MAMO podzim 2015 Přednáška 7 Lit: McC-ABC ch 6 Zietz (2006)
Log-linearizace
(Log) linearizace => Taylorův rozvoj 1. řádu. Funguje všude, ale někdy zbytečně moc složité. Linearizace a log-linearizace (více méně to stejné).
Uhligova metoda log-linearizace
Pravidla a definice:
x = ln Xt — ln X
Proměnná x je logaritmická odchylka (diference) veličiny Xt od steady-statové hodnoty X. Tedy přibližně procentní odchylka. Původní proměnnou můžeme rozložit
Xt = Xe£t
Protože
Že** = XelnX^X = Xe^/X) = Á = Xt
X
Uhligova pravidla
eit+ayt ~í+Xt + aýt
ítVt ~ 0
Et [ae^1] Ka + aEt [xt+1]
Užitečné je první pravidlo. Užitečná verze posledního pravidla
Et [Xt+1] =X(Í + Et [žt+i])
1
Log-linearizovaný model
Základní (Hansenův) model s logaritmickou užitkovou funkcí (spotřeba i volný čas). Pro každou rovnici následuje: Původní rovnice a log-linearizované rovnice, kde proměnná xt = lnxt — ln x je vyjádřena jako logaritmická odchylka od steady státu (procentní odchylka).
Eulerova rovnice
Intratemporální podmínka
lr=(3Et-^—(í + Rt+1-S) w w+i
Cf+1 = Cf + PŘŘt+i
1-ířt
q = ýt
(1-if)
Mezní produkt kapitálu
Rozpočtové omezení
Produkční funkce
Šok (proces pro TFP)
t+i
t-> Yt Kf = a— Kt
Rt=Vt- h
(1 - 5)Kt -Ct+Yt
k+i = ^Vt - %ct - (1 - S)kt
Yt = ZtK*H\-a ýt = žt + akt + (1 - oi)ht
Zt = pZt-i + nt zt = pzt-i + et
2
Log-linearizace produkční funkce (krok po kroku)
Použijeme rozklad s e
Ye^ = ZeZt {Kekt )   ( Heh'
l-a
Umocníme
Ýe^ = ŽežtKaek°' H1-aeh*~a
Pod stejný mocnitel (e)
Ýe^ = ZKaH1-aeit+%"+h^a Vydělením rovnice steady-statem (Ý = ŽKaH1~a) dostaneme
eVt — ežt+akt+(l-u)ht
A použijeme Uhligovo pravidlo
l + ýt = 1 + žt + akt + (1 - oi)ht
A ve finále dostaneme
ýt = žt + akt + (1 - oi)ht Po chvíli praxe je možné používat rozklad na steady-state a odchylku (bez " éčkování") F(l + yt) = ŽKaHx~a{\ + Žt + akt + (1 - a)ht)
3