Reálna funkce reálne proměnné Stepán Křehlík Ekonomicko správní fakulta Masarykova Universita podzim 2018 Štěpán Křehlík □ iS1 Reálná funkce reálné proměnné Reálna funkce Reálná funkce reálné proměnné X INVESTICE y s / 10% JUKEBOX koruny skladby \ 10 Kč = 1 skladba / Štěpán Křehlřk Reálná funkce reálné proměnné Reálna funkce Zobrazení o intuitivně 9 x. . . vstup • y. . . výstup • funkce mechanizmu • formálně • x. . . nezávislá proměnná • y. . . závislá proměnná • definiční obor • uspořádaná dvojice (x,y) Štěpán Křehlřk Reálna funkce reálne proměnné Zobrazení Definice Necht A, B jsou neprázdné množiny. Pravidlo F, jimž ke každému prvku x G A je přiřazen právě jeden prvek y G B, nazývame zobrazením množiny A do množiny B. Píšeme F : A —> B. Označíme-li x proměnnou s oborem A a y proměnnou s oborem B, píšeme též y = f (x). 9 x je vzorem pro prvek y • y je obrazem prvku x 9 množina A... neodvislý obor nebo též definiční obor D(F) 9 množina B... obor hodnot H {F) Štěpán Křehlřk Reálna funkce reálne proměnné Zobrazení „do" a „na" Zobrazení množiny A na množinu B. Zobrazení množiny A do množiny B. Štěpán Křehlřk Reálná funkce reálné proměnné Reálná funkce Reálná funkce reálné proměnné vs. zobrazení Pokračování přednášky o inverzní funkce graf funkce • spojitost funkce • další vlastnosti funkcí • některé speciální funkce Štěpán Křehlřk Reálná funkce reálné proměnné Reálná funkce Prostá funkce Funkce f je prostá, pokud pro všechna xi,X2 e D(f) platí, xi ^ x2 & f (xi) ^ /r(x2). f(x) Štěpán Křehlřk Reálná funkce reálné proměnné Reálna funkce Uvažujme následující tabulku f{x)- = 2x =? f{2) = 4 f~\2) = 1 f(3) = 6 f~\4) = 2 f(A) = 8 = 3 ■ ■ Inverzní funkce Mějme tedy prostou funkci f s definičním oborem D(f) a oborem hodnot H(f). Z definice funkce platí, že pro všechny prvky x z definičního oboru D(f) máme nějaký prvek y z oboru hodnot H(f), pro který platí f(x) — y. Inverzní funkce ŕ-1 je pak funkce, pro kterou platí: f(x)=y^f-\y)=x. Štěpán Křehlřk Reálná funkce reálné proměnné nverzní zobrazení Jestliže zobecníme pojem inverzní funkce dostaneme pojem inverzní zobrazení. Příklad Lidé pracující či studující na MU přiřazené univerzitní číslo osoby. Je zřejmé, že žádná osoba na MU nemá dvě U CA, zobrazení je tedy prosté. Jestliže chceme osobu v ISu vyhledat a známe UCO, můžeme dohledat jméno osoby. Jestliže chceme osobu v ISu vyhledat a známe jméno, jsme schopni dohledat jméno osoby. □ Štěpán Křehlřk Reálná funkce reálné proměnné Graf funkce • vizualizace funkce o obrázek víc než tisíc slov • pravoúhlý souřadný systém Oxy 9 kartézský součin (není nutné vždy volit stejné měřítko) • každému bodu v rovině odpovídá uspořádaná dvojice reálných v y i cisel • průsečíky s osami Štěpán Křehlřk Reálná funkce reálné proměnné Spojitost funkce Okolí bodu (ryzí okolí bodu) i—i—y a-5 a+5 https://www.karlin.mff.cuni.cz/~portal/limita_a_spojitost/po Štěpán Křehlřk Reálná funkce reálné proměnné Spojitost funkce Spojitost fce intuitivně: funkce jejíž graf se dá nakreslit jedním tahem, tak aby se tužka nezvedla nad úroveň papírů. Nechť funkce ^(x) je definovaná na intervalu /. Nechť bod a je vnitřním bodem intervalu /. Řekneme, že funkce f(x) je v bodě a spojitá, jestliže k libovolnému číslu s > 0 existuje takové S > 0, že 1- Us(a) C /, 2. \f(x) — f(a)\ < e pro x 6 (V f(x2), funkce ŕ je nerostoucí, pokud pro všechna x\ < X2, platí f M > f(x2), o funkce ŕ je neklesající, pokud pro všechna x\ < X2, platí f M < f(x2), Poznámka Monotónnost můžeme chápat jen na nějaké oblasti, tj. na části definičního oboru může funkce klesat a na části může ta samá funkce růst. Štěpán Křehlřk Reálná funkce reálné proměnné Monotónnost Štěpán Křehlřk Reálná funkce reálné proměnné Sudost/ lichost Řekneme, že funkce y — f{x) je sudá (resp. lichá), má-li tuto vlastnost: Je-li definovaná v bodě x, je definovaná i v bodě (— platí f(-x) = f(x), (f(-x) = -f(x)). Štěpán Křehlřk Reálná funkce reálné proměnné Maximum/ minimum funkce Funkce f má maximum na množině M pro a G M právě tehdy když pro každé x G M platí: • f {a) > f (x). Funkce f má minimum na množině M pro a G M právě tehdy, když pro každé x G M platí: • f {a) < f (x). □ [S1 ► < -E ► < = Štěpán Křehlík Reálná funkce reálné proměnné Reálna funkce Základní typy funkcí (první část) 9 lineární funkce - obecný předpis y = a • x + b • konkrétně y = x (resp. y = — 2x) • D(f) = M, H (f) = R 9 spojitá, je prostá, rostoucí pro a G M+ graf funkce y = x Graf klesající funkce y = □ iS1 Štěpán Křehlík Reálná funkce reálné proměnné Reálna funkce Základní typy funkcí (první část) • kvadratická funkce - obecný předpis y = ax2 + bx + c o uvažujme konkrétněji funkci y = x2 • D(f) = R, H(f) = Rq • spojitá, není prostá, pro a E M,+ klesající na (—oo, 0) a rostoucí na (0, oo) Štěpán Křehlřk Reálná funkce reálné proměnné Reálna funkce Základní typy funkcí (první část) 9 kubická funkce - obecný předpis y = ax3 + bx2 + xc + d o uvažujme konkrétněji funkci y = x3 • D(f) = R, H(f) = R • spojitá, je prostá, pro a E M,+ rostoucí, lichá = ► < = ► Štěpán Křehlřk Reálná funkce reálné proměnné Reálna funkce Základní typy funkcí (první část) 9 Dolní (horní) celá část reálného čísla • předpis y = [x\ • D(f) = R, H(f) = R • spojitá zprava (spojitá zleva), není prostá, neklesající, lichá 4 3 2 1 0 ■6 -5 -4 -3 -2 -1 ■o -2 -3 -A 0 1 2 3 4 5 6 -e -5 y= [x]...Dolní celá část ■ i -4 -3 ■2 -1 -ľ -3 ■4 ■ i i i i ) 0 1 2 3 4 5 6 y= [x] Horní celá Část Štěpán Křehlřk Reálná funkce reálné proměnné Reálna funkce Základní typy funkcí (první část) • Funkce absolutní hodnoty • předpis y = |x| • D(f) = R, H(f) = Rq • spojitá, není prostá, neklesající, klesající na (—oo, 0) a rostoucí na (0, oo),sudá \. 2- \. 1 -3 -2 -1 0 12 3 Štěpán Křehlřk Reálná funkce reálné proměnné Rovnost funkcí Rovnost funkcí O dvou funkcích říkáme, že jsou si rovny (psáno f = g), právě když mají týž definiční obor D(f) — D(g) a v každém bodě x tohoto definičního oboru je f{x)=g(x). Štěpán Křehlřk Reálná funkce reálné proměnné