MASARYKOVA UNIVERZITA ˇ EKONOMICKO-SPR ÁVNÍ FAKULTA
PMAEMM
(Aplikace ekonomicko-matematických modelů)
kostra přednášek + příklady na procvičení
HANA FITZOV Á
BRNO 2005
Obsah
1. Tempa růstu 5
1.1 Úročení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Tempa růstu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Ekonomika Robinsona Crusoe 9
2.1 Výrobní možnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Preference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Hledání optima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.1 Řešení dosazením omezení do cíle . . . . . . . . . . . . 10
2.3.2 Řešení s využitím Lagrangeových multiplikátorů . . . . 10
2.4 Důchodový a substituční efekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3. Domácnosti s trhem zboží a obligací 12
3.1 Model 2 období . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 "Nekonečný" model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4. Trh práce 19
4.1 Rovnováha trhu práce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Mezičasová volba práce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5. Inflace 23
5.1 Kvantitativní teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1
5.2 Cash-in-advance model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.3 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6. Hospodářský cyklus 30
6.1 Šoky a šířící mechanismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.2 Model reálného hospodářského cyklu . . . . . . . . . . . . . . 31
6.3 Simulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.4 Hodrick-Prescottův filtr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.5 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7. Hospodářský růst 40
7.1 Fakta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.2 Solowův model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.2.1 Konstantní populace i technologie . . . . . . . . . . . . 41
7.2.2 Růst populace (bez technologického pokroku) . . . . . . 42
7.2.3 Technologický pokrok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.2.4 Růstové účetnictví . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.3 Aplikace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.4 Růstové účetnictví . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.5 Porodnost a lidský kapitál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.6 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8. Monetární politika ­ statický model 55
8.1 Cílová funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.2 Ekonomika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.2.1 Agregátní nabídka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.2.2 Předpoklady modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.3 Rovnovážná inflace při lineární formulaci . . . . . . . . . . . . 57
8.3.1 Diskrece . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.3.2 Pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8.4 Rovnovážná inflace při kvadratické formulaci . . . . . . . . . . 60
8.4.1 Diskrece . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.4.2 Pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2
8.5 Problém nekonzistence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.6 Pohled teorie her . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
9. Monetární politika ­ dynamický model 69
9.1 Model ekonomiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9.2 Optimální měnová politika bez závazku . . . . . . . . . . . . . 72
9.3 Problém inflačních tlaků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
9.4 Optimální měnová politika se závazkem . . . . . . . . . . . . . 77
9.5 Praktické komplikace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.5.1 Nedokonalá informace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.5.2 Transmisní zpoždění . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.5.3 Volba instrumentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
9.5.4 Vyhlazování úrokových měr . . . . . . . . . . . . . . . 80
9.5.5 Oportunistický přístup . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.6 Formální zápis modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.6.1 Ukázka zadání a odhadu modelu v Matlabu . . . . . . . 83
9.7 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
10. Racionální očekávání 85
10.1 Princip racionálních očekávání . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
10.2 Řešení lineárních modelů s RE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10.2.1 Převod modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10.2.2 Rozklad a transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
10.2.3 Nestabilní část . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.2.4 Stabilní část . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
10.2.5 BK podmínka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
10.3 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
11. Metody odhadu 93
11.1 Odhad parametrů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
11.2 Metoda nejmenších čtverců . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
11.3 Metoda maximální věrohodnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
11.4 Kalmanův filtr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3
11.4.1 Obyčejný Kalmanův filtr . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
11.4.2 Rozšířený Kalmanův filtr . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
11.5 Bootstrap filtr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
11.6 Ukázky metod odhadů ekonomických modelů . . . . . . . . . . 100
1. Tempa růstu
1.1 Úročení
P . . . investovaná částka; R . . . roční úroková míra
ˇ Jednoduché úročení
Vs(n) = P + P  R  n (1.1)
Vložíte-li si na dva roky na účet úročený jednoduchým způsobem úročení,
s roční úrokovou mírou 4.5% pět tisíc korun, kolik dostanete za dva roky?
[5450 Kč]
ˇ Složené úročení na konci roku
Va(n) = P  (1 + R)n
(1.2)
Vložíte-li si na dva roky na účet úročený složeným způsobem úročení na
konci roku, s roční úrokovou mírou 4.5% pět tisíc korun, kolik dostanete za dva
roky? [5460.13 Kč]
ˇ Složené úročení t-krát ročně
Vt(n) = P  1 +
R
t
tn
(1.3)
Vložíte-li si na dva roky na účet úročený složeným způsobem úročení každý
den (tj. 365 krát za rok), s roční úrokovou mírou 4.5% pět tisíc korun, kolik
dostanete za dva roky? [5470.84 Kč]
5
ˇ Spojité úročení
Vc(n) = lim
t
P  1 +
R
t
tn
= P  eRn
(1.4)
Vložíte-li si na dva roky na účet úročený spojitým způsobem úročení, s roční
úrokovou mírou 4.5% pět tisíc korun, kolik dostanete za dva roky? [5470.87 Kč]
1.2 Tempa růstu
Úroková míra = míra růstu hodnoty aktiva. Výše uvedené vztahy tedy platí i
pro ostatní ekonomické veličiny, např. HDP, cenovou hladinu apod.
V dané zemi byl HDP v roce 2001 100 mil. USD, v roce 2002 130 mil. USD
a v roce 2003 135 mil. USD. Jakým tempem (jednoduché úročení) rostl HDP
z roku 2002 na rok 2003? Jakým tempem rostl HDP z roku 2001 na rok 2003
(složené roční i spojité úročení)? [3.85%; 16.19%, 15%]
Ekonomové často používají spojité míry růstu, protože je to výpočetně jed-
noduché ­ stačí jen odečíst logaritmy hodnot.
1.3 Cvičení
Příklad 1.1. Jaká je denní úroková míra, je-li roční 16.8%?
[0.046%]
Příklad 1.2. Váš kamarád je vám ochoten půjčit 1000 USD na týden, když mu
pak vrátíte o 25 USD více. O jakou anualizovanou úrokovou míru si vlastně
říká? (Rok má 52 týdnů).
[130%]
Příklad 1.3. V jednotlivých čtvrtletích let 2003 a 2004 nabýval index CPI v jisté
zemi postupně následujících hodnot: 155.7, 156.7,157.8,158.6, 160.0, 160.3,
6
161.2, 161.3. Jaké je tempo růstu CPI mezi 2. čtvrtletím (Q2) roku 2003 a 3.
čtvrtletím (Q3) roku 2003? (Užijte spojitého úročení, svoji odpověd' anualizuj-
te).
[2.798%]
Příklad 1.4. Na základě dat z předchozího příkladu spočtěte míru růstu CPI
v prvních čtyřech uvedených čtvrtletích. (Použijte spojité míry růstu, odpověd'
neanualizujte). Ukažte, že suma těchto čtyřech měr je stejná jako míra růstu (při
spojitém úročení) z Q1 2003 na Q1 2004.
[0.64%, 0.7%, 0.51%, 0.88%; 2.72%]
Příklad 1.5. Předpokládejme, že v prvních padesáti letech tohoto tisíciletí po-
roste reálný výstup USA dvouprocentním tempem. Jak dlouho by při tomto
tempu (při složeném ročním a při spojitém úročení) trvalo, než by se reálný
výstup zdvojnásobil?
[34.66let; 35 let]
Příklad 1.6. Jednoho dne investujete 10000 USD s úrokem 6.5% skládaným
ročně. Kdy nejdříve bude mít investice hodnotu 15000 USD? Odpověd' vyjá-
dřete jako počet let a dní. ( Úrok přibývá každý den, ale úročení je roční). D Ú
do 29. 9. 2005
Příklad 1.7. Předpokládejme, že ročně zmizí ze země 4.6% pralesů. Za jak
dlouho jich bude jenom polovina? (Použijte roční úročení a výsledek zaokrouh-
lete).
[15 let]
Příklad 1.8. Světová populace čítala v roce 1700 zhruba 679 milionů lidí, v ro-
ce 1800 už 954 milionů lidí. Jakým ročním tempem rostla populace mezi léty
1700 až 1800? (Použijte spojité úročení). Předpokládejme, že lidstvo začalo
Adamem a Evou, a že tempo růstu populace z let 1700 až 1800 bylo stejné i
předtím. Ve kterém roce museli být Adam s Evou vyhnáni z ráje? (Jaká v té
době byla populace?)
3.4  10-3%; 4077 B. C.
7
Příklad 1.9. Reálný důchod na hlavu v USA v roce 1984 byl 15400 USD,
v Japonsku 10600 USD. Mezi lety 1965 až 1984 rostl reálný důchod na hlavu
v USA ročním tempem 1.7% (roční úročení), v Japonsku tempem 4.7%. Pokud
tato tempa růstu zůstanou konstantní, ve kterém roce budou reálné důchody na
hlavu v obou zemích stejné? (Použijte roční složené úročení). Jaká bude v tomto
roce výše důchodu na hlavu?
[1997; 19124]
8
2. Ekonomika Robinsona Crusoe
2.1 Výrobní možnosti
ˇ Crusoe je sám na ostrově
ˇ zajímá ho spotřeba a volný čas
ˇ vyrábí spotřební statky (např. kokosy) y pomocí práce l (část dne, kterou
pracuje), kapitálu k a technologie A
ˇ y = A  f(k, l) tj.  A  y
ˇ f je rostoucí funkcí k a l, tj. MPK = f
k > 0, MPL = f
l > 0
ˇ f(0, l) = f(k, 0) = 0 k, l
ˇ např. Cobb-Douglasova produkční funkce y = A  k1-
 l
,   0, 1
(konstantní výnosy z rozsahu)
ˇ pro zatím se nebudeme zabývat kapitálem, tj. řekněme, že je konstantní,
např. k = 1
2.2 Preference
Robinson spotřebovává statky c, pracuje zlomek dne l a zbývá mu tedy zlomek
1-l dne volného času. Jeho preference zachycuje užitková funkce u(c, l). S růs-
tem dobrého statku roste i užitek. Např. u(c, l) = ln(c) + ln(1 - l).
9
2.3 Hledání optima
max
c,l
u(c, l) c  y, y = f(l) tj.
max
c,l
u(c, l) c = f(l)
2.3.1 Řešení dosazením omezení do cíle
max
l
u[f(l), l] (2.1)

l
{u[f(l
), l
]} = 0 (2.2)
Položíme první derivaci podle práce rovnu nule a dostaneme optimální množ-
ství práce l
, volna = 1 - l
a spotřeby c
= f(l
).
Příklad 2.1. Je dána užitková funkce u(c, l) = ln(c) + ln(1 - l) a produkční
funkce tvaru y = f(l) = A  l
. Nalezněte optimální hodnoty l
a c
.
l = 
1+; c = A  ( 
1+)
2.3.2 Řešení s využitím Lagrangeových multiplikátorů
max
c,l
u(c, l) f(l) - c = 0
L(c, l, ) = u(c, l) + [f(l) - c] (2.3)
L
c
= u1(c
, l
) - 
= 0 (2.4a)
L
l
= u2(c
, l
) + 
 f (l
) = 0 (2.4b)
L

= f(l
) - c
= 0 (2.4c)
Z rovnic (2.4a) a (2.4b) vyjádříme  a získáme vztah mezi l
a c
, s využitím
rovnice (2.4c) pak dopočteme optimální množství práce a spotřebu.
10
Příklad 2.2. Řešte výše uvedený příklad s využitím Lagrangeovy funkce.
l = 
1+; c = A  ( 
1+)
2.4 Důchodový a substituční efekt
Jak se mění optimální spotřeba, když se mění technologie? Jak se mění op-
timální množství práce, když se mění technologie? (Komparativní statika)
2.5 Cvičení
Příklad 2.3. Osamoceného agenta zajímá jen spotřeba (c) a volný čas (g) v ho-
dinách. Jeho preference popisuje užitková funkce u = ln(c) + ln(g). Pokud se
agent zrovna neválí, tak pracuje pro sebe nebo pro souseda. Pracuje-li pro sebe
ns hodin, vyprodukuje y = 4

ns spotřebních jednotek. Pracuje-li pro souseda,
dostane hodinovou mzdu w ve spotřebních statcích. Formulujte optimalizační
problém.
Příklad 2.4. Předpokádejme, že preference Robinsona jsou popsány užitkovou
funkcí tvaru u(c, l) = c
 (1 - l)1-
a produkční funkce je tvaru y = Al
.
Najděte optimální množství práce a spotřeby.
11
3. Domácnosti s trhem zboží a obligací
ˇ spousta stejných domácností, vezmeme 1 reprezentativní
ˇ užitková funkce je v jednotlivých časech separabilní ( je diskontní fak-
tor), tj. U(c1, c2, . . .) = u(c1) + u(c2) + 2
u(c3) + . . .
ˇ yt je exogenní důchod (spadne z nebe) v čase t (ve spotřebním zboží)
ˇ ct je spotřeba v čase t
ˇ P je cena za 1 jednotku spotřeby
ˇ bt jsou obligace v čase t, (b0 = 0), bt > 0  věřitel, bt < 0  dlužník
ˇ R je úroková míra
ˇ v čase t má domácnost k dispozici Pyt + bt-1(1 + R)
ˇ a utratí Pct + bt, tedy rozpočtové omezení pro čas t je tvaru
ˇ Pyt + bt-1(1 + R) = Pct + bt
3.1 Model 2 období
Nejprve se zaměříme na chování reprezentativní domácnosti, posléze na tržní
rovnováhu. V této části budeme uvažovat model dvou období, tj. t = 1, 2. Pre-
ference domácností lze tedy zapsat jako
U(c1, c2) = u(c1) + u(c2) (3.1)
Ve druhém období nebude domácnost kupovat obligace, protože by jí to nic
nepřineslo. Proto b2 = 0 a v modelu zůstane pouze b1.
12
Rozpočtové omezení domácnosti v čase t = 1 tedy bude tvaru
Py1 = Pc1 + b1 (3.2)
a v čase t = 2
Py2 + b1(1 + R) = Pc2 (3.3)
Domácnost volí takovou spotřebu c1, c2 a držbu obligací b1, aby maximali-
zovala svůj užitek (3.1) při rozpočtových omezeních (3.2) a (3.3).
Tento problém vyřešíme s využitím Lagrangianu.
L = u(c1) + u(c2) + 1(Py1 - Pc1 - b1) + 2[Py2 + b1(1 + R) - Pc2] (3.4)
kde 1, 2 jsou 2 Lagrengeovy multiplikátory. Položíme první derivace L rovny
nule a získáme podmínky prvního řádu pro extrém.
L
c1
= u (c
1) + 
1(-P) = 0 (3.5a)
L
c2
= u (c
2) + 
2(-P) = 0 (3.5b)
L
b1
= 
1(-1) + 
2(1 + R) = 0 (3.5c)
Ze vztahů (3.5a) a (3.5b) plyne

1 =
u (c
1)
P

2 = 
u (c
2)
P
a po dosazení do (3.5c) dostaneme
-
u (c
1)
P
+ 
u (c
2)
P
(1 + R) = 0
neboli
u (c
1)
u (c
2)
= (1 + R) (3.6)
Rovnici (3.6) říkáme Eulerova rovnice. Popisuje vztah mezi mezními užitky
ze spotřeby v obou obdobích. Pro danou funkci u pak nalezeneme optimální
13
spotřebu a optimální množství obligací.
Příklad 3.1. Pro preference tvaru u(ct) = ln(ct) nalezněte Eulerovu rovnici a
optimum domácnosti.
Eulerova rovnice je tvaru c
2
c
1
= (1 + R). Spolu s oběma rozpočtovými
omezeními máme 3 rovnice o 3 neznámých, jejichž řešením je:
c
1 =
y2 + y1(1 + R)
(1 + )(1 + R)
c
2 = [y2 + y1(1 + R)]

1 + 
b
1 = Py1 -
P[y2 + y1(1 + R)]
(1 + )(1 + R)
Nyní prozkoumáme, kdy nastává rovnováha trhu. Ekonomika se skládá ze
spousty (N) identických domácností. Domácnost je bud'to věřitelem (b1 > 0)
nebo dlužníkem (b1 < 0). Protože ale předpokládáme, že všechny domácnosti
jsou stejné, tak si bud' všichni půjčují nebo všichni prostředky poskytují. Aby na
trhu úvěru nastala rovnováha, musí tedy v rovnováze platit, že celková poptávka
po úvěrech je nulová, tj. nikdo nepůjčuje a nikdo si ani nechce půjčit:
Nb
1 = 0 (3.7)
Co vlastně rozumíme rovnováhou? Rozumíme tím řešení, při kterém
ˇ všichni účastníci ekonomiky jsou cenovými příjemci
ˇ chovají se racionálně
ˇ a všechny trhy jsou vyčištěny
V námi uvažovaném typu ekonomiky vystupuje jednak cena za spotřebu P a
jednak cena za půjčku R. Účastníky ekonomiky je N domácností. Jednak musí
být v rovnováze trh zboží
Nyt = Nc
t t = 1, 2 (3.8)
14
a také trh obligací, což je dáno rovnicí (3.7).
Za rovnováhu tedy považujeme nastavení takových hodnot P
, R
, c
1, c
2 a
b
1, že platí:
ˇ při daných cenách P
a R
volí všechny domácnosti takové c
1, c
2 a b
1, aby
maximalizovaly (3.1) vzhledem k omezením (3.2) a (3.3)
ˇ trh zboží je vyčištěn v každém čase ­ viz (3.8)
ˇ a trh obligací je též vyčištěn ­ viz (3.7)
Nejprve se podíváme na trh úvěru. Množství nakupovaných obligací závisí
na úrokové míře. Hledáme takovou úrokovou míru R
, při které se vyčistí trh
obligací, tj. takovou, že b
1(R
) = 0. Jelikož pro náš konkrétní příklad platí, že
0 = b
1(R) = Py1 -
P[y2 + y1(1 + R)]
(1 + )(1 + R)
po drobných úpravách dostaneme pro náš případ následující vztah pro rovnovážnou
úrokovou míru:
R
=
y2
y1
- 1 (3.9)
Rovnovážná úroková míra závisí na důchodech domácností a na jejich netrpělivosti
(). Provedeme-li komparativní statiku při změně důchodu y2, dostaneme
R
y2
=
1
y1
> 0
tedy při zvýšení důchodu v druhém období se zvyšuje i rovnovážná úroková
míra (snaha o vyhlazování spotřeby ­ v prvním období investují méně, úroková
míra tedy roste).
Je důležité, že v našem modelu hraje roli pouze relativní změna důchodů.
Pokud se oba důchody zdvojnásobí, s rovnovážnou úrokovou mírou se nic nes-
tane. Pokud ekonomiku postihne dočasný šok takový, že y1 klesne o 10% a y2 se
nezmění, pak dle komparativní statiky musí úroková míra vzrůst. Dočasný ne-
gativní důchodový šok tedy zvyšuje úrokovou míru. Jedná-li se o permanentní
šok, tj. y1 i y2 klesnou např. o 10%, pak se úroková míra nemění.
15
Druhou důležitou rovnovážnou cenou je cena spotřeby P
. Tato proměnná
nevystupuje ve vztazích pro c
1 a c
2. Ve vztahu pro obligace sice vystupuje, ale
po vložení rovnovážné podmínky b
1 = 0 také mizí. Je to proto, že s růstem
cen má domácnost vyšší důchod, ale platí také více za spotřebu, takže žádná
reálná změna nenastává. Existuje tedy nekonečně mnoho rovnovážných situací,
protože rovnovážná cena P
může být jakákoli.
3.2 "Nekonečný" model
Výše uvedený model dvou období rozšíříme na model nekonečně mnoha
období. Užitková funkce domácnosti je nyní tvaru
U(c1, c2, . . .) = u(c1) + u(c2) + 2
u(c3) + . . .
V každém čase je rozpočtové omezení domácnosti tvaru:
Pyt + bt-1(1 + R) = Pct + bt t = 1, 2, . . .
V každém čase se domácnost rozhoduje, kolik spotřebuje a kolik pořídí
obligací, jejím cílem je tedy:
max
{ct,bt}
t=1

t=1
t-1
u(ct)
za podmínek
Pyt + bt-1(1 + R) = Pct + bt t = 1, 2, . . .
Lagrangeova funkce je tedy tvaru
L =

t=1
t-1
u(ct) +

t=1
t[Pyt + bt-1(1 + R) - Pct - bt]
Podmínky optimality pro čas t jsou tedy tvaru:
L
ct
= t-1
u (c
t ) + 
t (-P) = 0 (3.10a)
L
bt
= 
t (-1) + 
t+1(1 + R) = 0 (3.10b)
16
Z rovnice (3.10b) plyne, že

t

t+1
= 1 + R (3.11)
Přepíšeme-li podmínku optimality pro spotřebu dostaneme
t-1
u (c
t ) = 
t P
Tuto rovnici posuneme o krok dopředu, tj. t t + 1
t
u (c
t+1) = 
t+1P
Podělíme-li poslední dvě uvedené rovnice, dostaneme
u (c
t )
u (c
t+1)
=

t

t+1
a po dosazení vztahu (3.11) máme
u (c
t )
u (ct+1)
= (1 + R)
Tato Eulerova rovnice je stejná jako ta odvozená u modelu dvou období. Je
to proto, že domácnoct čelí stejnému mezičasovému rozhodování.
3.3 Cvičení
Příklad 3.2. Uvažujme model dvou období uvedený v části 3.1. Předpokládejme
užitek ve tvaru u(ct) =

ct. Určte Eulerovu rovnici. Nalezněte optimální spotřebu
a optimální množství obligací. Stanovte rovnovážnou úrokovou míru. Vyšetřete
dopad trvalého negativního důchodového šoku (v obou obdobích o stejnou částku)
reprezentativní domácnosti na vývoj rovnovážné úrokové míry. Jaký je rozdíl
oproti řešení výše řešeného příkladu s preferencemi tvaru u(ct) = ln(ct)?
Příklad 3.3. Vyjděte ze vztahu pro rovnovážnou úrokovou míru v modelu dvou
období (3.9). Jak se změní úroková míra, pokud se domácnost stane více netrpě-
livou? (Proved'te komparativní statiku). Dále určete, jak se změní rovnovážná
úroková míra, pokud domácnost postihne dočasný negativní důchodový šok
v prvním období. (Proved'te komparativní statiku).
17
Příklad 3.4. Mařenka žije dvě období. V každé periodě odněkud dostane spo-
třební statky: e1 v první periodě, e2 ve druhé. Nemusí tedy pracovat. Její pre-
ference jsou tvaru u(c1, c2) = ln(c1) +  ln(c2). V prvním období je schopna
uspořit s statků. Protože úspory špatně skladuje, napadnou jí je krysy a v dalším
období jí z nich zůstane pouze (1 - )s.
Zapište Mařenčin optimalizační problém. Vyřešte Mařenčin optimalizační
problém (tj. nalezněte optimální volbu při daném e1, e2,  a ). Jak se změní
Mařenčino rozhodnutí, pokud se jí podaří snížit škody napáchané krysami?
(Proved'te komparativní statiku). D Ú do 13. 10. 2005
Příklad 3.5. Jeníček žije 5 období a vlastní jedlý strom. Přišel na svět v čase
t = 0, kdy měl strom velikost x0. Necht' Ct je jeho spotřeba v čase t. Pokud sní
v čase t celý strom, pak ct = xt a nezbyde mu nic na dny budoucí.
Pokud ho nesní celý, pak zbytek roste tempem  mezi jednotlivými ob-
dobími. Zlomek stromu, který Jeníček uspoří v čase t je st. Ušetří-li v čase t
(100st) procent svého stromu, v dalším období bude mít k dispozici o (100)
procent stromu více.
Jeníčka zajímá pouze spotřeba, jeho preference jsou tvaru U =
4
t=0
t
ln(ct).
Jeho strom je jeho jediným zdrojem. Zapište Jeníčkův optimalizační problém.
18
4. Trh práce
Nejprve se budeme zabývat modelem jednoho období, potom dále rozvineme
model dvou období z předchozí kapitoly.
4.1 Rovnováha trhu práce
Ekonomiku tvoří spousta identických domácností. Každá domácnost vlastní
farmu, na níž zaměstnává pracovníky produkující spotřební statky. Každá do-
mácnost také nabízí vlastní práci ostatním farmářům, za což dostává mzdu w ve
spotřebních statcích. Tuto mzdu bere jako danou. Domácnost nepracuje na své
vlastní farmě (což nemá žádné zásadní dopady).
Prvním cílem domácnosti je maximalizovat zisk farmy. Výstup farmy je dán
produkční funkcí f(ld), kde ld je množství zaměstnané práce. Jediným výdajem
jsou mzdové náklady. Tedy zisk farmy je  = f(ld)-wld. Podmínka optimality
prvního řádu je tvaru:

ld
= f (l
d) - w = 0  w = f (l
d)
Domácnost tedy najímá práci, dokud se mezní produkt práce nesrovná s tržní
mzdou.
Dále se domácnost rozhoduje, jak moc bude pracovat na ostatních farmách
a kolik bude spotřebovávat. Její preference popisuje u(c, ls), kde c je spotřeba a
ls je množství nabízené práce. Rozpočtové omezení je tvaru 
+ wls = c. Tedy
Lagrangean a podmínky optimality jsou následující:
L = u(c, ls) + (
+ wls - c)
19
L
c
= u1(c
, l
s) -  = 0 (4.1a)
L
ls
= u2(c
, l
s) + w = 0 (4.1b)
odkud dostáváme
-
u2(c
, l
s)
u1(c, l
s)
= w (4.2)
Domácnost tedy nabízí práci, dokud se mezní míra substituce práce a spotřeby
nesrovná se mzdou. Pro dané funkce u a f vyřešíme optimální volbu l
d, l
s a w
.
Příklad 4.1. Nalezněte optimum domácnosti s preferencemi tvaru u(c, l) =
ln(c) + ln(1 - l) a s produkční funkcí tvaru f(l) = Al
.
a) l
d =?
b) 
=?
c) l
s =?
d) w
=?
e) l
s = l
d =?
f) komparativní statika, např. w
A , l
s
w ,
l
d
w
4.2 Mezičasová volba práce
Dále rozvineme model dvou období z předchozí kapitoly. Jediným rozdílem
bude to, že důchod domácnosti už nebude exogenní veličinou, ale domácnost jej
bude produkovat: yt = f(lt). Optimalizační problém domácnosti je tedy tvaru:
max
c1,c2,l1,l2,b1
{u(c1, l1) + u(c2, l2)}
Pf(l1) = Pc1 + b1
Pf(l2) + b1(1 + R) = Pc2
20
Příslušný Lagrangean a podmínky optimality jsou tedy náseldující:
L = u(c1, l1)+u(c2, l2)+1[Pf(l1)-Pc1-b1]+2[Pf(l2)+b1(1+R)-Pc2]
L
c1
= u1(c
1, l
1) - 
1P = 0 (4.3a)
L
c2
= u1(c
2, l
2) - 
2P = 0 (4.3b)
L
l1
= u2(c
1, l
1) + 
1Pf (l
1) = 0 (4.3c)
L
l2
= u2(c
2, l
2) + 
2Pf (l
2) = 0 (4.3d)
L
b1
= -
1 + 
2(1 + R) = 0 (4.3e)
Z prvních dvou rovnic, a posléze z posledních dvou rovnic, vyjádříme 
1 a

2 a dosadíme do poslední rovnice. Výsledkem jsou následující dvě Eulerovy
rovnice:
u1(c
1, l
1)
u1(c
2, l
2)
= (1 + R)
u2(c
1, l
1)
u2(c
2, l
2)
= (1 + R)
f (l
1)
f (l
2)
Příklad 4.2. Nalezněte optimum domácnosti s preferencemi tvaru u(c, l) =
ln(c) + ln(1 - l) a s produkční funkcí tvaru f(l) = Al
.
4.3 Cvičení
Příklad 4.3. V ekonomice je 1100 domácností. 400 z nich je typu a, 700 je typu
b. Domácnosti poptávají la
d resp. lb
d jednotek práce v hodinách, nabízejí la
s resp.
lb
s jednotek práce. Domácnosti najímají zaměstnance na vlastní farmu, samy
pracují na ostatních farmách. V ekonomice je mzda w. Preference domácností
jsou tvaru: u(c, l) = ln(c)+ln(24-l). Produkční funkce u typu a je: ya = la
d,
u typu b: yb = 2 lb
d.
21
a) Nalezněte optimální množství poptávané práce la
d a lb
d jako funkce mzdy
w.
b) Vypočtěte zisk farmáře typu a i b jakožto funkci mzdy w, označte jej a
resp. b
.
c) Užijte rozpočtového omezení farmářů typu a i b a určete optimální množství
nabízené práce la
s a lb
s jako funkce mzdy w.
d) Určete agregátní nabídku práce a agregátní poptávku po práci (jsou součtem
jednotlivých nabídek, resp. poptávek všech domácností) jako funkce dané
mzdy w. Nazvěte je L
s resp. L
d.
e) Na základě agregátní nabídky práce a agregátní poptávky po práci určete
rovnovážnou mzdu w
.
Příklad 4.4. V ekonomice je spousta stejných domácností. Každá domácnost
má firmu, která využívá kapitál k a práci ld, aby vyprodukovala výstup y. Pro-
dukční funkce je tvaru: y = Ak3/10
(ld)7/10
. Zásoba kapitálu je fixní. Domácnost
najímá práci ld, domácnost může také pracovat ls hodin, v ekonomice je mzda
w. Preference domácnosti jsou tvaru u(c, ls) =

c

1 - ls
a) Určete optimální množství poptávané práce l
d jako funkci kapitálu k a
mzdy w.
b) Vypočtěte zisk domácnosti 
.
c) Formulujte optimalizační problém domácnosti při daných preferencích.
d) Odvod'te optimální nabídku práce l
s.
e) Určete rovnovážnou mzdu w
.
f) Jak se mění rovnovážná mzda, když se mění dostupné množství kapitálu?
22
5. Inflace
Ve většině zemí má všeobecná cenová hladina tendenci k růstu. Tento jev ozna-
čujeme inflace. V této kapitole budeme zkoumat inflaci ve vztahu k množství
peněz v ekonomice. Množství peněz je určenou nabídkou peněz a poptávkou po
penězích. Co jsou to ale peníze? Je to všeobecně uznávaný prostředek směny
v ekonomice ( peněžní agregáty). Většinou budeme za peníze považovat agre-
gát M1. Budeme předpokládat, že oběživo a vklady na požádání jsou pod pří-
mou kontrolou centrální banky.
Mt bude celkové množství peněz v čase t, Yt celkové nákupy ve spotřebních
statcích, Pt cenová hladina a Vt rychlost peněz. Celkové nákupy stojí PtYt ko-
run, ale každá koruna se otočí vícekrát. Je tedy poptáváno pouze MD
t = PtYt
Vt
ko-
run. V rovnováze je nabídka peněz rovna poptávce po penězích, tedy dostáváme
vztah MtVt = PtYt, což je kvantitativní rovnice směny. Ta dává do vztahu
množství peněz a cenovou hladinu, ale nevysvětluje inflaci.
5.1 Kvantitativní teorie
Nyní výše uvedené účetní identitě přidáme teoretické pozadí.
ˇ Budeme předpokládat, že Vt a Yt jsou dány, jsou konstantní, určené nezávisle
na Mt a na Pt
ˇ Dále budeme předpokládat, že Vt = V
ˇ CB řídí Mt, takže se pohybuje pouze Pt
ˇ CB má tedy kontrolu nad cenovou hladinou, která se mění úměrně změnám
v nabídce peněz: Pt = MtV
Yt
23
Víme, že
1 + t =
Pt
Pt-1
Podělíme-li kvantitativní rovnice pro dva následné časy dostaneme
Pt
Pt-1
=
MtV Yt-1
Mt-1V Yt
Odtud tedy
1 + t =
Mt
Mt-1
Yt-1
Yt
Po zlogaritmování a užití aproximace ln(1 + x)  x pro malá x, dostáváme
t  (ln Mt - ln Mt-1) - (ln Yt - ln Yt-1)
Tedy míra inflace je zhruba rovna rozdílu mezi tempem růstu peněžní nabídky
a tempem růstu výstupu. Roste-li výstup a nabídka peněz se nemění, ceny musí
klesat.
Na datech zemí je v čase patrná větší variabilita růstu peněžní nabídky než
produkce. Z toho lze usoudit, že změny inflace se dají přisoudit změnám v růstu
peněžní nabídky.
Kvantitativní teorie sice vysvětluje příčiny inflace, ale neurčuje její dopady.
Předpokládali jsme, že Mt a Pt jsou nezávislé na ostatních proměnných v eko-
nomice. Inflace je všeobecně považována za nežádoucí jev. Abychom viděli
proč, musíme určit dopady inflace na reálné proměnné (důchod, spotřeba), což
nelze v rámci kvantitativní rovnice, protože ta žádné reálné dopady nepředpo-
kládá. Nyní tedy některé zjednodušující předpoklady opustíme.
5.2 Cash-in-advance model
Bude se jednat o rovnovážný model s optimalizujícími spotřebiteli a s mo-
netárním sektorem.
ˇ mnoho identických spotřebitelů žijících nekonečně dlouho
ˇ reprezentativní spotřebitel volí spotřebu ct, nabídku práce lt, úspory st+1 a
držbu peněz mt+1
24
ˇ užitková funkce je tvaru

t=0
t
[ln(ct) + ln(1 - lt)]
ˇ existuje pouze 1 spotřební statek, spotřebitel vyrábí výstup technologií
yt = lt
ˇ neexistuje bankovní sektor, centrální banka dává peníze přímo spotřebite-
lům jako transfer t > 0 nebo jim je sebere formou zdanění t < 0
ˇ Rt je nominální úroková míra, Pt cenová hladina
Rozpočtové omezení spotřebitele je tedy tvaru
mt+1 + st+1 = mt + (1 + R)st + Ptlt + t - Pct
Tedy všchno, co domácnost nesní, bud'to investuje st+1 nebo si nechá jako
hotovost na příští období mt+1. Spotřebitel drží hotovost nenesoucí úrok proto,
aby mohl nakupovat spotřební statky, protože vlastní produkci nespotřebovává
a musí nakupovat na trhu.
Tedy nemůže na trhu utratit více, než drží v hotovosti: Ptct  mt a v optimu
to utratí všechno, protože jinak by přicházel o úrok. Tomuto omezení se říká
"cash-in-advance", protože hotovost na nákup bylo třeba odložit již v předcho-
zím období. V této ekonomice se spotřeba rovná produkci, tedy po agregaci
dostáváme kvantitativní rovnici s rychlostí 1.
Náš model si můžeme představit následovně. Domácnost tvoří muž a žena.
Každé ráno jde muž do práce a prodává svoji produkci spotřebitelům. Domů
se vrací pozdě v noci, takže ten den vydělané peníze už neutratí. Žena odchází
brzy ráno nakupovat a utrácí peníze, které muž donesl předchozí den. Přes den
se navzájem nepotkávají.
Optimalizační problém reprezentativního agenta je následující:
max
{ct,lt,st+1,mt+1}
t=0

t=0
t
[ln(ct) + ln(1 - lt)] :
Ptct = mt
mt+1 + st+1 = mt + (1 + R)st + Ptlt + t - Pct
25
Nyní specifikujeme monetární politiku centrální banky. mt bude pro jednodu-
chost množství peněz na spotřebitele, centrální banka zvyšuje peněžní zásobu
konstantním tempem g. Tedy
mt+1 = mt + t = mt(1 + g)
Ještě přidáme 3 podmínky vyčištění trhů. Spotřeba se musí rovnat produkci,
tj. ct = lt. Celkové půjčky se rovnají celkovým úsporám, ale všichni agenti jsou
stejní, tedy musí platit, že st = 0. Zdá se, že úspory bychom mohli z modelu
vypustit, ale poslouží nám k určení rovnovážné úrokové míry. Dále se nabídka
peněz musí rovnat poptávce po penězích.
To, že lidé žijí nekonečně dlouho, je vlastně zjednodušením, které nám umož-
ní model vyřešit. Svět je stejný v každé periodě ­ spotřebiteli vždy zbývá ne-
konečně mnoho období, volí pouze množství poněz do dalšího období (úspory
jsou v rovnováze rovny nule). Cenová hladina je proporcionální peněžní zásobě,
tedy spotřebitel vždy kupuje stejné množství spotřebních statků. V rovnováze
je ct, lt i Rt konstantní.
Omezení "cash-in-advance" pro konstantní spotřebu c
je tvaru Pc
= mt a
pro 1 +  = Pt+1/Pt dostáváme
1 +  =
Pt+1
Pt
=
Mt+1
Mt
=
(1 + g)mt
mt
= 1 + g
Tedy inflace je rovna tempu růstu peněžní nabídky, protože stejně jako v kvan-
titativní rovnici předpokládáme konstantní rychlost peněz. Protože "cash in ad-
vance" model je vlastně kvantitativní rovnicí, museli jsme dojít ke stejnému
výsledku.
Jak ale optimální spotřeba závisí na inflaci a monetární politice? Použijeme
opět Lagrangeanu:
L =

t=0
t
{[ln(ct) + ln(1 - lt)] + t(mt - Ptct)
+t[mt + (1 + R)st + Ptlt + t - Pct - mt+1 - st+1] }
26
L
ct
=
t
c
t
- t
(t + t)Pt = 0 (5.1a)
L
lt
= -
t
1 - l
t
+ t
tPt = 0 (5.1b)
L
st+1
= -t
t + t+1
t+1(1 + Rt+1) = 0 (5.1c)
L
mt+1
= -t
t + t+1
(t+1 + t+1) = 0 (5.1d)
Nyní budeme předpokládat, že v rovnováze je spotřeba, práce i úroková míra
konstantní (c
, l
, R
). Pokud by tomu tak nebylo, došli bychom časem ke sporu.
Dostáváme tedy:
1
c
= (t + t)Pt (5.2a)
1
1 - l
= tPt (5.2b)
t = t+1(1 + R) (5.2c)
t = (t+1 + t+1) (5.2d)
Z druhé rovnice dosadíme za  do třetí rovnice a dostaneme:
1
Pt(1 - l)
=
1
Pt+1(1 - l)
(1 + R) 
Pt+1
Pt
= 1 + t = (1 + R)
Již víme, že  = g, tedy
1 + R =
1 + 

=
1 + g

(5.3)
Nominální úroková míra se tedy pohybuje proporcionálně tempu růstu pe-
něžní nabídky g.
Pro reálnou úrokovou míru r dostáváme
1 + r =
1 + R
1 + 
=
1

(5.4)
Rovnice (5.4) je verzí Eulerovy rovnice odvozené dříve v "nekonečném"
modelu. Spotřeba je konstantní, tedy mezní užitky z ní zmizely.
27
Nyní vyšetříme dopady inflace na spotřebu. S pomocí rovnic (5.2a) a (5.2b)
vyeliminujeme multiplikátory z rovnice (5.2d) a získáme:
1
(1 - l)Pt
= 
1
cPt+1
a po dosazení podmínky c
= l
dostáváme
Pt+1
Pt
= 1 + t = 
1 - c
c
a po dosazení  = g dostáváme c
:
c
=

1 + g + 
(5.5)
Rovnice (5.5) říká, že spotřeba závisí inverzně na tempu růstu peněží na-
bídky, tudíž spotřeba a inflace se pohybují opačným směrem. Je to proto, že
inflace ničí podněty k práci, poněvadž důchod vydělaný dnes, lze utratit až zítra
a peníze přes noc ztrácí hodnotu. Protože v rovnováze je spotřeba rovna práci,
je tedy nižší i spotřeba.
Nyní odvodíme, jaké tempo g zvolí centrální banka. V rovnováze je c = l,
což dosadíme do užitkové funkce, sestavíme podmínku pro optimum a zpětně
pak dopočteme g. Celkový užitek je tvaru:

t=0
t
[ln(c) + ln(1 - c)] =
1
1 - 
[ln(c) + ln(1 - c)]
První derivace podle spotřeby je:
1
1 - 
1
c
-
1
1 - c
= 0  c
=
1
2
což nyní dosadíme do rovnice (5.5) a dostaneme, čemu je rovno g
:
g
=  - 1
Protože diskontní faktor  je mezi nulou a jedničkou, znamená to, že op-
timální monetární politika má zmenšovat peněžní nabídku. Pokud dále použije-
me rovnici (5.3), dostaneme
1 + R =
1 + g

=
1 + ( - 1)

= 1
28
To znamená, že nominální úroková míra je nulová. Tato skutečnost je dána
omezením "cash-in-advance". Spotřebitelé jsou nuceni držet aktivum hotovost,
aby mohli nakupovat. Kdyby peníze nebyly na koupi spotřebních statků potřeba
a úroková míra by byla kladná, pak by všichni chtěli spořit a ne držet hotovost.
Ale pokud je nominální úroková míra nulová, hotovost i úspory dávají stejný
nomiální "výnos". Protože v rovnováze ceny klesnou, tak si držitelé peněz mo-
hou zítra koupit více zboží než dnes. Tedy reálná úroková míra peněz je kladná.
Doporoučení nulové nominální úrokové míry se označuje jako Friedmanovo
pravidlo.
Na závěr tedy ještě shrneme výsledky modelu:
ˇ tempo růstu peněžní nabídky se rovná míře inflace
ˇ nominální úroková míra se mění proporcionálně s inflací
ˇ mezi výstupem a inflací je inverzní vztah
5.3 Cvičení
Příklad 5.1. Uvažujme takovou ekonomiku, že V = 5, výstup roste tempem 3%
za rok a peněžní nabídka roste tempem 5% za rok. Jaká je roční míra inflace?
[2%]
29
6. Hospodářský cyklus
6.1 Šoky a šířící mechanismus
Hospodářský cyklus ­ opakující se fluktuace reálného HDP v čase.
Šoky
ˇ Technologický šok
ˇ Počasí a přírodní katastrofy
ˇ Monetární šok
ˇ Politický šok
ˇ Změna vkusu
Jsou dostatečné pro vysvětlení hospodářského cyklu? (Např. v USA spadl
reálný HDP o 2.8% mezi říjnem 1981 a 1982).
Šířící mechanismy
ˇ Mezičasová substituce
ˇ Nepružné ceny (sticky prices)
ˇ Frikce ve finančním sektoru
30
Dvě skupiny modelů
ˇ hospodářský cyklus = selhání ekonomického systému, příčiny: finanční
krize, strnulé ceny, technologické šoky, monetární šoky
ˇ hospodářský cyklus = optimální reakce ekonomiky na šoky, hlavní příčina
fluktuací technologické šoky (real business cycle models)
"velké" krize × "normální" cykly ???
6.2 Model reálného hospodářského cyklu
ˇ model se spotřebiteli žijícími pouze dvě období (postačí pro objasnění
základních myšlenek teorie cyklu)
ˇ řada překrývajících se generací
ˇ pracují v prvním období, kdy jsou mladí
ˇ ve druhém období jsou staří a žijí z úspor
ˇ horní index označuje rok narození spotřebitele, dolní index současný rok
ˇ užitková funkce
u(ct
t, ct
t+1) = ln(ct
t) + ln(ct
t+1)
ˇ mladý člověk nabízí jednu jednotku práce a dostává mzdu wt
ˇ rozpočtové omezení mladého pracovníka
ct
t + kt = wt
ˇ důchodce půjčuje úspory kt firmám, firma je použije jako kapitál a vyplácí
rentu rt+1,  procent kapitálu se opotřebuje
ˇ rozpočtové omezení důchdce
ct
t+1 = (1 -  + rt+1)kt
31
Optimalizační problém domácnosti:
max
ct
t,ct
t+1,kt
{ln(ct
t) + ln(ct
t+1)} :
ct
t + kt = wt
ct
t+1 = (1 -  + rt+1)kt
Po dosazení omezení do užitkové funkce
max
kt
{ln(wt - kt) + ln((1 -  + rt+1)kt)}
Podmínka optimality

kt
= -
1
wt - kt
+
1 -  + rt+1
(1 -  + rt+1)kt
= 0
odkud
kt =
wt
2
(6.1)
Bez ohledu na budoucí výnos kapitálu bude mladý spotřebitel spořit polovinu
mzdy.
ˇ konkurenční firma vyrábí výstup s kapitálem kt-1 a prací lt
ˇ práce je nabízena mladým spotřebitelem, kapitál starým
ˇ produkční funkce s konstantními výnosy z rozsahu (Cobb-Douglas):
f(lt, kt-1) = Atl
t k1-
t-1
Maximalizační problém firmy v čase t:
max
lt,kt-1
Atl
t k1-
t-1 - wtlt - rtkt-1
Podmínky prvního řádu:

lt
= Atl-1
t k1-
t-1 - wt = 0

kt-1
= At(1 - )l
t k-
t-1 - rt = 0
32
Po dosazení lt = 1
wt = Atk1-
t-1 (6.3a)
rt = At(1 - )k-
t-1 (6.3b)
Mzda je úměrná parametru produktivity At  mzdy jsou procyklické.
Podmínky vyčištění trhů zboží, práce a kapitálu.
ˇ Trh práce: lt = 1
ˇ Trh kapitálu: implicitně zahrnuto
ˇ Trh zboží:
ct
t + ct-1
t + kt = Atl
t k1-
t-1 + (1 - )kt-1
Po dosazení optimální volby úspor (6.1) do vztahu (6.3a)
kt =
1
2
Atk1-
t-1 (6.4)
Šoky do At mají přímý vliv na kt, což je kapitál pro výrobu v příštím období
 příští produkce bude nižší.
Agregátní spotřeba a investice v reakci na šok ­ podmínka vyčištění trhu:
ct
t + ct-1
t + kt - (1 - )kt-1 = Atl
t k1-
t-1
Vpravo je produkce Yt = Atl
t k1-
t-1 , vlevo agregátní spotřeba Ct = ct
t + ct-1
t
a celkové investice It = kt - (1 - )kt-1. Pro lt = 1:
Ct = Yt - It = Atl
t k1-
t-1 + (1 - )kt-1 - kt =
= Atl
t k1-
t-1 + (1 - )kt-1 -
1
2
Atk1-
t-1 =
= 1 -

2
Atk1-
t-1 + (1 - )kt-1 (6.5)
It = Yt - Ct = Atl
t k1-
t-1 - (1 -

2
)Atk1-
t-1 + (1 - )kt-1 =
=
1
2
Atk1-
t-1 - (1 - )kt-1 (6.6)
33
Jak se mění spotřeba a investice v reakci na změnu technologie? Elasticita x
v reakci na y se definuje jako x
y
y
x.
Elasticita spotřeby vzhledem k produktivitě:
Ct
At
At
Ct
=
(1 - /2)Atk1-
t-1
(1 - /2)Atk1-
t-1 + (1 - )kt-1
< 1
Elasticita investic:
It
At
At
It
=
1/2Atk1-
t-1
1/2Atk1-
t-1 - (1 - )kt-1
> 1
 relativní změna investic je větší než relativní změna spotřeby
6.3 Simulace
Pro lepší představu si náš model nasimulujeme. Specifikujeme hodnoty para-
metrů:  = 0.7,  = 0.05. Parametr  představuje podíl mezd na celkové pro-
dukci. Tyto hodnoty zhruba odpovídají reálným údajům. Dále určíme počáteční
zásobu kapitálu k0 = 0.22 a parametr produktivity se bude vyvíjet jako
At = A + t
kde A je prmůměrná úroveň produktivity, t je náhodný šok. Položíme A = 1.
Šok t bude nasimulován, jeho složky budou nezávislé, rovnoměrně rozložené
na intervalu -0.1; 0.1 , tedy bude ovlivňovat produktivitu v mezích 10%.
Nejprve prozkoumáme vliv izolovaného šoku ­ konkrétně pětiprocentní po-
zitivní technologický šok v čase t = 2 (viz obrázky 6.1 a 6.2). Potom nasimulu-
jeme celou řadu technologických šoků v rozmezí 10% (viz obrázky 6.3 a 6.4).
6.4 Hodrick-Prescottův filtr
Filtrace = rozklad časové řady na trendovou a cyklickou složku. Hodrick-
Prescottův filtr je makroekonomy často používaná vyhlazovací metoda, která
dává odhad dlouhodobé trendové složky časové řady.
34
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
odchylky velicin od prumeru (sok v case t=2)
cas
kapital k
t-1
spotreba C
t
investice I
t
Obrázek 6.1: Šok v čase t = 2 ­ absolutní odchylky veličin od průměru
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
procentni odchylky velicin (sok v case t=2)
cas
kapital k
t-1
spotreba C
t
investice I
t
Obrázek 6.2: Šok v čase t = 2 ­ relativní odchylky veličin od průměru
35
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
rada soku - absolutni odchylky velicin od prumeru
cas
kapital
spotreba
investice
Obrázek 6.3: Řada šoků ­ absolutní odchylky veličin od průměru
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
rada soku - procentni odchylky velicin
cas
kapital
spotreba
investice
Obrázek 6.4: Řada šoků ­ relativní odchylky veličin od průměru
36
Používáme jej na logaritmované řady (např. HDP), abychom dostali cyk-
lickou složku řady jako procentní odchylku od trendu (veličinu v procentním
vyjádření již nelogaritmujeme).
Máme-li řadu Yt, pak ji lze zapsat jako
Yt = Y t(1 + ^yt)
kde Y t je trendová složka a ^yt je složka cyklická (procentní odchylka). Po zlo-
garitmování, po užití aproximace, že ln(1 + x)  x pro malá x, a po následném
přeznačení (yt = ln Yt, yt = ln Y t) dostaneme:
ln Yt = ln Y t + ln(1 + ^yt)
yt = yt + ^yt
kde se předpokládá
yt = yt-1 + t
^yt = t
t  WN(0, 2
), t  WN(0, 2
)
Jediný parametr, který je třeba nastavit, je poměr  rozptylu cyklické a tren-
dové složky:
 =
2

2

Čím větší je , tím více je trend vyhlazen. Je-li  blízko nekonečnu, trend je
lineární. Je-li naopak blízko nule, trend sleduje původní data. Podle autorů filtru
je vhodné volit  následovně: pro roční data 100, pro čtvrtletní data 1600 a pro
měsíční data 14400.
Praktické použití HP-filtru v Matlabu (funkce hp.m):
[trend,cykl]=hp(data,)
37
6.5 Cvičení
Příklad 6.1. Jak slovo cyklus naznačuje, hospodářský cyklus je považován za
pravidelný opakující se jev. Předpokládalo se, že délka a průběh cyklu jsou
zhruba konstantní. Např. že délka typického cyklu (od boomu přes recesi zpět
na vrchol) je mezi pěti až sedmi lety. V této části ověříte, zdali se hospodářský
cyklus vámi zvolené země chová podle uvedené představy. Prvním úkolem tedy
bude stáhnout si někde časovou řadu reálného HDP. Např. na
http://195.145.59.167/ISAPI/LogIn.dll/login?lg=e
http://pwt.econ.upenn.edu/php_site/pwt61_form.php
Dále je třeba spočítat trendovou složku časové řady. Použijeme např. Hodrick-
Prescotův filtr, nebo můžeme např. použít exponenciální vyrovnání.
Příklad 6.2. Nyní prozkoumáme cyklickou složku HDP, což je rozdíl mezi
HDP a trendem. Protože nás zajímají relativní změny, budeme se tedy zajímat
o změny logaritmů. Vypočtěte tedy cyklickou složku HDP (v procentním vyjá-
dření) jako ln(HDP) - ln(Trend) a vykreslete ji do obrázku.
Příklad 6.3. Řekněme, že vrcholem rozumíme období, kdy je cyklická složka
vyšší než v předchozích dvou obdobích, a cyklem budeme rozumět čas mezi
dvěma vrcholy. Kolik cyklů řada obsahuje? Jaká je průměrná délka cyklu? Jak
dlouho trvá nejkratší a nejdelší cyklus? Vypadají cykly podobně, pokud se týče
amplitudy, trvání, tvaru?
Příklad 6.4. D Ú Stáhněte si někde údaje o HDP vybrané země a analyzujte hos-
podářský cyklus této země. Využijte postupu prováděném v předchozích třech
příkladech. Postup práce a dosažené výsledky patřičně okomentujte, uved'te do
souvislosti s významnými hospodářskými událostmi daného období a doku-
mentujte pomocí obrázků z Matlabu. Nezapomeňte si práci podepsat, uvést
svoje U ČO, dále uvést název práce, P ŘESN Ý ZDROJ a popis dat, závěr práce.
Spolu s prací odevzdáte také zdrojový soubor s daty a m-file s analýzou cyklu.
Předpokládaný rozsah práce 2-3 strany. Termín odevzdání 10.11.2005.
38
Příklad 6.5. V tomto modelu budeme mít agenty žijící pouze jedno období.
V každém čase se narodí jeden agent, v dalším období přežívá jeho potomek.
Agenta zajímá spotřeba ct a budoucí kapitál kt+1, který zanechá potomkovi.
Užitková funkce je tvaru
ln(ct) + A ln(kt+1)
kde A > 0 je parametr. Agent používá kapitál po rodiči na spotřebu a investice,
přičemž má takto omezené zdroje:
ct + it = Bkt + t
kde B > 0 je parametr, t je náhodný šok do produkční funkce. Agent zná šok
v čase narození, je to tedy pro něj konstanta. Vývoj množství kapitálu je dán
takto:
kt+1 = (1 - )kt + it
kde   (0, 1) je míra depreciace.
Vypočtěte optimální spotřebu a investice jako funkce kt a t.
Příklad 6.6. Nyní budeme chtít porovnat chování modelu s reálným světem.
Proto musíme nastavit parametry modelu. Parametr B jen mění měřítko, nas-
tavíme ho tedy např. na 0.1. Dále zvolíme míru depreciace  = 0.05. Parametr
A určuje relativní poměr ct a kt v rovnováze, tedy nastavíme např. A = 4.
S použitím těchto hodnot prozkoumejte a porovnejte reakce ct a it na změny t.
Příklad 6.7. Nyní v naší modelové ekonomice nasimulujeme hospodářský cyk-
lus. Je třeba určit počáteční stav kapitálu, zvolíme např. k1 = 3.7. Nagenerujte
50 náhodných rovnoměrně rozložených čísel na intervalu (0, 1) s využitím mat-
labovské funkce rand. Použijte vztahů pro ct, it a kt+1 a nasimulujte chování
ekonomiky. Do jednoho obrázku vykreslete vývoj spotřeby a investic a srovnej-
te vývoj a volatilitu těchto řad. Vykreslete HDP jako součet spotřeby a investic,
srovnejte hospodářské cykly s těmi z reálných údajů.
39
7. Hospodářský růst
7.1 Fakta
Nicholas Kaldor ­ "stylizovaná fakta".
ˇ produkce na hlavu i kapitál na hlavu v čase rostou obdobným tempem
(podíl kapitálové zásoby na produktu se v čase příliš nemění)
ˇ výnos kapitálu je v čase téměř konstantní
ˇ podíl práce i kapitálu na tvorbě důchodu je téměř konstantní
Kaldorova fakta platí i v dlouhém časovém období.
ˇ konvergence HDP na osobu v různých zemích a oblastech v čase
ˇ neexistují žádné pozorované skutečnosti společné industrializovaným i rozvo-
jovým zemím.
7.2 Solowův model
Agregátní produkční funkce
ˇ extensivní tvar: Y = f(K, L)
ˇ intenzivní tvar: y = f(k)kde y = Y/L, k = K/L
ˇ konstantní výnosy z rozsahu
ˇ klesající mezní produkt kapitálu
40
Úspory a kapitálová akumulace
ˇ Odříci si dnes = vyrobit zítra více
ˇ S = I
ˇ S = sY  I/L = S/L = sY/L = sy = sf(k)
Depreciace a ustálený stav
ˇ  je míra depreciace kapitálu
ˇ  označuje tempo růstu populace, pro zatím je rovna nule
ˇ v ustáleném stavu je k = 0, tj. kapitálová intenzita ani produkce na hlavu
se nemění ­ viz obr. 7.1
7.2.1 Konstantní populace i technologie
k =
k
K
K +
k
L
L =
1
L
K -
K
L2
L
k =
I - K
L
-
K
L
L
L
=
S
L
- 
K
L
- 
K
L
= sy - k - k = 0
sy = k( + ),  = 0  k =
sy

Role úspor
ˇ zvýší-li se míra úspor, roste kapitálová intenzita a produkce na hlavu
Zlaté pravidlo
ˇ cílem není rostoucí produkce na hlavu, ale spotřeba
ˇ maximalizace vzdálenosti mezi produkční funkcí a přímkou depreciace
(zbytek jsou investice)
ˇ zderivujeme rozdíl produkční funkce a depreciační přímky, a položíme ji
rovnu nule (zatím  = 0)
ˇ 
k (f(k) - k( + )) = f (k) - ( + ) = 0  MPK =  +  = 
41
0 2 4 6 8 10 12 14
0
0.5
1
1.5
2
2.5
k
Produkce, úspory a depreciace
y=f(k)
s.f(k)
k.(+)
 k=0
s2.f(k)
k* k**
Obrázek 7.1: Stabilní stav v Solowově modelu
7.2.2 Růst populace (bez technologického pokroku)
ˇ populace roste kladným tempem 
ˇ v ustáleném stavu je K/L konstantní, tedy i Y/L je konstantní, tedy kapitál
i produkce rostou stejným tempem
ˇ sy = k( + )  k = sy
+ (odvození viz výše)
ˇ depreciační přímka se otáčí proti směru hodinových ručiček o úhel 
ˇ zvýšení tempa růstu populace snižuje kapitálovou intenzitu a produkci na
hlavu
ˇ zlaté pravidlo MPK =  + 
7.2.3 Technologický pokrok
ˇ technologický pokrok rostoucí tempem a
ˇ A  L ­ efektivní práce
42
ˇ vyjádření jako výše ale v jednotkách efektivní práce, tj. děleno A  L a ne
pouze L
k =
k
K
K +
k
L
L +
k
A
A =
1
L
K -
K
L2
L -
K
LA2
A
k =
I - K
LA
-
K
LA
L
L
-
K
LA
A
A
k =
S
LA
- k - k - ak = sy - k - k = 0
sy = k( +  + a),  = 0  k =
sy
 +  + a
ˇ v ustáleném stavu jsou y = Y/(AL) a k = K/(AL)
ˇ Y/L a K/L rostou tempem a
ˇ Y a K rostou tempem a + 
ˇ Zlaté pravidlo MPK =  +  + a
7.2.4 Růstové účetnictví
ˇ přínosy jednotlivých faktorů
ˇ odečteme-li průměrné tempo růstu práce a kapitálu od růstu produkce,
zbyde nám přínos technologického pokroku, tzv. Solowovo reziduum, čas-
to třetina až polovina celkového tempa růstu
ˇ jinak přínos technologického pokroku těžko měřit
7.3 Aplikace
ˇ agregátní produkční funkce (konstantní výnosy z rozsahu)
Yt = (AtLt)
K1-
t-1 (7.1)
ˇ domácnosti se rozhodují, kolik budou mít dětí a kolik budou spořit
43
ˇ firmy zase rozhodují, kolik investují do výzkumu a vývoje, a tím tedy
ovlivňují vývoj produktivity
ˇ produktivita exogenně daná
ˇ domácnosti investují fixní část důchodu v každém období
Kapitál se vyvíjí následovně:
Kt = (1 - )Kt-1 + It (7.2)
kde It jsou investice,  je míra depreciace a investice jsou fixní částí 0 < s < 1
důchodu:
It = sYt = s(AtLt)
K1-
t-1
Předpokládáme, že produktivita a práce rostou konstantním tempem , resp. :
At+1 = (1 + )At
Lt+1 = (1 + )Lt
Budeme uvažovat konkurenční firmu, jejíž optimalizační problém je tvaru:
max
Lt,Kt-1
(AtLt)
K1-
t-1 - wtLt - rtKt-1
Podmínky prvního řádu vzhledem k práci a kapitálu jsou tvaru:
wt = A
t L-1
t K1-
t-1 (7.3)
rt = (1 - )(AtLt)
K-
t-1 (7.4)
Podíl mezd a úroku na důchodu je konstantní:
wtLt
Yt
=
A
t L-1
t K1-
t-1 Lt
(AtLt)K1-
t-1
=  (7.5)
rtKt-1
Yt
=
(1 - )(AtLt)
K-
t-1Kt-1
(AtLt)K1-
t-1
= 1 -  (7.6)
Všechny proměnné si vyjádříme v termínech efektivní práce. Označíme yt =
Yt/(AtLt), kt-1 = Kt-1/(AtLt) a it = It/(AtLt). Dosadíme-li Yt = ytAtLt atd.
do produkční funkce, dostaneme
ytAtLt = (AtLt)
(kt-1AtLt)1-
44
tj.
yt = k1-
t-1 (7.7)
Ze vztahu (7.2) dostaneme
kt(1 + )At(1 + )Lt = (1 - )kt-1AtLt + itAtLt
tj.
kt(1 + )(1 + ) = (1 - )kt-1 + it (7.8)
Investice jsou určeny vztahem:
it = syt = sk1-
t-1 (7.9)
Dosadíme-li rovnici (9.24) do rovnice (7.8), dostaneme vztah popisující vývoj
kapitálu v čase:
kt =
(1 - )kt-1 + sk1-
t-1
(1 + )(1 + )
(7.10)
Po podělení kt-1 dostaneme vztah popisující tempo růstu kapitálu na jed-
notku efektivní práce:
kt
kt-1
=
1 -  + sk-
t-1
(1 + )(1 + )
(7.11)
ˇ Míra růstu je inverzně závislá na kapitálové zásobě, protože exponent u
kt-1 je záporný.
ˇ Pokud má země nízkou úroveň kapitálu na jednotku efektivní práce, její
kapitál, a tím i produkt roste rychleji.
ˇ Model vysvětluje konvergenci HDP v zemích v čase.
ˇ Protože tempo růstu klesá s kt-1, existuje určitá úroveň, kdy kapitál na
jednotku efektivní práce přestane růst.
ˇ Říkáme, že ekonomika dosáhla ustáleného stavu (steady state). Pokud eko-
nomika tohoto stavu jednou dosáhne, zůstává v něm navždy.
45
Pro jednoduchost budeme pro tuto chvíli předpokládat, že práce a produk-
tivita jsou konstantní, tj. že  =  = 0. Potom se rovnice (7.10) zjednoduší do
tvaru:
kt - kt-1 = sk1-
t-1 - kt-1
Změna kapitálu na jednotku efektivní práce je rovna rozdílu mezi investicemi
a depreciací.
0 1 2 3 4 5 6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
kapital
Solowv model - steady state
produkce y
t
= k
t-1
1-
úspory syt
depreciace  k
t-1
 k=0
Obrázek 7.2: Stabilní stav v Solowově modelu
V ustáleném stavu se k nemění, tj. kt = kt-1 a z rovnice (7.10) dostaneme:
k(1 + )(1 + ) = (1 - )k + sk
1-
odkud
k =
s
 +  +  + 
1/
S využitím tohoto vztahu vypočteme produkci a investice v ustáleném stavu:
y = k
1-
=
s
 +  +  + 
(1-)/
46
i = s
s
 +  +  + 
1-

Tempo růstu kapitálu v ustáleném stavu je:
Kt
Kt-1
=
k(1 + )At(1 + )Lt
kAtLt
= (1 + )(1 + )
ˇ Dlouhodobé tempo růstu ekonomiky nezávisí na míře úspor.
ˇ Při vyšší míře úspor dosáhne ekonomika výše položeného ustáleného stavu,
ale dlouhodobé tempo růstu je určeno tempem růstu pracovních sil a pro-
duktivity.
Dále ověříme, že výnosy kapitálu jsou konstantní. Ze vztahu (7.4)
rt = (1 - )(AtLt)
K-
t-1 = (1 - )
Kt-1
AtLt
-
V ustáleném stavu je kapitál na jednotku efektivní práce konstantní, tedy
platí:
rt = (1 - )(k)-
což je konstanta. Na druhou stranu mzdy jsou rostoucí (tempem technologické-
ho pokroku), protože roste produktivita:
wt = A
t L-1
t K1-
t-1 = At
Kt-1
AtLt
1-
= At(k)1-
wt+1
wt
=
At+1
At
= 1 + 
Podíl kapitálu na důchodu v ustáleném stavu je roven:
Kt-1
Yt
=
kAtLt
yAtLt
=
k
y
což je konstanta, čímž jsme ověřili poslední z empirických faktů z našeho sez-
namu.
ˇ Solowův model je úspěšný při vysvětlení všech stylizovaných faktů eko-
nomického růstu v industrializovaných zemích.
47
ˇ Klíčovým prvkem modelu je neoklasická produkční funkce s konstantními
výnosy z rozsahu.
ˇ Protože mezní produkt kapitálu klesá, ekonomiky rostou rychleji při nižší
kapitálové zásobě.
ˇ V ustáleném stavu roste produkt na hlavu a kapitál na hlavu stejným tem-
pem.
ˇ Model také vysvětluje, proč se různé míry úspor nepromítají do dlouhodo-
bých rozdílů v tempu růstu.
ˇ Míra úspor ovlivňuje pouze ustálený stav, nikoli tempo růstu.
7.4 Růstové účetnictví
Prozkoumáme příspěvek jednotlivých složek k hospodářskému růstu. Uvažme
neoklasickou produkční funkci tvaru:
Yt = (AtLt)
K1-
t-1
Necht' Y je HDP, L pracovníci, K agregátní kapitálová zásoba a A je měřít-
kem produktivity. Data pro všechny veličiny kromě At můžeme získat, příspě-
vek At dopočteme následně jakožto zbytek růstu (Solowovo reziduum).
At =
Y
1/
t
LtK
(1-)/
t-1
Kdybychom znali , můžeme At dopočítat přesně. Víme ale, že  představuje
podíl mezd na produkci, takže můžeme použít tento odhad. Po zlogaritmování:
ln Yt =  ln At +  ln Lt + (1 - ) ln Kt-1
Zajímá nás růst mezi časem t a t + k:
ln Yt+k - ln Yt =
= (ln At+k - ln At) + (ln Lt+k - ln Lt) + (1 - )(ln Kt+k-1 - ln Kt-1)
48
Tedy tempo růstu produkce je  krát součet růstu produktivity a práce, a dále
1 -  krát růst kapitálu. Můžeme tedy spočíst relativní příspěvky jednotlivých
složek.
Část růstu, kterou lze přisoudit práci:
(ln Lt+k - ln Lt)
ln Yt+k - ln Yt
Část růstu, kterou lze přisoudit kapitálu:
(1 - )(ln Kt+k-1 - ln Kt-1)
ln Yt+k - ln Yt
Část růstu, kterou lze přisoudit technologii:
(ln At+k - ln At)
ln Yt+k - ln Yt
7.5 Porodnost a lidský kapitál
ˇ Ekonomický růst a industrializace zemí jsou spojeny s klesající mírou
porodnosti. Porozumění těmto změnám by mohlo pomoci při hledání příčin
růstu některých zemí, zatímco jiné země zůstávají chudé.
ˇ Malthus ­ porodnost je dána nabídkou potravin (situace před průmyslovou
revolucí).
Malthus tedy považoval děti za "normální statek". Pokud důchod rostl, rodiče
si pořizovali děti. Uvažme užitkovou funkci ze "spotřeby" dětí ct při počtu nt
dětí tvaru:
u(ct, nt) = ln(ct) + ln(nt)
Předpokládáme, že spotřebitel nabízí 1 jednotku práce za reálnou mzdu wt a
že náklady na vychování dítěte jsou p. Tedy rozpočtové omezení je tvaru:
ct + pnt = wt
Tedy optimalizační problém je tvaru:
max
nt
{ln(wt - pnt) + ln(nt)}
49
Podmínka optimality:
-
p
wt - pnt
+
1
nt
= 0  nt =
wt
2p
(7.12)
Tedy čím vyšší mzda, tím více dětí.
Pokud by lidé žili jedno období, počet dětí určuje růst populace Lt:
Lt+1
Lt
= nt
Malthus předpokládal, že nabídka potravin nemůže růst úměrně růstu popu-
lace. V současném pojetí to znamená klesající mezní produkt práce. Předpoklá-
dejme produkční funkci tvaru:
Yt = AtL
t
Mzda je rovna meznímu produktu práce:
wt = AtL-1
t (7.13)
Dosadíme-li rovnici (7.13) do (7.12), odvodíme vývoj populace:
Lt+1
Lt
=
AtL-1
t
2p
neboli
Lt+1 =
AtL
t
2p
(7.14)
Tempo růstu populace se snižuje s růstem populace. V nějakém bodě přestane
populace růst a dosáhne ustáleného stavu L:
L =
AtL

2p
 L =
At
2p
1
1-
V ustáleném stavu je Lt+1/Lt = nt = 1, tedy mzda bude:
1 =
w
2p
 w = 2p
Tedy mzda v ustáleném stavu nezávisí na produktivitě At.
50
ˇ V Evropě se v devatenáctém století muselo něco stát, protože lidé začali
mít méně dětí a tedy důchod na hlavu začal růst.
ˇ Zaměříme se na časové náklady na vychování dětí a na roli kvality a kvan-
tity.
ˇ Lidský kapitál je klíčovým prvkem následujícího modelu.
ˇ Dosud jsme považovali práci za homogenní.
ˇ Lidský kapitál tvoří dvě části. Jednak jsou to vrozené schopnosti bez ohledu
na vzdělání H0. Dále lidé mohou získat dodatečný kapitál Ht vzděláním
od rodičů. Tedy celkem mají H0 + Ht.
Předpokládejme tedy, že se rodiče starají o kvantitu i kvalitu dětí, tj. jejich
preference jsou tvaru:
u(ct, nt, Ht+1) = ln(ct) + ln(nt(H0 + Ht+1))
Rodiče investují čas, aby dítě vychovali ­ je třeba zlomek h času na vy-
chování, případně ještě et na vzdělání. Zbytek dne 1-hnt -et můžou pracovat.
wt je mzda za jednotku lidského kapitálu. Tedy rozpočtové omezení je tvaru:
ct = wt(H0 + Ht)(1 - hnt - et) (7.15)
Předpokládáme, že lidský kapitál dětí Ht+1 závisí na lidském kapitálu rodičů
Ht a na čase et, který rodiče stráví s dětmi ( je kladný parametr) ­ čím chytřejší
a starostlivější rodiče, tím líp jsou na tom jejich děti.
Ht+1 = etHt (7.16)
Nyní určíme, jak je v našem modelu porodnost závislá na lidském kapitálu.
Dosadíme-li omezení (7.15) a (7.16) do užitkové funkce, dostaneme:
max
nt,et
{ln(wt(H0 + Ht)(1 - hnt - et)) + ln(nt(H0 + etHt))}
Podmínky prvního řádu:
u
nt
= -
h
1 - hnt - et
+
1
nt
= 0  et = 1 - 2hnt (7.17)
u
et
= -
1
1 - hnt - et
+
Ht
H0 + etHt
= 0 (7.18)
51
Dosadíme-li z první podmínky do druhé za et:
Ht(1 - hnt - (1 - 2hnt)) = H0 + (1 - 2hnt)Ht
Hthnt = H0 + Ht - 2Hthnt
nt =
1
3h
H0
Ht
+ 1 (7.19)
ˇ Klíčovým prvkem porodnosti je lidský kapitál Ht.
ˇ Je-li velmi nízký, je hodně dětí.
ˇ Je-li naopak velmi vysoký, porodnost klesá, až počet dětí dosáhne ustále-
ného stavu n = 1/(3h).
ˇ Je tomu tak ze dvou důvodů. Pokud lidský kapitál roste, roste i hodnota
času a trávit čas s dětmi je nákladnější. Dále lidé s vyšším lidským kapitá-
lem jsou lepší v učení svých dětí, takže se spíše soustředí na jejich kvalitu
než kvantitu.
ˇ Model tedy vysvětluje, proč je porodnost v industrializovaných zemích
mnohem nižší než v rozvojových zemích.
ˇ Dále také vysvětluje diferenciaci porodnosti jednotlivých skupin v zemi
­ lidé s nižším vzděláním si volného času cení málo, takže čas strávený
s dětmi pro ně není tak drahý.
ˇ Model však nevysvětluje, jak se dostat z jednoho stavu do druhého.
7.6 Cvičení
Příklad 7.1. Předpokládejme agregátní produkční funkci Y = 3L0.7
K0.3
a
L = 150. Pracovní síla i produktivita jsou konstantní, depreciace je 10% a 20%
výstupu je každý rok uspořeno a investováno. Jaký je ustálený stav výstupu?
Příklad 7.2. Předpokládejme, že Solowův model popisuje situaci v Kuwaitu.
Po válce v zálivu byla většina kapitálu (na těžbu ropy, vozidla, infrastruktura)
zničena. Odpovězte na následující otázky, uved'te stručné zdůvodnění.
52
ˇ Jaký bude dopad války na důchod na hlavu v následujících pěti letech?
ˇ Jaký bude dlouhodobý dopad války na důchod na hlavu?
ˇ Jaký bude dopad na roční tempo růstu důchodu na hlavu v následujících
pěti letech?
ˇ Jaký bude dlouhodobý dopad na roční tempo růstu důchodu na hlavu?
ˇ Bude zotavení v Kuwaitu rychlejší, pokud budou zahraniční investice po-
voleny nebo pokud budou zakázány?
ˇ A co kuwaitští pracovníci ­ získali by nebo by na tom byli hůř při prohibici
zahraničních investic? A co místní kapitalisté?
Příklad 7.3.
ˇ Ze souboru USA.txt načtěte data o vývoji amerického reálného HDP,
reálného kapitálu a zaměstnanosti. Tyto veličiny vykreslete do (samostat-
ných) obrázků.
ˇ Dopočtěte příspěvek technologického pokroku za předpokladu, že pro-
dukční funkce je tvaru Yt = (AtLt)
K1-
t-1 (uvažujte  = 0.6). Tuto
veličinu také vykreslete do obrázku.
ˇ Spočtěte tempa růstu všech veličin (Y, L, K, A) a vykreslete jejich průběh
do (samostatných) obrázků.
ˇ Spočtěte průměrná tempa růstu všech čtyř veličin a zobrazte je do obrázků
s tempy růstu.
ˇ Vypočtěte podíly práce, kapitálu a technologického pokroku na hospodář-
ském růsu (viz část růstové účetnictví).
ˇ Vypočtěte jejich průměrné hodnoty za celé sledované období.
53
Příklad 7.4. D Ú
Stáhněte si někde údaje o reálném HDP vybrané země (můžete použít data
z předchozího úkolu) a analyzujte přínos jednotlivých výrobních faktorů na hos-
podářském růstu této země. (Využijte postupu, který byl proveden na cvičení
pro data USA).
Protože data vývoje kapitálu jsou poměrně obtížně sehnatelná (zkuste najít
něco jako "total real capital", rozhodně ne "gross capital formation", což jsou
investice), stačí, když najdete údaje o vývoji pracovních sil L např. na dříve
zmíněných internetových adresách (hledejte něco jako "total employment") a
zjistíte společný přínos kapitálu a technologického pokroku na celkovém hos-
podářském růstu. Pokud ovšem data kapitálu (ne investice!!!) najdete, budete to
mít poněkud jednodušší.
Parametr  zvolte podle odhadu, který naleznete v souboru alpha.xls.
Podle toho, z jakého období máte data, použijte průměr hodnot z odpovídajících
let. Pokud tam vaše země není, ale jedná se o zemi EU nebo OECD, za které je
tam průměr, tak použijte tento průměr. Jinak se zkuste podívat někde jinde, nebo
použít odhad pro zemi, která je s vaší zemí na obdobné ekonomické úrovni.
Vypočtěte tempo růstu a průměrné tempo růstu HDP a pracovních sil za dané
obdbí. Vypočtěte podíl a průměrný podíl práce na hospodářském růstu; dále
průměrný podíl "rezidua" na hospodářském růstu jako jedna mínus průměrný
podíl práce. Výsledky zobrazte do obrázků.
Nezapomeňte si práci podepsat, uvést svoje U ČO, dále uvést název práce,
P ŘESN Ý ZDROJ a popis dat, závěr práce. Spolu s prací (na papíře) odevzdáte
také zdrojový soubor s daty a m-file s analýzou růstu (mailem nebo na disketě).
Termín odevzdání 24.11.2005.
54
8. Monetární politika ­ statický model
ˇ Dynamicky konzistentní politika ­ akce plánované v čase t pro čas t + i
zůstávají optimálními, když čas t + i nastane.
ˇ Dynamicky nekonzistentní politika ­ v čase t+i nebude optimální reagovat
tak, jak bylo původně plánováno v čase t.
8.1 Cílová funkce
Většinou cílová funkce centrální banky zahrnuje výstup (nebo zaměstnanost)
a inflaci. Výstup se objevuje ve formě lineární (8.1) nebo kvadratické (8.2).
U = (y - yn) -
1
2
2
, (8.1)
kde y je skutečný výstup, yn je přirozená úroveň výstupu ekonomiky a  je míra
inflace,  je relativní váha výstupu vzhledem k inflaci.
V =
1
2
(y - yn - k)2
+
1
2
2
. (8.2)
ˇ Centrální banka chce stabilizovat jak výstup (kolem úrovně yn + k), tak
inflaci (kolem nuly).
ˇ Nejčastěji se předpoklad k > 0 vysvětluje přítomností distorzí na trhu
práce, které způsobí, že rovnovážná míra výstupu ekonomiky je neúčinně
nízká; dále přítomností daní, monopolů či sektorů s monopolistickou kon-
kurencí
ˇ Stabilizace výstupu kolem yn+k = druhé nejlepší řešení (tj. suboptimální),
(nejlepší = eliminace původních distorzí).
55
ˇ Další příčinou může být politický tlak na centrální banku.
Uvedené dvě alternativy cílové funkce (8.1) a (8.2) jsou si blízce podobné
(U = (y - yn) - 1
22
), protože (8.2) lze psát jako:
V = -k(y - yn) +
1
2
2
+
1
2
(y - yn)2
+
1
2
k2
.
ˇ První dva členy jsou tytéž jako v lineární užitkové funkci (ale s opačnými
znaménky, protože V je ztrátová funkce, kdežto U užitková).
ˇ Předpoklad kladného k je ekvivalentní přítomnosti užitku z expanze výstupu
nad yn (první člen).
ˇ Navíc V zahrnuje ztrátu, která vzniká z odchylek výstupu od yn (třetí člen).
ˇ Poslední člen obsahující k2
je prostá konstanta a tedy nemá žádný efekt na
rozhodnutí centrální banky.
ˇ Cílem monetární politiky je stabilizace inflace a ne stabilizace cenové
úrovně.
ˇ Instrumentem MP bude peněžní zásoba, m je míra růstu nominální peněžní
nabídky, člen v představuje náhodnou složku, tzv. šok v rychlosti peněz,
kde E(v) = 0.
 = m + v (8.3)
8.2 Ekonomika
8.2.1 Agregátní nabídka
y = yn + s( - e
) + e, (8.4)
ˇ Lucasův typ agregátní nabídky
ˇ y je výstup, yn je přirozená úroveň výstupu ekonomiky,  je skutečná
míra inflace, e
je očekávaná míra inflace, s popisuje vlivy peněžních
překvapení na produkci, e je nabídkový šok, kde E(e) = 0
56
ˇ Tento tvar agregátní nabídky lze odůvodnit přítomností nominálních mzdo-
vých smluv na jedno období, které se nastavují na začátku každé periody
na základě očekávání veřejnosti ohledně míry inflace.
ˇ  > e
 reálné mzdy budou nižší a firmy budou rozšiřovat zaměstna-
nost, tj. produkt poroste
ˇ  < e
 reálné mzdy budou převyšovat očekávanou úroveň, zaměstna-
nost, a tedy i produkt, se sníží
8.2.2 Předpoklady modelu
ˇ očekávání soukromého sektoru jsou určena dříve, než centrální banka zvolí
míru růstu nominální peněžní nabídky
ˇ CB může před nastavením instrumentu m pozorovat náhodnou složku e
(tj. nabídkový šok), ale ne šok v
ˇ náhodné složky e a v jsou nekorelované, tj. E(ev) = 0, protože E(e) =
E(v) = 0.
8.3 Rovnovážná inflace při lineární formulaci
CB maximalizuje očekávanou hodnotu kriterální funkce U. Substituujeme
výrazy (8.4) a (8.3) do cílové funkce centrální banky (8.1):
U = [s(m + v - e
) + e] -
1
2
(m + v)2
.
Podmínka optimality prvního řádu pro volbu m za podmínky e při dané e
(E(v) = 0) je
E
U
m
= s - m = 0
neboli
m = s > 0. (8.5)
ˇ m = s  max U
57
ˇ  t = s + v
ˇ e
= E[m] = s (průměrná inflace je plně anticipovaná)
ˇ y = yn + sv + e
8.3.1 Diskrece
ˇ kladná průměrná míra inflace s
ˇ soukromý sektor inflaci zcela anticipuje  žádný efekt na výstup
ˇ velikost inflačních tlaků se zvyšuje s efekty peněžních překvapení na výs-
tup, tj. čím větší s, tím větší je podnět centrální banky dělat inflaci
ˇ po rozpoznání tohoto faktu očekávají soukromí agenti vyšší míru inflace
ˇ inflační tlaky se také zvyšují s relativní váhou výstupu , malé  = méně
podnětů generovat inflaci
¨¨¨¨¨¨¨
¨¨¨
¨¨¨¨¨¨¨¨
¨
¨¨¨
¨¨¨¨
mezní zisk
mezní náklad

s

Obrázek 8.1: Rovnovážná inflace při diskreci (lineární verze)
ˇ Při nulové míře inflace je mezní zisk z generování malé inflace pozitivní,
protože při již nastavených mzdách je efekt přírůstkového zvýšení inflace
na výstup roven s > 0 (viz rovnice (8.4)).
58
ˇ Odpovídající hodnota zisku z tohoto zvýšení výstupu je s.
ˇ To je zobrazeno na obrázku 8.1 horizontální čarou ve výši s.
ˇ Mezní náklad inflace je roven .
ˇ Při nulové míře inflace je tento mezní náklad nulový, takže mezní zisk
z inflace převyšuje mezní náklad.
ˇ Mezní náklad však roste (lineárně) s inflací, jak je zachyceno na obrázku.
ˇ Při míře očekávané inflace rovné s se mezní náklad rovná meznímu zisku.
E[Ud
] = E (sv + e) -
1
2
(s + v)2
= -
1
2
(s2
2
+ 2
v)
ˇ E[v] = E[e] = E[ev] = 0, 2
v je rozptyl náhodné složky v.
ˇ Očekávaný užitek se snižuje s rozptylem náhodné složky v, také s vahou
přidělenou výstupu vzhledem k inflačním cílům , protože větší  zvyšuje
průměrnou míru inflace (rovnou s).
ˇ Zatímco náhodná složka v je neodstranitelná, ztráta kvůli inflačním tlakům
vzniká pouze ze zbytečných pokusů monetární autority o stimulaci výstupu.
8.3.2 Pravidlo
ˇ Monetární autorita je schopná se zavázat k nějakému pevnému závazku,
např. k nulovému růstu peněžní zásoby, tj. m = 0.
ˇ   = v
ˇ Očekávaný užitek při pravidle je větší než při diskreci.
ˇ Diskrece v tomto případě generuje náklad ve výši 1
2s2
2
.
E[Uc
] = E (sv + e) -
1
2
v2
= -
1
2
2
v > E[Ud
].
59
8.4 Rovnovážná inflace při kvadratické formulaci
ˇ ztráta spojená s fluktuacemi výstupu a inflace kolem cílových úrovní
ˇ stejné základní závěry jako u formulace (8.1)
ˇ diskrece vede ke kladným průměrným inflačním tlakům a nižšímu očeká-
vanému užitku
ˇ bude existovat potenciální prostor pro to, aby politika snížila fluktuace
výstupu způsobené nabídkovým šokem e
ˇ substituce výrazů (8.4) a (8.3) do kvadratické ztrátové funkce (8.2) dává:
V =
1
2
[s(m + v - e
) + e - k]2
+
1
2
(m + v)2
m je zvoleno po pozorování šoku e, ale před pozorováním šoku v, pak
podmínka optimality
E
V
m
= s[s(m - e
) + e - k] + m = 0
neboli
m =
s2
e
+ s(k - e)
1 + s2
. (8.6)
ˇ ve vztahu (8.6) se objevuje šok agregátní nabídky (e) ­ vzniká prostor
pro stabilizační politiku (substituce určité inflační volatility za sníženou
volatilitu výstupu).
ˇ optimální politika závisí na očekáváních soukromého sektoru ohledně in-
flace
e
= E[m] =
s2
e
+ sk
1 + s2
 e
= sk > 0
60
8.4.1 Diskrece
Dosadíme e
= sk do rovnice (8.6) a s (8.3) dostaneme výraz pro rovnováž-
nou míru inflace při diskreci d
:
d
= m + v = sk -
s
1 + s2
e + v, (8.7)
ˇ Rovnováha v případě, kdy centrální banka jedná diskrečně, znamená klad-
nou průměrnou míru inflace rovnou sk, protože E[e]=E[v]=0.
ˇ Nedochází k žádnému efektu na výstup (obdobně jako u lineární formu-
lace), protože soukromý sektor tuto míru inflace zcela anticipuje (e
=
sk).
ˇ Velikost inflačních tlaků roste s distorzí výstupu (k), s efektem peněžního
překvapení na výstup (s) a s vahou, kterou přiděluje centrální banka cíli
výstupu ().
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

OP
45
e
m

Obrázek 8.2: Rovnovážná inflace při diskreci (kvadratická verze)
ˇ Budeme na chvíli ignorovat náhodné šoky e a v, rovnováha ­ viz obrázek
8.2.
61
ˇ Rovnice (8.6) pro optimální volbu instrumentu m je zde zobrazena pro
e = 0 jako přímka OP (pro optimální politiku). Sklon této přímky je
s2
/(1 + s2
) < 1 (tj. méně než 45
), s průsečíkem sk/(1 + s2
) > 0
na vertikální ose.
ˇ Růst očekávané míry inflace vyžaduje, aby CB zvýšila aktuální inflaci o
stejné množství, aby dosáhla téhož efektu na výstup. Tato akce zvyšuje
náklady spojené s inflací, CB považuje za optimální zvýšit inflaci méně
oproti růstu očekávané inflace e
, tj. sklon přímky OP je menší než 1.
Kladný průsečík přímky OP s vertikální osou odráží fakt, že pokud e
=
0, je optimální politikou centrální banky nastavit pozitivní míru inflace.
ˇ V rovnováze e
= , tj. na přímce 45
.
ˇ Zvýšení k, míry distorze výstupu, posunuje přímku OP nahoru a vede
k vyšší rovnovážné míře inflace.
ˇ Růst parametru s, tj. dopadu inflačního překvapení na reálný výstup, má
dva efekty. Jednak zvyšuje sklon přímky OP; zvýšení efektu inflačního
překvapení na výstup zvyšuje mezní zisk centrální banky z větší inflace.
Dále také zvýšení dopadu inflačního překvapení na výstup snižuje inflační
překvapení potřebné k tomu, aby se výstup posunul k úrovni yn + k, a
pokud je  velké, průsečík přímky OP s osou 45
může klesnout.
Čistým efektem ze zvýšení parametru s je zvýšení rovnovážné míry inflace
-- viz rovnice (8.7), která ukazuje, že rovnovážná míra inflace pokud e =
0 je rovna sk, což je výraz rostoucí v s.
ˇ Koeficient u nabídkového šoku e v rovnici (8.7) je záporný. Tedy pozitivní
nabídkový šok vede ke snížení růstu peněžní nabídky a inflace, což zna-
mená snížení dopadu šoku e na výstup (koeficient u e v rovnici výstupu
(8.4) bude 1/(1 + s2
), což je menší než 1). Čím větší je váha přiřazená
cíli výstupu , tím menší bude dopad šoku e na výstup.
62
Použije-li se výrazu (8.7), ztrátová funkce centrální banky při diskreci je
V d
=
1
2

1
1 + s2
e + sv - k
2
+
1
2
sk -
s
1 + s2
e + v
2
. (8.8)
Nepodmíněná střední hodnota této ztráty je rovna
E(V d
) =
1
2
E
1
1 + s2
2
e2
+ s2
v2
+ k2
+
2sev
1 + s2
-
2ke
1 + s2
- 2skv +
+
1
2
E s2
2
k2
+ v2
+
s2
2
e2
(1 + s2)2
+ 2skv -
2sve
1 + s2
-
2s2
2
ke
1 + s2
E(V d
) =
1
2

1
(1 + s2)2
2
e + s2
2
v + k2
+
1
2
s2
2
k2
+ 2
v +
s2
2
(1 + s2)2
2
e
Tedy celkem:
E(V d
) =
1
2
(1 + s2
)k2
+
1
2

1 + s2
2
e + (1 + s2
)2
v , (8.9)
kde symbol 2
označuje rozptyl.
8.4.2 Pravidlo
ˇ Centrální banka byla schopná zavázat se předem k politickému pravidlu
dříve, než se utvoří soukromá očekávání.
ˇ Monetární autorita chce reagovat na nabídkový šok e.
ˇ Politické pravidlo bude tvaru
mc
= b0 + b1e.
ˇ e
= E(mc
) = b0
ˇ Substitucí tohoto výrazu do kvadratické ztrátové funkce se dostane:
V c
=
1
2
[s(b1e + v) + e - k]2
+
1
2
(b0 + b1e + v)2
. (8.10)
63
ˇ CB se zaváže k určitým hodnotám parametrů b0 a b1 před zformováním
inflačních očekávání a před realizací šoku e.
ˇ Parametry b0 a b1 jsou vybrány tak, aby minimalizovaly očekávanou střední
hodnotu ztrátové funkce:
E(b0 + b1e) = 0  b0 = 0
E
V c
b1
= E{[s(b1e + v) + e - k]se + b1e2
} =
= E{(s2
b1e2
+ s2
ev + se2
- ske + b1e2
} =
= E{e2
[b1(1 + s2
) + s]} = 0  b1 = -
s
1 + s2
Tedy optimální politika se závazkem:
mc
= 0 + b1e = -
s
1 + s2
e. (8.11)
Průměrná inflace při závazku předem bude nulová (b0 = 0), ale reakce na šok
na agregátní nabídku je stejná, jako při diskreci (viz výraz (8.7)). Očekávaná
střední hodnota ztrátové funkce při závazku je:
64
E(V c
) = E{
1
2
[s(b1e + v) + e - k]2
K
+
1
2
(b1e + v)2
L
} = E(K) + E(L)
E(K) =
1
2
E{(sb1e + sv + e - k)2
} =
=
1
2
E{s2
b2
1e2
+ s2
v2
+ e2
+ k2
+ 2sb1e2
} +
+
1
2
E{2s2
b1ev - 2sb1ek + 2sve - 2svk - 2ek} =
=
1
2
k2
+
1
2
s2
2
v +
1
2
2
e(s2
b2
1 +  + 2sb1)
E(L) =
1
2
E{b2
1e2
+ v2
+ 2b1ev} =
1
2
b2
12
e +
1
2
2
v
E(V c
) =
1
2
k2
+
1
2
2
v(1 + s2
) +
1
2
2
e[b2
1(1 + s2
) +  + 2sb1] =
=
1
2
k2
+
1
2
2
v(1 + s2
) +
1
2
2
e
s2
2
+  + s2
2
+ 2s(-s)
(1 + s2)
Tedy celkem:
E[V c
] =
1
2
k2
+
1
2

1 + s2
2
e + (1 + s2
)2
v , (8.12)
což je ostře menší, než ztráta při diskreci. Z porovnání výrazů (8.9) a (8.12) je
vidět, že náklad diskrece je roven (sk)2
/2, což je prostě ztráta odpovídající
nenulové míře inflace.
8.5 Problém nekonzistence
ˇ Inflační tlaky, které vznikají při diskreci, se objevují ze dvou důvodů. Za
prvé, centrální banka má podnět dělat inflaci, pokud jsou nastavena oče-
kávání soukromého sektoru. Za druhé, centrální banka není schopna se
předem zavázat k nulové průměrné míře inflace právě kvůli problému
dynamické nekonzistence. Proto se důležitým prvkem stává kredibilita
monetární autority.
65
ˇ Pokud CB oznámí, že bude nulová míra inflace a veřejnost tomu uvěří,
tj. e
= 0, potom je optimální politika jiná než ta, která byla oznámena
(= dynamická nekonzistence), protože ze vztahu (8.5) je jasné, že op-
timální politikou pro centrální banku bude zahrnout nastavení m > 0
a průměrná míra inflace bude kladná.
Oznámení centrální banky se tedy nebude věřit. Centrální banka se nemůže
věrohodně zavázat k politice s nulovou inflací, protože při takové politice
(tj. pokud  = e
= 0), je mezní náklad z malého zvýšení inflace roven
1
22
/ =  = 0, zatímco mezní zisk je s > 0 při lineární formulaci
cílové funkce, nebo sk > 0 při kvadratické formulaci.
Protože mezní zisk převyšuje mezní náklad, centrální banka má podnět ne-
dodržet svůj závazek. Společnost je v horší situaci při výsledku u diskreční
politiky, protože zažívá kladnou průměrnou míru inflace bez systematické-
ho zlepšení výstupu.
ˇ Před analýzou dynamické nekonzistence F. E. Kydlanda a E. C. Prescotta
ekonomové debatovali, zda má být monetární politika řízena podle jed-
noduchého pravidla, jakým je např. Friedmanovo pravidlo k-procentního
růstu nominální nabídky peněz, nebo zda by centrální banky měly mít
možnost reagovat diskrečně. Je-li optimální sledování jednoduchého pra-
vidla, při diskreci lze vždy vybrat takové pravidlo??? Tedy vypadá to, že
při diskreci se
"
nic nepokazí a něco se může vylepšit". Ale jak ukazuje
výše uvedený Barro-Gordonův model, při diskreci lze skutečně
"
pokazit";
omezení flexibility monetární politiky může vyústit k lepšímu výsledku.
ˇ Předpokládejme, že je CB přinucena nastavit m = 0. To zabraňuje in-
flačním tlakům, ale také zamezuje centrální bance zabývat se stabilizační
politikou. S kvadratickou ztrátovou funkcí danou formulací (8.2) je potom
očekávaná ztráta při tomto politickém pravidle rovna
1
2(2
e + k2
) + 1
2(1 + s2
)2
v.
Porovnáme tento výraz s výrazem pro nepodmíněnou očekávanou ztrátu
při diskreci E(V d
) daným rovnicí (8.9).
66
1
2
(1 + s2
)k2
+
1
2
2
e
(1 + s2)
+
1
2
(1 + s2
)2
v >
1
2
(2
e + k2
) +
1
2
(1 + s2
)2
v

s2
2
k2
+ k2
+ 2
v + s2
2
v +

1 + s2
2
e > 2
e + k2
+ 2
v + s2
2
v

s2
2
k2
+

1 + s2
2
e > 2
e

s2
2
k2
>
2
e
1 + s2
( + s2
2
- )
Z výše uvedeného odvození je patrné, že pravidlo nulového růstu bude pre-
ferováno, pokud
s2
2
1 + s2
2
e < (sk)2
. (8.13)
ˇ Levá strana rovnice (8.13) měří zisky z diskreční stabilizační politiky,
pravá strana měří náklad inflačních tlaků, které se objevují při diskreci.
ˇ Je-li druhá zmíněná veličina větší, očekávaná ztráta bude nižší, pokud
je centrální banka přinucena sledovat pravidlo fixní míry růstu peněžní
zásoby.
ˇ Zda vyústí v lepší výsledek politiky sledování jednoduchého pravidla, kte-
ré omezuje schopnost centrální banky reagovat na nové okolnosti, nebo po-
volení diskrece, která generuje průměrné inflační tlaky, je otevřená otázka.
ˇ Tento model také pomáhá zvýraznit úlohu kredibility monetární autority
tím, že ilustruje, proč se slibům centrální banky o snížení inflace nemusí
věřit.
8.6 Pohled teorie her
ˇ Pro jednoduchost uvažme, že CB může zvolit jen dvě možné míry inflace,
a že veřejnost jednu z těchto dvou možností očekává. Výsledek, který
odvodíme, lze zobecnit na možnost libovolné volby.
67
ˇ Inflace, a tedy i inflační, očekávání nabývají hodnot z množiny {0, 1}.
Jsou tedy čtyři možné kombinace skutečné a očekávané inflace, které mo-
hou nastat. Užitek z každé situace pro vládu a pro agenty popisuje násle-
dující tabulka.
Agenti CB
 = 0  = 1
e
= 0 UCB
= 0, Up
= 0 UCB
= 1, Up
= -1
e
= 1 UCB
= -1, Up
= -1 UCB
= -0.5, Up
= 0
ˇ Jedná se vlastně o bimaticovou hru.
ˇ V každém kole domácnosti volí řádek a CB sloupec, dosáhnou při tom
užitku zapsaného v jejich matici v příslušném řádku a sloupci.
ˇ Nyní nalezneme rovnovážnou situaci naší hry, která je vlastně modelem
nekooperativního vedení MP, tj. případ diskrece s pomocí matic P a CB.
P =
0 -1
-1 0
CB =
0 1
-1 -0.5
ˇ Očekává-li domácnost nulovou inflaci (volí 1. řádek), je pro CB nejvýhod-
nější přivodit inflaci  = 1 (modře), tj. 2. sloupec.
ˇ Očekává-li domácnost inflaci 1 (volí 2. řádek), je pro CB nejvýhodnější
přivodit inflaci  = 1 (červeně), tj. 2 sloupec.
ˇ Pokud CB nastaví nulovou inflaci (volí 1. sloupec), je pro agenty nejlepší
očekávat nulovou inflaci (fialově) ­ tj. 1. řádek, ale nejdená se o rovnovážný
bod, tj. není to tzv. bod Nashovy rovnováhy, protože pro CB by pak bylo
optimální nastavení nenulové inflace.
ˇ Pokud CB nastaví inflaci 1 (volí 2. sloupec), je pro agenty nejlepší očekávat
inflaci 1 (zeleně), tj. volí 2 řádek. Protože nejlepší reakce CB na tuto
situaci je nastavit inflaci na 1, jedná se o jedinou rovnovážnou situaci,
kdy dochází ke zbytečnému vzniku nenulové míry inflace, protože se CB a
agenti neumí domluvit. Pokud by se domluvit mohli a hráli by  = e
= 0,
byli by na tom lépe.
68
9. Monetární politika ­ dynamický model
9.1 Model ekonomiky
ˇ Model všeobecné dynamické rovnováhy s dočasnými nominálními rigidi-
tami  MP ovlivňuje v krátkém období reálnou ekonomiku.
ˇ Rovnice agregátního chování se odvozují z optimalizace domácností a
firem. Nebudeme uvažovat investice a kapitálovou akumulaci, což neovliv-
ňuje žádné kvalitativní závěry.
ˇ Současné chování záleží jak na současné politice, tak na očekávaném bu-
doucím průběhu MP.
ˇ xt je mezera výstupu, tj rozdíl mezi skutečnou produkcí a její potenciální
úrovní1
. t je míra inflace v čase t, it je krátkodobá nominální úroková
míra, každá z proměnných je obdobně vyjádřena jako odchylka od dlou-
hodobého trendu. Et značí očekávání založené na informaci dosažitelné
v čase t; gt je poptávkový šok, vt šok nabídkový; ,   (0, 1).
Poptávková strana ekonomiky
ˇ Vpředhledící křivka IS (9.1). Lze ji odvodit logaritmickou linearizací spo-
třební Eulerovy rovnice vycházející z optimálního rozhodnutí domácností
o úsporách.
xt = -(it - Ett+1) + Etxt+1 + gt (9.1)
gt = gt-1 + ^gt (9.2)
1
Potenciální produkcí rozumíme výstup, který by byl dosažen, kdyby mzdy a ceny byly dokonale pružné.
69
ˇ Inverzní vztah mezery výstupu a reálné úrokové sazby, dále pozitivní vztah
mezi současnou a očekávanou produkcí.
ˇ Při vyšších úrokových mírách jsou úvěry dražší, tedy spotřeba i investice
klesají a celková realizovaná produkce klesá. Naopak očekávání příznivého
budoucího vývoje (tj. růst produkce) vede k současnému růstu produkce.
Iterujeme-li rovnici (9.1) dopředu, pak při označení mt = -(it-Ett+1) platí:
xt = mt + Etxt+1 + gt
Etxt+1 = Etmt+1 + EtEt+1xt+2 + Etgt+1
Etxt+2 = Etmt+2 + EtEt+2xt+3 + Etgt+2
...
Do výrazu pro xt nyní dosadíme za výraz pro Etxt+1, do kterého jsme před-
tím dosadili za výraz pro Etxt+2, atd. Potom:
xt = mt + gt + Etmt+1 + Etgt+1 + Etmt+2 + Etgt+2 + . . .
Tedy po nekonečné sumaci:
xt = Et

j=0
[-(it+j - t+1+j) + gt+j] . (9.3)
ˇ Mezera výstupu nezávisí jenom na současné reálné úrokové míře a pop-
távkovém šoku, ale také na očekávaném budoucím vývoji těchto dvou
proměnných.
Nabídková strana ekonomiky
ˇ Vpředhledící Phillipsova křivka (9.4), vztah mezi nominálními a reálnými
veličinami. Odvodí se z kolísajícího nastavení cen v duchu G. Calva.2
t = xt + Ett+1 + vt (9.4)
vt = vt-1 + ^vt, (9.5)
2
Calvo, G.: Staggered Prices in a Utility Maximizing Framework. Journal of Monetary Economics 12, 1983.
70
ˇ Pozitivní vztah mezi současnou inflací a produkcí, a také mezi současnou
a očekávanou inflací.
ˇ Výrobci jsou schopni vyrobit více, ale jsou ochotni to dělat pouze za vyšší
ceny. Vyšší očekávaná inflace je zakomponována do smluv a zvyšuje sou-
časnou míru inflace.
Obdobně jako výše budeme iterovat rovnici (9.4) dopředu:
t = xt + Ett+1 + vt
Ett+1 = Etxt+1 + EtEt+1t+2 + Etvt+1
Ett+2 = Etxt+2 + EtEt+2t+3 + Etvt+2
...
Do výrazu pro t nyní dosadíme za výraz pro Ett+1, do kterého jsme ob-
dobně jako výše dosadili za Ett+2, atd. Potom:
t = xt + vt + (Etxt+1 + Etvt+1) + 2
(Etxt+2 + Etvt+2) + . . .
Tedy po nekonečné sumaci:
t = Et

i=0
i
(xt+i + vt+i) (9.6)
ˇ Inflace závisí zcela na současných a očekávaných budoucích ekonomických
podmínkách (žádná setrvačnost či zpožděná závislost v inflaci).
ˇ Proměnná xt+i zachycuje pohyby v mezních nákladech spojené s kolísáním
přebytečné poptávky. Šok vt+i zachycuje jiné (např. nákladové) vlivy, které
mohou ovlivnit očekávané mezní náklady.
Nástroj a cíl politiky
ˇ Nástrojem MP bude krátkodobá nominální úroková sazba.
ˇ Nominální cenové rigidity  MP ovlivňuje v krátkém období průběh reál-
ných veličin.
71
ˇ Cílová funkce CB
1
2
Et

i=0
i
(x2
t+i + 2
t+i)  min (9.7)
kde parametr  je relativní váha přiřazená odchylkám výstupu.
9.2 Optimální měnová politika bez závazku
ˇ CB volí xt a t, aby maximalizovala cíl (9.7) při dané rovnici inflace (9.4).
Pak, podmíněno optimálními hodnotami xt a t, určuje hodnotu úrokové
sazby it z rovnice (9.1).
ˇ CB bere očekávání soukromého sektoru při řešení optimalizačního problé-
mu za daná, protože je nemůže ovlivnit.
Každou periodu tedy CB vybere xt a t, aby minimalizovala
1
2
(x2
t + 2
t ) + Ft (9.8)
za podmínky
t = xt + ft, (9.9)
kde Ft  1
2Et

i=1
i
(x2
t+i + 2
t+i) , ft  Ett+1 + ut, přičemž Ft a ft
považuje centrální banka za dané.
Lagrangean:
L =
1
2
(x2
t + 2
t ) + Ft + (t - xt - ft)
Podmínky optimality:
L
xt
= xt -  = 0   = xt;
L
t
= t +  = 0   = -t
Celkem podmínka optimality:
xt = -


t (9.10)
72
ˇ CB sleduje politiku
"
opírání se o vítr". Kdykoli je inflace nad cílem, omezí
CB poptávku zvýšením úrokové sazby a naopak, když je inflace pod cílem.
Reakce CB záleží pozitivně na zisku ze snížení inflace na jednotku ztráty
výstupu () a inverzně na relativní váze přidělené ztrátám výstupu ().
Redukovaný tvar výrazů pro xt a t: stačí zkombinovat podmínku optimality
(9.10) s rovnicí agregátní nabídky (9.4) a s rovnicí očekávání inflace.
xt = -
t, Ett+1 = t  t = xt + Ett+1 + vt = -2
 t + t + vt
t( + 2
- ) = vt  t = vt
2+(1-) = qvt, xt = -
t = -
qvt
Tj.:
xt = -qvt (9.11)
t = qvt, (9.12)
kde
q =
1
2 + (1 - )
.
Optimální politika (reakční funkce centrální banky) pro úrokovou sazbu se
najde dosazením příslušné hodnoty xt do křivky IS (9.1). Z výrazu (9.1) plyne:
it = -1
xt + Ett+1 + 1
Etxt+1 + 1
gt a dále
xt = -
t, Ett+1 = t, tedy
it = 
t + t + 1


Et(-
t+1) + 1
gt
= 1
gt + t 1 + 
 - 
 = 1
gt + Ett+1.
Tedy celkem:
it = Ett+1 +
1

gt (9.13)
kde
 = 1 +
(1 - )

> 1
Ett+1 = t
73
ˇ Reakční funkce CB (9.13) se skládá ze 2 částí ­ jednak je to reakce na
inflační očekávání a dále protisměrná reakce na poptávkový šok.
ˇ Při optimální politice v reakci na růst očekávané inflace by se měly nomi-
nální sazby zvýšit dostatečně, aby se zvýšily reálné sazby. Tj. při optimál-
ním pravidle pro nominální úrokovou míru by měl koeficient u očekávané
inflace převýšit jedničku. Kdykoli je inflace nad cílem, optimální politika
požaduje zvýšení reálných sazeb, aby se omezila agregátní poptávka.
ˇ Je-li přítomna náklady tlačená inflace, pak existuje krátkodobá substituce
mezi inflací a výstupem.
ˇ Obrázek zachycuje hranici možností politiky ­ jak se mění směrodatné
odchylky výstupu a inflace (x a ) při optimální politice s preferencemi
CB ().

x
Obrázek 9.1: Hranice možností politiky
ˇ Hranici definují rovnice (9.11) a (9.12). Body napravo od hranice jsou ne-
dostatečně výkonné, body nalevo jsou nedosažitelné. Podél hranice exis-
tuje substituce.
ˇ S rostoucím  (indikujícím relativně větší preference na stabilitu výstupu)
generuje optimální politika nižší standardní odchylku výstupu, ale za cenu
vyšší volatility inflace.
74
Krajní případy jsou:
lim
0
var (xt) = lim
0
var - vt
2+(1-) = lim
0
var vt
 = 2
v
2
lim
0
var (t) = lim
0
var vt
2+(1-) = 0
lim

var (xt) = lim

var - vt
2+(1-) = 0
lim

var (t) = lim

var vt
2+(1-) = lim

var vt
1- = 2
v
(1-)2
Tedy celkem:
  0 : x =
v

;  = 0 (9.14)
   : x = 0;  =
v
1 - 
, (9.15)
kde v je směrodatná odchylka nákladového šoku.
ˇ Substituce se objevuje jenom při inflaci tlačené náklady.
ˇ Pokud pohání inflaci nákladové faktory, je možné snížit inflaci v krátké
době omezením poptávky.
ˇ Pokud v = 0, žádná substituce neexistuje a inflace závisí jen na současné
a budoucí poptávce. Nastavením úrokových sazeb pro xt = 0 pro všechna t,
je CB schopná trefit zároveň inflační cíl a cíl pro výstup po celou dobu.
ˇ V obecném případě s  > 0, v > 0, se jedná o pozvolnou konvergenci
inflace zpět k cíli. Z rovnic (9.12) a (9.5) při optimální politice se obdrží
vztah (9.16), protože 0   < 1. V tomto formálním smyslu optimální
politika zakotvuje cílování inflace.
lim
i
Et{t+i} = lim
i
aqi
vt = 0. (9.16)
ˇ Podmínky pro extrémní inflační cílování jsou vidět ze vztahů (9.14) a
(9.15). Když v = 0 (není náklady tlačená inflace), je optimální poli-
tika okamžitého trefení inflačního cíle bez ohledu na preference. Protože
v tomto případě nedochází k žádné substituci, není nikdy nákladné snažit
se o minimalizaci variability inflace.
75
ˇ Jak vztah (9.14) ukazuje, je optimální pro minimalizaci variance inflace
pokud  = 0, i za přítomnosti náklady tlačené inflace. Obecně je optimální
postupná konvergence k inflačnímu cíli.
9.3 Problém inflačních tlaků
Uvažme nyní cílovou funkci tvaru:
1
2
Et

i=0
i
[(xt+i - k)2
+ 2
t+i]  min (9.17)
Lagrangean:
L = -
1
2
[(xt - k)2
+ 2
t ] + Ft + (t - xt - ft),
kde Ft = -1
2Et

i=1
[(xt+i - k)2
+ 2
t+i] a ft = Ett+1 +ut, přičemž Ft a ft
považuje CB za dané.
Podmínky prvního řádu:
L
xt
= -(xt - k) -  = 0   = -xt + k
L
t
= -t +  = 0   = t
Podmínka optimality:
xk
t = -


k
t + k (9.18)
ˇ Míra inflace bude v tomto případě rovna k
t = -
xt + 
 k, což je právě o
kladný člen 
k více než v případě, kdy se CB nesnažila vytlačovat výstup
nad jeho potenciální úroveň.
ˇ Řešením tohoto problému může být jmenování guvernéra CB, který přidělí
vyšší relativní náklady inflaci než společnost jako celek, snižuje zbytečné
inflační tlaky, ke kterým dochází při diskreci pokud k > 0.
76
ˇ Teorie × praxe? Inflace se ve většině zemí OECD nyní jeví pod kon-
trolou i přes absenci nějakých zřejmých institucionálních změn. Řada zemí
převzala za řešení jmenování guvernéra s
"
odporem" k inflaci?
9.4 Optimální měnová politika se závazkem
CB už nebere očekávání soukromého sektoru za daná, její volba politiky tato
očekávání určuje. Cílem je:
1
2
Et

i=0
i
(x2
t+i + 2
t+i)  min
za podmínky křivky agregátní nabídky tvaru
t+i = xt+i + Et{t+1+i} + vt+i i = 0, . . . , 
kde
vt+i = vt+i-1 + t+i i = 0, . . . , 
Lagrangean:
L =
1
2
Et

i=0
i
[(x2
t+i + 2
t+i) + t+i(t+i - xt+i - t+1+i - vt+i)] ,
(9.19)
kde t+i je multiplikátor spojený s omezením na čas t + i, přičemž pro zjed-
nodušení výpočtu zafixujeme parametr  = 1 . Výpočet extrému rozdělíme na
dvě části, nejprve pro i = 0, pak pro obecné i  1.
a) i = 0:
2xt - t = 0, 2t + t = 0  2xt = t, -2t = t  xt = -
t
b) i  1: Suma v Lagrangiánu obsahuje tyto členy významné z hlediska opti-
malizace pro čas t + i: t+i-1(t+i-1 - xt+i-1 - t+i - ut+i-1),
t+i(t+i - xt+i - t+1+i - ut+i) a (x2
t+i + 2
t+i).
77
Z podmínek optimality plyne:
2xt+i - t+i = 0
2t+i + t+i - t+i-1 = 0.
Tj. t+i = -1
2(t+i -t+i-1), xt+i = 
2t+i, xt+i-1 = 
2t+i-1, z čehož plyne
vztah xt+i - xt+i-1 = 
2(t+i - t+i-1) = -
t+i.
Tedy celkem:
a) i = 1, 2, 3, . . .
xt+i - xt+i-1 = -


t+i (9.20)
b) i = 0
xt = -


t (9.21)
ˇ Optimální politika se závazkem využívá schopnosti centrální banky ovliv-
nit inflaci i pomocí očekávaných budoucích hodnot relevantních veličin.
ˇ Optimální politika se závazkem, na rozdíl od politiky diskreční, požaduje
urovnávání změny v mezeře výstupu jako odpověd' na inflaci. Tj. závazek
mění
"
poměrové" pravidlo pro xt při diskreci, na pravidlo rozdílové, jak
ukazuje porovnání rovnic (9.10) a (9.20).
ˇ V úvodní periodě (tj. t) centrální banka přizpůsobuje xt v reakci na t,
jako by sledovala optimální pravidlo při diskreci, ale pouze v této pe-
riodě. Pokud by centrální banka mohla reoptimalizovat v čase t+i, vybrala
by stejnou politiku, kterou implementovala v čase t (dynamická nekonzis-
tence).
ˇ Určitou komplikaci představuje skutečnost, že pravidlo úrokové míry může
mít nežádoucí vedlejší efekty. Zkombinují-li se rovnice (9.20) a (9.1), ob-
drží se optimální pravidlo úrokové míry (9.22):
78
-
t+1 = xt+1 - xt, it = Ett+1 + 1
gt + 1
(Etxt+1 - xt), tedy
it = 1 -


Ett+1 +
1

gt (9.22)
ˇ Koeficient u očekávané inflace je menší než 1. Při tomto pravidle vede růst
očekávané inflace k růstu nominální úrokové míry, ale k poklesu reálné
úrokové sazby, tj. nominální sazby se nezvýší dostatečně, aby došlo ke
zvýšení sazeb reálných. Tedy CB místo aby ekonomiku utlumila, způsobuje
její další růst, to znamená další růst produkce i inflace. Ale agenti vědí,
jakého pravidla se CB drží, může tudíž být cílů dosaženo s menšími ztrá-
tami.
9.5 Praktické komplikace
9.5.1 Nedokonalá informace
ˇ V praxi není CB schopna zjistit včas všechny potřebné informace o stavu
ekonomiky.
ˇ Určitou dobu trvá, než se data sesbírají a zpracují; odebírání vzorků je
nedokonalé; některé klíčové proměnné jako potenciální produkt nejsou
přímo pozorovatelné a jsou zřejmě měřeny s velkou chybou.
ˇ Pravidla mohou být tedy vyjádřena pouze v termínech příslušných před-
povědí. Alternativou je užití mezicíle, který je přímo pozorovatelný.
ˇ Už není jedno, co bude instrumentem MP.
9.5.2 Transmisní zpoždění
ˇ Řada studií ukazuje zpoždění 6 až 9 měsíců v efektu změny úrokových
sazeb na výstup, na inflaci asi rok a půl.
79
ˇ Informace o dopadu současné MP na inflaci je dosažitelná pouze s velkým
zpožděním, což způsobuje, že je nemožné kontrolovat provádění politiky.
Tento problém je možné částečně obejít zaměřením se na předpověd' in-
flace. Předpověd' je okamžitě dostupná a poskytuje rychlý způsob pro
posouzení průběhu politiky, ale pro vytvoření správné předpovědi musí
mít CB dobrý strukturální model ekonomiky.
9.5.3 Volba instrumentu
ˇ úroková sazba × peněžní agregát??
ˇ Necht' je poptávka po bankovních rezervách dána jako
mt - pt = yt - it + ut, (9.23)
kde pt je cenová úroveň a ut je náhodný šok v poptávce po penězích mt.
ˇ Je-li šok ut perfektně pozorovatelný, pak je jedno, zda se použije jako
instrument politiky it nebo mt. Pokud ale šok ut není pozorovatelný, už to
není jedno. Je-li intrumentem úroková míra, nechá CB přizpůsobit peněžní
zásobu šoku v poptávce po penězích. Nedochází k žádnému dopadu šoků
v poptávce po penězích na výstup nebo inflaci, protože je centrální banka
dokonale akomoduje. Při cílování peněz je opak pravdou. Úroková sazba
a výstup se uzpůsobují, aby se vyčistil trh peněz.
9.5.4 Vyhlazování úrokových měr
ˇ Optimální politika předpovídá více proměnlivé trajektorie úrokových měr,
než je pozorováno v praxi.
ˇ Tvůrci politiky to nejsou ochotni akceptovat v praxi  vyhlazování úro-
kových měr (smoothing).
ˇ Následující pravidlo MP zachycuje celkem dobře posledních dvacet let:
it = (1 - )( + t + xt) + it-1 + t, (9.24)
80
kde  je konstanta interpretovatelná jako ustálený stav nominální úrokové
míry a   0, 1 je parametr, který odráží stupeň zpožděné závislosti
v úrokové míře.
ˇ Odhady parametru  pro čtvrtletní data jsou typicky kolem 0,8­0,9, což
ukazuje velmi pomalé urovnání v praxi. Existující teorie zkrátka a dobře
nevysvětluje, proč by měla centrální banka upravit úrokové míry takto po-
malým způsobem.
9.5.5 Oportunistický přístup
ˇ Je-li inflace výše než cíl, ale blízko optimu, politika by neměla omezit
agregátní poptávku. Raději by měla zvolit tzv. oportunistický přístup, tj.
měla by počkat, dokud by dosažení inflačního cíle mohlo být dosaženo
s co nejmenšími náklady v termínech snížení výstupu.
ˇ Je možné vysvětlit oportunistickou politiku malou úpravou cílové funkce
politiky. Předpokládejme, že se tvůrci politiky starají poměrně dost o malé
odchylky výstupu od cíle, alespoň relativně k malým odchylkám inflace.
Příkladem cílové funkce zachycující tento jev je:
1
2
Et

i=0
i
(2|xt+i| + 2
t+i)  min (9.25)
Při této cílové funkci přejde podmínka optimality v:
xt = 0  |t| <


; |t| =


jinak. (9.26)
ˇ Tedy pokud je inflace v koridoru 
 jednotek od inflačního cíle, je optimální
politikou stabilizace výstupu. Politika by měla držet inflaci nanejvýš 
 jed-
notek od cíle a pak počkat na příznivé nabídkové šoky, které ji posunou
blíže k cíli (příznivé pohyby v nákladovém šoku vt).
ˇ Vlastně
"
cílování inflační zóny".
81
9.6 Formální zápis modelu
Stavový zápis modelu:
xt = Axt-1 + But
kde xt je vektor stavů v čase t, ut je vektor vsupů, A a B jsou matice koefi-
cientů. My máme model tvaru:
xt = A0xt + A1xt-1 + B0ut
tj.
(I - A0)xt = A1xt-1 + B0ut
Pokud existuje uvedená inverze, pak:
xt = (I - A0)-1
A1
A
xt-1 + (I - A0)-1
B0
B
ut
Náš model (diskrece):
xt = -(it - Ett+1) + Etxt+1 + gt
t = xt + Ett+1 + vt
it = Ett+1 +
1

gt
gt = gt-1 + ^gt
vt = vt-1 + ^vt (9.27)
(9.28)
kde
 = 1 +
(1 - )

> 1, Ett+1 = t
Tedy
stavy: xt =






xt
t
it
gt
vt






vstupy: ut =


Etxt+1
^gt
^vt


82
A0 =







0  - 1 0
  0 0 1
0  0 1
 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0







A1 =






0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0  0
0 0 0 0 






B0 =






1 0 0
0 0 0
0 0 0
0 1 0
0 0 1






Matice A0, A1 a B0 nesou veškerou informaci o modelu. Na jejich základě
se můžeme pokusit model odhadnout vhodnou odhadovou metodou.
9.6.1 Ukázka zadání a odhadu modelu v Matlabu
Viz předvedené m-files a obrázky.
9.7 Cvičení
Příklad 9.1. Mějme Phillipsovu křivku tvaru: u = u  +(e
- ), kde u je
míra nezaměstnanosti, u
je přirozená míra nezaměstnanosti, e
jsou inflační
očekávání,  je skutečná míra inflace. Myslíte, že vlády preferují Phillipsovy
křivky s menším nebo spíš s větším ?
Příklad 9.2. Předpokládejmě ztrátovou funkci CB ve tvaru
V = -u2
- 2
kde  > 0. Čím větší je , tím "hodnější" je guvernér. Dále uvažme Phillipsovu
křivku jako výše tvaru:
u = u
+ (e
- )
a) Předpokládejme, že inflační očekávání již byla zformována na úrovni e
.
Nalezněte optimální volbu míry inflace 0 pro CB.
b) Pro fixní inflační očekávání nalezněte odpovídající míru nezaměstnanosti
u0.
c) Nyní předpokládejme, že soukromý sektor zná optimalizační problém CB i
velikost parametru . Nalezněte míru inflace 1, při níž se skutečná inflace
a inflační očekávání rovnají. Jaká je odpovídající míra nezaměstnanosti?
83
d) Žili byste raději v zemi s nižším nebo s vyšším ?
Příklad 9.3. Nyní se podíváme na vzájemnou interakci soukromého sektoru a
CB v čase. Předpokládejme Phillipsovu křivku ve tvaru:
ut = u
+ (e
t - t) t = 0, 1, . . . , 
CB zná vztah popsaný Phillipsovou křivkou, ale soukromý sektor ne.
Preference CB jsou tvaru:
Vt = -u2
t - 2
t t = 0, 1, . . . , 
Očekávání inflace soukromého sektoru se formují adaptivně:
e
t = t-1 t = 0, 1, . . . , 
Přepokládejme, že e
0 = 0.
a) Předpolkádejme, že CB bere očekávání soukromého sektoru jako daná.
Nalezněte míru inflace 
t (e
t ), která dává optimum cílové funkce.
b) Nastaví-li CB inflaci t = 
t (e
t ), jak se bude vyvíjet inflace v závislosti
na její minulé hodnotě?
c) Jak se vyvíjí trajektorie inflace a nezaměstnanosti v čase? Konvergují někam
nebo se naopak vyvíjí explozivně?
Příklad 9.4. Odhadněte jednotlivé rovnice soustavy (9.27) pomocí matlabovské
funkce regress. Diskutujte výsledky (velikost parametrů, některé charakter-
istiky...) Čím mohou být zjištěné problémy/nesrovnalosti způsobeny?
84
10. Racionální očekávání
10.1 Princip racionálních očekávání
Necht' proměnná t značí očekávanou hodnotu nějaké veličiny pro čas t na
základě informací dosažitelných v čase t. Podobně necht' proměnná t+k značí
očekávanou hodnotu nějaké veličiny pro čas t + k na základě informací dosaži-
telných v čase t. Předpokládejme, že současná hodnota veličiny závisí určitou
měrou () na své očekávané hodnotě v příštím období a na nějakém exogenním
vlivu Yt lineárně:
t = t+1 + Yt (10.1)
Tuto diferenční rovnici můžeme rozepsat pro všechna období t + 1, t + 2 . . .
až do :
t+1 = t+2 + Yt+1
t+2 = t+3 + Yt+2
...
Výraz na pravé straně rovnice pro t+k dosadíme vždy do rovnice předchozí
(zpětná iterace). Provedeme-li to nekonečně mnohokrát, dostaneme t jako
následující nekonečnou sumu:
t = lim
n
(n
t+n + Yt + Yt+1 +    + n
Yt+n) (10.2)
Pokud vývoj veličiny t nijak neomezíme, nemusí být uvedená limita ko-
nečná a systém exploduje. Pokud je parametr  stabilní, tj. pokud   (-1, 1),
dostaneme nekonečně mnoho stabilních řešení. Abychom dostali jediné stabilní
řešení, musí být zároveň splněny dvě podmínky:
85
ˇ   (-1, 1)
ˇ t+n neroste nade všechny meze
Výše uvedené podmínky zajišt'ují, že t+n neexploduje, ale v limitě konver-
guje k nule:
lim
n
n
t+n = 0
Rovnice (10.2) se tedy zjednoduší na:
t =

k=0
k
Yt+k.
Příkladem takového vpředhledícího lineárního modelu je např. Phillipsova
křivka následujícího tvaru:
t = Ett+1 + ^yt, (10.3)
kde t je míra inflace v čase t,  je parametr, Ett+1 = E(t+1|t) jsou
podmíněná očekávání míry inflace v čase t + 1 při znalosti všech relevantních
informací dostupných v čase t.
10.2 Řešení lineárních modelů s RE
10.2.1 Převod modelu
Rovnice v modelu převedeme do následujícího tvaru:
AEtxt+1 = Bxt + C t, (10.4)
kde A, B jsou matice koeficientů příslušejících vektoru xt+1 a xt, C je matice
koeficientů exogenní složky .
Příklad 10.1. Rovnici ve tvaru
t = t-1 + Ett+1 + t (10.5)
chceme převést do podoby rovnice (10.4). Vektor xt tedy bude obsahovat složky
t-1 a t, tedy
Etxt+1 =
t
t+1
xt =
t-1
t
86
Mezi jednotlivými složkami těchto vektorů je vztah (horní index označuje, o
který prvek ve vektoru xt se jedná).
Etx
(1)
t+1 = x
(2)
t (10.6)
Rovnici (10.5) můžeme přepsat jako
x
(2)
t = x
(1)
t + Etx
(2)
t+1 + t (10.7)
Přepis rovnice (10.4) se bude skládat z rovnice (10.7) a dále z rovnice (10.6)
popisující vazbu mezi jednotlivými složkami vektorů xt a xt+1, tedy maticově
lze psát:
0 -
1 0
Etx
(1)
t+1
Etx
(2)
t+1
=
 -1
0 1
x
(1)
t
x
(2)
t
+
1
0 t
což je v původních veličinách
0 -
1 0
Ett
Ett+1
=
 -1
0 1
t-1
t
+
1
0 t.
Prvky vektoru xt, které v čase t známe, nazveme predeterminovanými. Ty,
které neznáme nazveme nepredeterminovanými.
10.2.2 Rozklad a transformace
Dále se budeme zabývat pouze případem, kdy matice A je regulární. Provedeme
několik úprav rovnice (10.4).
AEtxt+1 = Bxt + C t
Etxt+1 = A-1
Bxt + A-1
C t
Etxt+1 = ~Bxt + ~C t, (10.8)
kde ~B = A-1
B a ~C = A-1
C.
Dále pro matici ~B najdeme rozklad
~B = P V P-1
87
kde matice V je čtvercová diagonální matice, obsahující na hlavní diagonále
vlastní čísla. Matice P obsahuje ve sloupcích vlastní vektory. Pro matici V platí
V = P-1 ~BP.
Poznámka: Vlastní vektory v dané matice A jsou takové vektory,
které se tímto zobrazením pouze natahují nebo zkracují, tj.
Av = v
Číslo , které popisuje, jak se vektor zkrátil či natáhl, nazýváme
vlastní číslo. Je-li toto číslo v absolutní hodnotě menší nebo rovno
jedné, jedná se o vlastní číslo stabilní; v opačném případě je to vlastní
číslo nestabilní.
Dále provedeme lineární transformaci vektoru xt
xt = Pzt (10.9)
Tedy každý prvek vektoru zt obsahuje informaci, která ovlivňuje prvek ve
vektoru xt. Tuto transformaci dosadíme do rovnice (10.8) 3
Etxt+1 = ~Bxt + ~C t
Pzt+1 = ~BPzt + ~C t
zt+1 = P-1 ~BP
V
zt + P-1 ~C t
Výsledkem je tedy
zt+1 = V zt + D t,
kde V = P-1 ~BP a D = P-1 ~C.
Abychom dostali jediné řešení, vyžaduje Blanchard-Kahnova podmínka, aby
ˇ počet predeterminovaných veličin v x = počtu stabilních vlastních čísel
nebo obráceně
ˇ počet nepredeterminovaných veličin v x = počtu nestabilních vlastních
čísel
3
Symbol zt+1 zde označuje očekávanou hodnotu a je zjednodušením zápisu Etzt+1.
88
10.2.3 Nestabilní část
Rovnice modelu přeskupíme tak, aby v matici V byla nejdříve seřazena stabilní
vlastní čísla (část matice označená V11) a poté nestabilní (označeno V22). Tomu
samozřejmě odpovídají veličiny ve vektoru z. 4
Obdobně je rozdělena matice
D. Pro ilustraci poslouží toto rozepsání
z =
zs
zu
V =
V11 0
0 V22
D =
D1
D2
Soustavu rovnic vyřešíme nejprve pro nestabilní část. Rozepíšeme si rovnice
pro následující (dvě) časová období.
zu
t+1 = V22zu
t + D2 t (10.10)
zu
t+2 = V22zu
t+1 + D2 t+1 (10.11)
Z rovnice (10.10) si vyjádříme zu
t . Obdobně z rovnice (10.11) vyjádříme zu
t+1
a dosadíme do rovnice (10.10). Výsledkem je poté rovnice (10.12)
zu
t = V -1
22 zu
t+1 - V -1
22 D2 t
zu
t+1 = V -1
22 zu
t+2 - V -1
22 D2 t+1
zu
t = V -2
22 zu
t+2 - V -2
22 D2 t+1 - V -1
22 D2 t (10.12)
Pokud výše naznačený postup budeme aplikovat nekonečně mnohokrát, do-
jdeme k následujícímu výsledku:
zu
t = (V -1
22 )
zu
t+
=0
-

k=0
(V -1
22 )k+1
D2 t+k. (10.13)
Protože matice V22 patří k nestabilní části řešení, má tedy na diagonále vlastní
čísla větší než jedna. Tedy její inverze V -1
22 má na diagonále převrácené hodnoty
matice V22, tj. čísla menší než jedna. Pokud ji budeme nekonečně mnohokrát
umocňovat, tak tyto hodnoty budou konvergovat k nule. Můžeme tedy psát:
zu
t = -

k=0
(V -1
22 )k+1
D2 t+k
4
Veličiny jsou označené horním indexem s jako stable a u jako unstable.
89
10.2.4 Stabilní část
Nyní se můžeme pustit do řešení stabilní (horní) části vektoru z.
zs
t+1 = V11zs
t + D1 t. (10.14)
K vyřešení této diferenční rovnice potřebujeme znát počáteční podmínku,
kterou získáme následujícím způsobem. Vektor xt můžeme rozdělit na následu-
jící složky (predeterminovaná a nepredeterminovaná část):
xt =
xpred.
t
xunpred.
t
Protože xt = Pzt můžeme soustavu rovnic pro názornost napsat jako
P
zs
t
zu
t
=
xpred.
t
xunpred.
t
Matice P má tuto strukturu
P =
P11P12
P21P22
Horní část soustavy můžeme rozepsat
P11zs
t + P12zu
t = xpred.
t
kde zu
t jsme již vypočítali, xpred.
t v čase t známe. Snadno pak můžeme dopočítat
zs
t .
zs
t = P-1
11 (xpred.
t - P12zu
t )
Tento výsledek dosadíme do rovnice (10.14) a iterací získáme celou trajektorii
zt+k. Konečné řešení soustavy pak dostaneme zpětnou transformací
xt = Pzt
10.2.5 BK podmínka
Pokud by Blanchard-Kahnova podmínka nebyla splněna, můžou nastat dva případy
s těmito důsledky:
90
1. Počet nestabilních vlastních čísel > počet nepredeterminovaných proměnných
 soustava nemá ani jedno stabilní řešení
2. Počet stabilních vlastních čísel > počet predeterminovaných proměnných
 soustava má nekonečně mnoho stabilních řešení
10.3 Cvičení
Příklad 10.2. Namodelujte racionální očekávání v násedujícím modelu:
yt = yt-1 + rt + t
t = t-1 + (1 - )Ett+1 + yt + t
rt = it - Ett+1
it = yt + Ett+1 + t
yt je mezera výstupu, t míra inflace, it nominální úroková míra, rt reálná
úroková míra; , , , , ,  jsou parametry; t, t, t jsou náhodné složky.
ˇ Vytvořte soubor zadani.m, který bude obsahovat hodnoty všech para-
metrů, definiční matice modelu A, B a C a vektor predeterminovaných
řádků.
ˇ Dále vytvořte funkci matice.m, která ze zadaného modelu vypočte všech-
ny informace (matice, vlastní čísla) nutné pro výpočet racionálních očeká-
vání.
ˇ Vytvořte funkci reseni.m, která racionální očekávání vyřeší.
ˇ Tyto m-files postupně volejte souborem priklad.m a vykreslete průběh
impulsních odezev při neočekávaném šoku (tj. v t = 0) poptávkovém,
nabídkovém i monetárním; totéž proved'te pro očekávaný šok v t = 4.
91
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
-0.5
0
0.5
1
cas
Neocekavany poptavkovy sok
vystup
inflace
urokova mira
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
-2
0
2
Neocekavany nabidkovy sok
cas
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
-0.5
0
0.5
Neocekavany monetarni sok
cas
Obrázek 10.1: Reakce ekonomiky na neočekávaný poptávkový, nabídkový a monetární šok
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
-0.5
0
0.5
1
1.5
cas
Ocekavany poptavkovy sok v t=4
vystup
inflace
urokova mira
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
-1
0
1
2
Ocekavany nabidkovy sok v t=4
cas
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
-0.5
0
0.5
Ocekavany monetarni sok v t=4
cas
Obrázek 10.2: Reakce ekonomiky na očekávané šoky v čase t=4
92
11. Metody odhadu
11.1 Odhad parametrů
ˇ Klasický přístup: parametry modelu jsou považovány za deterministické
a konstantní v čase. Používá se např. MN Č nebo MMV, obě dávají pro
lineární modely
"
pěkné" výsledky.
ˇ Bayesovský přístup: Parametry jsou považovány za v čase proměnlivé ná-
hodné proměnné. Model se tedy stává dynamickým systémem. Pokud je
lineární, výsledky jsou opět pěkné a algoritmus, který lze použít k odhadu,
se nazývá Kalmanův filtr. Pokud systém není lineární, lze ho odhadnout
pomocí rozšířeného Kalmanova filtru, který se použije na linearizovaný
tvar systému. Alternativní metodou je např. použití Bootstrap filtru.
11.2 Metoda nejmenších čtverců
Lineární regresní model (LRM) vysvětluje chování náhodné veličiny y pomocí
náhodných veličin xi tak, že předpokládá lineární závislost na paramterech, tj.:
yt = b0 + b1xt1 + b2xt2 + . . . + bkxtk + ut t = 1, . . . , n (11.1)
yt ­ vysvětlovaná proměnná v čase t (endogenní)
xti ­ i-tá vysvětlující proměnná v čase t (exogenní)
ut ­ náhodná složka v čase t
bi ­ i-tý parametr
n ­ počet pozorování
k + 1 ­ počet parametrů
93
Maticový zápis LRM:
y = X  b + u (11.2)
y ­ vektor pozorování
X ­ matice plánu
b ­ vektor parametrů
kde





y1
...
...
yn





=





1 x11 . . . x1k
...
...
...
...
...
...
...
...
1 xn1 . . . xnk









b0
...
bk


 +





u1
...
...
un





Metoda nejmenších čtverců dává takový odhad ^b vektoru parametrů b, aby byl
minimalizován součet čtverců chyb (reziduí), tj.
SSE =
n
t=1
e2
t = e e = (y - ^y) (y - ^y) min (11.3)
Odhad ^b vektoru parametrů b metodou nejmenších čtverců (MN Č)
(Tento odhad lze odvodit z tzv. normálních rovnic, což jsou derivace kriteria
SSE podle všech parametrů položené rovny nule.)
^b = (X X)-1
X y (11.4)
Vyrovnané hodnoty ^y vektoru y (tj. ten náš odhad)
^y = X^b (11.5)
Rezidua neboli chyba vyrovnání, tj. rozdíl mezi skutečnými a vyrovnanými
hodnotami
e = y - ^y (11.6)
94
Předpoklady pro použití MN Č
1) náhodná složka (u) musí mít normální rozdělení
2) E(ut) = 0, t = 1 . . . , n
3) D(ut) = 2
, t = 1 . . . , n (homoskedasticita)
4) náhodné složky různých období jsou vzájemně nekorelované (nulová ko-
variance), tj. E(ut  ut+p) = 0, p = 0, t = 1 . . . , n tedy
3)+4)  var(u) = E(u u) = 2
 In =



2
. . . 0
...
0 . . . 2



5) vysvětlující proměnné nejsou náhodné (jsou nestochastické), tj.
E(X u) = 0
6) vysvětlující proměnné jsou navzájem nezávislé a jejich počet je menší než
počet pozorování, tj. h(X) = k + 1  n
11.3 Metoda maximální věrohodnosti
ˇ Mějme náhodný výběr X = (X1, . . . , Xn) z rozdělení o hustotě f(x, ),
kde  = (1, . . . , r),    (vektor parametrů).
ˇ f(x, ) =
n
i=1
f(xi, ), tj. simultální hustota je v případě náhodného výběru
součinem marginálních hustot; (v diskrétním případě je to pravděpodob-
nostní funkce).
ˇ Označme L(, X) = f(x, ). Funkci L(, X) nazveme věrohodnostní
funkce .
ˇ Odhad 
nazveme maximálně věrohodným odhadem , jestliže
L(
, X)  L(, X)   
ˇ Pokud existují L(,X)
 = 0, nazýváme je věrohodnostní rovnice (nutná
podmínka pro extrém; extrém poznáme podle druhé derivace).
95
ˇ Položíme-li ln 0 = -, pak 
je maximálně věrohodný odhad, právě
když
ln L(
, X)  ln L(, X)   
ˇ l(, X) = ln L(, X) je logaritmická věrohodnostní funkce, l
 = 0 lo-
garitmická věrohodnostní rovnce
ˇ l(, X) = ln L(, X) = ln f(X, ) = ln
n
i=1
f(xi, ) =
n
i=1
ln f(xi, ) 
l
 =
n
i=1
 ln f(xi,)
 = 0
Příklad 11.1. Mějme náhodný výběr X1, . . . , Xn  A(), tj. náhodný výběr
z alternativního rozdělení o parametru . (Např. náhodná veličina Xi popisuje,
zda i-tý student uspěje u zkoušky, i = 1, . . . , n. Pokud uspěje, Xi = 1; tento
jev nastane s pravděpodobností . Pokud neuspěje, Xi = 0; tento jev nastane
s pravděpodobností 1-.) Nalezněte maximálně věrohodný odhad parametru .
 = X
Příklad 11.2. Mějme náhodný výběr X1, . . . , Xn, Xi  N(, 2
). (Např. ná-
hodná veličina Xi udává hmotnost vybraného studenta v ročníku). Nalezněte
maximálně verohodný odhad pro střední hodnotu hmotnosti studenta a pro její
rozptyl.
X; n-1
n S2
11.4 Kalmanův filtr
ˇ Kalmanův filtr je specialním případem odhadu pro normálně rozložené
stavy x i výstupy y. Normálně rozdělenou náhodnou veličinu plně charak-
terizuje její střední hodnota a rozptyl. Stačí tedy po celou dobu výpočtu
sledovat pouze tyto dvě číselné charakteristiky.
ˇ Mají-li být stavy rozloženy normálně, musí být příslušný dynamický sys-
tém nutně lineární s gaussovskými šumy, což je největší slabina Kalmano-
va filtru.
96
11.4.1 Obyčejný Kalmanův filtr
Mějme lineární diskrétní stochstický systém (xt je vektor stavů, yt je vektor
výstupních hodnot, ut je vektor exogenních hodnot, A, B, C a D jsou matice
koeficientů, vt a wt jsou šumy):
xt+1 = Axt + But + vt (11.7a)
yt = Cxt + Dut + wt (11.7b)
splňující: x0  N(0, 0), vt  N(0, v), wt  N(0, w), EvtwT
t = 0,
Ex0vT
t = 0 t, kde vektor 0 a matice 0, v, w jsou známé.
Označme Dt data známá v čase t a xt|k = xt|Dk. Pak apriorní estimátor
xt|t-1 a aposteriorní estimátor xt|t jsou normální pro všechna t, tj.
xt|t-1  N(t|t-1, t|t-1)
xt|t  N(t|t, t|t)
kde střední hodnoty t|t-1, t|t a varianční matice t|t-1, t|t se vypočtou podle
vztahů:
t|t = t|t-1 + Kt(yt - Ct|t-1 - Dut) (11.8a)
t|t = t|t-1 - KtCt|t-1 (11.8b)
t+1|t = At|t + But (11.8c)
t+1|t = At|tAT
+ v (11.8d)
Kt = t|t-1CT
(Ct|t-1CT
+ w)-1
(11.8e)
11.4.2 Rozšířený Kalmanův filtr
ˇ Rozšířený Kalmanův filtr představuje standardní přístup k odhadu neline-
árních rekurzivních systémů.
ˇ Nelineární dynamický systém v každém kroku přibližně nahradíme jeho
linearizací. Na tento linearizovaný systém pak aplikujeme obyčejný Kal-
manův filtr.
97
Mějme nelineární dynamický systém:
xt+1 = f(xt, ut) + vt (11.9a)
yt = g(xt, ut) + wt (11.9b)
s počáteční podmínkou x0  N(0, 0). Rozšířený Kalmanův filtr definujeme
jako algoritmus výpočtu následujících estimátorů:
xt|t-1  N(t|t-1, t|t-1)
xt|t  N(t|t, t|t)
xt|N  N(t|N , t|N )
kde
t|t = t|t-1 + Kt(yt - g(t|t-1, ut)) (11.10a)
t|t = t|t-1 - KtCtt|t-1 (11.10b)
t+1|t = f(t|t, ut) (11.10c)
t+1|t = Att|tAt
T
+ v (11.10d)
Kt = t|t-1Ct
T
(Ctt|t-1Ct
T
+ w)-1
(11.10e)
t|N = t|t + Ft(t+1|N - t+1|t) (11.10f)
t|N = t|t - Ft(t+1|t - t+1|N )Ft
T
(11.10g)
Ft = t|tAT
-1
t+1|t (11.10h)
a kde matice At, Ct jsou následující Jakobiány:
At =
f
x
(t|t) Ct =
g
x
(t|t-1) (11.11)
11.5 Bootstrap filtr
ˇ Tato metoda představuje alternativní metodu odhadu, zejména pro negaussov-
ské systémy.
98
ˇ Vážený bootstrap algoritmus je metodou pro nalezení optimálního odhadu
dynamických systémů. Jeho hlavní síla spočívá v jeho obecnosti. Lze ho
aplikovat na jakýkoli nelineární systém s libovolně rozloženými šumy.
ˇ Je to aplikace metody Monte Carlo při bayessovské estimaci. Metoda Mon-
te Carlo je založena na tom, že informaci o rozložení náhodné veličiny
nese náhodný výběr z tohoto rozložení. Čím je náhodný výběr delší, tím je
informace přesnější.
ˇ Pro náhodný vektor x  Lnx
máme náhodný výběr (x1, . . . , xn) délky n,
obsahující vzorky xi  Rnx
. Empirická hustota pravděpodobnosti získaná
z náhodného výběru je aproximací skutečné hustoty pravděpodobnosti ná-
hodného vektoru x.
Empirickou hustotu prravděpodobnosti lze psát jako:
pn(x) =
1
n
n
i=1
(x - xi) (11.12)
kde (x) : Rnx
 R je tzv. Diracova funkce, definovaná jako:
(x) = lim
h0
h(x), h(x) =
1
h for 0 < x < h
0 jinak
(11.13)
Jednotlivým vzorkům přiřadíme váhy wi  0 tak, aby součet vah dal jedničku.
Empirická hustota pravděpodobnosti je pak:
pn(x) =
n
i=1
wi (x - xi) (11.14)
Mějme dynamický systém:
xt+1 = f(xt, ut, vt)
yt = g(xt, ut, wt)
99
s počátečním stavem x0 a s empirickou pravděpodobnostní funkcí:
pn(x) =
n
i=1
wi(0| - 1)(x - xi(0| - 1))
Mějme dána data Dt. Potom odhady xt|t-1, xt|t, xt|N s empirickou pravděpodnostní
funkcí:
pn(xt|t-1) =
n
i=1
wi(t|t - 1)(x - xi(t|t - 1))
pn(xt|t) =
n
i=1
wi(t|t)(x - xi(t|t))
pn(xt|N ) =
n
i=1
wi(t|N)(x - xi(t|N))
jsou vypočteny váženým bootstrap algoritmem, právě když platí:
xi(t|t) = xi(t|t - 1) (11.15)
wi(t|t) = p(y(t)|xi(t|t - 1), u(t)) wi(t|t - 1) (11.16)
wi(t|t) =
wi(t|t)
n
j=1 wj(t|t)
(11.17)
xi(t + 1|t) = f(xi(t|t), u(t)) + vi(t) (11.18)
wi(t + 1|t) = wi(t|t) (11.19)
xi(t|N) = xi(t|t) (11.20)
wi(t|N) = wi(t|t)
n
j=1
wj(t + 1|N) p(xj(t + 1|N)|xi(t|N), u(t)) (11.21)
wi(t|N) =
wi(t|t)
n
j=1 wj(t|t)
(11.22)
11.6 Ukázky metod odhadů ekonomických modelů
100