Present Value in the Case of General Interest Rate and General Rate of Inflation
Míra růstu v makroekonomii ve finanční matematice
V´aclav Studen´y
Department of Applied Mathematics, Faculty of Economics
and Administration, Masaryk University
Lipov´a 24a, 602 00 Brno
studeny@econ.muni.cz
1. Axiomy: Uvažujme veličinu jejíž hodnoty y1 a y2 jsou známy ve dvou bodech x1 a x2 (tyto hodnoty
mohou být například výsledek měření). Funkce κ: R4
→ R, která bude kvantifikovat přírůstek této
veličiny by měla mít následující vlastnosti
axiom 1 invariance vůči posunutí (v čase)
κ (x1, y1, x2, y2) = κ (x1 + t, y1, x2 + t, y2) (1)
axiom 2 invariance vůči homotetiím (například vůči volbě měny)
k > 0 =⇒ κ (x1, y1, x2, y2) = κ (x1, y1 · k, x2, y2 · k) (2)
Dále požadavek symetrie v růstu a poklesu:
κ (x1, y1, x2, y2) = −κ (x1, −y1, x2, −y2) (3)
vynucuje podmínku axiomu 2 i pro k < 0
axiom 3 κ je rostoucí v první a čtvrté proměnné a klesající ve druhé a třetí proměnné.
axiom 4 Počáteční podmínka: κ (x1, y, x2, y) = 0. (Míra růstu konstantní funkce je nulová.)
Máme
κ (x1, y1, x2, y2)
Ax1
= κ (0, y1, x2 − x1, y2)
Ax2
= κ 0, 1, x2 − x1,
y2
y1
(4)
tak že existuje λ: R → R
κ (x1, y1, x2, y2) = λ x2 − x1,
y2
y1
(5)
A λ je klesající v první a rostoucí ve druhé proměnné.
2. Funkce v ustáleném stavu:
DEFINICE Řekneme, že funkce f je v ustáleném stavu vzhledem k míře růstu κ je-li (x1, x2) →
κ (x1, f (x1) , x2, f (x2)) konstantní funkce.
Hledáme funkce f takové, že
κ (x1, f (x1) , x2, f (x2)) = konst. (6)
Předpokládejme, že už známe hodnotu f (x1) a f (x2) funkce f ve dvou bodech x1 a x2 = x1 + h
Pak
κ (x2, f (x2) , x2 + h, f (x2 + h)) = λ h,
f (x2 + h)
f (x2)
= λ h,
f (x1 + h)
f (x1)
(7)
A protože λ je prostá v každé proměnné (Ax 3, viz pozn. za Ax. 4) je
f (x1 + 2h)
f (x1 + h)
=
f (x2 + h)
f (x2)
=
f (x1 + h)
f (x1)
(8)
a dále indukcí:
f (x1 + nh) =
f (x1 + h)
f (x1)
· f (x1 + (n − 1) h) =
f (x1 + h)
f (x1)
n
(9)
takže v dalších ekvidistantních bodech tvoří hodnoty funkce f geometrickou posloupnost. Stejně ovšem:
f (x1 + h/2)
f (x1)
f (x1 + h)
f (x1) + h/2
=⇒
f (x1 + h)
f (x1)
=
f (x1 + h/2)
f (x1)
2
(10)
1
Present Value in the Case of General Interest Rate and General Rate of Inflation
Takže f má hodnoty exponenciální funkce i ve všech bodech množiny {ah
2b , a ∈ N, b ∈ N}. A protože tato
množina je hustá (dense) v R, platí:
2.1. Lemma: Je-li nějaká spojité funkce f v ustáleném stavu vzhledem k míře růstu, která splňuje
axiomy Ax1 – Ax4, pak je to exponenciální funkce f: x → AeBx
s nějakými konstantami A a B.
Pokud chceme, aby všechny exponenciální funkce x → AeBx
byly v ustáleném stavu, máme (označímeli
h = x2 − x1)
∀B: κ x1, AeBx1
, x2, AeBx2
= λ x2 − x1,
AeBx2
AeBx1
= λ h, eBh
= konst (11)
a platí:
λ (h, z) = λ h, eh ln(z1/h
) B=ln(z1/h
)
=================== λ 1, eln(z1/h
) = λ 1, z
1
h (12)
a
κ (x1, y1, x2, y2) = κ 0, 1, 1,
y2
y1
1
x2−x1
(13)
a tedy pro každou míru růstu κ splňující axiomy Ax1 – Ax4, k níž jsou všechny exponenciální funkce
x → AeBx
v ustáleném stavu existuje nějaká rostoucí funkce
κ (x1, y1, x2, y2) = φ
y2
y1
1
x2−x1
(14)
2.2. Note: Ve finanční matematice se používá translace
φ: x → x − 1
a míra růstu
κ1: (x1, y1, x2, y2) →
y2
y1
1
x2−x1
− 1 (15)
je tzv. úroková míra složeného úročení za jednotku času.
Ve finanční matematice se také částečně z historických důvodů, částečně z rigidity některých obchodních
vztahů a zákonů používá tzv. úroková míra jednoduchého úročení:
f: ˆκ (x1, y1, x2, y2) =
y2
y1
− 1 ·
1
x2 − x1
− 1 (16)
Podle této míry jsou funkce v ustáleném stavu polynomy prvního stupně:
f: z −→ (f (x1) + Kf (x1)) z + f (x1) − (f (x1) + Kf (x1)) x1 (17)
3. Infinitezimální verze, (Limitní tvar):
V makroekonomii často potřebujeme vyjádřit rychlost ν růstu nějaké veličiny f v bodě a ne na
intervalu: Pokud budeme chtít aby míra růstu veličiny f v bodě x0 byla limitním případem její míry a
pokud je φ spojitá, máme:
ν (f) (x0) = lim
x→x0
κ (x0, f (x (0)) , x, f (x)) = lim
x→x0
φ

 f (x)
f (x0)
1
x−x0

 = φ e
D(f)(x0)
f(x0)
(18)
A pro κ = κ1 máme
ν1 (f) (x0) = e
D(f)(x0)
f(x0)
− 1 (19)
V makroekonomii se často používá míra, kterou dostaneme volbou (14) pro tuto míru funkce ln. V
takovém případě jest
˜ν (f) (x0) =
D (f) (x0)
f (x0)
(20)
2
Present Value in the Case of General Interest Rate and General Rate of Inflation
a pokud bychom tutéž funkci použili jako míru růstu v (14) míra růstu na intervalu x0, x1 by byla:
˜κ (x0, f (x0) , x1, f (x1)) = ln

 f (x0)
f (x1)
1
x0−x1

 =
ln (f (x0)) − ln (f (x1))
x0 − x1
(21)
Což je relativní přírůstek funkce ln ◦f (nikoliv funkce f) vzhledem k přírůstku argumentu této funkce.
Tuto limitu v bodě x2 → x1 má i ˆκ (x0, f (x0) , x1, f (x1))
3.1. Note: Zajímavé je, že
ˆν = lim
x→x0
ˆκ (x0, f (x0) , x1, f (x1)) = ˜ν (f) (x0) (22)
Zatímco
ˆν = ν (23)
Volíme-li v (14)
φ (x) = xt
− 1 (24)
dostaneme
κt (x1, y1, x2, y2) =
y2
y1
1
x2−x1
− 1 (25)
což je tzv. úroková míra složeného úročení za dobu délky t a platí známé vztahy
κ = κ1 = κ1
t
+ 1
t
(26)
Podobně jako κt můžeme definovat i
ˆκt = f: ˆκ (x1, y1, x2, y2) =
y2
y1
− 1 ·
1
x2 − x1
1
t
− 1 (27)
Což je míra jednoduchého úročení za dobu délky t a platí známé vztahy:
ˆκ1
t
=
ˆκ1
t
(28)
Funkce κ → κt
t je Taylorovým polynomem stupně 1 v bodě 0 funkce κ → (κt + 1)(1
t )−1 a historicky
se používala k aproximaci při výpočtu úrokových měr za krátkou dobu. K legitimizaci této nepřesnosti
vedlo zavedení pojmu interval připisování úroků. Dosazením κ1
t za κ1
t
s nezanedbatelnou chybou, která
je rostoucí v t > 0, dostaneme
κ1 ∼ 1 −
κ
t
t
− 1 = λ1 (29)
Chyba λ1 − κ1 ovšem neroste přes všechny meze, ale má konečnou limitu eκ
− 1 − κ v nekonečnu a platí
lim
t→∞
λ1 = lim
t→∞
1 =
κ
t
t
− 1 = lim
t→∞
1 =
κ
t
t
κ
κ
− 1 = eκ
− 1
Působivost magického zjevení Eulerovy konstanty v tomto výpočtu dalo kdysi vzniknout pojmu
spojité úročení. Je to obyčejné složené ůročení, ale místo úrokové míry κ1 z (15) se pod jménem úroková
míra uvádí hodnota ln (κ1 + 1).
Číslo ln (κ1 + 1) dostaneme jako míru růstu, pokud v (14) volíme φ = ln a v limitě dostaneme míru
˜ν jako v (20).
4. Inverzní problém:
Použijeme-li jako míru růtu funkce f zobrazení ν máme
ν (f) (x) = e
D(f)(x0)
f(x0)
− 1 (30)
3
Present Value in the Case of General Interest Rate and General Rate of Inflation
Což je explicitnín vyjádření pro míru růstu ν pokud známe f a differenciální rovnice pro stavovou funkci
f, pokud známe její míru růstu ν. Tuto rovnici můžeme ekvivalentě psát ve tvarech:
ln (ν (t) + 1) = D (ln ◦f) (t)
nebo
D (f) (t) = ln (ν (t) + 1) · f (t)
Rovnici můžeme vyřešit a její řešení je:
f: x → e
x
0
ln(ν(s)+1)ds
f (0) (31)
kde ν (t) je úroková míra z jednotku času v okamžiku t.
Provedeme-li tentýž výpočet pro míru ˜ν dostaneme rovnici (20),
˜ν (f) (x0) =
D (f) (x0)
f (x0)
a její řešení je
f: x → e
x
0
ν(s)ds
f (0) (32)
Výhodou formule (32) je, že je jednodužší, než (31), její nevýhodou ovšem je, že pokud do ní
dosadíme konstantní úrokovou míru, nedostaneme obvyklou formuli pro složené úročení. Následující
příklad ukazuje, použití formule (31).
Na příkldě ukážeme použití vzorce (31)
4.1. Example: předpokládejme, že známe míru míru inflace za jednotku času (například roční míru
inflace, pokud jednotkou zvolíme rok) v okamžiku 0 a v okamžiku 1. Předpokláejme, že v okamžimu 0
byla míra inflace za jednotku času rovna 0.1 a oamžiku 1 byla míra inflce 0.2.
Zajímá nás míra inflace za dobu 1, 0 . Je zřejmé, že tato míra inflace závisí na tom, jak se míra
inflce měnila uvnitř intervalu 1, 0 . uto informaci můžeme získatž z nějaké obecné teorie časových řad
nebo aproximací. uvažujme čtyři možnosti: že byla po celou dobu konstatní a měnila se skokem v
jednom, nebo ve druhém krajním bodě intervalu, že se měnila v afinní závislosti na čase a v kvadratické
závislosti na čase. V těchto čtyřech případech jsou hodnotz míry inlace za jednotku času dány jednou ze
čtyř následujících funkcí:
¯ι1 (u) :=
0.1, if u < 1
0.2, if u ≥ 1
, ¯ι2 (u) :=
u2
10
+ 0.1, ¯ι3 (u) :=
u
10
+ 0.1, ¯ι4 (u) :=
0.1, if u ≤ 0
0.2, if u > 0
(33)
Přitom první poslední možnost jsou triviální případy — míra za jednotku času je kosantní interval, za
který počítáme inflaci má jednotkovou délku, tedy míra inflace za tuto dobu bz měla být tatáž konstanta.
Obecný vzorec tedy musí dávat stejný výsledek. Máme:
ι ( 0, 1 ) = e
1
0
(ln(1+¯ι(u) d u))
− 1 (34)
takže postupně v našich čtyřech příkladech vzchází:
¯ι = ¯ι1 = 0.1: X (1) = e
1
0
ln(1.1) d u
− 1 = 0.1 (35)
¯ι = ¯ι2 = u →
1
10
u2
+ 0.1: X (1) = e
1
0
ln(1.1+u2
/10) d u
− 1 = 0.132945354 . . . (36)
¯ι = ¯ι3 = u →
1
10
u + 0.1: X (1) = e
1
0
ln(1.1+u/10) d u
− 1 = 0.149637533 . . . (37)
¯ι = ¯ι4 = 0.2: X (1) = e
1
0
ln(1.2) d u
− 1 = 0.2 (38)
4
Present Value in the Case of General Interest Rate and General Rate of Inflation
s kvantitativní shodou výsledku v prvním a posledním příkladu s výsledkem, který jsme očekávali. Této
shody bychom, bohužel, nedosáhli, kdybychom použili formuli (32) dostaneme
e
1
0
0.1du
− 1 = 0.105170918 (39)
e
1
0
1/10 u2
+0.1du
− 1 = 0.142630812 (40)
e
1
0
1/10 u+0.1du
− 1 = 0.161834243 (41)
e
1
0
0.2du
− 1 = 0.221402758 (42)
and the first and the last results are obviously without question wrong (if we suppose interest rate). We
can say that the inflation does not behave as the so called continuous interest.
Obvyklá formule pro budoucí hodnotu složeného úročení v případě, že úroková míra je konstantní
je
x (t) = x (0) · (1 + ξ)
t
, (43)
a v případě, že je po částech konstantní, tedy If Ii are the interest rates p. a. constant on the intervals
Ii = (ti, ti+1) ; i = 0 . . . n then the interest rate per ∪n
i=0Ii is
n−1
i=0
(1 + Ii)
(ti+1−ti)
(44)
4.2. Theorem: The formula (43) is a special case of the formula (44) for the constant interest rate and
the formula (44) is a special case of the formula (31) for the piecewise constant rate of interest.
Proof: Let us suppose that ι (t) = I is constant:
e
t
0
ln(1+I) d u
= e(t·ln(1+I))
= e(ln(1+I)t
) = (1 + I)
t
(45)
Now let us suppose that ι is piecewise constant and that its value is Ii in every point of the interval
Ii = (ti, ti+1) ; i = 0 . . . n. Let χA be the characteristic function of the set A, then ι (t) = χ(ti,ti+1) · Ii
= e
t
0
ln 1+χ(ti,ti+1) ·Ii d u
= e
n−1
i=0
(ti+1 ln(1+Ii)−ti ln(1+Ii))
=
=
n−1
i=0
e(ti+1−ti)·ln(1+Ii)
=
n−1
i=0
eln
(1 + Ii)
(ti+1−ti)
=
n−1
i=0
(1 + Ii)
(ti+1−ti)
(46)
q. e. d.
Functional
ι → e
t
0
ln(1+ι(s))ds
is continuous in the topology of uniform convergence.
the importance of the theorem (44) results from the following lemma:
4.3. Lemma: For every continous function ι defined on a closed intervale there is a sequence of piecewise
constant functions ξi such that že ξi → ι
Proof: Let us suppose that f is continuous. According to the presumption the Dom (f) is compact. Let
us choose a ǫ possitive. For every x ∈ Dom (f) we will find neighbourhood O (x) so that F (O (x)) ⊂
Oǫ/2 (f (x)). O (x) forms coverage of Dom (f) we will choose the final subcoverage Ω. We will define
δ = minU∈Ω (Diam (U)), where(Diam (U)) is the diameter of the set U. We devide Dom (f) to n
disjoint subintervals (Jǫ
i )i = 1n
of the length δ. For every interval Jǫ
i we will choose a point xi, that
is located inside and we denote it yi = f (xi). Let us define: x ∈ Jǫ
i =⇒ ζǫ (x) = yi. Then ∀x ∈
Dom (f) : |f (x) − ζǫ (x) | ≤ ǫ. And for ξn = ζ 1
2n
the presumptions of the lemma are satisfied.
4.4. Corollary: (44) says that the formula (43) is a special case of the formula (31). For the function
that has only a finite number of discontinuity points we can make the approximation on each interval on
which the function is continuous as in the lemma (46). And that means that the formula (31) is a limit
case of the formula (15).
5
Present Value in the Case of General Interest Rate and General Rate of Inflation
5. Boundary interest rate: If the interest rate is constant and positive, the state function is increasing
and constant. If it is positive, but very quickly decreasing, the state function will be concave. What
interest rate makes the state function afine (polynomial of degree 1)?
State function is
t → x (0) e
t
0
ln(1+ξ(s))ds
(47)
its derivative is
t → x (0) ln (1 + ξ (t)) e
t
0
ln(1+ξ(s))ds
(48)
and the second derivative is
t →
x (0) e
t
0
ln(1+ξ(s))ds d
dt ξ (t) + (ln (1 + ξ (t)))
2
+ (ln (1 + ξ (t)))
2
ξ (t)
1 + ξ (t)
(49)
We are looking for the interest rate, which makes the second derivative equal to zero. If x (0) = 0 and
ξ > 0, second derivative is equal to zero for such a ξ, which are the solutions of differential equation
d
dt
ξ (t) + (ln (1 + ξ (t)))
2
+ (ln (1 + ξ (t)))
2
ξ (t) = 0 (50)
i. e. we solve the differential equation
d
dt
ξ (t) = − (ln (1 + ξ (t)))
2
(1 + ξ (t)) . (51)
Its solution fulfilled the algebraical equation
− (ln (1 + ξ (t)))
−1
+ t = C (52)
hence it is any of the functions
t → ξ (t) = e( 1
t−C ) − 1 (53)
for all constant C. We express C using the initial condition
C = −
1
ln (1 + ξ (0))
and we have
ξ (t) = e
1
t+ 1
ln(1+ξ(0))
− 1 = (1 + ξ (0))
1
t ln(1+ξ(0))+1
− 1 (54)
If we put this interest rate into the rule for interesting (31) we obtain:
x (t) = x (0) e
t
0
ln (1+ξ(0))
1
s ln(1+ξ(0))+1 ds
= x (0) (t ln (1 + ξ (0)) + 1) (55)
and this really is an affine function. We can conclude: If the interest rate has in the time 0 value ξ (0)
and if on the dependence on the time grows more quickly (decrease slowly) than function
t → (1 + ξ (0))
1
t · 1
ln(1+ξ(0))+1
− 1 (56)
in the dependence on the time then the state function is convex. If it decreases more quickly, the state
function is concave.
6