4.5 Phillipsův model multiplikátoru Zavedení časových zpoždění poskytuje realističtější obraz vztahů mezi (makro)-ekonomickými veličinami. Jedním z představitelů modelů tohoto typu je Phillipsův model multiplikátoru. Jde o model spojitého typu s lineární spotřební funkcí a obsahuje multiplikátor odpovídající exponenciálně rozdělenému zpoždění (mezi skutečnou úrovní důchodu Y a jeho potenciální hodnotou Z). Poptávková strana modelového schématu (rozdělení důchodu na spotřebu a autonomní výdaje) neobsahuje zpoždění : předpokládá se zde, že se uskuteční plánovaná spotřeba vyjádřená lineární spotřební funkcí a že spotřebitelé mají své autonomní výdaje shrnuty v modelové proměnné . Celkovou poptávku lze tedy vyjádřit jako neboli (4.33) Nabídková strana tohoto agregovaného makroekonomického modelu obsahuje multiplikátor formulovaný v podobě (teoreticky délkou neomezeného) exponenciálně rozloženého zpoždění : (4.34) kde je veličina udávající rychlost reakce multiplikátoru - rychlost přizpůsobování skutečné velikosti důchodu jeho potenciální hodnotě . Sloučením (4.33) a (4.34) dostaneme (4.35) neboli (4.36) . Výraz (4.36) představuje, jak patrno, lineární diferenciální rovnici 1. řádu, jejíž řešení nyní nalezneme. Nejprve snadno ověříme, že řešení nalezené pro případ statiického multiplikátoru, tj. řešení vyhovuje této rovnici: Skutečně, zde (autonomní investice se v čase nemění) a zcela ve shodě s pravou stranou (4.36). Řešení Phillipsova modelu multiplikátoru Vyjádřeme nyní opět rozdíl tj.odchylku skutečné hodnoty od rovnovážného stavu : Dostaneme , z čehož plyne a dále přepisem (4.36) vztah Odtud (protože ) dospějeme k homogenní lineární diferenciální rovnici (4.37) jejíž řešení snadno nalezneme. Standardní úpravou (převedením na derivaci logaritmu y) obdržíme (4.38) , jejímž řešením je průběh odchylky (4.39) Celkové řešení (důchodovou trajektorii popsanou diferenciální rovnicí (4.36) dostaneme tedy ve tvaru: (4.40) Charakterizujme nyní dosažený výsledek : Trajektorie, která popisuje skutečnou úroveň důchodu Y(t) je dána součtem rovnovážné úrovně důchodu a odchylky představované součinem a záporné exponenciály . Vzhledem k zápornosti argumentu v exponenciále (l > 0, s > 0, t ³ 0) je patrné, že s rostoucím časem se odchylka od rovnovážné hodnoty postupně zmenšuje, přičemž rychlost konvergence skutečné úrovně k rovnovážné závisí na parametru rychlost reakce a na koeficientu mezního sklonu k úsporám . Odchylka v čase t je rovněž závislá (přímo úměrně) na vzdálenosti počáteční hodnoty od . Jestliže se tedy systém na počátku nachází v počáteční úrovni , sleduje produkce ve spojitě uvažovaném čase průběh popsaný trajektorií (4.40), dle níž produkce monotónně směřuje k rovnovážné úrovni dané konstantou . Rekapitulace Nechť je systém na začátku („0“) v rovnováze: . Nechť nastane (zvýšením autonomních výdajů) posun v poptávce o velikosti . Nová rovnovážná úroveň je pak . Průběh důchodu k nové rovnovážné úrovni je takto dán vztahem: (4.36) , přičemž . V důsledku zvýšení poptávky o hodnotu je průběh produkce od jedné rovnovážné hodnoty ke druhé dán výrazem (4.36) [1] Poznámka: Analogickou trajektorií pro diskrétní obdobu tohoto modelu by byla posloupnost , která je ale – jak patrno – nezávislá na hodnotě . 4.6 Phillipsův model akcelerátoru a multiplikátoru Tento model se liší od předchozího především tím, že je do něj zaveden akcelerátor charakterizující podnět pro zvýšení investic (jako závisle proměnné) podnícený růstem produkce (v minulém období) Označíme-li jako veličinu (čistých) vyvolaných investic, bude mít akcelerátor tvar (4.41) v němž konstanta n představuje investiční koeficient a konstanta k rychlost reakce. Výraz n.dY(t)/dt může být považován za určitou potenciální úroveň vyvolaných investic, za níž se opožďuje skutečná veličina . Makrospotřební funkce je opět lineární, neobsahující časové zpoždění: (4.42) Nabídková stránka modelu je představována vztahem identickým s (4.34) (4.43) Model multiplikátoru-akcelerátoru tedy sestává ze tří rovnic (4.41),(4.42),(4.43), přičemž jeho integrujícím prvkem je opět identita rozdělení poptávky (4.44) Jak je z definičních vztahů (4.41) - (4.44) patrné, v modelu se vyskytují dvě rozložená zpoždění spojitého (exponenciálního) typu. Jedno z nich je na nabídkové straně: poptávka reaguje na rozdíl mezi skutečnou a potenciální hodnotou produkce s rychlostí , druhé zpoždění je na straně akcelerátoru: přírůstek investic reaguje na změny v produkci s rychlostí . Poznámka: Výrazy (4.41) pro akcelerátor a (4.43) pro multiplikátor jsou odvozeny na základě teorie modelů rozložených zpoždění (konkrétně modelu s (nekonečným) exponenciálním zpožděním). Zde je levostranná proměnná – tzn. v (4.41) změna vyvolaných investic, v (4.42) změna důchodu – popsána funkcí zahrnující vždy skutečnou a potenciální úroveň této proměnné. Výraz n.dY(t)/dt v (4.41) představuje takovouto potenciální úroveň investic, zatímco v (4.43) je potenciální úroveň důchodu ztotožněna s celkovou poptávkou Z(t). Konstanta se nazývá rychlost reakce akcelerátoru, konstanta rychlost reakce multiplikátoru. Obě to jsou kladná čísla, nulová hodnota by znamenala, že k žádnému přizpůsobení (skutečné hodnoty hodnotě potenciální) nedochází. Další krok v analýze tohoto modelu spočívá v nalezení jeho řešení, které - jak je z povahy vztahů patrné - bude představováno diferenciální rovnicí vyššího než prvního řádu. Abychom tuto rovnici zformulovali a příslušné řešení nalezli, dosadíme nejprve vztah (4.43) do (4.42). Dostaneme (4.45) , což po úpravě vede k (4.46) resp. k (4.47) , neboť i zde přijímáme předpoklad, že veličina je v modelu uvažována jako konstantní . Výrazy pro a nyní dosadíme do (4.41): . Přeskupením jednotlivých členů do pořadí s klesajícím stupněm diferenciálních členů dostaneme (4.48) kterýžto výraz představuje lineární diferenciální rovnici 2. řádu obecného tvaru (4.49) v níž jednotlivé konstanty mají konkretizaci , , . Poznámka: Jedním z řešení rovnice (4.48) je opět trajektorie odpovídající rovnovážnému stavu , o čemž se lze snadno přesvědčit přímým dosazením: zde platí a tedy i , takže levá strana (4.48) je rovna , tedy pravé straně. □ . Zaměříme-li se dále na vývoj odchylek od rovnováhy tzn. , ukáže se opět jako v řadě předchozích případů , že i zde lze dospět k lineární diferenciální rovnici 2. řádu tvaru pro tyto odchylky.: (4.50) 4.7 Řešení Phillipsova modelu akcelerátoru-multiplikátoru Řešení této rovnice má - na rozdíl od předchozích případů - nemonotónní, oscilační charakter. Ten dále může jak tlumený (se zmenšující se amplitudou). tak explozivní (amplituda v čase roste), přičemž tyto oscilace kmitají kolem rovnovážného bodu . Pokud bychom toto řešení zkoumali podrobněji, zaznamenáme, že je nutno uvažovat dvě počáteční podmínky: Prvá z nich charakterizuje stav ve výchozím bodě „0“, tj. pro , kde zřejmě Y(0) = 0, druhá pak popisuje v témže časovém okamžiku „0“ situaci před započetím působení akcelerátoru. Tato druhá podmínka, která je dána multiplikátorem, má tvar (4.51) pro Průběh důchodu od jedné rovnovážné úrovně ke druhé je tedy popsán rovnicí (4.48) s počátečními podmínkami a (4.51) . Řešení lineární diferenciální rovnice 2.řádu (4.50) nyní ve stručné formě popíšeme: V souladu s konvenčními postupy řešení lineární diferenciální rovnice 2. řádu nejdříve zkonstruujeme tzv. charakteristickou rovnici, což je pro daný případ kvadratická rovnice tvaru (4.52) , v níž jednotlivé konstanty mají konkretizaci , , , takže (4.53) Tato rovnice obsahuje celkem 4 parametry (tzv.strukturní konstanty) , které jsou omezeny těmito teoretickými omezeními , avšak ve skutečnosti jsou hodnoty těchto parametry zpravidla soustředěny do výrazně užších oblastí: , kde je relativně malá (řádově v setinách) kladná hodnota. Vzhledem k tomu, že rozbor všech možných verzí situací při plné této čtveřici parametrů by znamenalo až příliš pestré spektrum variant, přijímáme alespoň částečné zjednodušení, a to specifikací nejméně variabilní konstanty na hodnotu . Dostaneme tím (4.53) z zjednodušení (4.54) . Dalším rozborem vyšetříme jednak podmínky, za kterých jsou kořeny rovnice (4.54) reálné či komplexně sdružené, jednak podmínky, za kterých jsou tyto kořeny (resp. jejich reálná část v případě komplexních) kladné či záporné.[2] Okolnost, zda jsou kořeny reálné či komplexně sdružené, má zásadní vliv na to, zda trajektorie popsaná rovnicí (4.54) je monotónní ( kladné kořeny) nebo zda je oscilující ( záporné kořeny). Okolnost, zda jsou kořeny kladné nebo záporné má přímou souvislost s tím, zda je příslušná trajektorie explozivní (tj. stále více se odchylující se od konstantní úrovně), nebo tlumená (s plynutím času směřující ke konstantní úrovni). Řešení diferenciální rovnice (4.50) má obecný tvar (4.55) , kde jsou kořeny charakteristické rovnice (4.54) a jsou libovolné konstanty, jejichž konkrétní hodnoty lze stanovit z počátečních podmínek a pro čas Dále vyšetříme, jakou povahu tyto kořeny mají: Přepisem (4.54) do tradičnější formy – záměnou rychlosti reakce multiplikátoru za (její převrácenou hodnotu) časovou konstantu zpoždění - dostaneme : (4.54A) . Odtud je zřejmé, že oba kořeny budou komplexně sdružené právě tehdy, když , tj. když . To nastane tehdy (násobíme ), jestliže . Rozepsání dostaneme (4.56A) , což je totéž jako podmínka (4.56B) . Přitom zjišťujeme, že tento kvadratický trojčlen v nabývá záporných hodnot pro všechna ležící v intervalu , kde (4.57) . To bude splněno a kořeny budou komplexně sdružené (a řešení bude tedy oscilační), pokud bude platit (4.58) . Vně tohoto intervalu budou oba kořeny reálné: , tj. pro (4.59) , resp. , přičemž v krajních bodech tohoto intervalu bude kořen nulový: ověření: zřejmě dostaneme pro levý krajní bod: , protože Vzájemně se zruší třetí a pátý člen a odečtou se první a čtvrtý člen: Podobně dostaneme pro pravý krajní bod: , protože Opět se vzájemně se zruší třetí a pátý člen a odečtou se první a čtvrtý člen a obdržíme totéž, do dřív: . □ . Tím je určen úsek (ve vztahu k parametrům ), v němž budou kořena reálné, resp. komplexní. Dále určíme kritérium, které stanoví, zda budou kořeny (resp. jejich reálná část) kladné nebo záporné: Hodnoty kořenů (4.54) jsou (4.59) Porovnáním absolutních hodnot obou členů v čitateli (4.59) umocněním dostaneme: , resp. Jejich rozdíl představuje kladnou velikost , o kterou je (v absolutní hodnotě) první člen[3] větší. Kořeny (resp. jejich reálné části) budou kladné, pokud bude platit nerovnost . a záporné, pokud bude platit . Znamená to tedy, že V případě (a kladných kořenů) bude trajektorie explozivní V případě (a záporných kořenů) bude trajektorie tlumená. V případě dvojnásobných kořenů resp. budou kořeny rovnice (4.54) následující: (4.60A) , resp. (4.60B) . Je zřejmé, že – při kladných - bude dvojnásobný kořen záporný, a tedy řešení bude tlumené; na druhé straně - za téže podmínky – nelze obecně totéž přímo říci o dvojnásobném kořenu , u něhož znaménko čitatele není jednoznačné, avšak s o ohledem na to, že v ekonomické realitě je a následně bude čitatel kladný a kořen bude také kladný. V tomto případě lze tedy počítat s explozivním charakterem řešení. Řešení diferenciální rovnice (4.50) bude mít v případě dvojnásobných kořenů obecný tvar (4.61A) , resp. (4.61B) , resp. Podle vyšetřování vztahů mezi mezním sklonem ke spoření a investičním koeficientem platí (4.62) Odtud vyplývá, že dolní hranice tohoto intervalu menší než 1, zatímco horní hranice tohoto intervalu je větší než 1 Poznámka V případě oscilujícího řešení (tj.jsou-li kořeny rovnice (4.54) komplexně sdružené), bude mít oscilující komplexní člen v , který získáme sloučením obou exponenciálních členů v (4) tvar (4.63) , kde jsou právě kořeny rovnice (4.54) Abychom odlišili oscilace explozivní od oscilací tlumených , zjistíme velikost (4.64) Je tedy patrné , že oscilace budou explozivní, pokud a tlumené, pokud .[4] A) pro případ bude výsledná trajektorie neoscilující explozivní B) pro bude výsledná trajektorie oscilující explozivní C) pro bude výsledná trajektorie oscilující tlumená D) pro případ bude výsledná trajektorie neoscilující tlumená Ve výše uvedené tabulce jsou uvedeny hodnoty časové konstanty zpoždění v nabídce pro různé možnosti průběhu řešení . Nesmíme ale zapomenout, že v této interpretaci je jednotkou času časová konstanta zpoždění akcelerátoru . Situace tedy znamená, že zpoždění nabídky je kratší (tj.reakce je rychlejší) než zpoždění akcelerátoru . Při je tomu opačně. Příslušné tři kritické hodnoty pro T jsou . První a třetí z nich jsou – jak bylo řečeno – menší, resp.větší než 1, prostřední hodnota může být menší než 1. Uveďme čtyři příklady s možnými a celkem realistickými hodnotami s,v : zvolíme-li , potom kritické hodnoty jsou 0,64 0,96 1,44 zvolíme-li , potom kritické hodnoty jsou 0,08 0,35 1,62 zvolíme-li , potom kritické hodnoty jsou 0,04 0,20 1,00 zvolíme-li , potom kritické hodnoty jsou 0,49 0,70 2,89 Z toho plyne, že oscilační průběh řešení lze očekávat tehdy, když zpoždění nabídky není o mnoho kratší (nebo delší) než zpoždění akcelerátoru ( ). Průběh řešení bude pravděpodobně explozivní, jestliže zpoždění nabídky bude kratší a tlumený vývoj lze očekávat tehdy, jestliže bude zpoždění nabídky aspoň tak dlouhé (tzn. reakce je aspoň tak pomalá) jako u akcelerátoru . Z toho plyne, že explozivní a oscilační průběh řešení je (pro reálný vývoj ekonomiky bohužel) nejpravděpodobnějším výsledkem tohoto modelu multiplikátoru-akcelerátoru. Ve vyložené podobě Phillipsova modelu je jedno omezení, jmenovitě to, že model obsahuje pouze jedno exponenciální zpoždění na straně nabídky a jedno exponenciální zpoždění v akcelerátoru. Uvolníme-li tuto podmínku, nebude těžké zavést při formulaci do modelu vícenásobné exponenciální zpoždění realističtějšího druhu. Rovnice analogické (4.49). budou pak diferenciálními rovnicemi vyšších řádů a jejich řešení bude přirozeně složitější. Oscilační průběh řešení bude nesporně pravděpodobnější (ten roste s množstvím komplexních kořenů), budou –li zpoždění vícenásobná. Pomocí modelu multiplikátoru [4.5] nebo modelu multiplikátoru-akcelerátoru [4.6] můžeme též zkoumat, jak se bude produkce přizpůsobovat náhlé změně poptávky o hodnotu , jež nastane v čase . Předpokládejme, že systém je až do okamžiku v rovnováze. Zvolme a jako výchozí rovnovážnou úroveň při . V okamžiku se náhle zvýší poptávka o konstantní hodnotu , tj. autonomní výdaje vzrostou. V modelu [4.5] je další průběh produkce průběh produkce dán vztahem (4.40) za podmínky, že v čase . Průběh důchodu je podle (4.36) roven , což znamená, že směřuje monotónně k nové rovnovážné úrovni . V modelu multiplikátoru-akcelerátoru je průběh řešení pro dán rovnicí při K řešení rovnice (4.49) je třeba dvou počátečních hodnot. Jedna z nich je . Druhou, (4.51), lze odvodit z toho, že v čase , kdy dochází k posunu poptávky, se systém přizpůsobuje jen podle multiplikátoru, protože akcelerátor ještě nezačal působit. Řešením tohoto modelu budou tedy nejspíše explozivní oscilace kolem hodnoty , což je úroveň daná statickým multiplikátorem po změně poptávky. Mezní situace pro případy E) pro případ bude výsledná trajektorie tvaru (4.61A). F) pro případ bude výsledná trajektorie oscilující s konstantní amplitudou G) pro případ bude výsledná trajektorie tvaru (4.61B). Shrnutí výsledku možných trajektorií modelu v závislosti na parametrech Připomeňme si, že ve Phillipsově modelu akcelerátoru-multiplikátoru vystupují 4 parametry, jmenovitě , které mohou ovlivnit (a také silně ovlivňují) základní podobu výstupní důchodové trajektorie. Výsledkem analýzy , při které (aspoň pro částečné zjednodušení pokládáme ) je následující[5] A) pro případ bude výsledná trajektorie neoscilující explozivní B) pro bude výsledná trajektorie oscilující explozivní C) pro bude výsledná trajektorie oscilující tlumená D) pro případ bude výsledná trajektorie neoscilující tlumená S ohledem na velikost parametrů v realitě , kde platí , budou všechny meze kladná čísla. Vysvětlivky: Oscilujícím průběhem rozumíme nemonotónní periodicky se opakující růst střídaný klesáním (jako u funkcí či ) . Opačný průběh trajektorie (monotónní) nazveme neoscilující. Explozívním průběhem rozumíme takový průběh, kdy se odchylky od konstantního rovnovážného stavu postupně zvětšují. Pokud se tyto odchylky postupně zmenšují (a trajektorie se přibližuje konstantní úrovni) , pak mluvíme o tlumeném průběhu. Není-li průběh ani explozivní, ani tlumený, pak jde o setrvání na konstantní odchylce od rovnovážného stavu. ________________________________ [1] Všimněme si, že při této trajektorii skutečně platí a rovněž lim [2] Mezní případy vyšetříme a zinterpretujeme samostatně. [3] Poté, co oba členy povýšíme do 2. mocnin. [4] Pokud bude platit , budou oscilace neměnné, tzn. amplituda kmitání bude stále konstantní. [5] Podrobné odvození lze nalézt např. v učebnici R.G.D. Allen: Matematická Ekonomie str. 250-255.