Příklady k procvičení, Matematika I ESF MU
Zadání příkladů
Příklad 1: Jsou dány matice
3 1 - 1
^
í -7 5 1 \ / - l o \
1 - 2 3 B = 2 - 3 0 ,c = 2 - 2
2 4 "3
l 6 4 l) l 4 3 /
Určete matice
a) 2A - BT
, b) (AT
+ B) ˇ C, c) CT
* (A - B).
Příklad 2: V prostoru V4 jsou dány vektory
a = (1, 0, 5, 8), b = (2, 4, 6, -2), c = (5, 3, 0, 7), d = (-4, 6, 18, -20) a
e =(3, - 1 , -6, 9).
a) Jsou vektory a, d, e lineárně nezávislé?
b) Generují vektory b, c stejný podprostor ve V4 jako vektory d, e?
c) Označme Q podprostor ve V4 generovaný vektory a, b, c. Určete dimenzi
tohoto podprostoru a najděte některou jeho bázi.
Příklad 3: Je dána matice
a) A =
í2 1 0
°\3 2 0 0
1 1 3 4 1
\* - 1 2 3 /
/ I 2 3 4
\
2 3 1 2
1 1 1 - 1
\ 1 0 -2 - 6 I
b) A =
Pomocí Jordánovy metody najděte inverzní matici A 1
.
Příklad 4: Je dána matice
/ 3 0 5 1 \
2 - 3 - 1 0
a) A =
4 0 8 0
\ - 1 2 0 5 /
1
b) A =
c) A:
í 8 4 -20 36 \
5 15 -25 40
-3 -11 19 -39
V 4 16 -24 40 /
/ 3 2 4 -5 1 \
5 8 9 0 11
0 3 5 0 0
3 0 -1 -5 1
^ 2 7 -4 2 6 j
Určete hodnotu determinantu tiet (A).
Příklad 5: Je dán systém lineárních rovnic
b)
3xi + 7x2 + 5x3 = 1
6xi + 8x2 + 4x3 = 8
2xi - 3x2 = -4
5xi - 5x2 + 2x3 = 4
4xi + 3x2 = -8
7xi -- 8x2 + 5x3 == -1
Ŕešte systém pomoci Cramerova pravidla.
Příklad 6: Najděte všechna řešení homogenního systému s maticí soustavy
/ 6 7 3 - 6 \
a) A = 10 3 - 1 - 2
V - l 1 1 - 1 /
/ 1 3 5 7 \
b) A: 2 4 6 8
\ 9 10 11 12 /
Příklad 7: Je dán systém lineárních rovnic
2
b)
X\ 5x2
6x2
+ 7x3 + 4x4
5x4
3xi - x2 + 2x3
4xi + 8x3 - X4
2xi + 5x2 + 6x3 + 3x4
7xi + 9x2 + 8x3 + 6x4
Xl + 2x2 + 2x3 + X4
- 3x2 - 4x3
42 - 24x3 - 4x4
-4xi - 4x2 + 36x3 + 4x4
3xi + 3x2 - 27x3 - 4x4
2xi -- 2x2 + 10x3 + 4x4
Ŕešte systém Gaussovou metodou.
Příklad 8: Je dána matice
a) A =
b) A =
Určete vlastní čísla a vlastní vektory matice A.
2 -3 3
0 3 0
-2 -6 -3
3 4
°\0 -2 0
1 -1 2 i
Výsledky
Příklad 1:
a) 2A - BT
=
/ 13 0 - 8 \
- 3 - 1 2
\ 3 8 - 7 /
3
b) (A1
B) C
c) CT
- ( A - B )
/ 28 - 3 \
3 22
V i - 2 0 ;
ŕ -28 6 - 8
i -10 - 2 -18
Příklad 2:
a) ano
b) ano
c) dim(Q) = 3, bází jsou například vektory a, b, c
Příklad 3:
a) A
/ 2 - 1 0
M- 3 2 0 0
31 -19 3 - 4
I -23 14 - 2 3 /
/ 22 - 6 -26 17 \
-17 5 20 -13
- 1 0 2 - 1
v 4 - 1 - 5 3 /
b) A-1
=
Příklad 4: a) der(A) = -44, b) deŕ(A) = 480, c) deŕ(A) = 80.
Příklad 5: a) x = (2, 0, -1)T
, b) x = (2, 0, -3)T
.
Příklad 6:
a)í ,.(l,3,5,7)T
+( / .(2,0,8,6)T
, p,qR,
b) p.(l, - 1 , -1,1)T
+ q.(l, -2,1, 0)T
, p,qeR.
Příklad 7:
a) x = (2, 5, 0, 7)T
, b) x = (2, - 1 , - 1 , 0)T
, c) x = (-7, - 3 , - 2 , 7)T
.
Příklad 8:
a)A1 = 3, x1 = (0,l,l)T
,A2 =0, x2 = (-3,0,2)T
,A3 = - l , x3 = (1,0, -1)T
,
b) Ai = 2, X l = (0,0,1)T
, A2 = - 2 , x2 = (-16, 20,1)T
, A3 = - 1 , x3 = (1,0, -1)
4