Analytická geometrie v prostoru Stepán Křehlík Ekonomicko správní fakulta Masarykova Universita podzim 2018 Štěpán Křehlík □ iS1 Analytická geometrie v prostoru Parametrické vyjadrení přímky Rovnice X = A+ tu, t G R. se nazýva parametrická rovnice přímky nebo také parametrické vyjádření přímky určené bodem A a vektorem u. Proměnná t se nazýva parametr. Ve zvolené kartézské soustavě souřadnic můžeme Oxyz body a vektory zapsat pomocí souřadnic: X[x;y;z],v4[ai; a2; a3],u = (ui; u2; u3) Štěpán Křehlřk Analytická geometrie v prostoru Parametrické vyjadrení přímky Parametrické vyjadrení přímky p v prostoru pak můžeme zapsat souřadnicích x = 3i + U\t y = a2 + U21 z = a3 + u3t Obrázek: Přímka v prostoru. Štěpán Křehlřk Analytická geometrie v prostoru Přímka v prostoru Z roviny jednoduše přeneseme do prostoru: • téměř veškerou práci s přímkou. • vyjádřit skutečnost, že A £ p. • daným bodem vést přímku rovnoběžnou s danou přímkou. Obrázek: Rovnoběžka vedená daným bodem. Štěpán Křehlřk Analytická geometrie v prostoru Zavedení roviny v prostoru Obrázek: Rovnoběžka vedená daným bodem. Každý bod X na přímce p můžeme vyjádřit jako: X = Y + v • ss GR, y=C-A Každý bod Y na přímce AB můžeme vyjádřit jako: Y = A + ut, t e R, u = B - A Dosadíme z druhé rovnice do první a dostaneme: X = A + ut + vs, s, t e M □ iS1 Štěpán Křehlřk Analytická geometrie v prostoru Zavedení roviny v prostoru Rovnice: X = A + ut + vs, s, ŕ G 1, se nazýva parametrická rovnice roviny nebo také parametrické vyjadrení roviny ABC, kde B = y4 + u a C = A + v. Štěpán Křehlřk Analytická geometrie v prostoru = Zavedení roviny v prostoru Ve zvolené kartézské soustavě souřadnic můžeme Oxyz body a vektory zapsat pomocí souřadnic: X[x;y;z],/\[ai;a2;a3],u = (ui; u2; u3),v = (vy, v2; v3) / I w / SOL x = ai + L/i ŕ + \/is y = a2 + 1 + ^2$ z = a3 + u3r + v3s Štěpán Křehlík Analytická geometrie v prostoru Zavedení roviny v prostoru Ve zvolené kartézské soustavě souřadnic můžeme Oxyz body a vektory zapsat pomocí souřadnic: X[x;y;z],/\[ai;a2;a3],u = (ui; u2; u3),v = (vy, v2; v3) Parametrické vyjádření roviny v prostoru pak můžeme zapsat v souřadnicích x = 3i + U\t + ViS y = a2 + u2t + v2s z = a3 + u3t + v3s Štěpán Křehlřk Analytická geometrie v prostoru Zavedení roviny v prostoru Analogickým postupem stejně jako u přímky v rovině dostaneme obecnou rovnici roviny v prostoru. Rovinu určíme bodem a normálovým vektorem, který kolmý na rovinu, tj. na každý vektor v rovině. Štěpán Křehlík Analytická geometrie v prostoru Obecná rovnice roviny Bod X leží v rovině právě tehdy, když vektor P1X jek kolmý k vektoru n, tj. n(X - P) = 0 Body X, P a vektor n v dané soustavě souřadnic můžeme určit souřadnicemi X[x;y;z], P[pi;p2;p3],n = (a; b\ c). Rovnici r?(X — P) = 0 můžeme rozepsat v souřadnicích a(x - pi) + b(y - p2) + c(z - p3) = 0, Jestliže závorky roznásobíme a označíme d = -api - bp2 - cp3 dostaneme rovnici ax + by + cz + d = 0. Štěpán Křehlřk Analytická geometrie v prostoru Obecná rovnice roviny Rovnice: ax + by + cz + d = 0 se nazýva obecná rovnice roviny Štěpán Křehlík Analytická geometrie v prostoru Polohové úlohy v prostoru Dvě přímky Dvě přímky v prostoru mohou být: • Totožné - Nekonečně mnoho společných bodů. • Rovnoběžné - Žádný společný bod. Přímky leží v jedné rovině. 9 Různoběžné - Jeden společný bod. Přímky opět leží v jedné rovině. • Mimoběžné - Žádný společný bod - Přímky neleží v jedné rovině. Štěpán Křehlík Analytická geometrie v prostoru Polohové úlohy v prostoru Přímka a rovina Přímka a rovina v prostoru mohou nabývat těchto polohy: 9 Přímka a rovina jsou rovnoběžné - Žádný společný bod. Přímka a rovina nejsou rovnoběžné - Jeden společný bod. 9 Přímka leží v rovině - Nekonečně mnoho společných bodů Štěpán Křehlřk Analytická geometrie v prostoru Polohové úlohy v prostoru Dvě roviny Dvě roviny v prostoru mohou nabývat tyto polohy: • Totožné - Nekonečně mnoho společných bodů. • Rovnoběžné - Žádný společný bod. • Různoběžné - Nekonečně mnoho společných bodů. Tyto body tvoří průsečnici rovin. □ Štěpán Křehlřk Analytická geometrie v prostoru Průsečík vs. průsečnice Obrázek: Průsečík vs. průsečnice. □ iS1 Štěpán Křehlřk Analytická geometrie v prostoru Vyšetřování vzájemné polohy dvou objektu Bod >4[ai, 32, 33]; přímky p(P, u),q(Q, v); roviny ax + by + cz + d = 0, a'x + b'O + d z + d = 0. a; p A-P=ku? ano ne A^p a4p a; p q; p qqi +ba2 + ca3 +d=0 ? v =ku? ano ne a<=p a4p Q-P = ru? ano ne Q-P = tu + rv? ano ne ano ne q=p Q\\P optq p, q různoběžné p, q mimoběžné < = ► Štěpán Křehlík Analytická geometrie v prostoru Vyšetrovaní vzájemné polohy dvou objektu Bod A[ai, a2, 33]] přímky p(P, l/), v); roviny ax + by + cz + d = 0, a'x + bf0 + d z + d = 0. ď=kd? ono q = p 1 p p'ap'íp (a',b',c>k(a,b,c)? ano ne p; p' ne p'je různoběžná s p apt + bp2 + cp3+ d=0? - gCp ano l-1 ^— P\\P aptP au!+ bu2+ cuj+d=0? ano p; P ne p je různoběžná s p Štěpán Křehlík Analytická geometrie v prostoru Metrické úlohy v prostoru - Návody na řešení DOPNIT OBRÁZEK +PRIKLAD Vzdálenost bodu od přímky Postup řešení: • Určíme parametrické vyjádření přímky p : X — P + tu. 9 Z podmínky (X?Q)Au = 0 určíme hodnotu parametru t pro kterou plat X — R. 9 Určíme vzdálenost \QR\. □ Štěpán Křehlík Analytická geometrie v prostoru Metrické úlohy v prostoru - Návody na řešení DOPNIT OBRÁZEK + PRÍKLAD Vzdálenost bodu od roviny Postup řešení: • Vedeme bodem P přímku p kolmou na p. • Určíme průsečík R přímky p a roviny p. 9 Určíme vzdálenost PR\. Štěpán Křehlík Analytická geometrie v prostoru Metrické úlohy v prostoru - Návody na řešení DOPNIT OBRÁZEK Odchylka dvou přímek v prostoru Na přímce p zvolíme libovolný bod P a vedeme jím přímku q' rovnoběžnou s přímkou q. Potom odchylka přímek p a q je rovna p a qf, ty už leží v jedné rovině. Vzorec Odchylka dvou přímek p, q se směrnicovými vektory u, v je číslo (j) e (0, |) , pro které platí: COS Ô — u • v u v Štěpán Křehlřk Analytická geometrie v prostoru Metrické úlohy v prostoru - Návody na řešení Odchylka přímky p a roviny p. Nevýhodnější je najít průnik P přímky p a roviny p. Dále určíme přímku q, která je kolmá na p a prochází P. Označíme-li íp jako odchylku přímek p a q. Potom odchylku (f) přímky p a roviny p vypočítáme jako Tí 0= j ~^ Štěpán Křehlík Analytická geometrie v prostoru = Odchylka dvou rovin v prostoru Dvě roviny v prostoru p a (f) protneme třetí rovinou r, která je kolmá na průsečnici dvou původních rovin. Průsečíkem všech tří rovin vedeme přímku p která je kolmá na p a přímku q, která je kolmá na (/). Tedy směrnicové vektory přímek p a q procházející bodem A jsou normálovými vektory rovin p a (/). Tedy odchylku dvou rovin určíme snadno pomocí odchylku normálových vektorů