel budeme nazývat prvkem matice. Abychom vyznačili, že tato čísla vytvářejí matici, budeme tuto skupinu čísel dávat do kulatých závorek. Matice typu (m, 1) je tedy uspořádaná skupina m reálných čísel zapsaných do jednoho sloupce. Budeme ji nazývat sloupcovým vektorem. Prvky této matice nazýváme též složkami vektoru. Matice typu (1, n) je tedy uspořádaná skupina n reálných čísel zapsaných do jednoho řádku. Budeme ji nazývat řádkovým vektorem. Prvky této matice 4 nazýváme též složkami vektoru. Řádky matice typu (m, n) jsou řádkovými vektory a sloupce matice jsou sloupcovými vektory. Označování. Matice budeme označovat většinou velkými tučně vytištěnými písmeny, např. A. Prvek matice , umístěný v jejím i­tém řádku a v j­ tém sloupci, budeme většinou označovat malým písmenem, odpovídajícímu označení matice, s indexy i, j, umístěnými u jeho dolního pravého rohu. Tedy ai,j bude značit prvek matice A v jejím i­tém řádku a v j­tém sloupci. Pokud nemůže dojít k chybě, lze čárku mezi indexy vynechat. Příklad 1.1. Výše uvedenou tabulku vyznačíme tedy jako matici typu (3, 5) následovně: A = 0, 00 0, 4 0, 3 0, 6 0, 6 0, 05 0, 2 0, 1 0, 1 0, 0 0, 10 0, 2 0, 2 0, 1 0, 2 . (1.1) Příklad 1.2. V následujícím příkladě je A maticí typu (2, 3), vektor b je řádkový vektor se 4 složkami, c je sloupcový vektor se 4 složkami. A = 1 5 3 4 5 7 , b = 1 6 5 4 , c = 1 -2 3 5 . Je tedy např. a2,3 = 7. Označování. Matici A typu (m, n) můžeme tedy zapsat takto A = a1,1 a1,2 . . . a1,j . . . a1,n-1 a1,n ... ... ... ... ... ai,1 ai,2 . . . ai,j . . . ai,n-1 ai,n ... ... ... ... ... am,1 am,2 . . . am,j . . . am,n-1 am,n . (1.2) Jestliže matice A je typu (1, n) , to jest, jestliže A = (a1,1 a1,2 . . . a1,n), (1.3) potom ji nazýváme též řádkovým vektorem, jak bylo již uvedeno. Budeme jej většinou označovat tučně vytištěným malým písmenem. Poněvadž u všech prvků je první index stejný, roven 1, lze jej většinou vypouštět. Místo nahoře uvedené matice (1.3) můžeme tedy psát a = (a1 a2 . . . an). 5 Podobně, jestliže matice A je typu (m, 1) , to jest, jestliže A = a1,1 a2,1 ... am,1 , (1.4) potom ji můžeme nazývat též sloupcovým vektorem, jak již bylo uvedeno. Bu- deme jej většinou označovat tučně vytištěným malým písmenem. Poněvadž u všech prvků je druhý index stejný, roven 1, budeme jej většinou vypouštět. Místo (1.4), můžeme tedy psát a = a1 a2 ... am . (1.5) Příklad 1.3. Matice A = 10 4 23 16 6 5 7 19 3 0 2 20 22 14 18 (1.6) je typu (3, 5) Příklad 1.4. Označme D1, D2 místa, z nichž se provádí rozvoz do míst Z1, Z2, Z3. Označme cij náklady v Kč na dopravu 1 tuny zboží z místa Di do místa Zj pro i = 1, 2; j = 1, 2, 3. Z čísel cij utvoříme matici, např. C = 2000 1500 1800 800 50000 1000 . (1.7) Jde o matici typu (2, 3). V této matici je např. c13 = 1800, to znamená, že náklady na dopravu jedné tuny zboží z místa D1 do místa Z3 jsou 1800 Kč. 6 Příklad 1.5. Uved'me matici popisující cenu v $ tří druhů zboží V1, V2, V3 ve čtyřech různých zemích Z1, Z2, Z3, Z4. C = 230 450 100 200 420 90 210 430 80 235 435 95 . (1.8) Zde cij značí cenu zboží Vj v $ v zemi Zi. Poněvadž c23 = 90, je cena zboží V3 v zemi Z2 rovna 90 $. Uved'me ještě příklady matic, které obsahují jenom jeden řádek, tedy příklady řádkových vektorů. Příklad 1.6. Uvažujme výrobní závod, v jehož dvou provozovnách se vyrá- bějí stejné čtyři různé výrobky, označme je V1, V2, V3, V4. Označme ai počet výrobků Vi, které se mají denně vyrobit v první provozovně a bi počet výrobků Vi, které se mají denně vyrobit v druhé provozovně. Potom vek- tor a = (a1 a2 a3 a4) charakterizuje denní výrobní plán první provozovny a vektor b = (b1 b2 b3 b4) charakterizuje denní výrobní plán druhé provozovny. Je-li tedy např. a = (1 5 8 6), b = (4 6 1 2), (1.9) potom např. a2 = 5 znamená, že první provozovna má denně vyrobit podle plánu 5 výrobků V2. Druhá provozovna má podle plánu vyrobit těchto vý- robků b2 = 6. Zatím jsme pouze uvedli způsob zápisu uspořádané skupiny čísel, se kterými je vhodné v dalším pracovat jako s celkem. V dalším budeme většinou odhlížet od věcného významu jednotlivých prvků matic a ukážeme možnosti, jak lze s maticemi pracovat. 1.1.1 Relace mezi maticemi Mezi maticemi téhož typu si zavedeme následující relace. Necht' A, B jsou matice téhož typu (m, n). Řekneme, že matice A je menší nebo rovna matici B, a píšeme A B, jestliže aij bij pro všechna i = 1, 2, . . ., m, j = 1, 2, . . ., n. Řekneme, že matice A je menší než matici B, a píšeme A < B, jestliže aij < bij pro všechna i = 1, 2, . . ., m, j = 1, 2, . . ., n. Řekneme, že matice A je větší nebo rovna matici B, a píšeme A B, jestliže aij bij pro všechna i = 1, 2, . . ., m, j = 1, 2, . . ., n. Řekneme, že matice A je větší než matice B, a píšeme A > B, jestliže aij > bij pro všechna i = 1, 2, . . ., m, j = 1, 2, . . ., n. Řekneme, že matice A je rovna matici B, a píšeme A = B, jestliže aij = bij pro všechna i = 1, 2, . . ., m, j = 1, 2, . . ., n. 7 Příklad 1.7. Necht' A = 1 2 -3 2 0 3 2 2 -5 , B = 8 2 -2 3 0 3 2 2 0 . Přesvědčte se, že A B. Příklad 1.8. Přesvědčte se, že mezi maticemi A, B , kde A = 1 2 -3 2 0 3 2 2 -5 , B = 2 0 -3 2 8 3 0 0 0 neplatí žádná z relací <, , >, , =. 1.1.2 Základní operace s maticemi Zaved'me si tyto operace s maticemi. Součet matic Sečítání dvou matic. Začněme s několika motivačními příklady. Nahoře v příkladě 1.6 jsme uvažovali vektory a a b, dané vztahy (1.9). Vektor a představuje denní výrobní plán první provozovny a b představuje denní výrobní plán druhé provozovny. Jestliže se ve výrobním závodě vyrábějí uve- dené výrobky pouze v těchto dvou provozovnách, pak denní plán výroby výrobků V1, V2, V3, V4 celého závodu je zřejmě c = (5 11 9 8), kde ci = ai + bi, pro i = 1, 2, 3, 4. Jeví se proto užitečným označit vektor c jako součet vektorů a a b. Příklad 1.9. Necht' podnik vyrábí výrobky V1, V2, V3 ve dvou provozovnách. Plán výroby výrobků V1, V2, V3 v první provozovně podniku je pro jednotlivé kvartály charakterizován maticí A a výroba ve druhé provozovně je pro jed- notlivé kvartály charakterizována maticí B. Obě matice jsou typu (4, 3). Necht' prvek ai,j matice A udává plánovaný počet výrobků Vj v i­tém kvar- tálu v první provozovně. Analogický význam má prvek bi,j matice B. Tedy A = a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3 a4,1 a4,2 a4,3 , B = b1,1 b1,2 b1,3 b2,1 b2,2 b2,3 b3,1 b3,2 b3,3 b4,1 b4,2 b4,3 . Pokud závod vyrábí uvedené výrobky pouze v těchto dvou provozovnách, lze charakterizovat plán výroby výrobků V1, V2, V3 celého podniku pro jednotlivé 8 kvartály maticí C, jejíž prvek ci,j = ai,j+bi,j představuje plán výroby výrobku Vj v i­tém kvartálu celého podniku. Tedy C = a1,1 + b1,1 a1,2 + b1,2 a1,3 + b1,3 a2,1 + b2,1 a2,2 + b2,2 a2,3 + b2,3 a3,1 + b3,1 a3,2 + b3,2 a3,3 + b3,3 a4,1 + b4,1 a4,2 + b4,2 a4,3 + b4,3 . Z těchto příkladů je patrno, že má smysl definovat součet dvou matic A, B téhož typu podle následující definice. Definice 1.2. (Součet dvou matic) Necht' matice A, B jsou téhož typu (m, n). Součtem matic A a B budeme rozumět matici C typu (m, n), pro jejíž prvky ci,j, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n, platí ci,j = ai,j + bi,j. Pro operaci sečítání matic budeme používat symbolu " +". Píšeme pak C = A + B. Příklad 1.10. Necht' A, B jsou matice typu (3, 3) A = 1 0 -3 6 1 3 -2 0 -3 B = 7 2 -1 3 5 0 1 5 2 . Potom matice C = A + B je C = 1 0 -3 6 1 3 -2 0 -3 + 7 2 -1 3 5 0 1 5 2 = 8 2 -4 9 6 3 -1 5 -1 . Násobení matice číslem Násobení matice číslem. V příklade 1.5 jsme uvedli matici C. Číslo ci,j v ní značí cenu v $ výrobku Vj v zemi Zi. Chceme-li vyjádřit cenu jed- notlivých výrobků v uvažovaných zemích v Kč, stačí násobit každý prvek matice C stejným číslem, daným kurzem dolaru. Vzniklou matici označíme D. Počítáme-li 35 Kč za jeden $, dostáváme matici D = 8050 15750 3500 7000 14700 3150 7350 15050 2800 8225 15225 3325 (1.10) udávající cenu jednotlivých výrobků v uvažovaných zemích v Kč. To nás motivuje k zavedení definice součinu čísla a matice takto: 9 Definice 1.3. (Součin čísla a matice) Necht' A je matice typu (m, n) a je reálné číslo. Potom součinem matice A a čísla rozumíme matici C, pro jejíž prvky ci,j platí ci,j = ai,j pro i = 1, . . ., m, j = 1, . . ., n. Pro násobení matice číslem budeme používat symbol " ". Píšeme pak C = A. Symbol " " lze vynechat. Příklad 1.11. Necht' = 3 a necht' A je matice typu (3, 3) A = 1 0 -3 6 1 3 -2 0 -3 . Potom C = A = 3 1 0 -3 6 1 3 -2 0 -3 = 3 0 -9 18 3 9 -6 0 -9 . Definice 1.4. Necht' A, B jsou matice téhož typu. Potom definujme A-B jako matici A + (-1) B. Součin dvou matic ­ motivace Součin dvou matic. Zaved'me si ještě definici součinu dvou matic. Začneme s příkladem. Uvažujme matici A = 0, 00 0, 4 0, 3 0, 6 0, 6 0, 05 0, 2 0, 1 0, 1 0, 0 0, 10 0, 2 0, 2 0, 1 0, 2 . (1.11) V ní ai,j značí spotřebu v kg i-té suroviny Si na výrobu jednoho kilogramu j-tého výrobku Vj, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, 4, 5. Zapišme tuto matici obecně. A = a1,1 a1,2 a1,3 a1,4 a1,5 a2,1 a2,2 a2,3 a2,4 a2,5 a3,1 a3,2 a3,3 a3,4 a3,5 . (1.12) Má-li se vyrobit xj kg výrobku Vj, spotřebuje se při jeho výrobě ai,j xj kg suroviny Si. Uvažujme případ, že chceme vyrobit výrobky V1, V2, V3, V4, V5 v množstvích x1, x2, x3, x4, x5 v kg a že chceme určit spotřebu suroviny Si pro některé i = 1, 2, 3. Označme ji yi. Potom yi je součtem čísel ai,j xj, j = 1, 2, 3, 4, 5. Tedy yi = ai,1 x1 + ai,2 x2 + ai,3 x3 + ai,4 x4 + ai,5 x5. 10 Označme tedy x sloupcový vektor o pěti složkách, v němž xj udává požado- vané množství výrobku Vj v kg.Označme y sloupcový vektor o třech složkách, v němž yi vyjadřuje množství suroviny Si v kg potřebné k výrobě výrobků Vj, j = 1, 2, 3, 4, 5 v požadovaných množstvích xj. Nazveme jej vektorem spotřeby. Tedy x = x1 x2 x3 x4 x5 , y = y1 y2 y3 . (1.13) Označme yi = ai,1 x1 + ai,2 x2 + ai,3 x3 + ai,4 x4 + ai,5 x5, i = 1, 2, 3. (1.14) Budeme říkat, že vektor y je součinem matice A a vektoru x a budeme psát y = A x. Pro vektor x = 250 120 150 85 80 a matici A = 0, 00 0, 40 0, 3 0, 6 0, 60 0, 05 0, 20 0, 10 0, 10 0, 00 0, 10 0, 20 0, 20 0, 10 0, 20 dostáváme y1 = 0, 00 250 + 0, 4 120 + 0, 3 150 + 0, 6 85 + 0, 6 80, y2 = 0, 05 250 + 0, 2 120 + 0, 1 150 + 0, 1 85 + 0, 0 80, y3 = 0, 10 250 + 0, 2 120 + 0, 2 150 + 0, 1 85 + 0, 2 80. Vyčíslením obdržíme y1 = 192, y2 = 60, y3 = 103. Tedy y = 192.0 60.0 103.5 . 11 Tento příklad nás inspiruje k zavedení pojmu součinu dvou matic A, B touto definicí. Součin matic ­ definice Definice 1.5. (Součin matic) Necht' A je matice typu (m, k) a B je matice typu (k, n). Potom součinem matic A a B v tomto pořadí je matice C typu (m, n) pro jejíž prvky cij, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n, platí cij = ai1 b1j + ai2 b2j . . . + aik bkj. (1.15) Píšeme pak C = A B. Poznámka 1. Ze vztahu (1.15) je patrno, že pro výpočet prvku cij matice C (tj. prvku v i­tém řádku a v j­tém sloupci matice C používáme i­tý řádek (ai,1 ai,2 . . . ai,k) (1.16) matice A a j­tý sloupec matice B b1,j b2,j . . . bk,j . (1.17) Říkáme, že ci,j je skalárním součinem řádkového vektoru (1.16) a sloupcového vektoru (1.17). Poznámka 2. Vztah (1.15) lze zapsat takto ci,j = k r=1 ai,r br,j. Zde symbol k r=1 znamená, že se provádí sečítání členů, které dostaneme tak, že do výrazu za symbolem dosazujeme postupně r = 1, . . ., k. Poznámka 3. Pro součin dvou matic budeme používat opět symbolu " ". To není na závadu, nebot' ze souvislostí je vždy patrno o jaké násobení se jedná. Budeme tedy psát C = A B. Poznámka 4. Všimněme si, že počet sloupců v matici A je stejný jako je počet řádků v matici B. Kdyby tomu tak nebylo, nebylo by možno aplikovat vzorec (1.15). Příklad 1.12. Určete matici C = A B, jestliže A = 1 2 3 4 0 7 8 5 4 3 2 9 , B = 1 -3 2 -5 8 3 -1 1 . 12 Poněvadž A je matice typu (3, 4) a B je matice typu (4, 2), lze vypočíst součin C = A B. Podle (1.15) dostáváme C = 25 0 73 -6 17 -12 . Např. prvek c2,1 dostaneme jako skalární součin druhého řádku matice A, to jest řádkového vektoru ( 0 7 8 5 ) a prvního sloupce matice B, to jest sloupcového vektoru 1 2 8 -1 . Výpočtem dostáváme c2,1 = 0 1 + 7 2 + 8 8 + 5 (-1) = 73. Poznámka 5. Obecně matice A B není rovna matici B A. Dokonce může nastat případ, že A B existuje, avšak B A neexistuje. Jestliže pro nějaké matice A, B platí A B = B A, potom matice A, B se nazývají zaměnitelné. Příklad 1.13. Je-li např. matice A typu (3, 4) a matice B je typu (4, 3), potom A B je matice typu (3, 3). Avšak B A je matice typu (4, 4). Jsou tedy matice A B, B A různých typů a tedy, aniž bychom jejich součiny počítali, vidíme, že jsou navzájem různé. Matice A, B nejsou tedy v tomto případě zaměnitelné. Příklad 1.14. Necht' A = 1 2 3 4 B = -1 3 1 0 . Potom A B = 1 3 1 9 , B A = 8 10 1 2 . Vidíme, že A B = B A, takže tyto matice A, B nejsou zaměnitelné. Příklad 1.15. Necht' A = 8 10 1 2 B = 1/3 -5/3 -1/6 4/3 . 13 Pro tyto matice platí A B = B A = 1 0 0 1 . Dané matice A, B jsou tedy zaměnitelné. Matice transponovaná. Definice 1.6. (Matice transponovaná)Necht' A je matice typu (m, n). Po- tom matici, jejíž i­tý řádek je roven i­tému sloupci matice A, i = 1, 2, . . ., m, nazýváme maticí transponovanou k matici A a budeme ji značit AT . Matice AT je tedy typu (n, m). Příklad 1.16. Necht' A = 1 2 3 4 5 6 . Potom AT = 1 4 2 5 3 6 . O transponované matici součinu dvou matic platí tato věta. Věta 1.1. (Transponovaná matice součinu matic) Necht' A, B jsou takové matice, že existuje A B. Potom platí (A B)T = BT AT . Důkaz: Důkaz přenechávám čtenáři. Submatice. Zaved'me si pojem submatice následující definicí. Submatice Definice 1.7. (Submatice) Necht' A je matice typu (m, n) a necht' u = (i1, . . . , ip) je takový vektor, že 1 i1 < i2 < < ip m. Dále necht' v = (j1, . . . , jr) je takový vektor, že 1 j1 < j2 < < jq n. Potom matici, která vznikne z matice A vypuštěním řádků s řádkovými indexy, které jsou složkami vektoru u a vypuštěním sloupců matice A se sloupcovými indexy, které jsou složkami vektoru v, nazýváme submaticí matice A a značíme ji A(u,v). Jestliže některý z vektorů u, v má jenom jednu složku, stačí uvést tuto složku bez závorek. Například, jestliže u = (i) a v = (j), lze závorky vypustit a psát pouze Ai,j. (Tedy Ai,j značí submatici, která vznikne z matice A vypuštěním i­tého řádku a j­tého sloupce.) Příklad 1.17. Necht' A = 1 2 4 5 5 7 2 -1 4 1 0 2 . 14 Položme u = (2), v = (2, 4). Potom vypuštěním druhého řádku a druhého a čtvrtého sloupce matice A dostaneme submatici B = A2,(2, 4). Je tedy B = 1 4 4 0 . 1.1.3 Speciální matice a pravidla pro počítání s maticemi Čtvercová matice. Matici A typu (n, n) budeme nazývat čtvercovou maticí řádu n. Místo čtvercová matice řádu n stačí říkat matice řádu n, poněvadž o řádu matice mluvíme jen u čtvercových matic. Např. matice A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 je čtvercová matice řádu 3. Nulová matice. Matici typu (m, n) budeme nazývat nulovou maticí typu (m, n), jestliže všechny její prvky jsou rovny nule. Budeme ji značit 0. Příklad 1.18. Matice 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 je nulová matice typu (3, 4). Hlavní a vedlejší diagonála v matici. Necht' A je matice typu (m, n). Budeme říkat, že její prvky aii leží na hlavní diagonále a její prvky aij, pro něž je i + j = n + 1, leží na vedlejší diagonále. Příklad 1.19. Necht' A = 1 -2 3 1 0 -3 8 5 -5 0 4 2 . Potom prvky (1, -3, 4) leží na hlavní diagonále a prvky (1, 8, 0) leží na ved- lejší diagonále. Jednotková matice. Řekneme, že čtvercová matice E řádu n je jednotková, jestliže všechny prvky na hlavní diagonále jsou rovny číslu 1 a všechny ostatní její prvky jsou rovny 0. Chceme-li zdůraznit její řád n, označíme ji En. Příklad 1.20. Matice 1 0 0 0 1 0 0 0 1 15 je jednotková matice řádu 3. Diagonální matice. Řekneme, že čtvercová matice A je diagonální, jestliže všechny její nenulové prvky leží na hlavní diagonále. Příklad 1.21. Matice A = 1 0 0 0 2 0 0 0 3 je diagonální maticí. Horní trojúhelníková matice. Řekneme, že čtverová matice A řádu n je horní trojúhelníkovou maticí, jestliže všechny její prvky pod hlavní dia- gonálou jsou rovny 0. Dolní trojúhelníková matice. Řekneme, že čtvercová matice A řádu n je dolní trojúhelníkovou maticí, jestliže všechny její prvky nad hlavní dia- gonálou jsou rovny 0. Pravidla pro počítání s maticemi. Pro zavedené operace s maticemi platí vztahy uvedené v následující větě. Věta 1.2. (Počítání s maticemi) Necht' A, B, C, 0 jsou matice téhož typu, kde 0 je matice nulová, a necht' , R. Potom platí A + B = B + A, (1.18) (A + B) + C = A + (B + C), (1.19) A + 0 = A, (1.20) A - A = 0, (1.21) 1 A = A, (1.22) ( A) = ( ) A, (1.23) ( + ) A = A + A, (1.24) (A + B) = A + B. (1.25) Důkaz: Provedeme pouze důkaz vztahu (1.18). Ostatní vztahy se dokazují analogicky. Prvek v i­tém řádku a j­tém sloupci matice na levé straně vztahu (1.18) je roven aij + bij a prvek v i­tém řádku a j­tém sloupci matice na pravé straně vztahu (1.18) je roven bij + aij pro všechna i, j. Platí tedy (1.18). Věta 1.3. (Počítání s maticemi) Necht' typy matic A, B, C, 0 (nulová matice), E (jednotková čtvercová matice) jsou takové, že operace ve vztazích 16 (1.26)--(1.31) mají význam. Potom platí 0 A = 0, A 0 = 0, (1.26) E A = A, (1.27) A E = A, (1.28) (A B) C = A (B C), (1.29) (A + B) C = A C + B C, (1.30) C (A + B) = C A + C B. (1.31) Poznámka. Jestliže pro matice A, B platí A B = 0, nemusí být žádná z matic A, B nulovou maticí. Např. 1 0 0 0 . 0 0 3 2 = 0 0 0 0 . 1.2 Systémy lineárních algebraických rovnic, úvod Uvažujme výrobu čtyř výrobků V1, V2, V3, V4. K jejich výrobě jsou potřebné suroviny S1, S2, S3. Jejich množství v kg potřebné při výrobě jednoho ki- logramu každého z výrobků V1, V2, V3, V4 je uvedeno v následující tabulce. Ve sloupci označeném písmenem Z jsou uvedena množství Z1, Z2, Z3 jed- notlivých surovin S1, S2, S3, která se mají spotřebovat. Budeme se zabývat úlohou určit množství jednotlivých výrobků V1, V2, V3, V4 v kg tak, abychom zcela spotřebovali suroviny S1, S2, S3, jejichž množství jsou uvedena v tabulce ve sloupci Z. V1 V2 V3 V4 Z S1 0, 0 0, 4 0, 3 0, 6 5 S2 0, 2 0, 2 0, 1 0, 1 2 S3 0, 1 0, 2 0, 2 0, 1 3 Označme postupně x1, x2, x3, x4 hledaná množství v kg výrobků V1, V2, V3, V4. K jejich výrobě by se potřebovalo 0, 4 x2 + 0, 3 x3 + 0, 6 x4 kg surovin S1, 0, 2 x1 + 0, 2 x2 + 0, 1 x3 + 0, 1 x4 kg surovin S2 a 0, 1 x1 + 0, 2 x2 + 0, 2 x3 + 0, 1 x4 kg surovin S3. Jestli se mají suroviny S1, S2, S3 plně spotřebovat, musí se výrobky V1, V2, V3, V4 vyrábět v množstvích x1, x2, x3, x4, která splňují tyto podmínky: 0, 4 x2 + 0, 3 x3 + 0, 6 x4 = 5 0, 2 x1 + 0, 2 x2 + 0, 1 x3 + 0, 1 x4 = 2 (1.32) 0, 1 x1 + 0, 2 x2 + 0, 2 x3 + 0, 1 x4 = 3. 17 Každá z těchto podmínek představuje rovnici pro neznámé veličiny x1, x2, x3, x4. Každá z nich je tvaru a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b. (1.33) V rovnici (1.33) x1, x2, . . . , xn jsou neznámé a a1, a2, . . . , an jsou (většinou) známá čísla, nazýváme je koeficienty rovnice. Koeficient ai je koeficient u ne- známé xi. Číslo b nazýváme pravou stranou. Rovnici (1.33) nazýváme lineární algebraickou rovnicí o neznámých x1, . . . , xn. Poněvadž v lineární algebře, kterou probíráme, pojednáváme jenom o algebraických rovnicích, budeme užívat zkráceného pojmenování " lineární rovnice". Při řešení úloh většinou se pracuje s více rovnicemi. Jestliže koeficienty v těchto rovnicích jsou obecná čísla, můžeme je odlišit od sebe tak, že v i­té rovnici označíme koeficient u xj např. ai,j. Potom systém (místo systém můžeme říkat též soustava) m lineárních alge- braických rovnic o n neznámých x1, x2, . . . , xn lze zapsat takto: a1,1x1 + a1,2x2 + + a1,nxn = b1 a2,1x1 + a2,2x2 + + a2,nxn = b2 ... ... ... am,1x1 + am,2x2 + + am,nxn = bm. (1.34) Zde ai,j, i = 1, . . ., m, j = 1, . . . , n, značí koeficient u neznámé xj v i­ té rovnici (první index i tedy značí pořadové číslo rovnice, druhý index j označuje složku neznámého vektoru x). Číslo bi nazýváme pravou stranou i­té rovnice. Označme A matici A = a1,1 a1,2 a1,n a2,1 a2,2 a2,n ... ... am,1 am,2 am,n . (1.35) Nazýváme ji maticí soustavy systému (1.34). Vektor x = x1 x2 ... xn nazýváme vektorem neznámých a vektor b = b1 b2 ... bm 18 nazýváme vektorem pravých stran. Lehce nahlédneme, že systém lineárních algebraických rovnic (1.34) lze zapsat užitím tohoto označení jako A x = b. (1.36) Skutečně, matice A je typu (m, n), x je typu (n, 1), takže A x je ma- tice typu (m, 1). Rovnice (1.36) znamená, že každá složka vektoru A x je rovna odpovídající složce vektoru b. Porovnáním i­tých složek těchto vektorů dostáváme i­tou rovnici systému (1.34). Matice, která vznikne z matice A přidáním vektoru b jako dalšího sloupce, se nazývá rozšířenou matici systému rovnic (1.34). Značíme ji (A|b). Je tedy (A|b) = a1,1 a1,2 a1,n | b1 a2,1 a2,2 a2,n | b2 ... ... am,1 am,2 am,n | bm . Příklad 1.22. Uvažujme systém lineárních algebraických rovnic x1 + 3x2 - 3x3 = -12, 4x1 + 5x2 + 2x3 = -6. (1.37) Označme-li A matici soustavy tohoto systému rovnic, b vektor pravých stran a x vektor neznámých tohoto systému rovnic, je A = 1 3 -3 4 5 2 , b = -12 -6 , x = x1 x2 x3 . Matice rozšířená je rovna (A|b) = 1 3 -3 | -12 4 5 2 | -6 . Daný systém rovnic lze tedy zapsat jako A x = b. Zaved'me si nyní pojem řešení systému lineárních rovnic. Definice 1.8. Vektor 0 x nazveme řešením systému lineárních rovnic A x = b, jestliže A 0 x = b. (To jest, jestliže vektor 0 x vyhovuje rovnici A x = b). 19 Vrat'me se k příkladu 1.22. Označme 1 x = 3 -4 1 , 2 x = 0 -2 2 , 3 x = 3 0 1 . Zřejmě A 1 x = b, A 2 x = b, A 3 x = 0 14 = b. Jsou tedy vektory 1 x, 2 x řešením uvažovaného systému (1.37), avšak 3 x není jeho řešením. Lehce se přesvědčíme, že vektor x = 6 - 3 c -6 + 2 c c je řešením uvažovaného systému rovnic (1.37) pro každé reálné c. Příklad 1.23. Uvažujme systém lineárních rovnic x1 - 2x2 = 3, (1.38) 2x1 - 4x2 = 5. (1.39) Tento systém rovnic nemá řešení. Skutečně, předpokládejme, že , jsou taková čísla, že x1 = , x2 = vyhovovují první rovnici, tedy, že platí - 2 = 3. Potom by bylo 2 - 4 = 6 a ne 2 - 4 = 5, takže x1 = , x2 = nevyhovuje druhé rovnici. Poznámka. Později budeme řešit obecně otázku, kdy systém lineárních rov- nic má jedno řešení, kdy má nekonečně mnoho řešení a kdy nemá vůbec žádné řešení. 1.3 Zavedení pojmu inverzní matice V lineární algebře má velký význam pojem inverzní matice k dané matici. Tento pojem si nyní zavedeme následující definicí. Později si řekneme něco o existenci inverzní matice k dané matici a seznámíme se s řadou vlastností inverzních matic a naučíme se nalézt k dané matici matici inverzní. Definice 1.9. (Inverzní matice) Neřádu n. Potom čtvercovou matici B se pro níž platí B A = A B = E. (1.40) 20 nazýváme inverzní maticí k matici A; budeme ji značit A-1 . Věta 1.4. (Vlastnosti inverzní matice) Necht' je dána matice A a necht' k ní existuje matice inverzní A-1 . Potom platí a) Inverzní matice A-1 je jednoznačně určena. b) K matici A-1 existuje matice inverzní a platí (A-1 )-1 = A. c) Jestliže A, B jsou čtvercové matice téhož řádu n a jestli k nim existují matice inverzní A-1 , B-1 , potom k matici AB existuje matice inverzní a platí (A B)-1 = B-1 A-1 .Důkaz: a) Necht' B, C jsou inverzní k A. Potom A B = B A = E, A C = C A = E. Odtud C = E C = (B A) C = B (A C) = B E = B. Tedy B=C. b) Toto tvrzení je bezprostředním důsledkem definice inverzní matice. c) Podle vět 1.2, 1.3 platí (B-1 A-1 ) (AB) = B-1 (A-1 A)B. Poněvadž A-1 A = E, dostáváme odtud (B-1 A-1 ) (AB) = B-1 E B = B-1 B = E. Podobně dokážeme, že (AB) (B-1 A-1 ) = E. Je tedy B-1 A-1 inverzní maticí k matici AB. Uved'me si zde větu o řešitelnosti a jednoznačnosti řešení systému lineárních rovnic, za předpokladu, že k matici soustavy existuje matice inverzní. Věta 1.5. (Řešení systému A x = b) Necht' A x = b (1.41) je systém n lineárních rovnic o n neznámých, kde A je čtvercová matice soustavy řádu n a b je vektor pravých stran typu (n, 1). Necht' k matici A existuje matice inverzní A-1 . Potom systém rovnic (1.41) má právě jedno řešení x dané vztahem x = A-1 b. (1.42) Důkaz: Jak již bylo dříve dokázáno, inverzní matice A je určena jedno- značně. Vynásobíme-li (1.41) maticí A-1 zleva, dostáváme A-1 (A x) = A-1 b (1.43) Vzhledem k větě 1.3 platí (A-1 A) x = A-1 b. 21 Poněvadž (A-1 A) = E a E x = x, dostáváme odtud (1.42). Dokažme ještě jednoznačnost řešení. Předpokládejme, že existují dvě řešení 1 x,2 x systému (1.41). Potom A 1 x = b, A 2 x = b. Odečtením těchto vztahů dostáváme A (1 x - 2 x) = 0. Vynásobením tohoto vztahu maticí A-1 zleva dostáváme 1 x - 2 x = 0, takže 1 x = 2 x. Má tedy systém A x = b právě jedno řešení. Příklad 1.24. Nalezněte řešení systému lineárních rovnic A x = b, (1.44) jestliže A = 1 5 2 3 4 1 0 1 4 , b = 26 39 78 a znáte-li k matici A matici inverzní A-1 = - 5 13 6 13 1 13 4 13 - 4 39 - 5 39 - 1 13 1 39 11 39 . Řešení. Podle předcházející věty má daný systém právě jedno řešení a to x = - 5 13 6 13 1 13 4 13 - 4 39 - 5 39 - 1 13 1 39 11 39 26 39 78 . Výpočtem dostáváme x = 14 -6 21 . V této kapitole popsaný aparát maticového počtu použijeme nyní k mate- matické formulaci následující úlohy, která patří do úloh lineárního progra- mování. Tyto úlohy jsou velice významnou aplikací lineární algebry. Úlohy 22 tohoto typu se řeší většinou pomocí počítačů a k jejich řešení jsou vypra- covány speciální programy. My se nebudeme zde zabývat otázkou jak se řeší, ale jenom otázkou, jak se dá úloha matematicky formulovat a jak se připraví data pro vstupní hodnoty těchto programů. Příklad 1.25. Čokoládovna vyrábí 5 druhů výrobků. Jsou to výrobky, které označíme V1, V2, V3, V4, V5. K výrobě potřebujeme suroviny tuk, kakao a cukr. Tyto suroviny jsou k dispozici v omezených množstvích, v uvedném pořadí 1500 kg, 300 kg, 450 kg na jeden den. Spotřeba surovin v kilogramech na 1 kg výrobku je dána tabulkou 1.1 na straně 4. Odbytové ceny jednot- livých výrobků v uvedném pořadí jsou 20 Kč, 120 Kč, 100 Kč, 140 Kč, 40 Kč. Úkolem je stanovit takový denní výrobní plán, aby hodnota výroby byla maximální. Výrobky jsou vyráběny technologicky nezávisle na sobě navzájem. Výroba se tedy uskutečňuje ve formě pěti výrobních procesů, které však nejsou navzájem zcela izolované, nebot' společně spotřebovávají výrobní zdroje, jeden proces na úkor druhého. Matematická formulace úlohy. Pro účely matematické formulace za- ved'me 5 nezávisle proměnných: xj necht' označuje množství výrobku Vj v kg, jež bude vyráběno za den, kde j = 1, 2, 3, 4, 5. Hledáme tedy hodnoty xj 0, j = 1, 2, 3, 4, 5, vyhovující nerovnostem 0, 4x2 + 0, 3x3 + 0, 6x4 + 0, 6x5 1500 0, 05x1 + 0, 2x2 + 0, 1x3 + 0, 1x4 300 0, 10x1 + 0, 2x2 + 0, 2x3 + 0, 1x4 + 0, 2x5 450 (1.45) Víme, že při výrobě xj výrobků Vj, j = 1, 2, 3, 4, 5, bude odbytová cena výroby rovna z = 20x1 + 120x2 + 100x3 + 140x4 + 40x5. (1.46) Naší úlohu můžeme tedy formulovat takto : Nalezněte taková nezáporná čísla xj, j = 1, 2, 3, 4, 5, která vyhovují nerovnostem (1.45) a pro něž funkce (1.46) nabývá svého maxima. Tato úloha je tedy popsána maticí A, vektorem m množství surovin a vek- torem b odbytových cen výrobků a vektorem x počtu výrobků A = 0, 00 0, 4 0, 3 0, 6 0, 6 0, 05 0, 2 0, 1 0, 1 0, 0 0, 10 0, 2 0, 2 0, 1 0, 2 , m = 1500 300 450 , bT = 20 120 100 140 40 , x = x1 x2 x3 x4 x5 . 23 Potom (1.45) lze zapsat jako jako Ax m (1.47) a funkce (1.46) lze zapsat jako z = b x. (1.48) Naši úlohu můžeme vyslovit takto: Nalezněte vektor x 0 vyhovující (1.47), který minimalizuje funkci (1.48). Matice A, vektory m, b a požadavek, že vektor xT = (x1, x2, x3, x4, x5) 0, jsou vstupními údaji programu, kterým se výpočet realizuje. Dostáváme x1 = 0, x2 = 0, x3 = 1000, x4 = 2000, x5 = 0. 1.4 Základní poznatky z kapitoly 1 a úlohy k procvičení Zavedení pojmu matice, typ matice, značení prvků matic, prvky na hlavní a na vedlejší diagonále. Relace <, , >, , = mezi maticemi. Operace s maticem : sečítání matic, násobení matice reálným číslem. Součin dvou matic. Zaměnitelné matice. Matice transponovaná. Matice transponovaná součinu dvou matic. Submatice. Vytváření submatic. Označování submatic. Speciální matice. Matice čtvercová, matice nulová, matice jednotková, horní a dolní trojúhelníková matice, horní schodovitá matice. Pravidla pro počítání s maticemi. Zápis systémů lineárních rovnic v maticové notaci. Co je to matice soustavy, co je to matice rozšířená, co je to vektor pravých stran. Co se rozumí pod pojmem řešení systému lineárních rovnic? Příklady, kdy systém má jedno řešení, kdy nemá žádné řešení, kdy má více řešení. Co je to inverzní matice? Vlastnosti inverzních matic. Řešení systému lineárních rovnic, jestliže známe matici inverzní k ma- tici soustavy. Úlohy 1. Necht' A je matice A = 1 -3 2 4 1 0 7 -2 0 1 -2 5 . Určete a) její typ, b) matici k ní transponovanou AT , určete matice F = A AT , D = AT A, c) zjistěte, zda matice A, AT jsou zaměnitelné. 24 [a) typ (3, 4), b) AT = 1 1 0 -3 0 1 2 7 -2 4 -2 5 , D = 2 -3 9 2 -3 10 -8 -7 9 -8 57 -16 2 -7 -16 45 , F = 30 7 13 7 54 -24 13 -24 30 , c) nejsou zaměnitelné.] 2. Zapište v maticové notaci systém lineárních rovnic 2 x1 + 3 x2 - x3 = 4, 3 x1 - 5 x2 + x3 = -1, x1 - 3 x2 + x3 = -1. Napište matici soustavy a matici rozšířenou. [Označme A = 2 3 -1 3 -5 1 1 -3 1 , b = 4 -1 -1 , (A|b) = 2 3 -1 | 4 3 -5 1 | -1 1 -3 1 | -1 , x = x1 x2 x3 . Potom daný systém rovnic lze psát v maticové notaci takto: A x = b, A je matice soustavy a (A|b) je matice rozšířená.] 3. Necht' A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a necht' E3 je jednotková matice a je proměnná. Napište matici B = A - E3. [B = 1 - 2 3 4 5 - 6 7 8 9 - .] 4. Zjistěte, zda vektory 1 x = 1 1 1 , 2 x = 0 1 2 25 jsou řešením systému lineárních rovnic z úlohy 2. [A 1 x = 4 -1 -1 , A 2 x = 1 -3 -1 , tedy 1 x je a 2 x není řešením uvažovaného systému lineárních rovnic.] 5. Necht' A = 1 2 3 4 1 0 -2 0 1 , B = -1 2 3 4 -7 -12 -2 4 7 , b = 0 1 2 a) Dokažte, že B A = E, A B = E. Jak nazýváme matici B? b) Nalezněte řešení rovnice Ax = b užitím matice B. (Obě strany daného systému rovnic násobte zleva maticí B.) [a) B je inverzní k matici A, b) B(Ax) = Bb, (BA)x = Bb, Ex = B b, takže x = B b = 8 -31 18 T .] 6. Zapište následující systém nerovnic užitím maticové notace x1 + x2 3, -x1 + x2 0, x2 0. Znázorněte graficky množinu bodů [x1, x2], které těmto nerovnicím vyhovují. [Položme A = 1 1 -1 1 0 -1 , b = 3 0 0 , x = x1 x2 . Potom daný systém nerovnic lze zapsat takto: A x b. Hledaná množina je šedá oblast na obr.1.1.] 3 3 0 x1 x2 Obrázek 1.1: Hledaná množina bodů 7. Určete vektory f, x tak, aby funkce y = 2x1 + 3x2 + 4x3 + x4 26 se dala pomocí nich zapsat ve tvaru fT x. [f = (2, 3, 4, 1)T , x = (x1, x2, x3, x4)T ] 27 28 Lineární prostor, zavedení pojmu Lineární kombinace vektor ů Báze vektorového prostoru Vektorový prostor 2 Cílem studia této kapitoly je osvojit si pojem " aritmetický vektorový prostor Vn" osvojit si pojmy " lineární kombinace vektorů, lineární nezávislost vek- torů" osvojit si pojem " hodnost matice" 2.1 Lineární prostor, zavedení pojmu Vektorový prostor volných vektorů. V předcházejícím studiu na gym- náziu jste pracovali s volnými vektory. Zopakujme si napřed bez podrobností pojem volného vektoru a operace s volnými vektory a to tak, jak se tyto pojmy zavádějí na gymnáziích. Volné vektory. Množinu všech nenulových orientovaných úseček, které mají stejný směr a stejnou velikost, jste nazvali nenulovým volným vektorem a množinu všech nulových orientovaných úseček nulovým volným vektorem. Každá orientovaná úsečka je pak umístěním příslušného volného vektoru a re- prezentuje jej. Volné vektory budeme označovat písmenem se šipkou nahoře, např. -a . Nulový volný vektor budeme označovat symbolem - 0 . Délku každé orientované úsečky, která reprezentuje volný vektor -a , budeme nazývat ve- likostí volného vektoru -a a budeme ji značit |-a |. Symbolem " +" jste značili operaci, nazvali jste ji sečítáním, kterou ke každým dvěma volným vektorům -a , - b je přiřazen volný vektor, označme jej -c , který dostaneme takto: Zvolme libovolný bod A. Necht' - AB je orientovaná úsečka, která reprezentuje volný vektor -a . Necht' orientovaná úsečka -- BC re- prezentuje volný vektor - b , potom orientovaná úsečka - AC reprezentuje volný vektor -c . Píšeme pak -a + - b = -c . Na obr. 2.1 je znázorněno sečítání dvou volných vektorů -a , - b . Vektor -a je reprezentovaný orientovanou úsečkou - PQ a volný vektor - b je reprezento- vaný orientovanou úsečkou - RS. Jejich součtem je volný vektor -c = -a + - b reprezentovaný orientovanou úsečkou - AC. R S P Q A B C Obrázek 2.1: Sečítání volných vektorů Symbolem " " jste značili operaci, nazvali jste ji násobením, kterou ke kaž- dému volnému vektoru -a U a libovolnému reálnému číslu R je 30 přiřazen volný vektor, označme jej - d , který dostaneme takto: Necht' ori- entovaná úsečka - AB reprezentuje volný vektor -a . Označme D takový bod na přímce určené body A, B , že velikost -- AD orientované úsečky -- AD je || - AB a směr -- AD je stejný jako směr -a , je-li 0 a opačný, je-li < 0. Na obr. 2.2 je znázorněno násobení volného vektoru -a reálným číslem. Volný vektor -a je reprezentován orientovanou úsečkou - PQ. Volný vektor - d = 2, 5 -a je reprezentován orientovanou úsečkou - AB a volný vektor -e = -2, 5 -a je reprezentován orientovanou úsečkou -- CD. P Q A B CD Obrázek 2.2: Násobení volného vektoru číslem Volné vektory v kartézském souřadném systému v rovině. V před- cházejícím pojednání jsme uvažovali volné vektory nezávisle na souřadném systému. Byly uvažovány v tzv. invariantním tvaru. Pojednejme nyní o volných vektorech v rovině, v níž je zaveden kartézský souřadný systém. Necht' x1, x2 jsou souřadné osy kartézského souřadného systému v uvažované rovině. Jak je dobře známo, ke každému bodu P v kartézském souřadném systému ro- viny, je přiřazena uspořádaná dvojice reálných čísel [p1, p2]. Číslo p1 nazýváme jeho první souřadnicí a číslo p2 nazýváme jeho druhou souřadnicí. Naopak, každou uspořádanou dvojici reálných čísel [p1, p2] lze považovat za souřadnice právě jednoho bodu P v rovině. Není tedy nutno striktně rozlišovat mezi bo- dem v rovině a uspořádanou dvojicí reálných čísel. Označme U2 množinu všech volných vektorů v této rovině s uvedenými operacemi sečítání volných vektorů v rovině a násobení volných vektorů v rovině reálnými čísly. Uvažujme dvě orientované úsečky - PQ, - RU (viz. obr. 2.3), kde P = P[p1, p2], Q = Q[q1, q2], R = R[r1, r2], U = U[u1, u2]. Každá z těchto orientovaných úseček reprezentuje tentýž volný vektor -a U2, když a jenom když q1 - p1 = u1 - r1 q2 - p2 = u2 - r2. (2.1) Na obr. 2.3 jsou zobrazeny dvě orientované úsečky - PQ, - RS každá z nich reprezentuje tentýž volný vektor. 31 x1 x2 P Q R U p1 q1 r1 u1 r2 u2 p2 q2 a1 a1 a2 a2 Obrázek 2.3: Reprezentace volného vektoru Necht' -a je volný vektor, reprezentovaný orientovanou úsečkou - PQ, kde P = [p1, p2], Q = [q1, q2]. K volnému vektoru -a přiřad'me uspořádanou dvojici reálných čísel, a1, a2, kde a1 = q1 - p1 je první a a2 = q2 - p2 je druhé číslo této uspořádané dvojice. Tuto uspořádanou dvojici zapišme např. jako (a1, a2). Platí též obráceně. Jestliže (a1, a2) je libovolná uspořádaná dvojice reálných čísel, potom k ní je přiřazen volný vektor, který je reprezentován každou orientovanou úsečkou - PQ, pro níž platí: Je-li P = [p1, p2], Q = [q1, q2] potom q1 - p1 = a1, q2 - p2 = a2. Lze tedy ke každému volnému vektoru -a jednojednoznačně přiřadit uspořádanou dvojici (a1, a2). Množinu všech uspořádaných dvojic reálných čísel označíme R2 . Lehce nahlédneme, že platí následující tvrzení. Necht' -a , - b jsou dva volné vektory. Necht' nahoře popsaným způsobem je k volnému vektoru -a přiřazena uspořádaná dvojice reálných čísel (a1, a2) a k volnému vektoru - b je přiřazena uspořádaná dvojice reálných čísel (b1, b2). Potom zřejmě platí -a + - b = -c , kde c1 = a1 + b1 c2 = a2 + b2 (2.2) .-a = - d , kde d1 = .a1 d2 = .a2 pro R. (2.3) Mezi uspořádanými dvojicemi reálných čísel z R2 si zaved'me operace sečítání, označené " + ", a násobení, označené " . ", takto: Necht' (a1, b1), (a2, b2) R2 , R. Položme (a1, b1) + (a2, b2) = (a1 + b1, a2 + b2) .(a1, b1) = (.a1, .b1) Množinu R2 společně s operacemi " +, . " nazveme dvojrozměrným aritme- tickým vektorovým prostorem a označíme jej V2. Jeho prvky nazveme (arit- metickými) vektory a budeme je označovat většinou malými tučně zapsanými písmeny. Analogicky bychom mohli definovat trojrozměrný aritmetický vek- torový prostor na množině R3 uspořádaných trojic reálných čísel. Značí se pak V3. 32 Vzhledem k (2.2) si můžeme představit dvojrozměrný aritmetický vektor jako volný vektor v rovině. Podobně je tomu v trojrozměrných aritmetických vektorových prostorech. V dalším podáme analogickou definici n-rozměrného aritmetického vekto- rového prostoru Vn. Definice 2.1. Necht' n je libovolné přirozené číslo a necht' Rn je množina všech uspořádaných n-tic reálných čísel. Necht' na množině Rn jsou zavedeny operace sečítání, označené " + ", a násobení, označené " . ", takto: Necht' (a1, a2, , an), (b1, b2, , bn) Rn , R. Položme (a1, a2, , an) + (b1, b2, , bn) = (a1 + b1, a2 + b2, , an + bn)(2.4) .(a1, a2, , an) = (.a1, .a2, , .an) (2.5) Množinu Rn společně s operacemi " +, . " nazveme n-rozměrným aritme- tickým vektorovým prostorem a označíme jej Vn. Uspořádané n-tice budeme zapisovat do řádků, nebo do sloupců. Budeme je nazývat (aritmetickými) vektory a budeme je označovat většinou malými tučně zapsanými písmeny. Při zápisu této uspořádané n-tice do řádku (sloupce), budeme mluvit o řádkovém (sloupcovém) aritmetickém vektoru (stručně jen o vektoru). S pojmem vektorového prostoru úzce souvisí pojem vektorového podpro- storu. Uved'me si jeho definici. Co je to vektorový podprostor Definice 2.2. [(Vektorový podprostor)] Necht' P Rn a necht' pro všechna x, y P, R platí x + y P, x P. (2.6) Potom množinu P s těmito operacemi " +, " nazýváme vektorovým podpro- storem prostoru Rn . Budeme jej značit P. Poznámka. Jestliže nepracujem s vektorovým prostorem Rn můžeme místo názvu " vektorový podprostor" používat názvu " vektorový prostor". Příklad 2.1. Necht' P je taková množina uspořádaných čtveřic reálných čísel a = (a1, a2, a3, a4), že a2 = a4. Zřejmě P R4 . Necht' a = (a1, c, a3, c), b = (b1, d, b3, d), kde c, d R jsou pevně zvolená čísla a necht' R. Potom a, b P. Položme x = a + b = (a1 + b1, c + d, a3 + b3, c + d), y = a = (a1, c, a3, c). Zde operace " +" , " " jsou operace sečítání a násobení v prostoru V4. Je zřejmé, že x, y patří do množiny P. Proto množina P s těmito operacemi " +" , " " tvoří vektorový podprostor P prostoru V4. Ukažme si některé základní vlastnosti vektorového prostoru Vn. Věta 2.1. Necht' P je podprostorem vektorového prostoru Vn. Jestliže a, b, c Pn, potom a + b = b + a, (2.7) a + (b + c) = (a + b) + c. (2.8) 33 Existuje prvek 0 Vn tak, že pro všechna x Pn platí x + 0 = x. (2.9) Nazýváme jej nulovým vektorem. Ke každému x Vn existuje vektor v prostoru Pn, označme jej (-x), tak, že x + (-x) = 0. (2.10) Pro všechna x, y Pn a pro všechna , R platí 1.x = x, (2.11) ( x) = () x, (2.12) ( + ) x = x + x, (2.13) (x + y) = x + y. (2.14) Poznámka. Symbol " " pro násobení lze vynechat. Důsledek 1. Ze vztahů (2.7), (2.8) vyplývá, že a + (b + c) = a + (c + b) = b + (a + c) = b + (c + a) = = c + (a + b) = c + (b + a) = (a + b) + c = (b + a) + c = = (a + c) + b = (c + a) + b = (b + c) + a = (c + b) + a Není proto nutno psát závorky a stačí psát a + b + c. Dokažme např., že a + (b + c) = (b + a) + c. Podle (2.8) je a + (b + c) = (a + b) + c. Podle (2.7) je a + b = b + a, takže (a + b) + c = (b + a) + c. Je tedy a + (b + c) = (b + a) + c. Podobně budeme psát c1 1 x + . . . + cn n x , kde 1 x, . . . , n x P a c1, . . ., cn jsou libovolné konstanty, aniž bychom psali závorky. Poznámka. Jestliže vektor z prostoru Pn zapíšeme do sloupce, budeme vek- tor nazývat sloupcovým vektorem. Jedná se tedy o matici typu (n, 1). Podobně, jestliže vektor zapíšeme do řádku, budeme jej nazývat řádkovým vektorem. Jde tedy o matici typu typu (1, n). Zapisujeme-li tedy všechny vektory v prostoru Pn do sloupců (řádků), potom operace " +, " v prostoru Pn splývají s odpovídajícími operacemi pro počítání s maticemi. Poznámka. Symbol " " pro násobení lze vynechat. Označení. Místo a P lze psát a P. Místo a + (-b) lze psát a - b. 2.2 Lineární kombinace vektorů Uvažujme systém lineárních algebraických rovnic ai,1x1 + . . . + ai,nxn = bi, i = 1, . . . , n. (2.15) Při jeho analýze je zapotřebí zjišt'ovat, zda 34 některá z rovnic systému není v rozporu s jinými rovnicemi tohoto systému zda každá z rovnic dává nové požadavky na hledaný vektor x1, . . . , xn, zda požadavek, některou rovnici vyjádřený, je nebo není již obsažen v jiných rovnicích systému. Tuto problematiku budeme řešit podrobně v kapitole ??. Jestliže i-té rovnici systému (2.15) přiřadíme vektor (ai,1, . . ., ai,n, bi), i = 1, 2, , n, pak toto přiřazení je jednojednoznačné. K součtu dvou rovnic odpovídá součet odpovídajících vektorů a k součinu čísla a rovnice odpovídá součin tohoto čísla a odpovídající rovnice. K řešení nahoře uvedeného problému použijeme dále zaváděné pojmy: lineární kombinace vektorů, lineární nezávislost a lineární závislost vektorů. S těmito pojmy se setkáme i v jiných úvahách. Lineární kombinace vektorů Definice 2.3. (Lineární kombinace vektorů) Necht' 1 x, . . . , n x jsou vek- tory z vektorového prostoru P a c1, . . . , cn jsou reálná čísla. Potom vektor x = c1 1 x + . . . + cn n x nazveme lineární kombinací vektorů 1 x, . . . , n x. Příklad 2.2. Necht' 1 x = (2, 3, -1), 2 x = (5, 2, 6), 3 x = (9, 8, 4) jsou vektory z prostoru V3. Ukažme, že vektor 3 x je lineární kombinací vek- torů 1 x, 2 x. Poněvadž 2 1 x + 2 x = 2 (2, 3, -1) + (5, 2, 6) = (4, 6, -2) + (5, 2, 6) = (9, 8, 4) = 3 x, je vektor 3 x skutečně lineární kombinací vektorů 1 x, 2 x. Lineární nezávislost vektorů Definice 2.4. (Lin. nezávislost a závislost vektorů) Necht' 1 x, . . . , n x jsou vektory z vektorovém prostoru P. Řekneme, že tyto vektory jsou lineárně nezávislé, jestliže c1 1 x + . . . + cn n x = 0 c1 = c2 = . . . = cn = 0. (2.16) Jestliže vektory 1 x, . . . , n x nejsou lineárně nezávislé, jsou lineárně závislé. Lineární závislost vektorů lze vyjádřit též takto. Poznámka. Vektory 1 x, . . . , n x z vektorovém prostoru P jsou lineárně závis- lé, jestliže existují taková čísla c1, c2, . . ., cn, z nichž alespoň jedno je různé od 0, že c1 1 x + . . . + cn n x = 0. Příklad 2.3. Ukažme, že vektory 1 x = (1, 4, -4), 2 x = (1, 2, 0), 3 x = (1, 5, -2) z prostoru V3 jsou lineárně nezávislé. Skutečně, ze vztahu c1 1 x + c2 2 x + c3 3 x = 0 35 dostáváme c1 (1, 4, -4) + c2 (1, 2, 0) + c3 (1, 5, -2) = (0, 0, 0), to jest (c1 + c2 + c3, 4c1 + 2c2 + 5c3, -4c1 + 0c2 - 2c3) = (0, 0, 0). Aby rovnost mezi těmito vektory platila, musí koeficienty c1, c2, c3 vyhovovat systému lineárních rovnic c1 + c2 + c3 = 0, (2.17) 4c1 + 2c2 + 5c3 = 0, (2.18) -4c1 + 0c2 - 2c3 = 0. (2.19) Jak se lehce přesvědčíme, má systém rovnic (2.17)--(2.19) jediné řešení c1 = c2 = c3 = 0. Jsou tedy dané vektory lineárně nezávislé. Poznámka. Lineární nezávislost a lineární závislost vektorů se dá vyslovit též takto: a) Vektor 0 je lineárně závislý, nebot' 0 = 0 pro každé R. b) Vektory 1 x, . . ., n x, n > 1, jsou lineárně závislé, když a jenom když alespoň jeden z nich lze vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních z nich. (Dokažte!) Příklad 2.4. Vektory (1, 2, 3), (-1, 2, 0), (1, 6, 6) jsou lineárně závislé. Lehce nahlédneme, že 2 (1, 2, 3) + (-1, 2, 0) = (1, 6, 6). Vektor (1, 6, 6) jsme vyjádřili jako lineární kombinaci zbývajících dvou vek- torů. Zaved'me si nyní pojem hodnosti skupiny m- vektorů. Definice 2.5. Řekneme, že skupina m-vektorů má hodnost h, jestliže ma- ximální počet lineárně nezávislých vektorů v této skupině je h. Každou matici typu (m, n) lze považovat za skupinu m-řádkových vektorů, resp. za skupinu n- sloupcových vektorů. Hodnost skupiny m- řádkových vektorů nazýváme řádkovou hodností matice. Hodnost skupiny n- sloup- cových vektorů nazýváme sloupcovou hodností matice. Příklad 2.5. Určete řádkovou hodnost matice A = 1 2 3 4 5 6 7 8 6 8 10 12 . 36 Označme 1 x, 2 x, 3 x postupně první, druhý a třetí řádek matice A. Tedy 1 x = 1 2 3 4 , (2.20) 2 x = 5 6 7 8 , (2.21) 3 x = 6 8 10 12 . (2.22) Zřejmě vektor 3 x je lineárně závislý na vektorech 1 x, 2 x, nebot' 3 x = 1 x + 2 x a vektory 1 x, 2 x jsou lineárně nezávislé. Skutečně, kdyby tyto vektory byly lineárně závislé, byl by jeden z nich násobkem druhého. To znamená, existo- valo by takové číslo , že by 2 x = 1 x to jest, platilo by 5 6 7 8 = 1 2 3 4 . Takové číslo však evidentně neexistuje. Vektory 1 x, 2 x jsou tedy lineárně nezávislé. Tedy mezi vektory 1 x, 2 x, 3 x jsou právě dva lineárně nezávislé vektory. Řádková hodnost matice A je tedy rovna 2. Hledání hodnosti matice přímo z definice je zdlouhavé. Proto se daná matice převádí dále popsanými úpravami (transformacemi) na matici, která má stej- nou hodnost jako daná matice a jejíž hodnost je zřejmá. V dalším budeme řešit tuto úlohu transformací dané matice na tak zvanou schodovitou matici. Zaved'me si nyní pojem schodovité matice. Definice 2.6. Matici A typu (m, n) nazveme schodovitou maticí, jestliže pro každé dva řádkové indexy p, q matice A platí: Necht' p­tý řádek matice A je nenulový a q­tý řádek matice A je nu- lový, potom p < q. Necht' p­tý a q­tý řádek matice A jsou nenulové a necht' ap,sp je první nenulový prvek matice A v p­tém řádku a aq,sq je první nenulový prvek v q­tém řádku matice A. Jestliže p < q, potom je sp < sq. Příklad 2.6. MaticeA = 1 2 6 7 9 5 0 0 0 5 9 7 0 0 0 0 5 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 je schododvitá matice. Úkol. Dokažte si, že horní schodovitá matice má řádkovou hodnost rovnu počtu jejich nenulových řádků. 2.3 Báze vektorového prostoru Zaved'me si nyní pojem báze. V některých vektorových prostorech existují vektory, které mají tu vlastnost, že každý vektor tohoto prostoru lze vyjádřit jako jejich vhodnou lineární kombinaci. To nás vede k této definici. Definice báze Definice 2.7. (Báze vektorového prostoru) Necht' P je vektorový pro- stor. 1 e, . . . , n e jsou vektory z P s těmito vlastnostmi: 37 1. jsou lineárně nezávislé 2. každý vektor prostoru P se dá vyjádřit jako jejich lineární kombinace, to jest, ke každému vektoru a P existují taková čísla c1, . . . , cn, že a = c1 1 e + . . . + cn n e. Potom říkáme, že vektory 1 e, . . . , n e z P tvoří jeho bázi. Příklad 2.7. Dokažte že vektory 1 e = (1, 0, 0), 2 e = (0, 1, 0), 3 e = (0, 0, 1) tvoří bázi vektorového prostoru V3. Důkaz. Dokažme především, že vektory 1 e, 2 e, 3 e jsou lineárně nezávislé. Abychom to dokázali, hledejme koeficienty c1, c2, c3, pro něž je c1 1 e + c2 2 e + c3 3 e = 0, to jest, pro něž je c1 (1, 0, 0) + c2 (0, 1, 0) + c3 (0, 0, 1) = (0, 0, 0). To zřejmě platí když a jenom když c1 = c2 = c3 = 0. Jsou tedy vektory 1 e = (1, 0, 0), 2 e = (0, 1, 0), 3 e = (0, 0, 1) skutečně lineárně nezávislé. Necht' nyní a = (a1, a2, a3) je libovolný vektor z V3 a hledejme koeficienty c1, c2, c3, pro něž je c1 1 e + c2 2 e + c3 3 e = a, to jest, pro něž platí c1 (1, 0, 0) + c2 (0, 1, 0) + c3 (0, 0, 1) = (a1, a2, a3). Odtud dostáváme c1 = a1, c2 = a2, c3 = a3. Vektory 1 e = (1, 0, 0), 2 e = (0, 1, 0), 3 e = (0, 0, 1) mají vlastnosti uvedené v definici 2.7, takže tvoří bázi vektorového prostoru V3. Příklad 2.8. Dokažte, že vektory 1 f = (1, 1, 0), 2 f = (0, 1, 0), 3 f = (1, 1, 1) 38 tvoří bázi vektorového prostoru V3. Budeme postupovat podobně jako v minulém příkladě. Napřed dokážeme, že vektory 1 f, 2 f, 3 f jsou lineárně nezávislé. Hledejme koeficienty c1, c2, c3, pro něž je c1 1 f + c2 2 f + c3 3 f = 0, to jest, pro něž je c1 (1, 1, 0) + c2 (0, 1, 0) + c3 (1, 1, 1) = (0, 0, 0). To zřejmě platí když a jenom když c1 + 0 c2 + c3 = 0, (2.23) c1 + c2 + c3 = 0, (2.24) 0 c1 + 0 c2 + c3 = 0. (2.25) Tento systém rovnic má právě jedno řešení a to c1 = c2 = c3 = 0. Jsou tedy vektory 1 f = (1, 1, 0), 2 f = (0, 1, 0), 3 f = (1, 1, 1) lineárně nezávislé. Abychom dokázali, že tyto vektory tvoří bázi vektorového prostoru V3, mu- síme ještě dokázat, že každý vektor a V3 se dá vyjádřit jako lineární kombinace vektorů 1 f, 2 f, 3 f. Necht' tedy a P. Hledejme nyní koeficienty c1, c2, c3, pro něž je c1 1 f + c2 2 f + c3 3 f = a, to jest, že c1 (1, 1, 0) + c2 (0, 1, 0) + c3 (1, 1, 1) = (a1, a2, a3). To zřejmě platí když a jenom když c1 + 0 c2 + c3 = a1, (2.26) c1 + c2 + c3 = a2, (2.27) 0 c1 + 0 c2 + c3 = a3. (2.28) Odtud dostáváme c1 = a1 - a3, c2 = a2 - a1, c3 = a3. Vektory 1 f = (1, 1, 0), 2 f = (0, 1, 0), 3 f = (1, 1, 1) mají vlastnosti uvedené v definici 2.7, takže tvoří bázi vektorového prostoru V3. Všimněmě si blíže obou těchto příkladů. V obou příkladech jsme uvažovali tentýž vektorový prostor. Ukázali jsme, že jak vektory 1 e = (1, 0, 0), 2 e = (0, 1, 0), 3 e = (0, 0, 1) tvoří bázi vektorového prostoru V3, tak i vektory 1 f = (1, 1, 0), 2 f = (0, 1, 0), 3 f = (1, 1, 1) 39 tvoří bázi vektorového prostoru V3. Báze vektorového prostoru V3 není tedy určena jednoznačně. V nahoře uve- deném příkladě byl počet vektorů tvořících bázi téhož vektorového prostoru V3 v obou případech stejný. Otázkou je, zda se jedná o nahodilost, anebo zda se jedná o nějakou zákonitost. V případě, že počet vektorů tvořících bázi by byl stejný pro každou bázi, potom tento počet by charakterizoval příslušný vektorový prostor. Uved'me si tedy následující větu, která odpovídá na tuto otázku. Věta 2.2. Necht' P je vektorový prostor a 1 e, . . . , n e je jeho báze, tvořena n vektory. Potom platí: Jestliže 1 f, . . . , m f je skupina m vektorů z P, kde m n, potom v ní je nejvýše n lineárně nezávislých vektorů. Každá skupina n lineárně nezávislých vektorů z P je jeho báze. Číslo n nazýváme dimenzí vektorového prostoru P. Píšeme dimP = n. Důkaz: Bez důkazu. Dokažte si platnost tohoto tvrzení Aritmetický vektorový prostor Vn má dimenzi rovnu n, tj. dimVn = n. Jedna z jeho bází je tvořena vektory 1 e = (1, 0, . . ., 0), 2 e = (0, 1, . . ., 0), . . ., n e = (0, 0, . . ., 1). Uved'me si nyní pojem vektorového podprostoru vektorového prostoru P. V definici (2.2 )jsme si uvedli pojem vektorového podprostoru. Uved'me si nyní pojem vektorového prostoru generovaného systémem vektorů. Tyto vek- tory nemusí být lineárně nezávislé. Definice 2.8. (Lineární obal množiny) Necht' P je vektorový prostor a necht' M P. Potom množinu Q všech lineárních kombinací vektorů z M nazýváme lineárním obalem množiny M. Množina Q s operacemi " +" a " " tvoří vektorový podprostor Q prostoru P. Říkáme, že prostor Q je generován množinou M. Jestliže množina M obsahuje jenom lineárně nezávislé vektory, tvoří tyto vektory bázi vektorového prostoru Q. Příklad 2.9. Necht' Q je množina těch vektorů z V5, jejichž první a třetí složka je stejná. Potom množina Q s operacemi " +" a " ", definovanými v prostoru V5, je vektorovým podprostorem Q prostoru V5. Vektory (1, 0, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 1) (2.29) tvoří jeho bázi. Skutečně. Necht' a = (s, a2, s, a4, a5), b = (r, b2, r, b4, b5) 40 a , r, s jsou libovolná čísla. Potom a + b = (s + r, a2 + b2, s + r, a4 + b4, a5 + b5), takže první a třetí složka tohoto součtu je stejná, takže tento součet patří do množiny Q. Podobně a = ( s, a2, s, a4, a5), takže první a třetí složka tohoto součinu je stejná, takže součin a patří do množiny Q. Tato množina Q s operacemi " +" a " ", definovanými v V5, je vektorovým podprostorem Q prostoru V5. Ukažme ještě, že vektory (2.29) tvoří jeho bázi. Dokažme napřed, že jsou lineárně nezávislé. Skutečně, hledejme taková c1, c2, c3, c4 pro něž je c1(1, 0, 1, 0, 0)+c2(0, 1, 0, 0, 0)+c3(0, 0, 0, 1, 0)+c4(0, 0, 0, 0, 1) = (0, 0, 0, 0, 0). Odtud dostáváme (c1, c2, c3, c4) = (0, 0, 0, 0). Tento vztah je splněn zřejmě jenom v případě, že c1 = c2 = c3 = c4 = 0. Jsou tedy vektory (2.29) lineárně nezávislé. Necht' nyní a = (s, a2, s, a4, a5) je libovolný vektor z Q. Potom s (1, 0, 1, 0, 0) + a2 (0, 1, 0, 0, 0) + a4 (0, 0, 0, 1, 0) + a5 (0, 0, 0, 0, 1) = = (s, a2, s, a4, a5) Lze tedy vektor a = (s, a2, s, a4, a5) vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů (2.29). Tím je důkaz proveden. Zároveň lze konstatovat, že vektorový prostor Q je generován vektory (2.29). Vrat'me se k systému rovnic (1.34) Ax = b, (2.30) kde A je matice typu (m, n), b je vektor (m, 1) a neznámý vektor x je typu (n, 1). Označme 1 a = a1,1 a2,1 ... am,1 , 2 a = a1,2 a2,2 ... am,2 , . . . , n a = a1,n a2,n ... am,n , 41 b = b1 b2 ... bm . Potom systém (1.34) lze zapsat jako x1 a1,1 a2,1 ... am,1 + x2 a1,2 a2,2 ... am,2 + + xn a1,n a2,n ... am,n = b1 b2 ... bm , tj. x1 1 a + x2 2 a + + xn n a = b. (2.31) Příklad 2.10. Systém lineárních rovnic x1 + 3x1 - 3x3 = -12 4x1 + 5x2 + 2x3 = 6 lze zapsat jako x1 1 4 + x2 3 5 + x3 -3 2 = -12 6 Poznámka. Pro každou uspořádanou n-tici reálných čísel je levá strana (2.31), tj. vektor x1 1 a + x2 2 a + + xn n a vektorem z vektorového prostoru G generovaného sloupcovými vektory ma- tice A, tj. vektory 1 a, 2 a, . . . , n a. Systém rovnic Ax = b má řešení když a jenom když b G. Elementární transformace Zavedení pojmu elementární transformace Definice 2.9. (Základní elementární transformace) Necht' 1 x, . . . , m x jsou řádkové vektory z prostoru Vn. Necht' X je matice typu (m, n). Označme k x, k = 1, 2, , m, její k-tý řádek. Dále budeme definovat několik zobrazení (transformací), kterým se k matici X přiřadí matice Y , typu (m, n), jejíž řádky jsou rovněž z prostoru Vn. Její i-tý řádek označme i y, i = 1, 2, , m. Uved'me si tyto transformace, které mají význam např. při řešení těchto úloh ˇ Hledání hodnosti matice ˇ Hledání hodnoty determinantu ˇ Řešení systému lineárních algebraických rovnic 42 Transformace H1(i, ). Transformací Y = H1(i, )X, což lze zapsat též jako X ri=.ri Y . (2.32) se k matici X přiřadí matice Y typu (m, n), jejíž řádky k y, k = 1, 2, , m jsou : i y := i x, a k y = k x pro k = i. (2.33) (To znamená, že řádek i x násobíme číslem a ostatní řádky ponecháme bez změny.) Příklad 2.11. Necht' A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . (2.34) Z matice A utvořme nyní matici B typu (3, 4), jejíž druhý řádek je roven druhému řádku matice A násobenému číslem (-3) a ostatní řádky matice B jsou rovny odpovídajícím řádkům matice A. Takto vzniklá matice je matice B = 1 2 3 4 -15 -18 -21 -24 9 10 11 12 . Matice B vznikla z matice A transformací H1(2, -3). Budeme psát B = H1(2, -3)A, nebo A r2=-3.r2 B. Transformace H2(i, j) Transformací Y = H2(i, j)X, což lze zapsat též jako X rj=ri+rj Y , (2.35) se k matici X typu (m, n) přiřadí matice Y téhož typu (m, n), pro jejíž řádky k y, k = 1, 2, , m je j y = j x + i x a pro k = j je k y = k x. (2.36) (To znamená, že k j­tému řádku j x se přičte i­tý řádek i x a ostatní řádky se ponechají bez změny.) Příklad 2.12. Necht' A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . (2.37) 43 Utvořme nyní matici C typu (3, 4) tak, že její třetí řádek je roven součtu prvního a třetího řádku matice A a ostatní řádky matice C jsou rovny od- povídajícím řádkům matice A. Píšeme C = H2(1, 3)A, nebo A r3=r3+r1 C Dostáváme C = 1 2 3 4 5 6 7 8 10 12 14 16 . Postupným aplikováním těchto základních elementárních transformací H1(i, ), H2(i, j) dostáváme tak zvané odvozené elementární transformace. Ukažme si následující příklad. Vrat'me se opět k matici (2.34) a vytvořme z ní matici elementární transfor- maci postupným aplikováním transformací H2(1, 2), H1(2, -3). Necht' tedy A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . Označme F = H2(1, 2)A. Dostáváme F = 1 2 3 4 6 8 10 12 9 10 11 12 . Na takto vzniklou matici F aplikujme transformaci H1(2, -3). Položme G = H1(2, -3)F . Dostáváme G = 1 2 3 4 -18 -24 -30 -36 9 10 11 12 . Matice G vznikla postupným aplikováním transformací H2(1, 2), H1(2, -3). (Jde o složené zobrazení). Některé významné odvozené elementární transformace Transformace H3(i, j). Transformací Y = H3(i, j)X, i = j, což lze zapsat též jako X ri=-rj,rj=ri Y (2.38) se k matici X přiřadí matice Y , jejíž řádky k y, k = 1, 2, , m, jsou i y := j x, j y := -i x, k y := k x pro k = i, j. (2.39) 44 (To znamená, že matice Y vznikne z matice X vynásobením i­tého řádku číslem (-1) a následnou výměnou i­tého a j­tého řádku.) Příklad 2.13. Necht' A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . Vypočítejte matici B = H3(1, 3)A, Řešení Matici B obdržíme z matice A tak, že její první řádek násobíme (-1) a pak následně vzájemně vyměníme první a třetí řádek. Obdržíme B = 9 10 11 12 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 . Transformace H3(i, j). Transformací Y = H3(i, j)X, i = j, což lze psát též jakoX ri=rj,rj=ri Y (2.40) se k matici X přiřadí matice Y , jejíž řádky k y, k = 1, 2, , m jsou i y := j x, j y := i x, k y := k x pro k = i, j. (2.41) (To znamená, že skupina vektorů Y vznikne ze skupiny vektorů X výměnou i­tého a j­tého vektoru.) Transformace H4(i, , j, ), i = j, = 0, = 0. Transformací Y = H4(i, , j, )X, i = j, = 0, což lze psát jako X rj=rj+ri Y, (2.42) se k matici X přiřadí matice Y , jejíž řádky k y, k = 1, 2, , m, jsou j y := i x + j x, a k y = k x, k = j. (To znamená, že matice Y vznikne ze z maatice X tak, že k ­násobku j­ tého řádku se připočte ­násobek i­tého vektoru a řádek řádky se ponechají bez změny.) Příklad 2.14. Necht' A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . Určete transformaci matice A na matici B, která má prvek b3,1 roven 0. K eliminaci použijte druhý řádek matice A. 45 Řešení Je zřejmé, že stačí třetí řádek matice A nahradíme součtem druhého řádku násobeného číslem (-9) a třetího řádku násobeného číslem 5. Tedy B = H4(2, -9, 3, 5), neboli A r3=5r3-9r2 B. Dostáváme B = 1 2 3 4 5 6 7 8 0 -4 -8 -12 . Věta 2.3. Necht' X , Y jsou matice typu (m, n). Necht' matice Y vznikla z matice X postupnými elementárními transformacemi. Potom matice X, Y mají stejnou řádkovou hodnost. Důkaz Detailní důkaz nebudeme uvádět. Lze ukázat, že matice Y , která vznikne základními elementárními transformacemi z matce X má stejnou hodnost jako matice X. Dále se dokáže, že dále uvedené odvozené ele- mentární transformace vzniknou složením základních elementárních trans- formací. Uvedli jsme si, že matice Y , která vznikne z matice X elementárními trans- formacemi, má stejnou hodnost jako matice X. Popišme tedy výpočtový po- stup jak elementárními transformacemi transformovat danou matici X = 0 na schodovitou matici. Transformace matice X na schodovitou matici Necht' X je nenulová matice typu (m, n), která není ve schodovitém tvaru. Budeme ji postupně transformovat, při každé transformatici budeme značit opět X. Postup výpočtu i := 1 B1. Budeme vytvářet i-tý řádek hledané schodovité matice. B2. K číslu i určíme nejmenší pořadové číslo sloupce matice X, v jehož řádcích i, i + 1, . . . , m je alespoň jeden nenulový prvek. Toto pořadové číslo sloupce označme si. B3. Zvolme p {i, . . . , m}, pro než je xp,si = 0. (je-li takových p více, zvolíme jedno z nich). Takto zvolený p-tý řádek matice X nazveme hlavním řádkem. B4. Je-li p = i, vyměníme navzájem p-tý a i-tý řádek metice X. Po této výměně je i-tý řádek hlavním řádkem. Je-li p = i, je již i-tý řádek hlavním řádkem. B5. Provedeme nyní takové elementární transformace, aby po jejich reali- zaci byly prvky xi+1,si , . . . , xm,si rovny 0. Toho dosáhneme např. ele- mentárními transformacemi X := H4(i, -xj,si , j, xi,si )X (2.43) 46 pro ty indexy j = i + 1, . . ., m pro něž xj,sj = 0. B6. Jestliže matice X není ještě ve schodovitém tvaru, položme i := i + 1 a přejdeme zpět na B1. Je-li X ve schodovitém tvaru, je transformace ukončena. Hodnost dané matice je pak rovna počtu nenulových řádků schodovité matice. Příklad 2.15. Určete řádkovou hodnost matice X = 0 1 3 2 3 0 2 6 4 1 0 0 0 1 2 0 1 3 2 4 užitím její transformace na schodovitou matici. Řešení. Položme X := 0 1 3 2 3 0 2 6 4 1 0 0 0 1 2 0 1 3 2 4 , m := 4, n := 5. V popisu postupu výpočtu budeme B1-i,. . . ,B6-i znamenat úkony B1­B6 pro dané i. Začátek i := 1 B1-1 Budeme vytvářet i-tý (první) řádek hledané schodovité matice. B2-1 K číslu i (to jest k číslu i = 1) určíme nejmenší pořadové číslo sloupce, v jehož řádcích i, . . . , m (to jest v jehož řádcích 1, 2, 3, 4) je nenulový prvek. Je to druhý sloupec. Položíme tedy si := 2 (s1 = 2). B3-1 Zvolíme hlavní řádek. V si­tém sloupci (to jest ve 2. sloupci) jsou nenulové prvky v řádcích 1, 2, 4. Z nich zvolíme jeden. Jeho pořadové číslo označíme p. Rozhodneme se pro řádek p = 1, který zvolíme jako hlavní. B4-1 Poněvadž jsme zvolili za hlavní řádek p­tý řádek, kde p = i, ne- provádíme výměnu řádku p s řádkem i. B5-1 Provedeme nyní takové elementární tranformace matice X, aby po je- jich realizaci byly v si-tém sloupci (to jest ve druhém sloupci) v řádcích i+1, . . ., m (to jest v řádcích 2, 3, 4) nulové prvky. (Prvky x2,2, x3,2, x4,2 eliminujeme). Toho dosáhneme např. elementárními transformacemi X := H4(i, -xj,si , j, xi,si )X, pro j = i + 1, . . ., m, je-li xj,sj = 0. 47 Poněvadž i = 1, si = 2, m = 4, eliminaci provedeme elementárními transformacemi X := H4(1, -xj,2, j, x1,2)X, pro j = 2, 3, 4. To znamená, že prvek xj,2 pro každé j {2, 3, 4} eliminujeme tak, že hlavní řádek (to jest první řádek) vynásobíme číslem (-xj,2) a přičteme jej k j-tému řádku vynásobeného číslem x1,2. ˇ Položme j := i + 1 (tedy pro j = 2) dostáváme X := H4(1, -a2,2, 2, a1,2)X. Po této transformaci je druhý řádek matice X roven X(2, :) = -2 (0 1 3 2 3) + 1 (0 2 6 4 1) = (0 0 0 0 - 5) a ostatní řádky matice X se nemění. ˇ Položme j := j + 1. Je tedy j = 3. Poněvadž xj,si = 0, (to jest x3,2 = 0), eliminaci není třeba provádět a přejdeme k dalšímu řádku. ˇ Položme j := j + 1. Je tedy j = 4. Poněvadž xj,si = 1 = 0, (to jest x4,2 = 0,) provedeme elementární transformaci X := H4(1, -a4,2, 4, a1,2)X. Po této transformaci je čtvrtý řádek matice X roven X(4, :) = -1 (0 1 3 2 3) + 1 (0 1 3 2 4) = (0 0 0 0 1). Ostatní řádky matice X se nemění. X = 0 1 3 2 3 0 0 0 0 -5 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 . B6-1 Poněvadž obdržená matice X ještě není horní schodovitou maticí, po- ložíme i := i + 1 a přejdeme na bod B1. B1-2 Je tedy i = 2. Budeme vytvářet druhý řádek horní schodovité matice. B2-2 K číslu i (to jest k číslu i = 2) určíme nejmenší pořadové číslo si (to jest s2) sloupce, v jehož řádcích i, . . . , m (to jest v jehož řádcích 2, 3, 4) je nenulový prvek. Je to čtvrtý sloupec. Položíme tedy si := 4 (s2 = 4). B3-2 Zvolíme hlavní řádek. V si-tém sloupci (to jest ve 4. sloupci) je v řád- cích 2, 3, 4 nenulový prvek jen v řádku 3. Jeho pořadové číslo označíme p. Tento řádek zvolíme za hlavní řádek. Je tedy p := 3. 48 B4-2 Poněvadž jsme zvolili za hlavní řádek řádek p, kde p = i, provedeme v matici X výměnu řádku p s řádkem i. (Tedy výměnu druhého a třetího řádku.) Dostáváme tak matici X = 0 1 3 2 3 0 0 0 1 2 0 0 0 0 -5 0 0 0 0 1 . B5-2 Provedeme nyní takové elementární transformace matice X, aby po je- jich realizaci byly v si-tém sloupci (to jest ve čtvrtém sloupci) v řádcích i + 1, . . . , m (to jest v řádcích 3, 4) nulové prvky. (Prvky x3,4, x4,4 eli- minujeme.) Avšak v tomto případě jsou prvky x3,4, x4,4 rovny 0, takže eliminaci není třeba provádět. Je tedy výsledná matice v tomto kroku X = 0 1 3 2 3 0 0 0 1 2 0 0 0 0 -5 0 0 0 0 1 . B6-2 Obdržená matice X ještě není horní schodovitou maticí, proto položíme i := i + 1 a přejdeme na bod B1. B1-3 Je tedy i = 3. To znamené, že budeme vytvářet třetí řádek hledané schodovité matice. B2-3 K číslu i (to jest k číslu i = 3) určíme nejmenší pořadové číslo si (to jest s3), v jehož řádcích i, . . . , m (to jest v jehož řádcích 3, 4) je nenulový prvek. Je to pátý sloupec. Položme tedy si := 5 (s3 = 5). B3-3 Zvolíme hlavní řádek. V si-tém sloupci (to jest v 5. sloupci) jsou ne- nulové prvky v řádcích 3, 4. Z nich zvolíme jeden. Jeho pořadové číslo označíme p. Rozhodneme se pro řádek p = 4, který zvolíme jako hlavní. B4-3 Poněvadž jsme zvolili za hlavní řádek p-tý řádek, kde p = i, provádíme výměnu řádku p s řádkem i. Po této výměně je X = 0 1 3 2 3 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -5 . B5-3 Provedeme nyní takové elementární transformace matice X, aby po jejich realizaci byly v si-tém sloupci (to jest v pátém sloupci) v řádcích i + 1, . . ., m (to jest v řádku 4) nulové prvky. (Prvek x4,5 eliminujeme.) Toho lze dosáhnout např. elementární transformací X := H4(3, -x4,5, 4, x3,5)X. 49 Výpočtem dostáváme X(4, :) = 5 (0 0 0 0 1) + 1 (0 0 0 0 - 5) = (0 0 0 0 0). Je tedy X = 0 1 3 2 3 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 . B6-3 Poněvadž obdržená matice je již horní schodovitou maticí, je transfor- mace dané matice na horní schodovitou matici již ukončen. Poněvadž obdržená schodovitá matice má celkem tři nenulové řádky, je její hodnost a tedy i hodnost zadané matice rovna 3. Tedy h(X) = 3. Příklad 2.16. Určete hodnost skupiny vektorů 1 a = (1 0 - 1 2), 2 a = (0 1 2 - 1), 3 a = (0 1 3 - 6). Řešení. Úloha je ekvivalentní s úlohou nalezení řádkové hodnosti matice A = 1 0 -1 2 0 1 2 -1 0 1 3 -6 . Tuto hodnost hledejme transformací matice A na horní schodovitou matici dříve popsaným postupem. Položme i := 1 B1-1 Budeme vytvářet i-tý řádek (1. řádek) schodovité matice. B2-1 K číslu i = 1 určíme nejmenší pořadové číslo sloupce matice A, v jehož řádcích 1, 2, 3 je alespoň jeden prvek různý od 0. Je to v prvním sloupci. Pokládáme tedy s1 := 1. B3-1 Hledáme nyní řádek matice A, v jehož sloupci s pořadovým číslem s1 = 1 je nenulový prvek. To jest, hledáme p {1, 2, 3}, pro něž je ap,s1 = 0. Je to pro p = 1. Položme tedy p := 1. Řádek p = 1 volíme za hlavní. B4-1 Poněvadž p = i, neprovádíme výměnu p-tého a i-tého řádku. První řádek je hlavním. B5-1 Poněvadž všechny prvky v prvním sloupci počínaje druhým řádkem, jsou nulové (tj. prvky aj,1 = 0 pro j = 2, 3), přejdeme k B6-1. B6-1 Matice A není horní schodovitou maticí, proto položíme i := i + 1 a jdeme zpět k bodu B1. B1-2 Je tedy i = 2. Budeme vytvářet 2. řádek schodovité matice. 50 B2-2 K číslu i (tj. k číslu i = 2) určíme nejmenší pořadové číslo sloupce si (to jest s2), v jehož řádcích 2, 3 je nenulový prvek. Je to druhý sloupec. Položíme tedy s2 := 2. B3-2 Zvolíme hlavní řádek. Ve sloupci s pořadovým číslem s2 (tj. ve druhém sloupci) hledáme index j, j i, tak, aby aj,s2 = 0. Je to pro j = 2 a pro j = 3. Zvolme jedno z nich. Rozhodneme se pro j = 2. Položíme p := 2. Bude tedy p-tý řádek hlavním řádkem. B4-2 Poněvadž jsme zvolili za hlavní řádek p-tý řádek, kde p = i, nepro- vádíme vzájemnou výměnu p-tého a i-tého řádku. Je tedy i-tý řádek hlavním řádkem. B5-2 Provedeme nyní takové elementární transformace, aby po jejich reali- zaci byly v si-tém sloupci (ve druhém sloupci) v řádcích i + 1, . . . , m (to jest v řádku 3) nulové prvky. Toho dosáhneme např. elementární transformací A := H4(2, -a3,2, 3, a2,2)A. Výpočtem dostáváme A(3, :) = -1(0 1 2 - 1) + 1(0 1 3 - 6) = (0 0 1 - 5). Celkem dostáváme A = 1 0 -1 2 0 1 2 -1 0 0 1 -5 . B6-2 Dosažená matice A je horní schodovitá matice. Poněvadž má tři nenu- lové řádky, je její hodnost rovna 3, je tedy h(A) = 3. Dané vektory 1 a, 2 a, 3 a jsou lineárně nezávislé. Příklad 2.17. Určete hodnost matice X = 0 0 1 2 3 0 2 2 4 3 0 2 4 8 9 0 0 2 4 6 . Řešení. V tomto příkladě naznačíme pouze výsledky jednotlivých úprav bez komentáře. X = 0 2 2 4 3 0 0 1 2 3 0 2 4 8 9 0 0 2 4 6 0 2 2 4 3 0 0 1 2 3 0 0 2 4 6 0 0 2 4 6 0 2 2 4 3 0 0 1 2 3 . Má tedy matice X hodnost 2. 51 52 Literatura [1] Jan Coufal, Jindřich Klůfa, Miloš Kaňka, Jiří Henzler: Učebnice matematiky pro ekonomické fakulty. ISBN 80-7187-1484 [2] Prof. RNDr. Miloslav Fiedler, DrSc: Speciální matice a jejich použití v numerické matematice. SNTL ­ Nakladatelství technické lite- ratury, Praha 1981 [3] František Šik: Lineární algebra zaměřena na numerickou analýzu. Vydala MU Brno, 1998, ISBN 80­210­1966 [4] RNDr. Jiří Kopáček, CSc: Matematika pro fyziky II . (skriptum), UK Praha [5] Josef Polák: Přehled středoškolské matematiky. ISBN 80-85849-78-X