Teorie ekonomického růstu
S využitím mateirálů od Káre Basvre, Department of Economics, University of Oslo
4   Solowův model a růstová ekonometrie
Základní literatura: Mankiw (1995), Mankiw, Romer and Weil (1992) (secti-ons: I, II.A, III.A), BSiM: 1.2.10-1.2.11, 10.1-10.2,10.5
4.1   Predikce a výsledky Solowova modelu
4.1.1 Kvalitativní predikce
• Míra úspor a populační růst:
— Ovlivní růst HDP na hlavu v krátkém nikoliv v dlouhém období
— Ovlivní steady statovou úroveň y*.
• Podmíněná konvergence
• Pouze růst technologie ovlivní růst HDP na hlavu v dlouhém období
• Hospodářská politika je neúčinná vzhledem k růstu v dlouhém období
4.1.2 Speciální případ: Cobb-Douglasova produkční funkce
• Když pracujeme s kvantitativními předpovědmi v Solowově modelu, je velmi výhodné (a běžné) používat speciální případ: Cobb-Douglasovu produkční funkci.
• S CD produkční funkcí je snadné najít steady statovou hodnotu y* (y = Y/L) (Make sure you are able to do this)
nebo v logaritmech
ln(y (í) I Lít))* = ln(T(0)) + xt + —^— ln(s)--— ln(n + x + 5) (2)
1 — a 1 — a
• Tato rovnice je vhodná pro ekonometrické testování (Proč jsou některé země chudé a jiné bohaté?)
1
Mimo steady state je model charakterizován jednou diferenční rovnicí (7) z LN 2. S obecnou produkční funkcí se tato rovnice nedá explicitně vyřešit. Pokud však pracujeme s CD produkční funkcí, je řešení pomocí transformace poměrně snadné. Po zpětné transformaci dostaňme explicitní řešení pro vývoj k(t) a tím pádem y(t). (Detaily viz. Jones (2000) a BSiM str. 44-45).
Řešení nám poskytuje další náhled na dynamiku modelu. Navíc poskytuje kvantitativní předpovědi při testování na datech.
Řešení je
^sy™=(^ÍTl(1-e"í'» + (lSj)15'
• Klíčový parametr (3 = (1 — a)(n + x + S) určuje míru, jakou ekonomika konverguje k BGP (do steady státu).
4.1.3   Kvantitativní predikce
Rozdíly v míře úspor a populačním růstu
Mějme dvě země A a B které jsou totožné kromě rozdílů v míře úspor sa a Sb a populačním růstu a
Použitím (1), můžeme nalézt predikovaný vztah mezi steady statovými hodnotami HDP na hlavu, y*A a y*B
a a
V*a _ (sa\1-"   fnB + x + 5\1-a ^
V*b     \sbJ        \nA + x + S Tento vztah můžeme vidět i přímo z rovnice (4.3.2) po zderivování
d
dy* ly* =---)\ds/s — d(n + x + S)/(n + x + 8)\
(l-a)
Jednoprocentní zvýšení míry růstu (snížení populačního růstu), zvýší steady statovou úroveň důchodu na hlavu oa/(l- a) procent.
Rychlost konvergence
Z rovnice (3) víme, že parametr (3 = (1 — a)(n + x + 5) určuje jak rychle se y(t) přibližuje steady statové úrovni y*.
2
Parametr (3 se nazývá rychlost konvergence. (Podrobněji se jím budeme zabývat později.)
Všimněte si, že míra úspor neovlivňuje rychlost konvergence. Také vidíme, že opět stejné parametry jsou podstatné pro toto kvantitativní měřítko.
Rozdíly v míře návratnosti kapitálu
Mezní produkt kapitálu
R = f (k)
nebo
R = ak-(1-a) = ay-^r
pro CD případ. Mějme opět země A a B s HDP na hlavu yA a ys-Model předpovídá, že vztah pro míry návratnosti kapitálu v těchto dvou zemích je
l-a
Rb    í y a'
Ra    \íjb J
Parametr a je opět klíčový.
S obecnou produkční funkcí musíme tento výraz nahradit
dR       1 — a dy R aa y
kde o je elasticita substituce mezi kapitálem a prací. V CD příadě je tato elasticita konstantní a rovna 1. Nižší elasticita tak bude predikovat nižší rozdíly v návratnosti pro dané rozdíly v HDP na hlavu.
4.2   Základní model a stylizovaná fakta
• Podíváme se, jak základní Solowův model vysvětluje hlavní empirická fakta: jak se liší důchod a ekonomický růst mezi zeměmi. Předpokládáme stejnou produkční funkci pro všechny země.
• Parametr a hraje hlavní roli v rovnicích, které jsme odvodili výše. Připomeňme, že
a = rm = fkk = rk =     b share of income
y Y Y
• Je empirický fakt, že kapitálový podíl (capitaľs share of income) je přibližně 1/3. Použijeme odhad a = 1/3 ke kalibraci rovnic a dostaneme kvantitativní měřítko velikosti vlivů.
3
• Většinu rovnic jsme odvodili pro speciální případ C-D produkční funkci. Ty platí (aspoň jako aproximace) i pro obecnou produkční funkci. Výjimkou je vztah mezi y a R, kde se objevuje elasticita substituce mezi kapitálem a prací.
4.2.1 Velikost rozdílů v důchodech
• a = 1/3 znamená, že čtyřikrát větší úspory implikují pouze dvakrát větší úroveň důchodu na hlavu. My bychom ale potřebovali model, který je schopen vysvětlit rozdíly v důchodech (alespoň) desetinásobné. Takové hodnoty s a, n potřebené k vysvětlení těchto rozdílů v datech nenajdeme.
• a/(l — o) musí být vyšší =>- potřebujeme vyšší a!
• Alternativně: Výsledky v Mankiw, Romer and Weil (1992), section I, ukazují, že odhadnuté koeficienty u úspor a populačního růstu jsou příliš velké a nekorespondují s modelem. Kromě toho ekonometrický model moc nevysvětluje data (malé R2).
4.2.2 Míra konvergence
• S a = 1/3, a hodnotami n je 1 procento, x 2 procenta a ô 3 procenta (ročně), dostaneme tempo konvergence (3 = 4 procent.
• Pozorované tempo konvergence je přibližně 2 procenta =>- potřebujeme vyšší a\
4.2.3 Míra návratnosti (rate of return)
• S a = 1/3, chudá země, kde je důchod 1/10 bohaté země by měla být míra návratnosti 100 krát vyšší než v bohaté zemi.
• Tento výsledek se může lišit, pokud o > 1, což je celkem přijatelný předpoklad. Viz Mankiw (1995) page 287-288.
• I tak ale nepozorujem v datech nic takového a toky kapitálu z bohatých zemí do chudých jsou malé
• Je příliš velký =^ potřebujeme vyšší a\
4
4.3   Rozšířený Solowův model (s lidským kapitálem) 4.3.1    Přehodnocení kapitálu
• Neexistuje pouze fyzický kapitál.
• Úroveň lidského kapitálu podstatně vzrostla.
• Pokud přeformulujeme Solowův model, kde K bude siřeji pojatý kaptiál, dostaneme vyšší a.
• Pokud zahrneme lidský kapitál do K musíme vzít v úvahu, že podstatný podíl mezd je vlastně odměna lidskému kapitálu pracovníků a tím pádem musí být zahrnuta v důchodech jdoucích pro K.
• Zvýšení a je řešení všech tří problémů, kterými se zabývá Mankiw (1995).
• Formálně: Změníme produkční funnkci, aby zahrnovala lidský kapitál
Y = KaHri (TL)(1~a~v) ^ý = kahP (6)
• Předpoklad konstantních výnosů z rozsahu (CRS) zachováme (součet exponentů je roven 1).
• Předpokládáme a + i] < 1, takže máme (stále) klesající výnosy z akmu-lovaných výrobních faktorů.
• Spotřební statky, fyzický kapitál a lidský kapitál jsou vyráběny stejnou produkční funkcí, tj. vyrábíme znalosti (dovednosti) stejně jako auta nebo počítače (později se k relevantnosti předpokladu jednosektorové produkční funkce vrátíme).
• Úspory můžeme použít k investicím do fyzického (K) i lidského kapitálu (H).
• Pro jednoduchost předpokládáme, že oba typy kapitálu deprecuují stejnou mírou ô. Základní rovnice Solowova modelu pak bude
k + h = skaíŕ - (n + x + ô) ■ (k + h)
• Rovnost míry návratnosti fyzického i lidského kapitálu požaduje, aby
at-ô = r]Í-ô h = H (7)
k h a
což implikuje, že existuje fixní vztah mezi k & h.
5
• Všimněte si, že tímto předpokladem dostaneme, že K a H se okamžitě přizpůsobí požadovanému poměru. (Přeměníme K do H a naopak). Je to přijatelné?
• Pomocí (7), můžeme přepsat základní rovnici na
k = sAka+r> -(n + x + 5)k kde A = 2^—- je konstanta.
• Takže máme tu opět jednoduchou rovnici pro k podobně, jak jsme měli v modelu pouze s fyzickým kapitálem. Jediný, ale podstatný rozdíl je, že a is nahrazena a + rj. tj. jako bychom měli větší a v základním (učebnicovém) modelu.
• Všimněte si, že můžeme celý systém charakterizovat jedinou rovnicí pro k, protože změny v h se vždy přizpůsobí změnám v k podle (7).
• Proč zahrnutí lidského kapitálu zlepší predikce modelu?
1. Rozdíly v míře úspor ovlivní, jak moc máme akumulovaného vstupu. Role akumulovaného vstupu je nyní větší (máme jak fyzický kapitál (elasticita a), tak i lidský kapitál (elasticita i])), a tím pádem dostaneme větší rozdíly v y.
2. Konvergence je pomalejší. Intuitivně: existuje větší setrvačnost, protože máme širší základ pro kapitál. Formálně: klesající výnosy se dostavují pomaleji; produkční funkce je méně konkávni v akumulovaných vstupech (a + rj > a), takže se dostáváme do steady-statu pomaleji.
3. Pro dané rozdíly v y dostaneme menší rozdíly v míře návratnosti, protože mezní produkt akumulovaného výrobního faktoru klesá pomaleji.
4.3.2   Alternativní formulace, Mankiw-Romer-Weil
• Ve výše uvedené formulaci jsme předpokládali, že produkce se rozdělovala prostřednictvím investic mezi dva typy kapitálu tak, že jejich míry návratnosti se rovnaly.
• V dlouhém období je rovnost míry návratnosti opodstatněná. Ale možnost substituovat obě formy kapitálu H a, K není vždy přijatelná.
6
Z tohoto důvodu se podíváme na alternativní formulaci. Ta je důležitá také proto, že je použita ve významném článku Mankiw, Romer a Weil (1992), dále označováno MRW.
Nyní předpokládáme, že je exogénni a fixní část důchodu investována do fyzického kapitálu a podíl     je investován do lidského kapitálu.
Tedy:
k = skkafŕ - (n + x + S)k (8) h  =  Sh&íŕ - (n + x + S)h (9)
Tento systém je v zásadě stejný jako předtím, akorát nyní máme dvě dynamické rovnice a řešení je poněkud komplikovanější. Problémem je, zda existuje steady state a zda k němu systém konverguje.
Uvažujme diagram v (k, h) prostoru. Nakreslete křivky charakterizující
hodnoty k a, h pro které k = 0, a podobně pro případ, kdy h = 0. Ukažte, že skončíte v (jediném) bodě, kde se tyto dvě křivky protnou, tj. v steady státu.
Steady state (k = h = 0) je dán:
i-?? ti  \ 1/(1-a-v)
k* = i Sk V) (io)
1 n + x + ó '
QaQl-a   \ 1/(1-"-»?) íl*    =     (       kh \ (11)
\n + x + 5J
Dosazením zpět do produkční funkce dostaneme rovnici pro důchod na hlavu ve steady státu jako:
ln((y(í)/L(í))*) = ln(T(í))+--ln(sfe) + --í-m(S/i)---^- \n(n+x+ô)
1 — a — r/ 1 — a — r/ 1 — a — r/
(12)
což je obdoba rovnice pro model bez lidského kapitálu
• Tato log-lineární formulace je velmi výhodná pro empirickou práce, protože může být použita pro ekonometrický odhad (linerání regresní model).
Reference
[1] Jones, Charles i, A Note on the Closed Form Solution of the Solow Model, 2000. http://elsa.berkeley.edu/users/chad/closedform.pdf.
[2] Mankiw, N. Gregory, The Growth of Nations, Brookings Papers on Economic Activity, 1995, 275-310.
[3] Mankiw, N. Gregory, Romed David and Weil, N. David, A
Contribution to the Empirics of Economic Growth, Quarterly Journal of Economics, May 1992, 107 (2), 407-437.
8