# !&# !# # #"   .C9:G L=6I 8DC9>I>DCH 86C L: HDAK:  6C9 7: HJG: ID =6K: HDAK:9   > : JC9:G L=6I 8DC9>I>DCH 9D L: =6K: J  K 6C9 :FJ>K6A:C8: 7:IL::C I=: DEI>B6A H:FJ:CI>6A 6AAD86I>DC !?9 " 9 6C9 6AAD86I>DCH <:C:G6I:9 7N I=: DEI>B6A G:8JGH>K: EDA>8N ; ?  6C L: H6N HDB:I=>C< 67DJI I=: FJ6A>I6I>K: ;:6IJG:H D; J 6C9 ; -=: 6CHL:GH ID I=:H: FJ:HI>DCH L>AA 7: <>K:C >C I=: C:MI ILD H:8I>DCH I=: 6CHL:GH ID  6C9  L>AA 8DB: ;GDB I=: DCIG68I>DC &6EE>C< -=:DG:B ID 7: 9>H8JHH:9 >C ,:8I>DC   -=: 6CHL:G ID I=: I=>G9 FJ:HI>DC B6@:H JE L=6I +>8=6G9 :AAB6C 86AA:9 I=: )G>C8>EA: D; (EI>B6A>IN 6C9 >H 9>H8JHH:9 >C ,:8I>DC   >C6AAN JC9:G BDG: G:HIG>8I>K: 6HHJBEI>DCH L: 86C 8=6G68I:G>O: I=: HDAJI>DC ID I=: ;JC8I>DC6A :FJ6I>DC J ; BDG: EG:8>H:AN -=>H L>AA 7: 9DC: >C ,:8I>DC   "C I=: G:B6>C>C< E6GIH D; I=>H H:8I>DC L: L>AA ADD@ 6I HE:8>P8 :M6BEA:H L=:G: L: 86C HDAK: I=: ;JC8I>DC6A :FJ6I>DC 7N =6C9 -=:C L: L>AA I6A@ 67DJI 8DBE:I>I>K: :FJ>A>7G>6 6C9 I=: L6N L: 86C 8DCHIGJ8I EG>8:H HD I=6I )6G:ID DEI>B6A 6AAD86 I>DCH ID<:I=:G L>I= I=:H: EG>8:H ;DGB 6 8DBE:I>I>K: :FJ>A>7G>JB -=>H L>AA 7: DJG K:GH>DCH D; I=: PGHI 6C9 H:8DC9 L:A;6G: I=:DG:B ;DG I=: C:D8A6HH>86A 9:G I=: ;DAADL>C< :M6BEA: %:I I=: E:G>D9 JI>A>IN ;JC8I>DC 7: <>K:C 7N 0 7  $& 7 6C9 I=: 6<DC ;JC8I>DC 7: <>K:C 7N ! ? B  ? B 6C9 6HHJB: ;JAA 9:EG:8>6I>DC > :   -=:C : ?  ? 6C9 I=: ;JC8I>DC6A :FJ6I>DC 7:8DB:H J ?  % , 0 0 !$& ? ? J ? " +:B:B7:G I=6I I=: HDAJI>DC ID I=>H ;JC8I>DC6A :FJ6I>DC >H 6C :CI>G: ;JC8I>DC J   'DL L: L>AA 6EEAN H:K:G6A B:I=D9H ID HDAK: I=>H ;JC8I>DC6A :FJ6I>DC <-:: )5, '-91.@ 0: L>AA 8JA6G ;JC8I>DC6A ;DGB D; 6 HDAJI>DC 6C9 I=:C K:G>;N I=6I I=: HDAJI>DC =6H >C ;68I I=>H ;DGB CDI: I=6I I=>H 9D:H CDI GJA: DJI I=6I I=: ;JC8I>DC6A :FJ6I>DC =6H DI=:G HDAJI>DCH -=>H B:I=D9 LDG@H L:AA ;DG I=: :M6BEA: 6I =6C9 7JI CDI HD L:AA ;DG BDHI DI=:G :M6BEA:H I=6I L: 6G: 8DC8:GC:9 L>I= %:I JH :CIH I=6I 6G: ID 7: 9:I:GB>C:9 -=: B:I=D9 8DCH>HIH D; I=G:: HI:EH  ,DAK: I=: B6M>B>O6I>DC EGD7A:B DC I=: G><=I =6C9 H>9: <>K:C I=: : HDAK: % , 0 0 !$& ?& ?   $& ? " #! # "" !&#   "!# # (7K>DJHAN I=: 8DCHIG6>CIH DC ? C:K:G 7>C9 6C9 I=: D7?:8I>K: ;JC8I>DC >H HIG>8IAN 8DC86K: 6C9 I=: 8DCHIG6>CI H:I >H 8DBE68I ;DG 6CN <>K:C ? -=: PGHI DG9:G 8DC9>I>DC >H HJU8>:CI ;DG I=: JC>FJ: HDAJI>DC -=: ( N>:A9H  ? ?   ? ?  ?    K6AJ6I: I=: G><=I =6C9 H>9: 6I I=: DEI>BJB ?  0   -=>H N>:A9H +!,  $& ?& ?   $& ?  $& ?     $& ?    $&   $& ?   $&     $& ?  "C DG9:G ;DG DJG DC6A :FJ6I>DC I=: A:;I =6C9 H>9: D; I=: ;JC8I>DC6A :FJ6I>DC L=>8= L: =6K: <=I =6C9 H>9: L=>8= L: ?JHI ;DJC9 "; L: 86C PC9 8D:U8>:CIH   ;DG L=>8= I=>H >H IGJ: L: =6K: ;DJC9 6 HDAJI>DC ID I=: ;JC8I>DC6A :FJ6I>DC FJ6I>C< %!, 6C9 +!, N>:A9H   $& ?  $&   $& ?   $&     $& ?    $& ?   $&     $&      JI I=>H :FJ6I>DC =6H ID =DA9 ;DG 1B1>E 86E>I6A HID8@ ? -=: G><=I =6C9 H>9: D;  9D:H CDI 9:E:C9 DC ? 7JI I=: A:;I =6C9 H>9: 9D:H !:C8: I=: G><=I =6C9 H>9: >H 6 8DCHI6CI 6C9 I=: DCAN L6N ID B6@: I=: A:;I =6C9 H>9: 6 8DCHI6CI >H ID B6@:      ,DAK>C< I=>H ;DG  N>:A9H    ,>C8: I=: A:;I =6C9 H>9: D;  >H  I=: G><=I =6C9 H>9: 7:II:G >H IDD ;DG    -=:G:;DG: I=: 8DCHI6CI  =6H ID H6I>H;N    $&     $&      $&     $& ,DAK>C< I=>H B:HH ;DG  N>:A9H       $& $&   0: 86C 6AHD 9:I:GB>C: I=: DEI>B6A EDA>8N ;JC8I>DC ?  ; ? 6H ; ?  ?    ? # !&# !# # #"  !:C8: DJG DC J ?    $& ?  L>I=   6H 9:I:GB>C:9 67DK: HDAK:H I=: ;JC8I>DC6A :FJ6I>DC L>I= 6HHD8>6I:9 EDA>8N ;JC8 I>DC ; ?  ?  'DI: I=6I ;DG I=>H HE:8>P8 :M6BEA: I=: DEI>B6A EDA>8N D; I=: HD8>6A EA6CC:G >H ID H6K: 6 8DCHI6CI ;G68I>DC D; IDI6A DJIEJI ? 6H 86E>I6A HID8@ ;DG IDBDGGDL 6C9 6C9 A:I I=: =DJH:=DA9 8DCHJB: 6 8DCHI6CI ;G68I>DC  D; IDI6A DJIEJI ID96N -=: ;68I I=6I I=:H: ;G68I>DCH 9D CDI 9:E:C9 DC I=: A:K:A D; ? >H K:GN JC>FJ: ID I=>H :M6BEA: 6C9 CDI 6 EGDE:GIN D; I=: BD9:A >C <:C:G6A AHD CDI: I=6I I=:G: B6N 7: DI=:G HDAJI>DCH ID I=: ;JC8I>DC6A :FJ6I>DC L: =6K: ?JHI 8DCHIGJ8I:9 DC: 68IJ6AAN ;DG I=: HE:8>P8 :M6BEA: I=:G: 6G: CD DI=:GH 7JI I=>H C::9H HDB: EGDK>C< >C6AAN >I >H HIG6><=I;DGL6G9 ID 8DCHIGJ8I 6 H:FJ:C8: !?9 " 9 ;GDB DJG EDA>8N ;JC8I>DC ; I=6I L>AA IJGC DJI ID HDAK: I=: H:FJ:CI>6A EGD7A:B  D; 8DJGH: ;DG I=: HE:8>P8 ;JC8I>DC6A ;DGBH JH:9 >C I=: :M6BEA:  HI6GI ;GDB ?  ?  ?  ; ?  ?  ?  ; ?  ?  ? 6C9 >C <:C:G6A ?9     ?   (7K>DJHAN H>C8:     L: =6K: I=6I $#% 9 ?9  ;DG 6AA >C>I>6A 8DC9>I>DCH ?   L=>8= CDI HJGEG>H>CH I=: JC>FJ: HDAJI>DC ID ; ?  ? ')3<- <5+;165 ;-9);165 5)3@;1+)3 7796)+0 "C I=: A6HI H:8I>DC L: HI6GI:9 L>I= 6 8A:K:G O:9 >I 6C9 JH:9 I=: B:I=D9 D; JC9:I:GB>C:9 8D:U8>:CIH ;N ID HDAK: ;DG I=: HDAJI>DC J D; I=: ;JC8I>DC6A :FJ6I>DC DG ?JHI 67DJI 6CN DI=:G I=6C I=: AD< JI>A>IN D77 DJDC ;JC8I>DC 86H: I=>H B:I=D9 LDJA9 CDI LDG@ :K:C NDJG BDHI >C<:C>DJH A L=:C IGN>C< ID 7: K:G>P:9 DCH>9:G I=: ;DAADL>C< >I:G6I>K: EGD8:9JG: ;DG DJG EG:K>DJH :M6BEA:  J:HH 6C 6G7>IG6GN ;JC8I>DC J ?  DG 8DC8G:I:C:HH A:IRH I6@: J ?   ;DG 6AA  )GD8::9 G:8JGH>K:AN 7N HDAK>C< J ?  % , 0 0 !$& ? ? J ? " 'DI: I=6I L: 86C HDAK: I=: B6M>B>O6I>DC EGD7A:B DC I=: G><=I =6C9 H>9: H>C8: L: @CDL J H>C8: L: =6K: I "C E6GI>8JA6G H>C8: J ?   ;DG 6AA ? L: =6K: 6H DEI>B6A HDAJI>DC ID I=>H EGD7A:B ?  ; ?   ;DG 6AA ? )AJ<<>C< I=>H 768@ >C L: <:I J ?  $& ?  J   $& ?  $& ? #! # "" !&#   "!# #  'DL L: 86C HDAK: J ?  % , 0 0 !$& ? ? J ? " H>C8: L: @CDL J 6C9 HD ;DGI=  N >I:G6I>C< DC I=: G:8JGH>DC J3 ?  % , 0 0 !$& ? ? J3 ? " L: D7I6>C 6 H:FJ:C8: D; K6AJ: ;JC8I>DCH !J3" 3 6C9 EDA>8N ;JC8I>DCH !;3" 3  !DE:;JAAN I=:H: H:FJ:C8:H L>AA 8DCK:G<: ID I=: HDAJI>DC J 6C9 6HHD8>6I:9 EDA>8N ; D; I=: ;JC8I>DC6A :FJ6I>DC "C ;68I 7:ADL L: L>AA HI6I: 6C9 EGDK: 6 K:GN >BEDGI6CI I=:DG:B 6HH:GI>C< :M68IAN I=6I JC9:G 8:GI6>C 8DC9>I>DCH I=>H >I:G6I>K: EGD8:9JG: 8DCK:G<:H ;DG 6CN >C>I>6A DC C6B:AN J  "C I=: PGHI =DB:LDG@ " A:I NDJ 86GGN DJI I=: PGHI ;:L >I:G6I>DCH >C I=>H EGD8:9JG: 'DI: =DL:K:G I=6I >C DG9:G ID PC9 I=: HDAJI>DC J :M68IAN NDJ LDJA9 =6K: ID 86GGN DJI HI:E  67DK: 6 ADI D; I>B:H >C ;68I >CPC>I:AN B6CN I>B:H L=>8= >H D; 8DJGH: >C;:6H>7A: -=:G:;DG: DC: =6H ID >BEA:B:CI I=>H EGD8:9JG: CJB:G>86AAN DC 6 8DBEJI:G ')3<- <5+;165 ;-9);165 <4-91+)3 7796)+0 K:C 6 8DBEJI:G 86C 86GGN DJI DCAN 6 PC>I: CJB7:G D; 86A8JA6I>DC 6C9 86C DCAN HIDG: PC>I: 9>B:CH>DC6A D7?:8IH !:C8: I=: 7:HI L: 86C =DE: ;DG >H 6 CJB:G>86A 6EEGDM>B6I>DC D; I=: IGJ: K6AJ: ;JC8I>DC -=: ;JC8I>DC6A :FJ6 I>DC 67DK: >H 9:PC:9 ;DG 6AA ?  >C ;68I I=:G: >H 6C JEE:G 7DJC9 7JI A:IRH >H ;DG CDL :86JH: 8DBEJI:G HIDG6<: HE68: >H PC>I: L: L>AA 6EEGDM>B6I: I=: K6AJ: ;JC8I>DC ;DG 6 PC>I: CJB7:G D; ED>CIH DCAN  DG I=: H6@: D; I=: 6GC   !    " 'DI: I=6I I=: K6AJ: ;JC8I>DCH J3 I=:C 8DCH>HIH D;  CJB7:GH J3   J3   J3   J3   J3  'DL A:I JH >BEA:B:CI I=: 67DK: 6AI=B CJB:G>86AAN >GHI L: =6K: ID E>8@ 8DC8G:I: K6AJ:H ;DG I=: E6G6B:I:GH 6C9  %:I JH E>8@   6C9    &6@: 6C >C>I>6A H 8DJGH: " L>AA DCAN 9>H8JHH HD 86AA:9 PC>I: HI6I: HE68: B:I=D9H > : B:I=D9H >C L=>8= I=: HI6I: K6G>67A: 6C9 I=: 8DCIGDA K6G>67A: 86C I6@: DCAN 6 PC>I: CJB7:G D; K6AJ:H $:C #J99 DC: D; I=: LDGA9 A:69:GH >C CJB:G>86A B:I=D9H >C :8DCDB>8H I:68=:H 6C :M:AA:CI H:8DC9 N:6G 8A6HH >C 8DBEJI6I>DC6A B:I=D9H >C L=>8= BJ8= BDG: HDE=>HI>86I:9 B:I=D9H ;DG HDAK>C< H>B>A6G EGD7A:BH 6G: 9>H8JHH:9 " HIGDCH 8DJGH: 6I HDB: ED>CI D; NDJG 86G::G =:G: >C ,I6C;DG9 # !&# !# # #"  -=>H D7K>DJHAN N>:A9H 6H DEI>B6A EDA>8N ? ?  ; ?   ;DG 6AA ?   CDI: I=6I H>C8: ?   >H G:FJ>G:9 ?   >H CDI 6AADL:9 )AJ<<>C< I=>H 768@ >C N>:A9H J   $&      J   $&      J   $&      J   $&      J   $&       %:IRH 9D DC: BDG: HI:E 7N =6C9 J ?   %# %! % , 0 0 0  $& ?  ? J ? %$ %" ,I6GI L>I= ?    J   % , 0   0  $&   ? J ? ,>C8:     6AA ?   6G: EDHH>7A: "; I=: EA6CC:G 8=DDH:H ?   I=:C J   $&        "; =: 8=DDH:H ?   I=:C J   $&        "; =: 8=DDH:H ?   I=:C J   $&        "; ?   I=:C J   $&        >C6AAN >; ?   I=:C J   $&        !:C8: ;DG ?   I=: DEI>B6A 8=D>8: >H ?   ;    6C9 J    -=>H L: =6K: ID 9D ;DG 6AA ?   (C: 86C 6AG:69N H:: I=6I I=>H >H FJ>I: I:9>DJH 7N =6C9 7JI 6AHD I=6I 6 8DBEJI:G 86C 9D I=>H FJ>I: G6E>9AN -67A:  7:ADL H=DLH I=: K6AJ: D; ?  ? J ? ;DG 9>V:G:CI K6AJ:H D; ? 6C9 ?   >C I=: 8DAJBC ;DG ? I=6I I=>H ? >H I=: DEI>B6A 8=D>8: ;DG 86E>I6A IDBDGGDL ;DG I=: E6GI>8JA6G 86E>I6A HID8@ ? ID96N #! # "" !&#   "!# # %)*3- ? ?                                    !:C8: I=: K6AJ: ;JC8I>DC J 6C9 EDA>8N ;JC8I>DC ; 6G: <>K:C 7N %)*3- ? J ? ; ?                "C >DC J G:B:B7:G I=6I ;DG I=>H :M 6BEA: L: @CDL ID PC9 J 6C6ANI>86AAN 6C9 H:A:8I:9 >I:G6I>DCH ;GDB I=: CJB:G>86A K6AJ: ;JC8I>DC >I:G6I>DC EGD8:9JG: "C >C< EDA>8N ;JC8I>DCH 0: H:: ;GDB >86A 6EEGDM>B6I>DCH D; I=: K6AJ: ;JC8I>DC 8DCK:G<: G6E>9AN ID I=: IGJ: K6AJ: ;JC8I>DC ;I:G  >I:G6I>DCH I=: 6EEGDM>B6I>DC 6C9 I=: IGJI= 6G: C:6GAN >C9>HI>CH=67A: L>I= I=: C6@:9 :N: %DD@>C< 6I I=: EDA>8N ;JC8I>DCH L: H:: ;GDB >B6I>C< EDA>8N ;JC8I>DC 9D CDI 8DCK:G<: ID I=: IGJI= BDG: >I:G6I>DCH 9DCRI =:AE -=>H >H 9J: ID I=: ;68I I=6I I=: 6C6ANI>86AAN 8DGG:8I K6AJ: ;JC8I>DC L6H ;DJC9 7N 6AADL>C< ?  ; ? ID I6@: 6CN K6AJ: >C I=: G:6A A>C: L=:G:6H ;DG I=: 6EEGDM>B6I>DCH L: G:HIG>8I:9 ?  ;3 ? ID A>: >C  -=: ;JC8I>DC ; 6EEGDM>B6I:H I=: IGJ: EDA>8N ;JC8I>DC 6H 7A: HJ7?:8I ID I=>H G:HIG>8I>DC -=:G:;DG: I=: 6EEGDM>B6I>C< K6AJ: ;JC8I>DC L>AA CDI 8DCK:G<: :M68IAN ID I=: IGJI= :>I=:G -=: ;68I I=6I I=: K6AJ: ;JC8I>DC 6EEGDM>B6I>DCH 8DB: BJ8= 8ADH:G >H 9J: ID I=: ;68I I=6I I=: JI>A>IN 6C9 EGD9J8I>DC ;JC8I>DC >C9J8: S8JGK6IJG:T >CID I=: K6AJ: ;JC8I>DC HDB:I=>C< I=6I L: B6N B6@: BDG: EG:8>H: A6I:G AHD CDI: I=6I L: L: EADI I=: IGJ: K6AJ: 6C9 EDA>8N ;JC8I>DC DCAN DC  L>I= &-% >CI:GEDA6I>C< 7:IL::C I=: ED>CIH >C  HD I=6I I=: IGJ: K6AJ: 6C9 EDA>8N ;JC8I>DCH >C I=: EADIH ADD@ E>:8:L>H: A>C:6G # !&# !# # #"  0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 Capital StockkToday ValueFunction Value Function: True and Approximated V 0 V 1 V 2 V 10 True Value Function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apital StockkToday PolicyFunction PolicyFunction: True and Approximated g 1 g 2 g 10 True PolicyFunction I=: :8DCDBN >H DK:G -=: HD8>6A EA6CC:G EGD7A:B ;DG I=>H 86H: >H <>K:C 7N K" ?  % , 0   "- 9 9 0 : ?9 ?9  ?9 : ?9 ?  ?   <>K:C (7K>DJHAN H>C8: I=: LDGA9 D9 / ?"   AHD <>K:C DJG "C696 6HHJBEI>DCH DC I=: JI>A>IN ;JC8I>DC I=: 8DCHIG6>CIH DC ?9 L>AA C:K:G 7: 7>C9>C< 6C9 L: L>AA 9>HG:<6G9 I=:B =:C8:;DGI= -=: PGHI I=>C< L: CDI: >H I=6I H>C8: L: =6K: 6 PC>I: 9>B:CH>DC6A B6M>B>O6I>DC EGD7A:B 6C9 H>C8: I=: H:I 8DCHIG6>C>C< I=: 8=D>8:H D; !?9 "" 9 >H 8ADH:9 6C9 7DJC9:9 7N I=: DAO6CD 0:>:GHIG6HH I=:DG:B 6 HDAJI>DC ID I=: B6M>B>O6I>DC EGD7A:B :M>HIH HD I=6I K" ? >H L:AA 9:PC:9 JGI=:GBDG: H>C8: I=: 8DCHIG6>CI H:I >H 8DCK:M 6C9 L: 6HHJB:9 I=6I 0 >H HIG>8IAN 8DC86K: 6C9 I=: PC>I: HJB D; HIG>8IAN 8DC86K: ;JC8I>DCH >H HIG>8IAN 8DC86K: I=: HDAJI>DC ID I=: B6M>B>O6I>DC EGD7A:B >H JC>FJ: 6C9 I=: PGHI DG9:G 8DC9>I>DCH 6G: CDI DCAN C:8:HH6GN 7JI 6AHD HJU8>:CI