Věk Pravděpodobnost úmrtí Pravděpodobnost dožití Počet dožívajících Počet zemřelých Počet žijících Pomocný ukazatel Střední délka života x qx px lx dx Lx Tx e 0 x 0.. xm x eq  1 , x x x S D m  px = 1 - qx lx+1 = px.lx dx = lx – lx +1 Lx = ½.(lx + lx +1) Lx = lx+1 + ½ dx    xi ix LT Význam jednotlivých veličin uvedených v úmrtnostní tabulce: qx … vyjadřují pravděpodobnost, že právě x-letá osoba zemře před dosažením věku x + 1 mx … dosazuje tzv. specifická míra úmrtnosti získaná z empirických dat Dx … je pozorovaný počet osob daného pohlaví zemřelých ve věkové třídě x (tj. po dožití se x let a před dovršením x + 1 let) Sx … je střední stav osob daného pohlaví ve věkové třídě x podle sčítání lidu px … vyjadřuje pravděpodobnost, že osoba ve věku x let se dožije věku x + 1; lx … je hypotetický počet osob, které se dožijí věku x let ze 100 000 narozených osob (tzv. kořen tabulky - l0) při odhadnuté úmrtnosti v jednotlivých obdobích; … zvolená horní věková hranice; tedy předpokládáme, že poslední z onoho výchozího počtu 100 000 osob zemře před dosažením věku + 1 let (ČSÚ volí = 103); dx … udává počet zemřelých osob ve věkové třídě x; Lx … je průměrný počet žijících ve věku x let (L0 = l0(1 – 0,92q0), protože se většinou jedná o kojenecká úmrtí, a tak se musí k výpočtu L0 použít statistik kojenecké úmrtnosti); Tx … vyjadřuje počet let života, které má celá tabulková generace v daném věku x ještě před sebou; e 0 x … udává počet let, který má naději prožít osoba právě x-letá ve sledovaném období. ,1 x xx x x x l ll l d q   .1 11 x x x xx x x xx l l l ll l l qp     npx … pravděpodobnost, že se x-letá osoba dožije věku x + n, ,...... 12 3 1 21 121 x nx nx nx x x x x x x nxxxxxn l l l l l l l l l l ppppp          nqx … pravděpodobnost, že se x-letá osoba nedožije věku x + n, ;1 x nxx x nx x x xnxn l ll l l l l pq    m|nqx … pravděpodobnost, že se x-letá osoba dožije věku x + m, ale zemře v průběhu následujících n let, , x nmxmx mx nmxmx x mx mxnxmxnm l ll l ll l l qpq         m| qx … pravděpodobnost, že x-letá osoba zemře ve věku x + m, .1 x mx x mxmx mxxmxm l d l ll qpq      KOMUTAČNÍ ČÍSLA komutační čísla nultého řádu: diskontovaný počet dožívajících se věku x: ;x xx vlD  diskontovaný počet zemřelých ve věkové třídě x: ;1  x xx vdC komutační čísla prvního řádu: ,...1 0   DDDDN xx x j jxx      ....1 0   CCCCM xx x j jxx      komutační čísla druhého řádu: ∑ ∑ diskontní faktor JEDNOTKOVÉ NETTO POJISTNÉ – pojistné pro 1 Kč částky pojistného plnění, bez nákladů pojišťovny, JEDNORÁZOVĚ PLACENÉ NETTO POJISTNÉ Pojištění na dožití . x nx x x nx nx x nxn xn n xn D D vl vl l l vpvE        Pojištění pro případ smrti Dočasné pojištění pro případ smrti Doživotní pojištění pro případ smrti odložené o t let Dočasné pojištění pro případ smrti odložené o t let Pojištění pro případ smrti s lineárně rostoucí částkou Smíšené pojištění Speciální smíšené pojištění s různými pojistnými částkami pro dožití a smrt DŮCHODOVÉ NETTO POJISTNÉ (předlhůtní äx, polhůtní ax) Doživotní důchod ∑ ∑ Dočasný důchod ∑ ∑ Odložený doživotní důchod ∑ Odložený dočasný důchod ∑ Předlhůtní doživotní důchod zaručený na n let , 1 1 : x nx n xninnx D N v v aaa        Doživotní důchod rostoucí lineárně ∑ PODROČNÍ DŮCHODOVÉ NETTO POJISTNÉ področní doživotní důchod   . 2 1 m m D N a x xm x     , 2 11 m m D N a x xm x     področní odložený doživotní důchod   , 2 1 x nx x nxm xn D D m m D N a      , 2 11 x nx x nxm xn D D m m D N a    področní dočasný důchod   ,1 2 1 :              x nx x nxxm nx D D m m D NN a    .1 2 111 :              x nx x nxxm nx D D m m D NN a  BĚŽNÉ NETTO POJISTNÉ – placené ročně PODROČNÍ BĚŽNÉ NETTO POJISTNÉ – placené m-krát ročně Běžné pojistné doživotně placené Pojistné dočasně placené Pojištění s pevnou dobou výplaty področní dočasný důchod       , 2 1:                nxxnxx nx m nx xnm xn DD m m NNm D am E Π   pojištění pro případ smrti:     ; 2 1          xx x m x xm x D m m Nm M am A Π   dočasné pojištění pro případ smrti:       ; 2 1 : 1 :1 :               nxxnxx nxx m nx nxm nx DD m m NNm MM am A Π   smíšené pojištění:       ; 2 1 : : :               nxxnxx nxnxx m nx nxm nx DD m m NNm DMM am A Π   pojištění odloženého doživotního důchodu (běžné pojistné se platí během doby odkladu n):         . 2 1 2 1 :                nxxnxx nxnx m nx m xnm xn DD m m NNm D m m N am a     *** pojistné plnění je vypláceno m1-krát ročně a pojistné se platí m2-krát ročně a m1 se nerovná m2.         . 2 1 2 1 2 2 2 1 1 :2 2 1 2,1                nxxnxx nxnx m nx m xnm xn DD m m NNm D m m N am a     *** poplatník platí n1 let, pojišťovna platí po n2 let (n1 poj.plněni = X Pojištění na plnou hodnotu -> poj. částka S ≤ H Pojištění na první riziko [ ] [ ] G*H – střední výše pojistného plnění pro škody do stupně s (1-b)*S – střední výše pojistného plnění pro škody nad škodní stupeň s Spoluúčast – klient se urč. způsobem podílí na úhradě škody Podílová spoluúčast + ryzí zájmové pojištění Excendentní spoluúčast + pojištění na první riziko (nehradí škodu do hodnoty F0, nad hodnotu jen převyšující část z F0) [ ( ) ] Integrální spoluúčast + pojištění na plnou hodnotu (nehradí škodu do hodnoty Fi, pak hradí celou škodu) ( ) Brutto pojistné přidání bezpečnostní přirážky -> rizikové pojistné Riziková přirážka statistické povahy s (s 2 ) – odhad směrodatné odchylky (rozptylu) lambda – nezáporné koeficienty Princip směrodatné odchylky pro každou pojistku máme údaje o výši škody v daném roce vyjádřené jakou zi*S, kde zi je škodní stupeň i-té pojistky ∑ ∑ √ ∑ při větších hodnotách nevadí, že ve jmenovateli není N-1, ale jen N aproximace p 2 ≈ 0 přípustná k malým hodnotám pojistné sazby p √ (∑ ∑ ) √ ∑ √ ∑ odhadnutá směr. odchylka celk. škody pro všechny pojistky v tarifní skupině √ √∑ √∑ √ Pojistné rezervy – nezasloužené pojistné Trojúhelníková schémata RBNS rezerva – dosud nezlikvidované, ohlášené IBNR rezerva – dosud neohlášené vychází z podkladů za minulé roky – v řádcích podle roku vzniku, ve sloupcích podle let uplynutých od vzniku poj. události obvykle zohledněná inflace Metoda Chain Ladder – stupňovitá metoda Rok vzniku i Vývojový rok uplynulý od roku vzniku 0 1 2 … n - 1 n 0 P0,0 P0,1 P0,2 … P0,n-1 P0,n 1 P1,0 P1,1 P1,2 … P1,n-1 2 P2,0 P2,1 P2,2 … … … … … n - 1 Pn-1,0 Pn-1,1 n Pn,0 Rok vzniku i Vývojový rok uplynulý od roku vzniku 0 1 2 … n - 1 n 0 C0,0 = P0,0 C0,1 = C0,0 + P0,1 C0,2= C0,1 + P0,2 … C0,n-1 C0,n 1 C1,0= P1,0 C1,1= C1,0 + P1,1 C1,2= C1,1 + P1,2 … C1,n-1 C1,n-1* λn 2 C2,0= P2,0 C2,1= C2,0 + P2,1 C2,2= C2,1 + P2,2 … … … … … … … … n - 1 Cn-1,0 Cn-1,1 Cn-1,1* λ2 … n Cn,0 Cn,0 * λ1 Cn,0 * λ1* λ2 … Separační metoda Rok vzniku i Počet škod nj Vývojový rok j uplynulý od roku vzniku 0 1 2 … n 0 n0 n0*r0*λ0 n0*r1*λ1 n0*r2*λ2 … n0*rn*λn 1 n1 n1*r0*λ1 n1*r1*λ2 n1*r2*λ3 … ← * λn+1 2 n2 n2*r0*λ2 n2*r1*λ3 n2*r2*λ4 ← * λn+1 ← * λn+2 … … … … ← * λn+1 ← * λn+2 ← * λn+3 n nn nn*r0*λn ← * λn+1 ← * λn+2 ← * λn+3 ← * λn+4 | |  zadané hodnoty Pi,j – černé hodnoty jsou zadané  upravit o inflaci – černé hodnoty  vyrobit kumulativní hodnoty Ci,j – nasčítávám jednotlivé hodnoty (viz tabulka)  spočítat hodnoty λ1 – červený obdélník děleno zelený obdélník λ2 – modrý obdélník děleno žlutý obdélník atd.  dopočítat chybějící hodnoty čtverce viz tabulka  rezerva (oranžové hodnoty v n sloupci sečíst a odečíst od nich bílé hodnoty diagonály řádků 1 až n) viz červená čára mínus zelená čára  chyba odhadu – zpětně dopočítat bílé hodnoty z bílé diagonály pomocí vzorce (př. C2,2 = C2,3 / λ3) a pak každou buňku porovnat pomocí vzorce S je skutečná hodnota buňky, O je odhad  platí vzorec  r – zlikvidované škody, lambda – vzniklé škody  zadané hodnoty – nutno podělit počtem škod, abychom mohli pokračovat ve výpočtech  musíme spočítat hodnoty r a lambda, platí:  takto pokračujeme, dokud nemáme všechny proměnné spočítané  λn+1 = λn * (1+inflace) a tímto násobíme bílé hodnoty viz tabulka  nakonec všechny hodnoty opět vynásobíme počtem škod  rezerva pro jednotlivé roky – sečíst hodnoty po diagonálách (tam kde je stejná lambda)  rezerva celková – sečíst rezervy v jednotl. letech