Makroekonomické modelování -
cvičení 4
1 Teorie I
Uvažujte následující problém sociálního plánovače.
max Eq
{ct A,it}t"o
vzhledem k
ct + H = Vt
kt+i = (1 - S)kt +it ht+et = l ct,kt, ht, £t>0
a ko > 0 a je dáno, a S e (0,1)
Konkrétní forma užitkové a produkční funkce je:
i — <j
yt = ztf(kt,ht) = ztk?h1t-a
kde a > 0 a 5 G (0,1) a šok zt je technologický šok, který je iid a může nabývat následujících hodnot
zt e Z = [.75,1.25]
s pravděpodobnostmi
7Ti = Pr{zt = z1} = .5
7T2 = Pr{zt = z2} = .5
V (deterministickém) steady státu je hodnota šoku rovna jeho střední hodnotě. Vypočítejte steady-statové hodnoty následujících endogenních proměnných (poměry proměnných) jako funkce strukturálních parametrů, tj. parametrů technologií a preferencí („řecká písmena").
(a) poměr investic a kapitálu (investment/capital ratio, i/k)1
(b) ceny výrobních faktorů (mpk = R, mpl = w)
(c) poměr kapitálu a práce (capital/labor ratio, k/K) 2
(d) poměr kapitálu a výstupu (capital/output ratio, k/y) 3
(e) podíl kapitálu a práce na národním důchodu (capital share a labor share)
(f) podíl investic a výstupu (investment/output ratio, i/y)
(g) podíl spotřeby a výstupu (constumption/output ratio, c/y) 1 Využijte rovnici pro vývoj kapitálu.
2Využijte mezičasovou podmínku optimality, Eulerovu rovnici. ^Využijte opět Eulerovu rovnici.
.t=o
1
Teorie II
CRRA funkce a výběr spotřeby mezi dvěma obdobími. Mějme užitkovou funkci
c1-6 - 1
u(c) = -
y ' 1-9
kde 9 > 0. Pro 9 = 1 je u(c) = ln c.
1. Ukažte, že u'(c) > 0 a u"(c) < 0.
2. Co se stane s u'(c) , když c-íOa když c —>• oo?
3. Předpokládejte, že spotřebitel žije jen dvě období (1 a 2). Jeho užitková funkce je
U = u(ci) + ——u(c2) 1 + p
kde u(c) je CRRA funkce a p > 0. Vysvětlete, co parametry p a, 9 (nebo cr = 1/(9) znamenají pro spotřebitelovy preference mezi obdobími.
4. Předpokládejte, že spotřebitel pracuje pouze v prvním období, jinak nemá žádný příjem. Jeho rozpočtové omezení tedy je
1
Cl +--c2 = w
1 + r
kde w je mzdový příjem. Odvoďte podmínku prvního řádu pro maximalizaci užitku (Eulerovu rovnici).
5. Najděte explicitní řešení pro spotřebu v období 1 a 2, tedy c\ a c2 jako funkce parametrů a cen r a w. Vysvětlete, jak spotřeba závisí na mzdovém příjmu w a úrokové míře r. Jaká je zde role parametrů p a 9 (cr)?
2 Počítání
Uvažujte modelovou ekonomiku, kde sociální plánovač vybírá nekonečnou sekvenci spotřeby a kapitálové zásoby {ct, /jt+i}^Q, aby maximalizoval
max    Et ^ /?*M(ct)
{ct.fet + ij^o
t=o vzhledem k
Q + h+i =yt + {l- S)kt ct,kt,> 0
a &o > 0 a je dáno, a 5 e (0,1).
Ekonomika je vystavena exogennímu stochastickému šoku 7, který je iid a může nabývat následujících hodnot
7t G T = [4.95, 5.05]
s pravděpodobnostmi
2
7T2 = Pr{7t = 72} = .5 Uvažujte následující užitkovou a produkční funkci:
u(ct)
1
1
yt = ltF{ku 1) = ltk?
Vypočítejte hodnotovou funkci (value function) a rozhodovací pravidlo (decision rule) pomocí metody iterace hodnotové funkce (value function iteration).
1. Napište Bellmanovu rovnici pro problém sociálního plánovače. Tj. refor-mulujte problém jako problém dynamického programování. Určete, které proměnné jsou statové (endogenní/exogénni) a které řídící.
2. Odvoďte deterministický steady state pro hodnotu kapitálu, k*, jako funkci strukturálních parametrů.
3. v Matlabu: m-file >> Definujte hodnoty parametrů, vypočítejte steady-state kapitálu. Uvažujte hodnoty: a = .35, /3 = .98, S = .025, a = 2 a
4. Diskretizujte stavovou proměnnou k, tj. vytvořte grid v okolí steady státu ki = 0.95/j, kgk = 1.05/j, kde gk = 101 (počet bodů).
5. Vytvořte matici spotřeby (pro každý šok jeden plást (gk x gk), tedy (gk x gk x gg), kde gg = 2, dva stavy technologického šoku). Matice spotřeby je pro každou kombinaci k a k'. Vytvořte užitkovou matici.
6. Definujte počáteční odhad hodnotové funkce f o (gk x gg). Vypočítejte novou hodnotovou funkci řešením Bellmanovy rovnice.
Řešte iterativně, do té doby, až dostanete blízkou aproximaci skutečné hodnotové funkce. Vypočítejte a vykreslete rozhodvací pravidla pro k' a c. Tj. pro poslední maximalizaci najděte index řádku, který dává maximální hodnotu pro každé k' (pro obě hodnotové funkce). Z indexu vypočítejte rozhodovací pravidlo pro kapitál k' = k (i). Rozhodovací pravidlo pro spotřebu vypočítejte residuálně.
7. Nasimulujte (100 krát) chování ekonomiky při reakci na stochastický šok 7t-
Pro tento příklad se podívejte na řešení na webu. M-file seminar4_det .m je řešením výše uvedeného problému pro deterministický případ (bez stochastického šoku). M-file seminar4_iid.m odpovídá výše uvedenému zadání. M-file seminar4_mc. m je modifikace, pokud je šok modelován jako Markovský řetězec.
7
5.
vi(k, 7) = max
{u + (3l7r{v0(k'ri')}T}
3