1 Řešení lineárních modelů s racoinálními očekáváními 1.1 Převod modelu Rovnice v modelu převedeme do následujícího tvaru: AEtxt+i = Bxt + Cet, (1) kde A, B jsou matice koeficientů příslušejících vektoru xt+i a Xf, C je matice koeficientů exogénni složky e. 1.1.1 Příklad Rovnici ve tvaru TVt = OLTTt-1 + (3EtTVt+1 + et (2) chceme převést do podoby rovnice (1). Vektor xt tedy bude obsahovat složky nt-i a irt, tedy Etxt- +1 7Tí Xt = TTí+1 7Tí Mezi jednotlivými složkami těchto vektorů je vztah (horní index označuje, o který prvek ve vektoru xt se jedná). (3) Etx^=x? Rovnici (2) můžeme přepsat jako ,(2) ax™ + PEtx\+i + d (2) (4) Přepis rovnice (1) se bude skládat z rovnice (4) a dále z rovnice (3) popisující vazbu mezi jednotlivými složkami vektorů xt a xt+i, tedy maticově lze psát: 0 -13 1 0 což je v původních veličinách 0 -13 1 0 a —1 0 1 a —1 0 1 P(i) „(2) TTí-1 + + 1 0 1 o Prvky vektoru xt, které v čase t známe, nazveme predeterminovanými. Ty, které neznáme nazveme nepredeterminovanými. 1 1.2 Rozklad a transformace Dále se budeme zabývat pouze případem, kdy matice A je regulární. Provedeme několik úprav rovnice (1). AEtxt+1 = Bxt + Cet Etxt+1 = A~lBxt + A^Cet Etxt+1 = Bxt + Čet, (5) kde B = A-lB a Č = A~lC. Dále pro matici B najdeme rozklad B = PVP-1 kde matice V je čtvercová diagonální matice, obsahující na hlavní diagonále vlastní čísla. Matice P obsahuje ve sloupcích vlastní vektory. Pro matici V platí V = P~1BP. Poznámka: Vlastní vektory v dané matice A jsou takové vektory, které se tímto zobrazením pouze natahují nebo zkracují, tj. Av = Xv Číslo A, které popisuje, jak se vektor zkrátil či natáhl, nazýváme vlastní číslo. Je-li toto číslo v absolutní hodnotě menší nebo rovno jedné, jedná se o vlastní číslo stabilní; v opačném případě je to vlastní číslo nestabilní. Dále provedeme lineární transformaci vektoru Xf xt = Pzt (6) Tedy každý prvek vektoru zt obsahuje informaci, která ovlivňuje prvek ve vektoru Xf. Tuto transformaci dosadíme do rovnice (5) 1 Etxt+1 = Bxt + Čet Pzt+1 = BPzt + Čet zt+^P^BPzt + P^Čet V Výsledkem je tedy zt+i = Vzt + Det, kde V = P-1BP a D = P^Č. Abychom dostali jediné řešení, vyžaduje Blanchard-Kahnova podmínka, aby • počet predeterminovaných veličin v x = počtu stabilních vlastních čísel nebo obráceně • počet nepredeterminovaných veličin v x = počtu nestabilních vlastních čísel 1Symbol zt+i zde označuje očekávanou hodnotu a je zjednodušením zápisu Etzt+i- 2 1.3 Nestabilní část Rovnice modelu přeskupíme tak, aby v matici V byla nejdříve seřazena stabilní vlastní čísla (část matice označená Vn) a poté nestabilní (označeno V22). Tomu samozřejmě odpovídají veličiny ve vektoru z. 2 Obdobně je rozdělena matice d. Pro ilustraci poslouží toto rozepsání V v = ' Vil 0 d = 0 V22 [d2\ Soustavu rovnic vyřešíme nejprve pro nestabilní část. Rozepíšeme si rovnice pro následující (dvě) časová období. V22zf + d2et (7) Z?+2 = V22ZtU+i+£W (8) Z rovnice (7) si vyjádříme zf. Obdobně z rovnice (8) vyjádříme zf+1 a dosadíme do rovnice (7). Výsledkem je poté rovnice (9) V221d2et -lu ^22^+1 V22lzt+2 - V22lD2et+i V222zt+2 - V222D2et+l (9) Pokud výše naznačený postup budeme aplikovat nekonečně mnohokrát, dojdeme k následujícímu výsledku: (V2 -l\oo „u 22 t+oa 00 E k=0 (V2 22 -Uk+l (10) Protože matice V22 patří k nestabilní části řešení, má tedy na diagonále vlastní čísla větší než jedna. Tedy její inverze V^1 rná na diagonále převrácené hodnoty matice V22, tj. čísla menší než jedna. Pokud ji budeme nekonečně mnohokrát umocňovat, tak tyto hodnoty budou konvergovat k nule. Můžeme tedy psát: 00 .^(F221)fc+1JD2ĚÍ+fc k=0 1.4 Stabilní část Nyní se můžeme pustit do řešení stabilní (horní) části vektoru z. Vnzst + dxet. K vyřešení této diferenční rovnice potřebujeme znát počáteční podmínku, kterou získáme následujícím způsobem. Vektor xt můžeme rozdělit na následující složky (predeterminovaná a nepredeterminovaná část): pred. Xt unpred. Veličiny jsou označené horním indexem s jako stable a u jako unstable. 3 Protože Xf = Pzt můžeme soustavu rovnic pro názornost napsat jako pred. h X. unpred. 't Matice P má tuto strukturu P = P11P12 P21P22 Horní část soustavy můžeme rozepsat Pnzf + P12z? = xpt pred. kde zf jsme již vypočítali, xpre ' v čase t známe. Snadno pak můžeme dopočítat zf. Tento výsledek dosadíme do rovnice (11) a iterací získáme celou trajektorii zt+k- Konečné řešení soustavy pak dostaneme zpětnou transformací 1.5 BK podmínka Pokud by Blanchard-Kahnova podmínka nebyla splněna, můžou nastat dva případy s těmito důsledky: 1. Počet stabilních vlastních čísel < počet predeterminovaných proměnných =4> soustava nemá ani jedno stabilní řešení 2. Počet stabilních vlastních čísel > počet predeterminovaných proměnných =4> soustava má nekonečně mnoho stabilních řešení yt je mezera výstupu, m míra inflace, it nominální úroková míra, rt reálná úroková míra; a, /3, 7, 5, A, k jsou parametry; ut, Xt, Št jsou náhodné složky. Parametry nakalibrujte těmito hodnotami: a = 0.8 , f3 = -0.6, 7 = 0.5, 5 = 0.3, A = 0.5, k = 1.5 xt = Pzt 2 Příklad Nasimulujte model (obsahující vpředhledící veličiny): ayt-i + (3rt + ut l^t-i + (1 - l)Etitt+i + Syt + Xt lt - EtTVt+l Xyt + nEtTTt+i + it 4 Reference [1] BLANCHARD, O.; KAHN, C. The Solution of Linear Difference Models under Rational Expectations, Econometrica, Volume 48, Issue 5 (Jul., 1980), 1305-1312. [2] KLEIN, P. Using the generalized Schur form to solve a multivariate linear rational expectations model, Journal of Economic Dynamics and Control, Volume 24, Issue 10, (Sept., 2000), 1405-1423. 5