Makroekonomické modelování - cvičení 5
1 Teorie
Nabídka práce
Spotřebitel se rozhoduje o spotřebě, úsporách a nabídce práce. Předpokládejte, že žije pouze dvě období a vydělává mzdu w\, když je mladý a w2 když je starý. Jeho spotřeba a nabídka práce v těchto obdobích jsou c\, c2 a h\ a h2. Úroková míra je r a agent maximalizuje
U = u(ci, hi) + j3u(c2, h2)
vzhledem k rozpočtovému omezení
,      C2                í     , w2h2 Cl + —-       = Wifti + —-.
1 + r 1 + r
Předpokládejte, že užitková funkce je dána jako
<cM = —+ 1-9
a) Odvoďte podmínky prvního řádu pro h\ a h2 a c\ a c2. Odvoďte Eulerovu rovnici a intratermporální rovnici. Interpretujte je. Ilustrujte je pomocí grafu. Odvoďte i intertemporální rovnici pro volný čas (práci).
b) Nyní předpokládejte, že w2 = 0, takže spotřebitelé pracují pouze pokud jsou mladí. Jaký je vliv mzdové sazby na nabídku práce? Na jakém parametru to záleží? Hint: Najděte explicitní řešení pro c\ (z Eulerovy rovnice vyjádřete c2 a dosaďte do rozpočtového omezení). Výsledek poté dosaďte do intratemporální podmínky (za ci) a zjistěte vztah mezi w\ a h\.
c) Během posledních sta let mzdy podstatně vzrostly, zatímco pracovní úsilí pokleslo (v průměru máme více volného času než naši prarodiče). Co tento fakt svědčí o parameterech v užitkové funkci?
d) Nyní předpokládejte, že lidé pracují v obou obdobích. Pomocí podmínek optimality (z bodu a) prozkoumejte vliv na spotřebu ct a nabídku práce ht pokud dojde k
i) dočasnému šoku ve mzdě
ii) permanetnímu šoku ve mzdě
e) Dokážete z tohoto cvičení vyvodit nějaké užitečné závěry pro model reálného hospodářského cyklu?
f) Frischova elasticita nabídky práce je definována jako
„ „     d ln hf ,   ,. .
F E = —--       I u'(c) = const.
dmwt
Frischova elasticita tedy zachycuje elasticitu odpracovaných hodin vzhledem k (reálné) mzdě, přičemž užitek ze spotřeby je konstantní. Vypočítejte FE v tomto modelu. Hint: Vyjděte z intratemporální podmínky.
1
Solowovo reziduum
Co to je Solowovo reziduum a jak se měří? Jakou hraje roli v teorii reálného hospodářského cyklu?
2 Počítání
Předpokládejte následující verzi RBC modelu. Agent má užitek ze spotřeby a volného času.
oo
t=o
přičemž
u(ct,ht) = lncf - ipht kde j3 G (0,1). Produkční funkce firem je
yt=ztf(kt,ht) = eztkah1-a
kde a e (0,1) a zt je technologický šok, TFP (total factor productivity). Sok má nulovou střední hodnotu a možné stavy z = {—e, e} a je modelován jako Markovský řetězec s přenosovou pravděpodobností II.
n=(V 1-16)
Rovnice pro vývoj kapitálu je
kt+i = (1 - S)kt +it kde S G (0,1) je míra depreciace. Omezení ekonomiky je
ct + H = Vt
a) Napište Bellmanovu rovnici pro problém sociálního plánovače. Určete, které proměnné jsou stavové (endogenní/exogenní) a které řídící.
b) Vypočítejte deterministický steady state modelu. Výsledkem by měly být tři rovnice, z nichž lze vypočítat steady statové hodnoty k, c a h (jako funkce strukturálních parametrů). Hint: Vyjděte z Eulerovy rovnice, intra-temporální podmínky a rovnice (zdrojového) omezeni ekonomiky. Najděte poměry k/h a c/h a výraz pro h do kterého můžete za poměry dosadit.
c) Nakalibrujte strukturální parametry modelu a, j3, S a ip na základě dlouhodobých vztahů v datech, přičemž víte, že
• c/y = 0.85
• k/y = 3
• podíl odměn práci na celkovém důchodu je 70 %
• podíl volného času v disponibilním čase je 80 %
d) S využitím Bellmanovy rovnice najděte hodnotovou funkci a rozhodovací pravidlo pomocí metody iterace hodnotové funkce.
2
• Vytvořte grid pro stavové proměnné k\ = 0.85k, kj-g = l.lbk, h\ = O.8/1, hhg = í.2h, kde kg = 101 a hg = 51.
Vytvořte matici spotřeby (hg x kg x kg x dim), kde dim = 2 -možné stavy technologického šoku. Vytvořte užitkovou matici. Definujte počáteční odhad hodnotové funkce f o (kg x dim). Vypočítejte novou hodnotovou funkci řešením Bellmanovi rovnice.
(Tv)(k, z) = max {U + /3 1 ir[v0(k', z')]T)
Řešte iterativně, do té doby, až dostanete blízkou aproximaci skutečné hodnotové funkce. Vypočítejte a vykreslete rozhodvací pravidla pro k , c, a h.
• Nasimulujte (10000 krát) chování ekonomiky při reakci na stochastický šok zt.
• Vypočítejte směrodatnou odchylku simulovaných veličin i vzhledem k (std) výstupu. Vypočítejte korelace mezi veličinami.
Pro tento příklad se podívejte na řešení na webu. M-file seminar5_det .m je řešením výše uvedeného problému pro deterministický případ (bez stochastického šoku). M-file seminar5_stoch_mc.m odpovídá výše uvedenému zadání.
3