Makroekonomické modelování – přednáška 9
RBC model s nedělitelnou prací
Původní model, výsledky ze simulace
Volatilita Relativni vol. Korelace xt s výstupem yt
Proměnná xt σx (M) σx (D) σx/σy (M) σx/σy (D) ρ(yt, xt) (M) ρ(yt, xt) (D)
výstup yt 1.351 1.72 1 1 1 1
spotřeba ct 0.329 1.27 0.244 0.738 0.84 0.83
investice it 5.954 8.24 4.407 4.791 0.99 0.91
odprac. hodiny ht 0.769 1.65 0.569 0.930 0.99 0.86
Technologický šok je velmi persistentní, způsobí spíše permanentní růst mzdy,
nabídka práce málo reaguje (malá mezičasová substituce v nabídce práce) a
volatilita hodin je malá.
Původní specifikace užitkové funkce
u(ct, ht) = log(c) + ψ log(1 − h)]
Řešení
Nízká volatilita hodin v modelu
• opustit log specifikaci v užitkové funkci (log(1−h)), dostat větší elasticitu
nabídky práce ⇒ model s nedělitelnou nabídkou práce (lineární specifikace
užitkové funkce)
• aby fluktuace celkových hodin odpovídali datům (2/3 jsou změny zaměstnanstnanosti
– extensive margin, 1/3 jsou změny v odpracovaných hodinách
na pracovníka – intensive margin)
Použijeme tuto specifikaci, kterou pak dále konkretizujeme
u(ct, ht) = log(ct) − v(ht)
kde v(.) je funkce.
Máme množinu ex-ante identických agentů (domácností). Domácnost buď pracuje
na plný úvazek ht = 1 nebo nepracuje vůbec ht = 0.
Jak dojít k tomuto tvaru užitkové funkce? Dva ekvivalentní způsoby:
Loterie Každý agent hraje loterii, πt je pravděpodobnost, že bude zaměstnán
a bude pracovat, πt ∈ (0, 1). Agenti jsou ex-ante homogenní, čelí stejné pravděpodobnosti.
Tím pádem πt je také podíl (část) agentů, kteří jsou zaměstnáni.
Agenti se mohou pojistit proti nezaměstnansti (state contingent claims). Plné
pojištění v nezaměstnanosti – nezáleží na tom zda pracujete nebo ne, obdržíte
stejné množství spotřeby. Pokud by si agenti mohli sami vybírat zda pracovat
či ne, nepracovali by a obdrželi stejnou spotřebu, proto loterie.
Sociální plánovač Obdobně, sociální plánovač vybere část populace, která
bude pracovat πt a spotřebu ct, kteří budou zaměstnaní i nezaměstnaní míst
(opět poskytuje plné pojištění v nezaměsnanosti). Všichni čelí stejné pravděpodobnosti
πt, že budou vybráni.
1
Příklad Očekávaný užitek
E[u(ct, ht)] = E[log(ct) − v(ht)]
E[u(ct, ht)] = log(ct) − ψπt
kde [v(1) − v(0)] = ψ. Celkový počet odpracovaných hodin je část pracujících
agentů πt krát čas, který pracujou (=1), tedy πt = ht. Všichni jsou identiční,
tedy ht je i průměrný počet odpracovaých jednoho agenta.
E[u(ct, ht)] = log(ct) − ψht
Disutilita z práce je lineární, nabídka práce hodně reaguje na změny mezd. ψ je
mezní disutilita z práce a je konstantní.
Shrnutí
• Agenti ex-ante homogenní, ex-post heterogenita (pracuje nebo ne).
• Plné pojištění v nezaměstnantosti - všichni spotřebovávají stejně. (můžeme
opět pracovat s reprezentativním spotřebitelem, poznámka o pojiš-
tění).
• Fluktuace odpracovaných je tažena fluktacemi v zaměstnanosti, nikoliv v
hodinách (extrémní případ).
• Frischova elasticita nabídky práce (jak moc se změní nabízené množství
práce při změně reálné mzdy (užitek ze spotřeby je konstatní). Rozdíl na
mikro a makro úrovni.
– agregátní úroveň (obecnější tvar −ψ h1+θ
1+θ , FE = 1
θ ) v našem případe
FE = ∞
– individuální úroveň (pro stále zaměstnaného pracovníka) FE = 0
(konstantní odpracované hodiny).
Jednoduchý příklad
Agenti žijí 2 období, nediskontují budoucnost (β = 1) a spotřebovávají jen ve
2. období c2. Žádná akmulace kapitálu, ale domácnost může uskladnit spotřebu
do budoucna. Rozpočtové omezení c2 = w1h1 + w2h2, kde w1 a w2 je mzda v
prvním a druhém období. Srovnáme dvě užitkové funkce
ln c2 + ψ ln(1 − h1) + ψ ln(1 − h2)
a
ln c2 − ψh1 − ψh2
Řešení u první rovnice:
w2
w1
=
1 − h1
1 − h2
když w1 > w2 ⇒ h1 > h2, dočasné zvýšení mzdy, zvýšení pracovního úsilí.
Pokud podíl w2/w1 není příliš velký pracují v obou obdobích. Malé změny w2/w1
ne příliš velké změny v nabídce práce.
Řešení u druhé rovnice: (plus předpoklad, že ψ > 1) Pokud w1 = w2 jsou agenti
indiferentní mezi prací v prvním a druhém období (dohromady dá nabídka práce
2
1
ψ . Pokud w1 > w2 pracují pouze v prvním období, w2 > w1 pracují pouze ve
druhém období. Disutilita z jedné jednotky práce je ψ bez ohledu na to, kdy
agent pracuje. Proto si vybere to období, kde je více produktivní. Konkrétně
w1 > w2, pak h2 = 0. Řešíme
max[ln(c2) − ψh1] c2 = w1h1
Tedy h1 = 1
ψ a c2 = w1
ψ . Tabulka.
Lineární užitková funkce z práce, pracovníci reagují velmi silně na změny ve
mzdě (nepatrné odchýlení, velká změna nabídky práce). Částečně způsobeno
abstrahováním od akumulace kapitálu a spotřeby v prvním období. Ale hlavní
vliv lineární disutilita z práce.
IRF
Model s lineární užitkovou funkcí. Vyřešit, nakalibrovat, log-linearizovat, nasimulovat.
Porovnání data z modelu s reálnými daty nebo pomocí impulsních
odezev (impulse response function, IRF). IRF ukazují jak se endogení proměnné
v modelu vyvíjejí v čase v reakci na exogenní šok. Šok (disturbance) o velikosti
jedné standardní odchylky σ , pouze v prvním období, pak = 0. Šok se dále
vyvýjí podle ˆzt = ρˆzt−1.
Obrázek IRF.
• Technologie vyskočí v období 0, pak klesá zpět k steady statu.
• Nejvíce reagují investice (technologický šok je persisentntí, kapitál bude
produktivnější i v budoucím období, vyplatí se investovat).
• Nabídka práce reaguje pozitivně na růst produktivity (mzdy), méně než
investice.
• Výstup se zvýšil více než technologický šok (výsledek mezičasové substituce
práce).
• Spotřeba roste, ale málo.(je optimálnější dát zvýšenou produkci na investice,
využít zvýšené produktivity a ne na spotřebu)
• Veličiny se postupně navrací ke steady statu.
• Spotřeba zůstává vysoká po dlouhou dobu (hump-shaped, vrchol je později
než dopad šoku).
Shrnutí: Silná odezva investic na technologický šok. Pozitivní odezva nabídky
práce (zesilující efekt na výstup). Persistentní vliv na výstup (persistentní technologický
šok, zvýšení kapitálové zásoby).
Model vs. data
Simulace kalibrovaného modelu a porovnání s daty. Li (1999) nebo Hansen and
Wright (1992). Indivisible labor. Tabulka, obrázek. Některé statistiky:
• výstup, volatilita je blízko volatilitě dat
• relativní volatilita odpracované hodiny/výstup – volatilita blízko datům
3
• relativní volatilita mzda(produktivita)/výstup – hodně klesla (menší než
data)
• relativní volatilita hodiny/mzda – hodně vzrostla (větší než data)
• korelace odpracované hodiny vs. mzda – trochu klesla, ale stále vysoká
(oproti datům)
Řešení některých problémů, zavedení vládních výdajů (šok ve vládních výdajů).
log(gt+1) = (1 − λ) log(¯g) + λ log(gt) + µt
Výdaje financované paušální daní (neovlivní užitkovou a produkční funkci),
stejné jako vyhození zdrojů (negativní efekt bohatstí). Růst g snízí y, domácnosti
budou reagovat zvýšením nabídky práce. Obrázek. Čistý efekt závisí na λ.
Korelace corr(h, w) = .49 klesla blíže k datům.
Frischova elasticita
Frischova elasticita nabídky práce pro různé typy užitkových funkcí. Zachycuje
elasticitu odpracovaných hodin vzhledem ke mzdě (přičemž užitek ze spotřeby je
konstantní). Jinými slovy: jak se změní nabízené množství práce, když se změní
mzda (obě změny v procentech).
ln ct + ψ
(1 − ht)1−θ
− 1
1 − θ
FE =
1 − h
h
1
θ
ln ct + ψ log(1 − ht) FE =
1 − h
h
ln ct − ψ
h1+θ
t
1 + θ
FE =
1
θ
(cµ
t (1 − ht)1−µ
)1−θ
− 1
1 − θ
FE =
1 − h
h
4
Appendix
Základní model
0 10 20 30 40 50
−2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
x 10
−3
deviationfroms.s.
impulse response function
capital
consumption
output
tfp
hours
investment
Indivisible labor
0 10 20 30 40 50
−0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
deviationfroms.s.
impulse response function
capital
consumption
output
tfp
hours
investment
5