Řešené příklady z lineami algebry Matematika 1 Zadání příkladů Matice a determinanty, lineární prostory Blok 1: Počítání s maticemi Příklad 1: Jsou dány matice /2 5 0 \ A = 1 0 - 2 , B '2 5 0 1 0 - 2 .1 1 - 1 / - 3 5 4 - 2 | a C 7 - 1 , Určete matice D = A.(B + CT ) a E = B.C + A1 Příklad 2: Je dán vektor b = (1 4 2)T a matice '2 5 0 A = | 1 0 - 2 ,1 1 - 1 , Určete řešení systému A.x = b, víte-li, že (-2 -5 W A-1 = 1 2 - 4 \ - l - 3 5 Proveďte zkoušku. 0 1 - 2 -3 2 4 Blok 2: Determinanty Příklad 3: Je dána matice (2 3 5 0 \ 1 0 0 - 2 1 4 1 - 1 \ - 3 2 0 1 j Určete hodnotu determinantu det(A). Příklad 4: Je dána matice 6 4 3N - 1 3 2 3 7 5; Najděte inverzní matici A 1 . 1 Příklad 5: Pomocí Cramerova pravidla najděte řešení soustavy rovnic 2xi + 4x2 -- 5x3 = 1 xi -- 2x2 -- 8x3 = --4 --2xi + 3x3 = 11 Blok 3: Lineární prostory Příklad 6: V prostoru V3 jsou dány vektory a = (1,4,5), b = (2,0,-1), c = ( -- 1, 3, --2) a d = (1, 3, --3). Zjistěte, zda jsou lineárně nezávislé. Je vektor a lineární kombinací ostatních? Příklad 7: V prostoru V3 jsou dány vektory a = (2,p,q), b = (1, --1, --3) a c = (--3, 5, --2). Určete hodnotu parametrů p, q G M, pro něž je vektor a kolmý k vektorům b a c . Příklad 8: V prostoru V4 je dán podprostor Q tvořený všemi vektory, které mají součet všech čtyř složek roven nule. Určete dimenzi a najděte nějakou bázi podprostoru Q. Příklad 9: V prostoru V5 jsou dány vektory a = (--3,3,-4,1,-1) a b = (1, --1, --3, 5, 0). Určete euklidovské normy vektorů a, b, a + b a a -- b a ukažte, že pro ně platí rovnost lla||2 + ||b||2 ||a + b||2 + | | a - b | | Platí tato rovnost pro libovolné dva vektory z V5? Dokažte. Nápověda: Rozepište normy vektorů a + b a a --b pomocí skalárního součinu. 2 Řešení příkladů Matice a determinanty, lineární prostory Blok 1: Počítání s maticemi Příklad 10: Jsou dány matice '2 5 0 1 0 - 2 .1 1 - 1 / B - 3 5 4 - 2 7 - 1 , '2 5 0 Matice D = A.(B + C ' ) = ( 1 0 - 2 , 1 1 - l y a C - 3 2> 5 0 5 3/ 0 1 -2^ -3 2 4 , 19 4 -13 - 4 - 3 - 1 , E = B.C + A -15 7 26 6 0 -16 3 5 -18; <2 1 1 5 0 1 i0 - 2 - 1 , -13 11 3 Příklad 11: Je dán vektor b = (1 4 2)T a matice '2 5 0 1 0 - 2 a 1 -h Řešení systému A.x = b je dáno vztahem x = A_ 1 .b, tedy -2\ x = Provedeme zkoušku: L = A.x : -2 - 5 10 1 2 - 4 - 1 - 3 5 '2 5 0 1 0 - 2 .1 1 - 1 , '1> 41 = ,2; 1 P. Blok 2: Determinanty Příklad 12: Je dána matice A = (2 3 5 0 \ 1 0 0 - 2 1 4 1 - 1 \ - 3 2 0 7 y 3 Určeme hodnotu determinantu |A| pomocí rozvoje podle druhého řádku: 0 |A| = (-1)3 .1. 3 5 4 1 2 0 + (-l)6 .(-2). 2 3 5 1 4 1 - 3 2 0 -1.(21 - 1 0 + 0 - 0 - 0 - 140) - 2.(0 - 9 + 10 + 60 - 4 - 0) = 15. Příklad 13: Je dána matice Determinant matice A je: |A| = 90 + 24 - 21 - (27 + 84 - 20) = 2. Označme symbolem B inverzní matici k matici A. Prvky matice B jsou: takže Ki = i '1,2 &1,3 = 3 2 7 5 i 1 4 3 2' 7 5 4 3 3 2 i Í>2,1 = '2,2 &2,3 = 1 "2' 1 ~ 2' 1 "2' -1 2 3 5 6 3 3 5 6 3 - 1 2 &3,1 = "3,2 1 2' 1 ~2' B = A(-1 ) (\ n 2 V-8 21 2 -15 &3,3 = -W - 1 5 2 1 1 / -1 3 3 7 6 4 3 7 6 4 - 1 3 Příklad 14: Pomocí Cramerova pravidla najděte řešení soustavy rovnic 2xi + 4x2 -- 5x3 = 1 x\ -- 2x2 -- 8x3 = --4 --2xi + 3x3 = 11 Matice soustavy je 4 vektor pravých stran je b = (1 -- 4 11)T . Determinant matice soustavy je |A| = 2 4 - 5 1 - 2 - 8 - 2 0 3 = - 1 2 + 64 + 0 - (-20 + 0 + 12) = 60, takže můžeme určit řešení (xi, X2, xs)T pomoci Cramerova pravidla: X\ = X2 x3 |Bi| 1 60'|A| B 2 | IB, 1 60' 1 60' 1 4 - 5 - 4 - 2 - 8 11 0 3 2 1 - 5 1 - 4 - 8 - 2 11 3 2 4 1 1 - 2 - 4 - 2 0 11 60' -6 - 352 + 0 - (110 + 0 - 48)] = - 7 , 60 .[-24 + 16 - 55 - (-40 - 176 + 3)] = 5/2, 60' -44 + 32 + 0 - (4 + 0 + 44)] = - 1 . Blok 3: Lineární prostory Příklad 15: V prostoru V3 jsou dány vektory a = (1,4,5), b = ( 2 , 0 , - 1 ) , c = ( -- 1, 3, --2) a d = (1, 3, --3). Zjistěte, zda jsou lineárně nezávislé. Je vektor a lineární kombinací ostatních? Řešení: Z věty 4.8. a poznámky za touto větou víme, že dimenze prostoru V3 je rovna 3, tedy v každé skupině vektorů z V3 jsou maximálně 3 lineárně nezávislé vektory. Vektory a, b, c, d jsou čtyři, a tudíž jsou lineárně závislé. Můžeme vektor a vyjádřit jako kombinaci ostatních? Hledáme koeficienty ci, c 2, C3, takové že: c\.h + C2.c + C3.d = a, neboli 2ci - c2 + C3 = 1 3c2 + 3c3 = 4 --c\ -- 2c2 -- 3c3 = 5 Vyjádříme-li ze třetí rovnice c\ a dosadíme do první rovnice, dostaneme soustavu --5c2 -- 5c3 = 21 3c2 + 3c3 = 4, neboli c2 + C3 = - 2 1 / 5 C2 + C3 = 4/3. 5 Tato soustava nemá řešení, takže vektor a není kombinací ostatních. Příklad 16: V prostoru V3 jsou dány vektory a = (2,p, q), b = (1, --1, --3) a c = (--3, 5, --2). Určete hodnotu parametrů p, q G M, pro něž je vektor a kolmý k vektorům b a c . Řešení: Zapišme podmínky kolmosti: (a,b) = 2 . 1 + p . ( - l ) + 9 . ( - 3 ) = 0 , (a,c) = 2.(-3)+p.5 + qi.(-2)=0. Jde o systém dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými, z první rovnice můžeme vyjádřit p = 2 -- 3