Obecný problém dekompozice - Divisiův přístup a řešení Odlišný způsob k problematice indexních čísel uplatnil v polovině 20.let 20.století francouzský matematik Francois Divisia[1]. Formuloval úlohu nalezení agregátního indexu tak, že hledal - pro libovolné časové období t - multiplikativní rozklad „makroagregátu“ reprezentujícího součin cenového a kvantového indexního čísla do tvaru (4.1) , tj. tak , aby ve všech okamžicích spojitě uvažovaného času platila aditivní dekompozice agregátu na dílčí součiny příslušné cenové a kvantové „mikrofunkce“ všech komodit. Funkce jako indikátor všeobecné cenové úrovně má přitom co nejlépe vystihovat pohyb cenové hladiny, podobně funkce jako reprezentant souhrnného fyzického objemu vývoj množstevního indexu. O „mikrofunkcích“ cen a kvantit , resp. Divisia předpokládal, že mají: - spojité první derivace (podle času), - kladné hodnoty na celém uvažovaném intervalu , - konečnou variaci na každém podintervalu spadajícího do . Takto obecně formulovaná úloha však není bez dalšího jednoznačně řešitelná, což snižuje její uplatnitelnost pro reálné potřeby. Je zřejmé, že spolu s funkcemi a je řešením úlohy také každá dvojice tvaru a pro nějakou kladnou konstantu . 4.1 Spojitý přístup Vzhledem k derivovatelnosti funkcí a , můžeme derivaci (4.1) zapsat jako (4.2) . Předpokládáme-li kladnost funkcí a na celém intervalu , můžeme dělit součinem . Dostaneme (4.3) . Dále samostatně uvažujeme aditivní rozklad cenové změny v (4.3) na (4.4A) , resp. kvantové změny v témže výrazu na (4.4B) . Aditivním rozkladem změny cenové a kvantové situace a dále úpravami využívajícími aparátu Stieltjesova integrálu (pro funkce s konečnou variací) lze dospět k aproximativnímu tvaru (4.5) pro nějaké body z intervalu a nějakou váhovou funkci [ , ]např. tvaru (4.6A) . Pokud za oba tyto body vezmeme levý krajní bod intervalu, tj. a podobně dosadíme za funkci výraz (4.6B) , obdržíme po úpravě vztah (4.7) , neboli Laspeyresovo cenové indexní číslo vztažené k bodům intervalu. Cenové indexní číslo pro celé uvažované období pak získáme zřetězením, tedy (4.8) . Nahrazením a dosazením výrazu (4.9) odvodíme tímto postupem zřetězené Paascheho cenové indexní číslo . Podobně lze jinými speciálními volbami získat i jiná zřetězená indexní čísla, např. Edgeworthovo. Kvantová indexní čísla bychom získali obdobně z rozkladu kvantové změny v (4.4B). Dosazením obdržíme a již popsaným následným zřetězením . 4.2 Diskrétní přístup Postup lze obdobně použít také na diskrétní případ, kdy v intervalu uvažujeme množinu ekvidistantních izolovaných bodů . Opět uvažujeme rozklad agregátu (4.10) v okamžicích. Nejprve vyjádříme levou stranu změny agregátu mezi obdobími a (libovolnými následujícími): v podílovém vyjádření (4.11) Odpovídající souhrnnou změnu dílčích změn cen a kvantit napravo vyjádříme jako (4.12) . Přijmeme-li, že se cenová a množstevní změna hodnotového komplexu odehrávají nezávisle na sobě, můžeme porovnat "stejnolehlé" cenové a kvantové složky samostatně. Pro relativní cenovou složku dostaneme rozklad tvaru (4.13) , Kde ^ představuje Paascheho cenové indexní číslo pro změnové období . Obdobně odvodíme pro relativní kvantovou změnovou komponentu vyjádření (4.14) , kde ^ zastupuje Laspeyresovo kvantové indexní číslo pro změnové období . ( Po odstranění na obou stranách dostaneme^ a ^ ) . Sestavíme-li řetězové indexy a tyto vynásobíme, dostaneme vyjádření , což je zřetězené Paascheho cenové indexní číslo . Podobně bychom získali pro zřetězené Laspeyresovo kvantové indexní číslo ^ . Poznámka Pokud bychom vycházeli z dekompozice hodnotového makroagregátu způsobem (4.17) , obdrželi bychom analogickou cestou dvojici zřetězených indexních čísel . Postupem podle Divisiova schématu obdržíme pro spojitý i diskrétní případ zřetězené indexní číslo splňující axiom záměny faktorů. Nevyhneme se však nejednoznačnosti určení v důsledku neurčitosti volby multiplikativního rozkladu (diskrétní případ), resp. odhadu aproximujícího Stieltjesova integrálu (spojitý případ). Problém spojený s praktickou aplikací Divisiova přístupu je ten, že ceny a kvantity nelze měřit kontinuálně, ale vždy jen v určitých odstupech. Pro praktické užití by musely být Divisiovy indexy se spojitým časem aproximovány diskrétními, přičemž existuje více možností jak takovou aproximaci provést. E.Diewert [1980] ukázal, že kromě Laspeyresova a Paascheho indexu mohou být získány jako speciální aproximace další indexy, např. Törnquistův index, pokud vezmeme , kde účasti Postup, který použil Divisia v případě indexů se spojitým časem, uplatnil již o něco dříve anglický statistik T.L.Bennet[2] až na to, že neuplatnil v (4.1) dělení výrazem T.L.Bennet [1920] navíc navrhl následující diskrétní aproximaci k měření diferencí (nikoliv tedy podílů jako Divisia) na agregátních cenových a množstevních úrovních: (4.18) , (4.19) . Ukázal přitom, že rozdíl výdajů mezi obdobími dává přesně výraz rovný , kde a jsou definovány pravými stranami (4.18), (4.19). Poznámka Obecná definice Divisiova spojitého indexu je čistě matematickou konstrukcí a nemusí mít žádnou souvislost s rozklady indexních čísel, dokonce ani nemusí mít žádný vztah k ekonomickému prostředí. Jean Villé [1951-52] a C.R.Hulten [1973] analyzovali Divisiovy indexy v prostředí cen a spotřebovaných množství za předpokladu, že spotřebitel optimalizuje své chování (z hlediska minimalizace nákladů) a že příslušná užitková funkce je lineárně homogenní [3]. Protože se indexy mohou lišit, Divisiův přístup nevede k jednoznačnému návodu, jak řešit problém. Jiné návrhy, jak aproximovat Divisiův index se spojitým časem pomocí diskrétních dat podali Paul A. Samuelson a Subramanian Swamy [1974]. ________________________________ [1] Divisia, F.: L´indice monétaire et la Theorie de la monnaie-revue d´Economie politique (1925) [2] Bennet,T.L.: The Theory of Measurement of Changes in Cost of Living. Journal of the Royal Statistical Socierty 83/1920 s.455-462 [3] Lineárně homogenní funkce N – proměnných x = (x[1],..., x[N]) splňuje vlastnost F(λ x) = λ.F(x) pro libovolné skalární λ > 0.