Cvičení 4

Rovnice (příklad 1)

 umocníme obě strany rovnice na druhou

Rovnice nemá řešení.


Levá strana je výraz , takže umocněním na druhou se té odmocniny nezbavíme zcela:

Použijeme vzorec:

Roli a bude hrát , roli b bude hrát :

 / znovu obě strany umocníme na druhou

 / podělíme rovnici trojkou

Použijeme vzorec

Zkouška pro obě řešení: dosadit do původní rovnice

Pro zkouška vyšla, takže je řešením. Pro  zkouška nevyšla, takže není řešením rovnice.


Substituce

Protože výraz  můžeme původní rovnici zapsat takto:

Řešením kvadratické rovnice dostaneme

Vrátíme se zpátky k substituci

1.     z čehož vyplývá, že

2.       , protože funkce  nemůže nabývat záporného výsledku, tak tato rovnice nemá řešení.

Zkouška: , z čehož .


Na pravé straně jsme číslo 2 vyjádřili podle vzorce

Odlogaritmujeme obě dvě strany rovnice:

Odlogaritmujeme obě strany rovnice:

Zkouška:


Nulové body, tj. Body, v nichž jsou absolutní hodnoty nulové:


–

                                                  –

                                                                                                   +

                                                                                                    +

–

                                                  –

                                                                                                   –

                                                                                                    +

–

                                                  +

                                                                                                   +

                                                                                                    +


1.

, takže to není řešení nerovnice

2.

, z čehož vyplývá, že  je řešením rovnice.

3.

, takže není řešením rovnice.

4.

tím pádem je řešením rovnice



Nerovnice (příklad 2)

Body, v nichž se může měnit znaménko zlomku:

Tyto body rozdělí číselnou osu na 4 intervaly:

1.     vybereme jeden bod z tohoto intervalu a zjistíme znaménko zlomku: např. Pro  dostáváme tato
znaménka ve zlomku: , takže interval  bude součástí řešení celý.

2.     , vybereme jeden bod z tohoto intervalu a zjistíme znaménko zlomku: např. , dostáváme tato
znaménka ve zlomku:  není , a tudíž  nepatří do řešení.

3.     , vybereme jeden bod z tohoto intervalu a zjistíme znaménko zlomku: např.
, dostáváme tato znaménka ve zlomku:   , a tudíž  patří do řešení.

4.     vybereme jeden bod z tohoto intervalu a zjistíme znaménko zlomku: např.
, dostáváme tato znaménka ve zlomku:  není , a tudíž  nepatří do řešení.

Nulové body:


–

                                                  +

                                                                                                   +

–

                                                  –

                                                                                                   +


1.

… kromě  vždy pravdivé, takže  patří do řešení.


2.

 … nikdy nemůže platit, tudíž interval  není v řešení.


3. : dle znamének můžeme obě absolutní hodnoty odstranit:

 … nulové body: 0, -2, z nichž jsou tři intervaly:

1.      tento interval není podmnožinou , takže nás nezajímá.

2.      vybereme  a dosadíme: , a tím pádem pro interval nerovnice neplatí

3.     : vybereme  a dosadíme: a tím pádem pro interval nerovnice platí