LOGIKA
Mgr. Jan Štěpánek
Mgr. et Mgr. Tomáš Ondráček
Na předchozích Základech filozofie...
Filosofie jako láska k moudrosti.
Filosofie se dělí na:
ontologii
epistemologii
etiku
Vznik filosofie s přechodem od mýtu k logu.
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 2 / 41
Obsah
Uvedení do logiky
Co je logika?
Jaké logiky existují?
Výroková logika
Základní logické operátory
Ověřování platnosti úsudků
Vybraná usuzovací schémata VL
Predikátová logika
Logický čtverec
Sylogismy
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 3 / 41
Uvedení do logiky Co je logika?
Zkoumání jazyka
Syntax
zkoumá pouze znaky jako takové
(např. jejich řetězení ve znaky složené)
Sémantika
zkoumá vztahy znaků a jejich významů
Pragmatika
zkoumá řečové akty uživatelů daného jazykového systému
s ohledem k jejich záměrům, kontextu výpovědi atp.
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 4 / 41
Uvedení do logiky Co je logika?
Co je logika?
Logika
Nauka o vyplývání.
Vyplývání
Závěr Z vyplývá z premis P1, P2, . . . , Pn právě tehdy,
když Z je pravdivý za všech okolností,
za nichž jsou pravdivé rovněž premisy P1, P2, . . . , Pn.
Nesmí tedy nastat situace,
kdy máte pravdivé premisy a nepravdivý závěr.
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 5 / 41
Uvedení do logiky Co je logika?
Argumenty: vymezení
Argument
Argument je tvořen alespoň dvěma tvrzeními,
přičemž účelem jednoho (premisy)
je podpořit platnost druhého (závěru).
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 6 / 41
Uvedení do logiky Co je logika?
Argumenty: dělení
Deduktivní
Ve formálně správném argumentu závěr nutně plyne z premis.
Induktivní
Je zde pravděpodobná souvislost mezi premisami a závěrem.
Je možné, že premisy budou pravdivé,
ale závěr nepravdivý.
...
V deduktivních argumentech jde o vztah vyplývání,
který studuje právě logika.
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 7 / 41
Uvedení do logiky Jaké logiky existují?
Výroková logika
Jednoduchý logický systém, na jehož základě jsou budovány
ostatní logické systémy.
Nabízí pouze velmi hrubé možnosti analýzy jazyka.
Pracuje pouze s výroky.
Výrok
Věta u níž má smysl se ptát, zda je pravdivá, či nepravdivá.
Výroky nejsou např. věty rozkazovací, přací a tázací.
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 8 / 41
Uvedení do logiky Jaké logiky existují?
Predikátová logika
Nabízí jemnější možnosti analýzy jazyka.
Umí pracovat s predikáty a relacemi.
Kvantifikátory umožňují analýzu obecných a částečných tvrzení.
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 9 / 41
Uvedení do logiky Jaké logiky existují?
Logika a pravdivostní hodnoty
Klasická výroková a predikátová logika
jsou dvouhodnotové systémy.
Princip dvouhodnotovosti/bivalence
Každý výrok je buď pravdivý, nebo nepravdivý.
Valuace je totální funkce.
Veškeré výroky mají právě jednu z pravdivostních hodnot.
Pravdivostní hodnoty
Pravdivostní hodnoty jsou Pravda a Nepravda (True a False),
zkracují se jako P a N (popř. T a F), často se používá numerické
označení 1 a 0.
Mnohé logické systémy ale princip dvouhodnotovosti neuznávají.
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 10 / 41
Uvedení do logiky Jaké logiky existují?
Kompozicionalita
Princip kompozicionality
Pravdivostní hodnota složeného výroku je jednoznačně určena
pravdivostními hodnotami jeho složek.
Pravdivostní hodnotu složeného výzoku určují pravdivostní
hodnoty dílčích výroků a sémantika spojek, jež je spojují.
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 11 / 41
Uvedení do logiky Jaké logiky existují?
Kompozicionalita – důsledek
Pro každý výrok lze sestavit úplnou tabulku pravdivostních
hodnot.
p → (q ∨ ¬ r)
1 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 0
1 0 0 0 0 1
1 1 0 1 1 0
0 1 1 1 0 1
0 1 1 1 1 0
0 1 0 0 0 1
0 1 0 1 1 0
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 12 / 41
Uvedení do logiky Jaké logiky existují?
Parcialita, gaps & gluts
Valuace je parciální funkce.
Ne každý výrok má přiřazenu pravdivostní hodnotu.
Některé výroky nemají pravdivostní hodnotu
a nelze je proto analyzovat.
V případě některých vět máme pravdivostní mezery
(truth value gaps).
Oproti tomu jiní zastávají názor,
že některé věty mají obě pravdivostní hodnoty zároveň
(truth value gluts).
Existují pravdivé kontradikce – dialetheie.
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 13 / 41
Uvedení do logiky Jaké logiky existují?
Vícehodnotové logiky
Zavedení dalších pravdivostních hodnot.
Náčrt trojhodnotové logiky u Charlese Sanderse Peirce.
Rozvoj vícehodnotových logik v rámci lvovsko-varšavské školy
(Jan Łukasiewicz).
Trojhodnotové logiky, čtyřhodnotové logiky, ...
Fuzzy logiky.
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 14 / 41
Uvedení do logiky Jaké logiky existují?
Další logické systémy
Modální logiky
Obohacení o operátory možnosti (♦) a nutnosti ( ).
Epistemické a doxastické logiky
Obohacení o operátor znalosti, resp. domnívání se.
Temporální logiky
Obohacení o temporální faktor.
Erotetické logiky
Možnost analýzy otázek.
Deontické logiky
Možnost analýzy závazků.
...
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 15 / 41
Výroková logika Základní logické operátory
Negace
Negace (¬, „ne“)
¬ p
0 1
1 0
Negace obrací pravdivostní hodnotu (složeného) výroku.
Předpoa „ne-“ spjatá se slovesem,
např. „Není pravda, že...“.
Příklady vět:
Neprší.
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 16 / 41
Výroková logika Základní logické operátory
Binární pravdivostní funkce
Binární pravdivostní funkce
f 2
1 f 2
2 f 2
3 f 2
4 f 2
5 f 2
6 f 2
7 f 2
8
T ∨ ← → ↔ ∧
1, 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1, 0 1 1 1 1 0 0 0 0
0, 1 1 1 0 0 1 1 0 0
0, 0 1 0 1 0 1 0 1 0
f 2
9 f 2
10 f 20
11 f 2
12 f 2
13 f 2
14 f 2
15 f 2
16
↑ ↓ K
1, 1 0 0 0 0 0 0 0 0
1, 0 1 1 1 1 0 0 0 0
0, 1 1 1 0 0 1 1 0 0
0, 0 1 0 1 0 1 0 1 0
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 17 / 41
Výroková logika Základní logické operátory
Konjunkce
Konjunkce (∧, „a“)
p ∧ q
1 1 1
1 0 0
0 0 1
0 0 0
Konjunkce je pravdivá tehdy,
když jsou pravdivé oba výroky (tzv. konjunkty),
jež spojuje.
Typicky spojka „a“, ale i „přičemž“, „kdežto“, „ale“, „jenže“,...
Příklady vět:
V Brně prší a je zima.
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 18 / 41
Výroková logika Základní logické operátory
Disjunkce
Disjunkce (∨, „nebo“)
p ∨ q
1 1 1
1 1 0
0 1 1
0 0 0
(Slučovací) disjunkce je pravdivá tehdy,
když je pravdivý alespoň jeden z výroků (tzv. disjunktů)
jí spojených .
Pojí se s výrazem „nebo“, případně „či“.
Příklady vět:
Petr si chce koupit auto nebo motorku.
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 19 / 41
Výroková logika Základní logické operátory
Vylučovací disjunkce
Vylučovací disjunkce (∨∨, , „buďto, anebo“)
p q
1 0 1
1 1 0
0 1 1
0 0 0
Je pravdivá pouze v případě,
že je pravdivý právě jeden z disjunktů.
Často se pojí s výrazem „buď ..., anebo ...“.
Od slučovací disjunkce se dá odlišit i použitím čárky před „nebo“.
Příklady vět:
Petr si koupí auto, nebo motorku.
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 20 / 41
Výroková logika Základní logické operátory
Implikace
Implikace (→, „jestliže, pak“)
p → q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 1 0
Implikace je nepravdivá jen tehdy,
když je její první člen (antecedent) pravdivý
a druhý člen (konsekvent) nepravdivý.
Vyjadřována výrazy „jestliže ..., pak ...“, „když ..., tak ...“ apod.
Příklady vět:
Jestliže bude pršet, tak si vezmu deštník.
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 21 / 41
Výroková logika Základní logické operátory
Ekvivalence
Ekvivalence (↔, „právě tehdy, když“)
p ↔ q
1 1 1
1 0 0
0 0 1
0 1 0
Jde o implikaci oběma směry.
Ekvivalence je pravdivá v případě,
že oba její členy mají stejnou pravdivostní hodnotu.
Obraty jako „...právě tehdy, když ...“, „...tehdy a jen tehdy ...“ atd.
Příklady vět:
Do kina půjdeš jen tehdy, když si uděláš domácí úkol.
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 22 / 41
Výroková logika Ověřování platnosti úsudků
Ověřování platnosti úsudků metodou protipříkladu
Jde o důkaz sporem.
Cílem je zjistit, zda je logicky možné,
aby byly premisy pravdivé a závěr nepravdivý.
Pokud se podaří nalézt takovou valuaci, úsudek není platný.
Příklad ověření platnosti úsudku metodou protipříkladu
p0 → (q1 ∨ r1) 1
q1 1
r1 → p0 0
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 23 / 41
Výroková logika Ověřování platnosti úsudků
Tautologie a kontradikce
Tautologie / logicky platná formule
Výrokově-logickou tautologií je formule, která nabývá hodnoty P
při každém ohodnocení výrokových proměnných.
Kontradikce / nesplnitelná formule
Výrokově-logickou kontradikcí je formule, která nabývá hodnoty N
při každém ohodnocení výrokových proměnných.
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 24 / 41
Výroková logika Ověřování platnosti úsudků
Vybrané tautologie a kontradikce
Zákon vyloučeného třetího
p ∨ ¬p
Zákon sporu
¬(p ∧ ¬p)
De Morganův zákon*
¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q)
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 25 / 41
Výroková logika Vybraná usuzovací schémata VL
Vybraná usuzovací schémata VL
Modus ponens
A → B
A
B
Tvrzení konsekventu – neplatné usuzovací schéma!
A → B
B
A
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 26 / 41
Výroková logika Vybraná usuzovací schémata VL
Vybraná usuzovací schémata
Modus tollens
A → B
¬B
¬A
Popírání antecedentu – neplatné usuzovací schéma!
A → B
¬A
¬B
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 27 / 41
Výroková logika Vybraná usuzovací schémata VL
Vybraná usuzovací schémata
Reductio ad absurdum
A → B
A → ¬B
¬A
Disjunktivní sylogismus
A ∨ B
¬A
B
nebo
A ∨ B
¬B
A
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 28 / 41
Predikátová logika Logický čtverec
Predikátová logika
Využívá stejné operátory jako výroková logika,
ale obsahuje několik rozšíření.
Kvantifikátory:
∀ – obecný kvantifikátor; „Všechna A jsou B“.
∃ – částečný kvantifikátor; „Některá A jsou B“.
Zjemnění analýzy jazyka díky možnosti pracovat s predikáty
(být filozof, být červený, být pes,...)
a obecně s n-árními relacemi (mít rád, být potomkem,...).
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 29 / 41
Predikátová logika Logický čtverec
Kladné soudy
Obecný kladný soud
„Každé A je B.“
Žádné individuum nemá vlastnost A, aniž by mělo vlastnost B;
nezavazujeme se však k existenci nějakého A.
Částečný kladný soud
„Něktará A jsou B.“
Alespoň jedno individuum má vlastnosti A i B.
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 30 / 41
Predikátová logika Logický čtverec
Záporné soudy
Obecný záporný soud
„Žádné A není B.“
Žádný prvek A nenáleží zároveň do množiny B.
Částečný záporný soud
„Některá A nejsou B.“
Alespoň jedno individuum má vlastnost A, avšak nemá vlastnost B.
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 31 / 41
Predikátová logika Logický čtverec
Logický čtverec
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 32 / 41
Predikátová logika Logický čtverec
Vztahy výroků logického čtverce 1/2
Kontradiktoričnost (kontradikčnost, protikladnost)
Negace daného výroku;
dané výroky mají opačnou pravdivostní hodnotu.
Např.:
„Všechny labutě jsou bílé.“
„Některé labutě nejsou bílé.“
Subalternost (podřazenost)
Lze přejít od a k i (nikoli však naopak),
lze přejít od e k o (nikoli však naopak),
čili a implikuje i a e implikuje o.
Např.:
„Všechny labutě jsou bílé“
„Některé labutě jsou bílé“.
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 33 / 41
Predikátová logika Logický čtverec
Vztahy výroků logického čtverce 2/2
Kontrárnost (protiva)
Výroky a a e nemohou být oba pravdivé,
ovšem oba mohou být nepravdivé.
Např.:
„Všechny labutě jsou bílé.“
„Žádné labutě nejsou bílé.“
Subkontrárnost (podprotiva)
Výroky o a i nemohou být oba nepravdivé,
ovšem oba mohou být pravdivé.
Např.:
„Některé labutě jsou bílé.“
„Některé labutě nejsou bílé.“
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 34 / 41
Predikátová logika Sylogismy
Sylogismy
Kategorický sylogismus
Úsudek mající právě dvě premisy (vyšší a nižší premisu) a jeden závěr.
Premisy a závěr jsou složeny právě a pouze ze tří termínů,
tj. (obvykle monadických) predikátů:
subjektu S
predikátu P
středního (či mediálního) členu M
– vyskytuje v obou premisách, avšak nikoli v závěru
M a P Všechny ryby umí plavat.
S a M Všichni tuňáci jsou ryby.
S a P Všichni tuňáci umí plavat.
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 35 / 41
Predikátová logika Sylogismy
Ověřování platnosti sylogismů pomocí Vennových
diagramů
Některá M jsou P.
Žádné M není S.
Některá S jsou P.
Všechna M jsou P.
Všechna S jsou M.
Některá S jsou P.
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 36 / 41
Predikátová logika Sylogismy
Základní pravidla pro určení platnosti sylogismů
Ze dvou částečných soudů nic neplyne.
Alespoň jedna premisa musí být obecná.
Ze dvou záporných soudů nic neplyne.
Alespoň jedna premisa musí být kladná.
Když jsou obě premisy obecné, závěr nemůže být částečný.
Je-li jedna premisa záporná, tak je i závěr záporný.
Je-li jedna premisa částečná, tak je i závěr částečný.
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 37 / 41
Shrnutí
Shrnutí
Logika je nauka o vyplývání.
Závěr vyplývá z premis tehdy, když nemůže nastat situace,
aby premisy byly pravdivé a závěr nepravdivý.
Negace obrací pravdivostní hodnotu výroku.
Konjunkce je pravdivá jen tehdy,
když jsou pravdivé oba dva konjunkty.
Disjunkce je pravdivá jen tehdy,
když je pravdivý alespoň jeden z disjunktů.
Implikace je nepravdivá jen v případě,
kdy je antecedent pravdivý a konsekvent nepravdivý.
Ekvivalence je pravdivá tehdy,
když mají oba její členy stejnou pravdivostní hodnotu.
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 38 / 41
Shrnutí
Shrnutí
Formální platnost argumentu lze ověřit metodou protipříkladu.
Pokud je možné modelovat situaci, v níž jsou premisy pravdivé,
ale závěr nepravdivý, argument je formálně neplatný.
Negací obecného kladného výroku je částečný záporný výrok
a naopak.
Negací obecného záporného výroku je částečný kladný výrok
a naopak.
K ověřování platnosti sylogismů lze použít Venovy diagramy.
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 39 / 41
Shrnutí
Bibliografie
Použitá a doporučená literatura
[1] Raclavský, J. Úvod do logiky: klasická výroková logika. Brno:
Masarykova univerzita, 2015.
[2] Raclavský, J. Úvod do logiky: klasická predikátová logika. Brno:
Masarykova univerzita, 2015.
[3] Priest, G. Logika. Praha: Dokořán, 2007.
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 40 / 41
Shrnutí
Příště na Základech filozofie...
Jak mohou vypadat argumenty, které nejsou deduktivní?
Jak se chovat při kritické diskusi?
Lze argumentovat holí?
Jan Štěpánek ·LOGIKA · 41 / 41