MONOPOL A MONOPOLNÍ CHOVÁNÍ – řešené příklady
Monopol
1. Monopol s nákladovou funkcí c(y) = 2y2
+ 10
působí na trhu s poptávkou y(p) = 20 − 0,5p.
(a) Jak velké množství produktu bude monopol
prodávat a jaký bude jeho zisk?
(b) Jak velké množství produktu bude monopol
prodávat při množstevní dani t = 8?
Řešení
(a) Obecný tvar ziskové funkce monopolu je
π(y) = r(y) − c(y),
kde r(y) = p(y)y je příjmová funkce. Dále
můžeme postupovat dvěma způsoby.
Řešení 1
Z poptávkové funkce y(p) si vyjádříme inverzní
poptávkovou funkci p(y) = 40 − 2y
a dosadíme ji do ziskové funkce
π(y) = (40 − 2y)y − 2y2
− 10
a funkci upravíme do tvaru
π(y) = −4y2
+ 40y − 10.
Monopol si volí takový výstup y∗
≥ 0, při
kterém maximalizuje zisk
max
y
π(y) = −4y2
+ 40y − 10.
Z podmínky prvního řádu vypočítáme výstup
odpovídající extrému funkce:
π (y∗
) = −8y + 40 = 0
y∗
= 5.
Protože druhá derivace ziskové funkce je
π (y∗
) = −8 < 0,
firma při výstupu y∗
= 5 maximalizuje zisk.
Zisk firmy při výstupu y∗
= 5 je
π(y∗
) = −4y∗2
+ 40y∗
− 10 = 90.
Řešení 2
Při řešení tohoto příkladu bychom také
mohli z obecného tvaru ziskové funkce
π(y) = r(y) − c(y) nejdřív odvodit podmínku
prvního řádu
MR(y∗
) = MC(y∗
)
a podmínku druhého řádu
MC (y∗
) > MR (y∗
).
Pak vypočítat mezní příjmy a mezní náklady
monopolu:
MR(y) = r (y) = (p(y)y) =
= (40y − 2y2
) = 40 − 4y.
MC(y) = c (y) = (2y2
+ 10) = 4y.
Dosazením do podmínky prvního řádu pak
najít výstup odpovídající extrému ziskové
funkce
MR(y∗
) = MC(y∗
)
40 − 4y∗
= 4y∗
y∗
= 5.
Dosazením do podmínky druhého řádu pak
zjistit, že výstup y∗
= 5 odpovídá maximu
funkce, protože
MC (y∗
) = −4 > 4 = MR (y∗
).
(b) Tento bod vyřešíme pouze dosazením do
ziskové funkce. Když monopol platí množstevní
daň ve výši 8, jeho nákladová funkce
c(y) = 2y2
+ 8y + 10. Zisková funkce pak
bude mít tvar
π(y) = r(y) − c(y)
π(y) = (40 − 2y)y − 2y2
− 8y − 10
π(y) = −4y2
+ 32y − 10.
Z podmínky prvního řádu vypočítáme výstup
odpovídající extrému této funkce:
π (y∗
) = −8y∗
+ 32 = 0
y∗
= 4.
Protože druhá derivace ziskové funkce
π (y∗
) = −8 < 0,
firma při výstupu y∗
= 4 maximalizuje zisk.
Zisk monopolu se rovná
π(y∗
) = −4y∗2
+ 32y∗
− 10 = 54.
Monopolní chování
2. Monopol prodává svůj produkt na dvou trzích.
Inverzní poptávka na trhu 1 je p1(y1) = 200 − y1
a inverzní poptávka na trhu 2 je p2(y2) = 250−y2.
Monopol má nákladovou funkci c(y1 + y2) =
(y1 + y2)2
. Jaké budou optimální ceny a množství
na obou trzích? Jaký bude zisk monopolu?
Nakreslete situaci této firmy do grafu.
Řešení
Obecný tvar ziskové funkce monopolu s dvěma
oddělenými trhy je
π(y1, y2) = r1(y1) + r2(y2) − c(y1 + y2),
kde r1(y1) = p(y1)y1 a r2(y2) = p(y2)y2 jsou příjmy
monopolu na trzích 1 a 2. Dále můžeme postupovat
dvěma způsoby.
Řešení 1
Dosazením do obecného tvaru ziskové funkce získáme
ziskovou funkci
π(y1, y2) = 200y1 − y2
1 + 250y2 − y2
2 − (y1 + y2)2
.
Monopol bude dodávat na trh 1 a 2 takové výstupy
y∗
1 a y∗
2, pro které je jeho zisková funkce
maximální. Podmínky prvního řádu jsou
∂π(y1, y2)
∂y1
= 200 − 2y∗
1 − 2(y∗
1 + y∗
2) = 0,
∂π(y1, y2)
∂y2
= 250 − 2y∗
2 − 2(y∗
1 + y∗
2) = 0.
Řešením těchto dvou rovnic o dvou neznámých
dostaneme optimální množství dodávané na oba
trhy
y∗
1 = 25,
y∗
2 = 50.
Dosazením do funkcí poptávek na obou trzích
spočítáme ceny
p∗
1 = 200 − y∗
1 = 175,
p∗
2 = 250 − y∗
2 = 200.
Zisk monopolu bude
π = p∗
1y∗
1 + p∗
2y∗
2 − (y∗
1 + y∗
2)2
=
= 175 × 25 + 50 × 200 − 752
= 8 750.
Řešení 2
Z obecného tvaru ziskové funkce můžeme odvodit
podmínky prvního řádu ve tvaru
MR1(y∗
1) = MC(y∗
1 + y∗
2)
MR2(y∗
2) = MC(y∗
1 + y∗
2).
kde
MR1(y1) = r1(y1) = 200 − 2y1
MR2(y2) = r2(y2) = 250 − 2y2
MC(y1 + y2) = c (y1 + y2) = 2(y1 + y2)
jsou mezní příjmy na trhu 1 a 2 a mezní náklady
monopolu. Dosazením konkrétních tvarů funkcí
mezních příjmů a nákladů do podmínek prvního
řádu získame dvě rovnice o dvou neznámých, jejichž
řešením pak budou stejné optimální výstupy
na obou trzích y∗
1 a y∗
2 jako v Řešení 1.
Graf dole znázorňuje poptávky na trhu 1 a 2
D1 a D2, mezní příjmy na trzích 1 a 2 MR1 a
MR2 a mezní náklady monopolu MC. Všimněte
si, že se mezní příjmy MR1 při optimálním množství
y∗
1 = 25 a mezní příjmy MR2 při množství
y∗
2 = 50 rovnají mezním nákladům MC při celkovém
vyráběném množství y∗
1 + y∗
2 = 75.
y
p
MC
D1D2MR2MR1
200
175
25 50
150
75
3. Monopol čelí poptávce p(y) = 100−y a má mezní
náklady MC = 50. Jaký bude jeho zisk, pokud
používá dvousložkový tarif?
Řešení
Monopol maximalizuje zisk při ceně p = MC.
Nabízené množství bude
y = 100 − p = 50.
Jeho zisk se bude rovnat přebytku spotřebitele
π = CS =
50 × 50
2
= 1 250.