ČASOVÉ ŘADY
5
1.7.  Prostor L2(£l,A,P).
Ĺ2(£l,A, P) definujeme jako množinu všech (komplexních) náhodných veličin nad týmž pravděpodobnostním prostorem (Cl,A,P), které mají konečné druhé momenty (resp. rozptyly - viz dále 1.11), tj. L2{£l,A,P) :={X\X náhodná veličina nad (ti,A,P), E|X|2 < oo}.
Poznamenejme, že do tohoto prostoru zahrnujeme také všechny konstanty z C, které považujeme za náhodné veličiny s nulovým rozptylem.
Věta 1.8. Ĺ2(£l,A, P) je Hilbertův prostor se skalárním součmem (X,Y) = EXY a normou \\X\\2 = s/(X^Čj=s/Ě\Xř.
Důkaz. Li2(£l,A, P) je obdobou funkcionálního prostoru L2(0) tvořeného funkcemi absolutně integro-vatelnými v kvadrátu na intervalu 3 C 1. Totiž E|X|2 = J„ |X(cj)|2 dP(uj), takže namísto s Lebes-gueovým integrálem pracujeme s obecnějším pojetím integrálu, kde Lebesgueova míra je nahrazena pravděpodobnostní mírou P:
• Skalární součin (X, Y) existuje a je konečný pro každé X, Y £ £2(í), A, P), jak snadno nahlédneme z nerovnosti
A\XY\ = {\X\ + \Y\f - {\X\ - \Y\f < (\X\ + \Y\f + {\X\ - \Y\f = 2(|X|2 + |Y|2), odkud užitím \Y\ = \Y\ dostáváme
\xy\<±(\x\2 + \y\%
takže
EXY\ <   I   \X(oj)Y(oj)\dP(oj) <
\X(oj)\2dP(oj) + /   \Y(uj)\2dP
[OJ
<  OO.
•   ^2(^1 A, P) je vektorovým prostorem. Je uzavřený na násobení skaláry c G C, neboť E|cX|2 = |c|2E|X|2 < 00. Uzavřenost vzhledem ke sčítání plyne z:
\X + Y\2 < (\X\ + \Y\)2 = \X\2 + 2\XY\ + \Y\2 => E\X + Y\2 < E\X\2 + 2E\XY\ + E|Y|2 < 00.
•   Ověření, že £2(^1 A, P) je úplný, neboli Hilbertův prostor, je složitější, ale provádí se opět zcela analogicky jako v případě funkcionálního prostoru L2(0). Podrobnosti lze nalézt například v monografii [1, §2.10].
D
Důsledek 1.9 (Schwarzova nerovnost)
\EXY\,  \EXY\ < \\X\\2\\Y\\2 = VE|^|2VE|y|2,     X,Y e L2(n,A,P
Důsledek 1.10.  X £ L2(£l,A,P)   =>   EX existuje. Důkaz.
\ex\ = \e(í.x)\ < ve\i\2 vm\2 = vm\2 < 00. 1
Důsledek 1.11.
X,Y e L2(£l,A, P)   =>  X-EX, Y -EY eL2{£l,A,P)
D
{X -EX, Y - EY) = E(X - EX) (Y - EY) = covpř, Y) existuje a splňuje Schwarzovu nerovnost
|covpř,Y)| < y/E\X -EX\2^JE\Y - EY|2 = axcrY. Důsledek 1.12.
i—^-L      pro      (Tx(Ty  ý: Ü
p(X,Y) = i        °x°r       V'J     WXWy
^               0    pro    uxay = 0
je tzv. korelační koeficient náhodných veličin X a Y, pro nějž platí \p(X,Y)\ < 1 a speciálně — 1 < p(X,Y) <1 11 případě reálných náhodných veličin X aY.
6
VÍTĚZSLAV VESELÝ
Poznámka . Náhodné veličiny X, Y £ Li2{£l,A,P) se nazývají nekorelované, jestliže p(X,Y) = 0. Vzhledem k 1.11 je nekorelovanost ekvivalentní s cov(X,Y) = 0, tj. s ortogonalitou centrovaných veličin X -~EX a Y - EY v L2{9.,A,P).
/o(X, Y) = [p(Xi,Yj)]ij je tzv. vzájemná korelační matice náhodných vektorů X a Y. /o(X,X) = [/o(-X"j, -Xj)]j j je tzv. korelační matice náhodného vektoru X.
POZOR! Nekorelovanost indikuje neexistenci stochastické závislosti pouze lineárního typu.
Tedy platí
X, Y stochasticky nezávislé =^ X, Y nekorelované, avšak nikoliv naopak:
X, Y nekorelované =£> X, Y stochasticky nezávislé.