Matematika 0
Množiny a výroková logika
Příklad 0.1 Mějme množinu A všech jednociferných prvočísel a množinu B všech lichých čísel
menších nebo rovno 10. Vypište množiny výčtem prvků a dále určete
a) A ∪ B b) A ∩ B c) A B d) B A e) (A B) × (B A)
Příklad 0.2 Jsou dány tři intervaly A = −7;2 ,B = −2;5 ,C = 2;∞). Určete:
a) A ∩ B b) A ∪ B c) (A ∪ B) ∩ C d) (A ∩ B) ∪ C e) (A ∩ C)
f) (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
Příklad 0.3 Pomocí Vennových diagramů ukažte, které množinové rovnosti jsou platné:
• A ∪ (A ∩ B) = A
• A B = (A ∪ B) ∩ B
• A (B ∩ C) = (A B) ∪ (A C)
• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Příklad 0.4 Ve třídě je 22 chlapců všichni se věnují nějakému sportu. 19 fotbalu, 5 karate a 10
hokeji. Přitom všichni karatisti jsou i fotbalisté a 3 hokejisté jsou i karatisti. Kolik chlapců hraje
jenom hokej, jestliže 10 chlapců hraje jenom fotbal?
Příklad 0.5 Negujte následující výroky:
a) Venku je krásně a my se učíme matematiku.
b) Večer budu číst skripta nebo nepůjdu na pivo.
c) Existuje aspoň jedno číslo x, které je sudé.
d) ∀x ∈ R : x2 > 0.
e) ∃x ∈ N : x − 2 = 0.
f) ∀x ∈ R : x2 = 1.
g) ∀x ∈ N,∃y ∈ N : (x + y)2 = x2 + 2xy + y2.
h) ∃x ∈ N,∀y ∈ N : yx > y.
i) ∀x ∈ R,∃y ∈ R : x + y = 0.
j) ∀x ∈ R,∃y ∈ R : x · y = 1.
k) ∀x ∈ R,∃y ∈ R : ((x y) ∧ (x + y = 0)) ∨ (x = 0).
Příklad 0.6 Zjistěte zda jsou následující formule tautologie:
• (A ⇔ B) ⇒ (B ⇒ A)
• ((A ∧ B) ∧ C) ⇔ (A ∧ (B ∧ C))
• (A ∧ (B ∨ C)) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
Příklad 0.7 O třech podezřelých z trestného činu jsou zjištěny tyto informace: Jestliže spáchal
trestný čin podezřelý B, pak je vinen i podezřelý C. Jestliže spáchal trestný čin podezřelý C, pak
mu pomáhal podezřelý A. Nespáchal-li trestný čin podezřelý B, tak se na něm podílel podezřelý C.
Je-li vinen podezřelý A, není vinen podezřelý B. Jaký závěr lze z těchto informací učinit?
1