MAMO podzim 2014 Přednáška 2 Lit: W-MT, chl K-QM, ch 3
1   Jednoduchý makroekonomický model
• Reprezentativní firma, reprezentativní domácnost
• optimalizace (maximalizace cílové funkce vzhledem k rozpočtovému omezení)
• mikro přístup k makroeknomii
• konkurenční rovnováha (competitive equilibrium)
• nejprve statický model
1.1 Struktura modelu
• N identických domácností
• 2 druhy statků: spotřeba (c), volný čas (0 < l < 1)
• užitková funkce u{c, £)
• M identických firem
• 2 výrobní faktory: práce (n), kapitál (k)
• agregátní zásoba kapitálu K je dána exogénne
• produkční funkce y — z f (k, n), homogenní stupně 1
• tři trhy: výstupu/spotřeby, práce, kapitálu
• dvě relativní ceny: reálná mzda (w), reálná nájemní cena kapitálu (r), spotřební statek je numeraire s cenou 1
• všichni agenti jsou příjemci cen
1.2 Domácnosti
Maximalizují užitkovou funkci
U = u(c, l)
vybírají c a l vzhledem k rozpočtovému omezení
c = w(l - i) + r{K/N) (1)
a0<!<l, c>0a kde (1 — í) je nabídka práce. Každá domácnost vlastní stejný podíl K.
Lze řešit pomocí Lagrangiánu nebo dosazením rozpočtového omezení do užitkové funkci (neomezená optimalizace)
Řešením je podmínka optimality prvního řádu: mezní míra substituce (mezi volným časem a spotřebou) — reálná mzda
Ml(c, i)
(1) a (2) lze vyřešit pro c a £ jako funkce w, r a K/N. (Vlastnosti užitkové funkce zajišťují, že existuje pouze jedno jedinné řešení.)
1
1.3 Firmy
vybírají vstupy - práci a kapitál, aby maximalizovaly zisk (w a r berou jako dané)
Podmínky prvního řádu
max[zf(k, n) — rk — wn]
k,n
zf1(k,n) = r (3) zf2(k,n)=w (4)
Produkční funkce
V = z f (k, n)
kde z je exogénni šok v produktivitě má konstatní výnosy z rozsahu (homogenní stupně 1, platí Eulerův teorém)
Xy = zf(Xk,Xn) (5)
zf(k,n) = zf1(k,n)k +zf2(k,n)n (6) rovnice (3), (4) a (6) implikují, že maximální zisk je — 0. Z toho vyplývají dvě věci:
• Nemusíme se starat, jak je zisk firem distribuován (např. dividendy, podíly na zisku)
• Předpokládejme, že k* a n* jsou optimální množství výrobních faktorů. Pak musí platit
zf(k, n) — rk — wn — 0 (7) pro k — k* a n — n*. Ale (7) platí i pro k — Xk* a n — Xn*, kde A > 0 díky CRS.
Tím pádem není určena optimální velikost firmy, můžeme mít M — 1 - jedna reprezentativní firma. (Počet firem je irelevantní pro definici konkurenční rovováhy)
1.4   Konkurenční rovnováha (competitive equilibrium)
Soubor množství c, l, n, k a cen w, r, které splňují tyto podmínky
1. Každá domácnost vybírá c a £ optimálně při daných cenách w a r (rovnice 1 a 2)
2. Reprezentativní firma vybírá n a k optimálně při daných cenách w a r (rovnice 3, 4 a 5)
3. Trhy se čistí (chování domácností a firem je vzájemně konzistentní)
• trh práce
N(l-e) = (M)n (8)
• trh kapitálu
K = (M) k (9)
• trh zboží
(M)y = Nc (10)
2
Nabídka — poptávka. Přebytky poptávky na jednotlivých trzích jsou
Nc-y + w[n- N(í - £)] + r[k - K\.
Z (upraveného) rozpočtového omezení domácností (1) a podmínky nulového zisku (7) vyplývá, že přebytky na všech trzích jsou v součtu nulové.
Nc — w(l — £)N + rK      a      y — rk — wn — 0
Nc-y + w[n-N(l-i)] + r[k-K] = 0 (11)
Pokud dvě ze tří podmínek (8, 9 a 10) platí, tak podle (11) platí i třetí podmínka.
Walrasův zákon - pokud je Q trhů a Q — 1 je jich v rovnováze, pak i poslední trh je v rovnováze.
Využijeme Walrasův zákon. Máme 8 rovnic a 7 proměnných (neznámých) w, r, n, k, c, £ a y. Můžeme 1 rovnici eliminovat, např. (9).
Problém si můžeme dále zjednodušit. Počet spotřebitelů je pro řešení irelevantní. Můžeme nastavit N — 1 a analyzovat ekonomiku s jedním reprezentativním spotřebitelem - domácností. Konkurenční rovnováha (CE) má stejné vlastnosti jako když máme mnoho firem a spotřebitelů.
Řešíme jako systém rovnic, využijeme n — (1 — £)
^L = zf2(k,l-£)=w (12) «i(c, £)
c = zf(k,i-e) (13)
r = zf1(k,l-£),       w = zf2{k,l-l) (14)
dosazením za c dostaneme
u2(zf(k,l-£),£)
u1(zmi-t),e)=zMk>1-e> (15)
a vyřešíme pro £ (k — k0 je dáno). Potom zpětně dosadíme do výše uvedených rovnic a získáme řešení pro r, w, n a c. Máme model, který umíme vyřešit a který můžeme studovat: co se stane, když ...
Výstup (na hlavu) y — z f (k, 1 — £) je určen
• kapitálovou zásobou (k)
• produktivitou (z)
• preferencemi pro volný čas (1 — £)
Příklad z Williamsona (růst produktivity). 1.5   Paretovo optimum
je taková alokace,1 že neexistuje jiná alokace, kterou by nějaký agent striktně preferoval a jakýkoliv jiný agent by si nepohoršil, ufff
My máme jen jednoho agenta :) Můžeme uvažovat o sociálním plánovači, který
-'-Plán produkce a distribuce statků mezi ekonomické agenty.
3
• určuje vstupy na výrobu reprezentativní firmě
• nutí spotřebitele nabízet náležité množství práce
• distribuuje statky spotřebitelům - tak aby na tom byl spotřebitel co možná nejlépe
Sociální plánovač určí Paretovo optimum řešením následujícího problému
maxit(c, £)      vzhledem k      c — zf(k,í — £)
c, í
Můžeme řešit dosazením, výsledkem je
u2(c,£) ui(cj)
zf2(k,í-£) (16)
což je stejná rovnice jako v případě CE (competitive equilibrium - konkurenční rovnováha). Interpretace: mezní míra substituce — mezní míra transformace. CE je stejné jako Paretovo optimum (řešení sociálního plánovače).2
1.6 Teorémy blahobytu (Welfare theorems)
Za určitých podmínek (definováno níže)
1. Konkurenční rovnováha je Pareto optimální (První teorém blahobytu)
2. Jakéhokoliv Paretova optima může být dosaženo vhodným přerozdělením počátečního vybavení (zdrojů), (Druhý teorém blahobytu)
Podmínky: absence externalit, veřejných statků, rostoucích výnosů z rozsahu, asymterických informací, distorzních daní, nutnost kompletních trhů.
1.6.1 Implikace:
• V makroekonomii, pokud vysvětlíme určitý jev (např. hospodářské cykly) pomocí modelu konkurenční rovnováhy, kde platí 1. WT => není prostor pro vládní intervence
• Rovnost CE a PO je dobrá z hlediska výpočetního. Je jednodušší získat řešení (CE), když vyřešíme problém SP a dostaneme rovnovážná množství a pak vyřešíme pro ceny (než řešení všeho zároveň)
1.7 Dynamická ekonomie
• Domácnosti se rozhodují, kolik spotřebují dnes a kolik ušetří.
• Žijí T období
• užitková fce je časově separabilní (2 krát diff, striktně rostoucí a striktně konkávni)
U[(c0,£0), (Cl,íi), (c2, £2)... (cT, £T)} = u(c0,£0) + Mci.^i) + ru(c2, £2) + ... PTu(cT,£T)
P G (0,1) je diskontní faktor, vyjadřující netrpělivost domácností ve spotřebě Někdy se používá diskontní míra p, přičemž platí
1
P
l + p
Když «(.;.) je striktně konkávni a /(.;.) striktně kvazikonkávní, existuje jediné Pareto optimum a CE je také jediné.
4
Domácnosti jsou vybaveny aktivy (bondy - obligace), a>o > 0. Mezičasové rozpočtové omezení
ct + «t+i —wt{l — lt) + (1 + n)at
Na začátku má domácnost aktiva clq. A co na konci? Pokud může zemřít zadlužená, udělá to. Proto ji omezíme, aby ax+i > 0. Ale domácnost nemá důvod něco nechávat dědicům, když ví, kdy umře, proto a,T+i — O.3 No-Ponzi game condition.
Maximalizační problém
T
max    y fŕu(ct,ít)
vzhledem k
ct,ct + i,at + 1 ■
t=0
ct + «t+i —wt{l- lt) + (1 + n)at
a Ct > 0 a ax+i > 0. Odvodíme nutné podmínky optimality (jsou i postačující). Řešíme pomocí Lagrangiánu.
T T
£ =     Ptu(Ct'£*) + Y. - it) + (1 + n)at -ct- at+i]
t=0 t=0
Podmínky prvního řádu (hrst order conditions, FOC) vzhledem k ct, ct+i a at+\ položíme rovny 0. Dosazením dostaneme
uc(ctJt) = uc(ct+ijt+i)l3(l + n+i) Náklady z úspory jednotky spotřeby dnes — přínos vyšší spotřeby zítra. Eulerova rovnice (mezní míra substituce — tržní úroková míra)
- 1 + rt+i
f3uc(ct+i,£t+i)
Stav, kdy spotřeba a úroková míra jsou v čase konstatní: steady-state, ct — Ct+\ — c, rt — rt+i — r.
1   í 1
1+p í+r V steady-statu je p — r.
Řešení: Pro jednoduchost přijmeme předpoklad lt — 0, tj. domácnost pouze pracuje. Rozpočtové omezení rozepíšeme pro t + 1 a dosadíme do Eulerovy rovnice.
ct — wt + (í + rt)at - at+i
Cf+i = wt+i + (1 + rt+i)at+1 - at+2
Eulerova rovnice
uc[wt + (1 + rt)at - at+i] =      + rt+1)Mc[wt+1 + (1 + rt+1)at+i - at+2] (17)
Ceny jsou dané {wt,rt}f=0. Jediné proměnné, které potřebujeme určit jsou at, «t+i, at+2- Rovnice (17) je diferenční rovnice druhého řádu (obecně nelineární).
Máme celkem T + 2 rovnic: počáteční podmínku a>o a koncovou podmínku ax+i — 0 a T Eulerovek. Počet proměnných je také T + 2: {at}^)1. Počet neznámých = počet rovnic. Bude to mít řešení a bude jediné, díky vlastnostem užitkové a produkční funkce.
Vybereme konkrétní tvar užitkové funkce, použijeme nějakou matematickou aproximaci (linearizace - naučíme se později) a systém rovnic můžeme vyřešit (nejlépe pomocí nějakého softwaru).
3Pro T = oo je to složitější, později.
5