Makroekonomické modelování - cvičení 4
1 Teorie
Uvažujte následující problém sociálního plánovače.
max E0
t=o
vzhledem k
ct+it= Vt kt+1 = (1 - S)kt + it ht + lt = l ct,kt,ht,et < 0
a k0 > 0 a je dáno, a S e (0,1)
Konkrétní forma užitkové a produkční funkce je:
U(Ct,£tj = -:-
i — a
yt = ztf{ktlht) = ztk?h\-a
kde a > 0 a 5 G (0,1) a šok zt je technologický šok, který je iid a může nabývat následujících hodnot
zt e Z — [.75,1.25]
s pravděpodobnostmi
7Ti = Pr{zt — z1} — .5
7T2 = Pr{zt = z2} = .5
V (deterministickém) steady statu je hodnota šoku rovna jeho střední hodnotě. Vypočítejte steady-statové hodnoty následujících endogenních proměnných (poměry proměnných) jako funkce strukturálních parametrů, tj. parametrů technologií a preferencí („řecká písmena").
(a) poměr investic a kapitálu (investment/capital ratio, i/k)1
(b) ceny výrobních faktorů (mpk — R, mpl — w)
(c) poměr kapitálu a práce (capital/labor ratio, k/K) 2
(d) poměr kapitálu a výstupu (capital/output ratio, k/y) 3
(e) podíl kapitálu a práce na národním důchodu (capital share a labor share)
(f) podíl investic a výstupu (investment/output ratio, i/y)
(g) podíl spotřeby a výstupu (constumption/output ratio, c/y)
1 Využijte rovnici pro vývoj kapitálu.
2 Využijte mezičasovou podmínku optimality, Eulerovu rovnici. ^Využijte opět Eulerovu rovnici.
1
2 Počítání
Uvažujte modelovou ekonomiku, kde sociální plánovač vybírá nekonečnou sekvenci spotřeby a kapitálové zásoby {ct, kt+\, aby maximalizoval
max    Et /3*M(ct)
{ct,fet + i}£0
t=o vzhledem k
ct + fct+i = yt + (1 - 5)/st ct, A;t, < 0
a k0 > 0 a je dáno, a 5 G (0,1).
Ekonomika je vystavena exogennímu stochastickému šoku 7, který je iid a může nabývat následujících hodnot
7t G T = [4.95,5.05]
s pravděpodobnostmi
7Ti = Pr{7t = 71} = .5 7r2 = Pr{7t = 72} = .5 Uvažujte následující užitkovou a produkční funkci:
c\-° 1
1 — řj
Vypočítejte hodnotovou funkci (value function) a rozhodovací pravidlo (decision rule) pomocí metody iterace hodnotové funkce (value function iteration).
1. Napište Bellmanovu rovnici pro problém sociálního plánovače. Tj. refor-mulujte problém jako problém dynamického programování. Určete, které proměnné jsou statové (endogenní/exogenní) a které řídící.
2. Odvoďte deterministický steady state pro hodnotu kapitálu, k*, jako funkci strukturálních parametrů.
3. v Matlabu: m-file >> Definujte hodnoty parametrů, vypočítejte steady-state kapitálu. Uvažujte hodnoty: a — .35, (3 — .98,6 — .025, a — 2 a 7 = 5.
4. Diskretizujte stavovou proměnnou k, tj. vytvořte grid v okolí steady státu ki — 0.95/j, kgk — l.05k, kde gk — 101 (počet bodů).
5. Vytvořte matici spotřeby (pro každý šok jeden plást (gk x gk), tedy (gk x gk) x gg, kde gg — 2, dva stavy technologického šoku). Matice spotřeby je pro každou kombinaci k a k'. Vytvořte užitkovou matici.
2
6. Definujte počáteční odhad hodnotové funkce f o (g k x g g). Vypočítejte novou hodnotovou funkci řešením Beľlmanovy rovnice.
vi(k,j) — iľiax{u + f3lTr[v0(k',y)]T}
Řešte iterativně, do té doby, až dostanete blízkou aproximaci skutečné hodnotové funkce. Vypočítejte a vykreslete rozhodvací pravidla pro k' a c. Tj. pro poslední maximalizaci najděte index řádku, který dává maximální hodnotu pro každé k' (pro obě hodnotové funkce). Z indexu vypočítejte rozhodovací pravidlo pro kapitál k' — k(i). Rozhodovací pravidlo pro spotřebu vypočítejte residuálně.
7. Nasimulujte (100 krát) chování ekonomiky při reakci na stochastický šok 7t-
Pro tento příklad se podívejte na řešení na webu. M-file seminar4_det .m je řešením výše uvedeného problému pro deterministický případ (bez stochastického šoku). M-file seminar4_iid.m odpovídá výše uvedenému zadání. M-file seminar4_mc .m je modifikace, pokud je šok modelován jako Markovský řetězec.
3