Seminář 5Příklad 1: a) Uvažujte problém minimalizace funkce  

za podmínky x + 2y = a (aje konstanta). Řešte problém tak, že ho transformujete na jednu proměnou. 

b)Vysvětlete řešení studiem vrstevnic funkce f(x, y) = x^2 + y^2a grafu přímky x + 2y = a. Můžete popsat problém geometricky? Má odpovídající maximalizační problém řešení?

Vykreslíme například pro a=5

Příklad 2: Řešte následující problémy převedením na jednorozměrnou optimalizaci.
a) max 

 

za podmínky 

b) max 

za podmínky 50000 x + 0,08 y = 1000000.

c) max 

za podmínky 3x + 4y = 12

Příklad 3: Předpokládejme, že cena jednotky prvního výrobku je 2$ a že cena jednotky druhého výrobku je 4$. Osoba s užitkovou funkcí 

, kde x, yjsou množství nakoupených výrobků, má rozpočet 1000$, který celý vynaloží na uvedené výrobky.  Vyřešte problém maximalizace užitku. 

Příklad 4: Užitím metody Lagrangeových multiplikátorů řešte problém:

a) max xy 

za podmínky x + 3y = 24

b) min  -40Q1 + Q1^2 - 2Q1 Q2 - 20Q2 + Q2^2

za podmínky  Q1 + Q2 = 15

c) max  U(x1, x2)= ln(1 + x1)/2 + ln(1 + x2)/4

za podmínky  2x1 + 3x2 = m

d) max  100 - x^2 - y^2 -z^2

za podmínky  x + 2y + z = a

Příklad 5: a) Řešte problémmax f(x, y) = 24x - x^2 + 16y - 2y^2

za podmínky 

g(x, y) = x^2 + 2y^2 = 44

b) Jaká je přibližná změna v optimální hodnotě funkce f(x, y), zvýší-li se pravá strana omezení o 1?

Optimální hodnota účelové funkce se změní přibližně o λ*1=1

Příklad 6: a) Řešte problémmax(min) f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z 

za podmínky 

g(x, y, z) = x^2 + 2y^2 + 4z^2 = 1

b) Předpokládané omezení je změněno na x^2 +2y^2 + 4z^2 = 1,02. Jaká je aproximace změny v maximální hodnotě f(x, y, z)? 

Optimální hodnota účelové funkce se změní přibližně o λ*0,02=(-1/4)*0,02=-0,005 v případě minimalizace a λ*0,02=(1)*0,02=0,02 v případě maximalizace

Příklad 7: Řešte problém 
a) min(max) 

za podmínek

b) max 

s podmínkami 

c) max 

s podmínkami