Vybraná rozdělení pravděpodobnosti
Alternativní rozdělení A(ů)
Náhodná veličina X udává počet úspěchů v jednom pokusu, přičemž pravděpodobnost úspěchu je rovna •&. Příklad: X říká, zda při jednom hodu kostkou padla O. Pak X ~ A(^).
Binomické rozdělení Bí(n; ů)
Náhodná veličina X udává počet úspěchů v posloupnosti n opakovaných nezávislých pokusů, přičemž pravděpodobnost úspěchu v každém pokusu je •&. Příklad: Házíme 10 x kostkou, X říká, kolik padlo 10. Pak X~BH10;\).
Geometrické rozdělení Qe(ů)
Náhodná veličina X udává počet neúspěchů v posloupnosti opakovaných nezávislých pokusů předcházející prvnímu úspěchu, přičemž pravděpodobnost úspěchu v každém pokusu je •&. Příklad: Házíme kostkou, dokud nepadne (0. X říká, kolik čísel nám padlo před tím, než nám 10 padla. Pak X ~ Qe(^).
Poissonovo rozdělení Vo(X)
Náhodná veličina X udává počet událostí za jednotku času, když víme, že průměrně nastává A událostí za jednotku času. Příklad: Do obchodu přijde průměrně 5 zákazníků za hodinu. X označuje počet zákazníků, kteří do obchodu za hodinu přijdou. Pak X ~ V o (5).
Rovnoměrné diskrétní rozdělení lZd(G)
G je konečná množina o n prvcích. Náhodná veličina X nabývá se stejnou pravděpodobností každé hodnoty z množiny G. Příklad: Házíme kostkou. X označuje, co nám padlo. Pak X ~ 7č.d({S;0;l3;GI;0;0}).
Rovnoměrné spojité rozdělení lZs(a, b)
Náhodná veličina X nabývá hodnot z intervalu (a, b), přičemž všechny realizace jsou stejně možné. Příklad: X popisuje hmotnost pytlíku quinoy, přičemž všechny hodnoty z intervalu (480; 510 [g] jsou stejně možné. Pak X ~ 7es(480;510).
Exponenciální rozdělení £x(X)
Náhodná veličina X udává dobu čekání na příchod nějaké události, která se může dostavit každým okamžikem se stejnou šancí, přičemž udává střední hodnotu doby čekání. Příklad: X popisuje dobu v letech, za kterou se porouchá nově koupený telefon, přičemž v průměru se tento typ telefonu porouchá za 3 roky. Pak X ~ Sx(^).
Normální rozdělení JV(/j,, c2)
Náhodná veličina X vzniká tak, že ke konstantě /i se přičítá velké množství drobných nezávislých náhodných vlivů kolísajících okolo nuly. Příklad: Výška mužů X je normálně rozdělená náhodná veličina se střední hodnotou 180 [cm] a směrodatnou odchylkou 6 [cm]. Pak X ~ A/"(180; 62).
Rozdělení	EX	BX	Pravděpodobnostní funkce (hustota)
A(ů)	ů		| 1 — ů                       pro x = 0 p(x) = < ů                            pro x = 1 1 0 jinak
Bi(n, ů)	nů	nů(l-ů)	í (n)ůx(l-ů)n-x      prox = 0,l...,n p(xj = < x/ 1 0 jinak
Qe{d)	1—0	1—0	, x     | (l-ů)xů               pro x = 0,1,2... P\x) = { 1 0 jinak
To(X)	X	X	Í^e-A                    prox = 0,l,2... p(x) = < 1 0 jinak
Kd(G)	n+l 2	n2-l 12	Ji                          proxeG = {l,2,...,n} pyx) = < 1 0 jinak
1Zs(a, b)	a+b 2	{b-af 12	f(x) =\b^                        pro x G (a, b) 1 0 jinak
£x(X)	1 A	1 A2	( Xe~Xx                     pro x > 0 f(x) = < 1 0 jinak
^(m,<t2)	M	řJ2	- a^e    2°2                pro x G M
Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi
A a, B jsou jevy.
• P(A) = 1 - P (A)
• P (A UB) = P (A) + P(B) - P (A n B)
• P (A U B) = P (A n B) a P (A n B) = P (A U B)
• Jevy A a, B jsou stochasticky nezávislé právě tehdy, když P (A D B) = P (A) ■ P (B)
• Jevy A a, B jsou neslučitelné právě tehdy, když P (A n B) = P(0) = 0
• Jevy A a má za důsledek jev B právě tehdy, když P (A D B) = P (A)
• Definice podmíněné pravděpodobnosti: P(A\B) = Pp^^
• Bayesův vzorec: P(A\B) = F^Bp^B^A^
Číselné charakteristiky náhodných veličin
V následujících vztazích jsou a, ai; b, bi reálná čísla; X, Xí,Y,Yí náhodné veličiny a m, n přirozená čísla.
E(a + bX) = a + bE(X) E(X + Y) = E(X)+E(Y)
E(ai-Xi + a2X2 + • • • + axn) = aiEXi + a2EX2 + • • • + anEXn Jsou-li X a Y stochasticky nezávislé, pak E(X ■ Y) = E(X) ■ E(Y).
1)(X) = E((X — EX)2)
l(X) = E(X2) - (E(X))2
»(a + bX) = b2B(X)
Í(x ±Y) = B(X) ± 2C(X, Y) + B(Y)
KEľ=i x*) = Eľ=i »^ + 2 Eľ=i' E "=i+i G(xllXl)
C(X, Y) = E((X - EX)(Y - EY)) = E(X ■ Y) — EX ■ EY C(ai +b1X1,a2 + b2X2) = hhGiXi, X2)
c(E ti Xí,Y,7=i V) = Eľ=i E,m=i c(*» ^)
R(X1,X2)=R(X2,X1)
Jsou-li X a Y stochasticky nezávislé, pak C(X,Y) = K(X,Y) = 0. Opačná implikace neplatí. R(ai + b\X\, a2 + b2X2) = sign(&i&2)R(-Xi, -X2), kde sign(&i&2) vrací znaménko (+1 nebo -1) součinu bib2.
Náhodné vektory
U náhodných vektorů X = (Xi,X2) pracujeme s vektorem středních hodnot EX = (EX 1, EX2) a variační
matici S=f    D* CKM \C(Xi;X2)       DX2 J
Dvourozměrné normální rozdělení Af2 ~ ( ( ^1 ) ; ( 1 ^ 1 2 ] ] se skládá ze dvou jednorozměrných normálních M(\i\\ o\) a Aí(fi2; u2), která jsou korelována koeficientem korelace p.