Derivace 2 Lukáš Kokrda Ekonomicko správní fakulta Masarykova Universita podzim 2020 Lukáš Kokrda Derivace 2 Derivační vzorce (C)' = 0 (arcsin (x))' = (x11)' = n ■ xn-l (arccos (x))' = (ex)' = ex (arctg(x)) = : (ax)' = ax •In(a) (arccotg (x))' = (ln(x))' = 1 x (cotg (x))' = - (loga (x))' 1 x • In (a) (tg(x))' = — COS (sin (x))' = = cos(x) (cos (x))' = —s \/l — X' + x< sin2 (x) Lukáš Kokrda Derivace 2 Derivační pravidla (c-O' = c-f (f + g)' = f' + g' (f-g)' = f'-g+f-s' m' f'-g-f-g' (f (g))' = f (g) • §' Lukáš Kokrda Derivace 2 Interpretace významu první derivace 9 Hodnota derivace funkce v bodě reprezentuje rychlost změny hodnoty v bodě. Lukáš Kokrda Derivace 2 Interpretace významu první derivace o Hodnota derivace funkce v bodě reprezentuje rychlost změny hodnoty v bodě. o Zkráceně monotónnost funkce v bodě a: • f\a) > 0, funkce je v bodě a rostoucí • f\a) < 0, funkce je v bodě a klesající • f\a) = 0, bod a je stacionárním bodem funkce Lukáš Kokrda Derivace 2 Interpretace významu první derivace o Hodnota derivace funkce v bodě reprezentuje rychlost změny hodnoty v bodě. o Zkráceně monotónnost funkce v bodě a: • f\a) > 0, funkce je v bodě a rostoucí • f\a) < 0, funkce je v bodě a klesající • f\a) = 0, bod a je stacionárním bodem funkce • f (a) je směrnicí tečny funkce v bodě a Lukáš Kokrda Derivace 2 Interpretace významu první derivace o Hodnota derivace funkce v bodě reprezentuje rychlost změny hodnoty v bodě. o Zkráceně monotónnost funkce v bodě a: • f\a) > 0, funkce je v bodě a rostoucí • f\a) < 0, funkce je v bodě a klesající • f\a) = 0, bod a je stacionárním bodem funkce • f (a) je směrnicí tečny funkce v bodě a Monotónnost funkce určíme řešením nerovnic: f'(x) > 0, určíme množinu na které je funkce rostoucí • f'{x) < 0, určíme množinu na které je funkce klesající • f'{x) = 0, určíme množinu na které je funkce stacionární □ i5P - = Lukáš Kokrda Derivace 2 Interpretace významu první derivace o Hodnota derivace funkce v bodě reprezentuje rychlost změny hodnoty v bodě. o Zkráceně monotónnost funkce v bodě a: • f\a) > 0, funkce je v bodě a rostoucí • f\a) < 0, funkce je v bodě a klesající • f\a) = 0, bod a je stacionárním bodem funkce • f (a) je směrnicí tečny funkce v bodě a Monotónnost funkce určíme řešením nerovnic: f'(x) > 0, určíme množinu na které je funkce rostoucí • f'{x) < 0, určíme množinu na které je funkce klesající • f'{x) = 0, určíme množinu na které je funkce stacionární • Z předchozích nerovnic nejčastěji řešíme jen jednu z variant, zbylé případy vyplynou automaticky. Lukáš Kokrda Derivace 2 Rozhodněte o monotónnosti funkce Postup: Lukáš Kokrda Derivace 2 Rozhodněte o monotónnosti funkce Postup: • I. určit f'(x) Lukáš Kokrda Derivace 2 Rozhodněte o monotónnosti funkce f(x) Postup: • I. určit f'{x) r-'(x)=(e-*2)' = e-*2-(- Lukáš Kokrda Derivace 2 Rozhodněte o monotónnosti funkce f(x) — e Postup: • I. určit f\x) f'(x) = (e"*2)' = e~x2 • (-x2)' = e"*2 • (-2x) řešit jednu z nerovností (např. fr(x) > 0) Lukáš Kokrda Derivace 2 Řešený příklad Rozhodněte o monotónnosti funkce f(x) — e Postup: • I. určit f\x) —x f'(x) = (e~x2Y = e-*2 ■ (-x2)' = e~x2 ■ (-2x) • II. řešit jednu z nerovností (např. f'(x) > 0) e~x -(-2x)>0 -2x > 0 x < 0 Funkce je rostoucí na intervalu (—oo;0). □ s Lukáš Kokrda Derivace 2 Řešený příklad Rozhodněte o monotónnosti funkce ^(x) = e Postup: • I. určit f'(x) —x f'(x) = (e~x2y = e~x2 ■ (-x2)' = e-x2 • (-2x) řešit jednu z nerovností (např. f'(x) > 0) e~x • (-2x) > 0 -2x > 0 Funkce je rostoucí na intervalu (—oo;0) • III. Dořešit zbylé případy x < 0 □ S1 Lukáš Kokrda Derivace 2 Rozhodněte o monotónnosti funkce f(x) — e Postup: • I. určit f'(x) —X f'(x) = (e"*2)' = e~x2 • (-x2)' = e~x2 • (-2x) řešit jednu z nerovností (např. fr(x) > 0) e~x • (-2x) > 0 -2x > 0 Funkce je rostoucí na intervalu (—oc;0) III. Dořešit zbylé případy Funkce je klesající na intervalu (0;oc). Funkce má stacionární bod v bodě 0. x < 0 Lukáš Kokrda Derivace 2 Vsuvka Lukáš Kokrda Derivace 2 Vsuvka Lukáš Kokrda Derivace 2 Určovaní lokálních extrémů funkcí • „Charakter" extrému • lokální globální Lukáš Kokrda Derivace 2 Určování lokálních extrémů funkcí • „Charakter" extrému • lokální globální Globální extrémy nelze elegantně nalézt! Lukáš Kokrda Derivace 2 Určování lokálních extrémů funkcí • „Charakter" extrému • lokální • globální • Globální extrémy nelze elegantně nalézt! • Lokální extrém, podezřelý bod f'{x) — 0 Lukáš Kokrda Derivace 2 □ r5> Určování lokálních extrémů funkcí • „Charakter" extrému • lokální • globální • Globální extrémy nelze elegantně nalézt! • Lokální extrém, podezřelý bod f'{x) = 0 • Typ extrému • minimum • maximum Lukáš Kokrda Derivace 2 Určovaní lokálních extrémů funkcí „Charakter" extrému • lokální globální Globální extrémy nelze elegantně nalézt! Lokální extrém, podezřelý bod f'{x) — 0 Typ extrému • minimum • maximum Určení typu lokálního extrému • minimum f"{x) > 0 o maximum f"{x) < 0 • není jednoznačné • existuje lepší způsob určení d b x • a - glob. min. • b - neex. glob. max. • c - lok. max. a d - lok. max. □ i5P - = Lukáš Kokrda Derivace 2 Řešený příklad 1. Nalezněte všechny lokální extrémy funkce f(x) = x3 — 3x2 — 9x — 2 • I. Nalézt f'(x) Lukáš Kokrda Derivace 2 Řešený příklad 1. Nalezněte všechny lokální extrémy funkce f(x) = x3 — 3x2 — 9x — 2 • I. Nalézt f'(x) f'(x) = 3x2 - 6x - 9 Lukáš Kokrda Derivace 2 Řešený příklad 1. Nalezněte všechny lokální extrémy funkce f(x) = x3 — 3x2 — 9x — 2 • I. Nalézt f'(x) f'(x) = 3x2 - 6x - 9 • II. Nalézt f'(x) = 0 Lukáš Kokrda Derivace 2 Řešený příklad 1. Nalezněte všechny lokální extrémy funkce f(x) = x3 — 3x2 — 9x — 2 • I. Nalézt f'(x) f'(x) = 3x2 - 6x - 9 Nalézt f'{x) = 0 3x2-6x-9 = 0 =>• x2-2x-3 = 0 (x-3)(x+l) = 0 Xi = —1, X2 = 3 Lukáš Kokrda Derivace 2 Řešený příklad 1. Nalezněte všechny lokální extrémy funkce f(x) = x3 — 3x2 — 9x — 2 • I. Nalézt f'(x) f'(x) = 3x2 - 6x - 9 • II. Nalézt f'(x) = 0 3x2-6x-9 = 0 =>• x2-2x-3 = 0 (x-3)(x+l) = 0 Xi = —1, X2 = 3 • III. Nalézt f"(x) Lukáš Kokrda Derivace 2 Řešený příklad 1. Nalezněte všechny lokální extrémy funkce f(x) = x3 — 3x2 — 9x — 2 • I. Nalézt f'(x) f'(x) = 3x2 - 6x - 9 Nalézt f'(x) = 0 3x2-6x-9 = 0 =>• x2-2x-3 = 0 (x-3)(x+l) = 0 Xi = —1, X2 = 3 Nalézt f"(x) f"(x) = 6x - 6 Lukáš Kokrda Derivace 2 Řešený příklad 1. Nalezněte všechny lokální extrémy funkce f(x) = x3 — 3x2 — 9x — 2 • I. Nalézt f'(x) f'(x) = 3x2 - 6x - 9 Nalézt f'{x) = 0 3x2-6x-9 = 0 =>• x2-2x-3 = 0 (x-3)(x+l) = 0 Xi = —1, X2 = 3 Nalézt f"(x) f"(x) = 6x - 6 o IV. Určit hodnotu f"{xi) a f"(x2) Lukáš Kokrda Derivace 2 Řešený příklad 1. Nalezněte všechny lokální extrémy funkce f(x) = x3 — 3x2 — 9x — 2 • I. Nalézt f'(x) f'(x) = 3x2 - 6x - 9 Nalézt f'(x) = 0 3x2-6x-9 = 0 =>• x2-2x-3 = 0 (x-3)(x+l) = 0 Xi = —1, X2 = 3 Nalézt f"(x) f"(x) = 6x - 6 o IV. Určit hodnotu f"{xi) a f"(x2) f"{-l) = 6(-l) - 6 = -12, r~"(3) = 6 • 3 - 6 = 12 Lukáš Kokrda Derivace 2 Řešený příklad 1. Nalezněte všechny lokální extrémy funkce f(x) = x3 — 3x2 — 9x — 2 • I. Nalézt f'(x) f'(x) = 3x2 - 6x - 9 Nalézt f'{x) = 0 3x2-6x-9 = 0 =>• x2-2x-3 = 0 (x-3)(x+l) = 0 Xi = —1, X2 = 3 Nalézt f"(x) f"(x) = 6x - 6 o IV. Určit hodnotu f"{xi) a f"(x2) f"{-l) = 6(-l) - 6 = -12, r~"(3) = 6 • 3 - 6 = 12 xi lokální maximum, X2 lokální minimum Lukáš Kokrda Derivace 2 Řešený příklad 2. Nalezněte všechny lokální extrémy funkce f(x) = x5 - 5x4 - 20x3 + 5 • I. Nalézt f'(x) Lukáš Kokrda Derivace 2 □ ► 4 s" Řešený příklad 2. Nalezněte všechny lokální extrémy funkce f(x) = x5 - 5x4 - 20x3 + 5 • I. Nalézt f'(x) f'(x) = 5x4 - 20x3 - 60x2 Lukáš Kokrda Derivace 2 □ ► 4 s" Řešený příklad 2. Nalezněte všechny lokální extrémy funkce f (x) = x5 - 5x4 - 20x3 + 5 • I. Nalézt f'{x) ?{x) = 5x4 - 20x3 • II. Určit monotonii funkce Lukáš Kokrda Derivace 2 Řešený příklad 2. Nalezněte všechny lokální extrémy funkce f (x) = x5 - 5x4 - 20x3 + 5 9 I. Nalézt f (x) f'(x) = 5x4 - 20x3 - 60x2 • II. Určit monotonii funkce 5x4-20x3-60x2 > 0 5x2(x2-4x-12) = 0 5x2(x-6)(x+2) > 0 Lukáš Kokrda Derivace 2 Řešený příklad 2. Nalezněte všechny lokální extrémy funkce f (x) = x5 - 5x4 - 20x3 + 5 • I. Nalézt f'(x) f'(x) = 5x4 - 20x3 - 60x2 • II. Určit monotonii funkce 5x4-20x3-60x2 > 0 5x2(x2-4x-12) = 0 5x2(x-6)(x+2) > 0 Funkce je rostoucí na intervalu (—00, —2) U (6, 00) Funkce je klesající na intervalu (—2, 0) U (0, 6) Lukáš Kokrda Derivace 2 Řešený příklad 2. Nalezněte všechny lokální extrémy funkce f (x) = x5 - 5x4 - 20x3 + 5 • I. Nalézt f\x) f\x) = 5x4 - 20x3 - 60x2 • II. Určit monotonii funkce 5x4-20x3-60x2 > 0 5x2(x2-4x-12) = 0 5x2(x-6)(x+2) > 0 Funkce je rostoucí na intervalu (—00, —2) U (6, 00) Funkce je klesající na intervalu (—2, 0) U (0, 6) Bod —2 je lokálním maximem (funkce do —2 roste, za —2 klesá) Bod 6 je lokálním minimem (funkce do 6 klesá, za 6 roste) Bod 0 není extrém (funkce do 0 klesá, za 0 klesá) Lukáš Kokrda Derivace 2 Aproximace funkcí • Historicky byla poptávka po zjednodušení výpočtu hodnot složitých funkcí v okolí známých hodnot • Za tímto účelem vznikly aproximační polynomy • Například tečna funkce v bodě a (alternativně xo) f{x) « ť (a) • (x - a) + f (a) • Vyšší aproximační polynomy se určují Taylorovým polynomem • Pokud by nás zajímal jen přírůstek na tečně, pak mluvíme o diferenciálu df = f\a)-{x-a) Lukáš Kokrda Derivace 2 Diferencia f (x) « f'(x0) ■ (x - x0) + f(x0) □ i5P Lukáš Kokrda Derivace 2 Když tečna nestačí - graficky - A <1 3 2 1 0 -1 > I í • Mx) = i □ i5P - = Lukáš Kokrda Derivace 2 Když tečna nestačí - graficky □ i5P - = Lukáš Kokrda Derivace 2 Když tečna nestačí - graficky □ i5P - = Lukáš Kokrda Derivace 2 Když tečna nestačí - graficky Když tečna nestačí - graficky Lukáš Kokrda Derivace 2 Když tečna nestačí - graficky Lukáš Kokrda Derivace 2 Taylorův polynom - aneb když tečna nestačí • Nejlepší aproximační metoda • Potřebujeme znát: • Funkci - f(x) 9 Střed polynomu - xy • Stupeň aproximačního polynomu - n o Vzorec: Ux) = f (xo) + £ (* - xo)' 9 f('\xo) - hodnota /-té derivace funkce v bode xq 7-1(x) = r-(xo) + ^(x-x0)1 , * f, , f'(xo) . u f"(xb) , ,2 f"'(*o) , N3 7s(x) = f (xb)+-^ (x - xq)^-^ (x - x0)2+^r^ (x - x0)3 Lukáš Kokrda Derivace 2 Řešený příklad Určete 7~3 funkce f(x) — arctg(x) se středem v O Lukáš Kokrda Derivace 2 Řešený příklad Určete T3 funkce f(x) = arctg(x) se středem v O • I. Výpočet f'(x) Lukáš Kokrda Derivace 2 Řešený příklad Určete T3 funkce f(x) = arctg(x) se středem v 0. • I. Výpočet f'{x) f'(x) = (arctg(x))' = ^ = (l + x2) -1 Lukáš Kokrda Derivace 2 □ S Řešený příklad Určete T3 funkce f(x) — arctg(x) se středem v O • I. Výpočet f'{x) f'(x) = (arctg(x))' = ^ = (1 + x2) • II. Výpočet f"{x) -1 Lukáš Kokrda Derivace 2 □ ÚP Řešený příklad -i Určete T3 funkce f(x) = arctg(x) se středem v 0. • I. Výpočet f'(x) r(x) = (arctg(x))/ = I^? = (l+x2) • II. Výpočet f"{x) f»{x) = ((1 + x2)"1)' = - (1 + x2)-2 • 2x Lukáš Kokrda Derivace 2 □ Řešený příklad Určete T3 funkce f(x) = arctg(x) se středem v 0. • I. Výpočet f'(x) r-'(x) = (arctg(x))' = T^ = (l+x2)-1 • II. Výpočet f"(x) f"{x) = ((1 + x2) -1)' = - (1 + x2) ~2 ■ 2x • III. Výpočet f"'(x) Lukáš Kokrda Derivace 2 Řešený příklad Určete T3 funkce f(x) = arctg(x) se středem v 0. • I. Výpočet f'(x) r-'(x) = (arctg(x))' = T^ = (l+x2)-1 • II. Výpočet f"(x) f»(x) = ( (1 + x2) -1)' = - (1 + x2) ~2 ■ 2x • III. Výpočet f"'(x) f"'{x) = 2(1 + x2) "3 • 2x • 2x - (1 + x2) "2 Lukáš Kokrda Derivace 2 4 □ ► Řešený příklad Určete T3 funkce f(x) = arctg(x) se středem v 0. • I. Výpočet f'(x) r-'(x) = (arctg(x))' = T^? = (l + x2)-1 • II. Výpočet f"{x) f"(x) = ((1 + X2)-1)' = - (1 + x2)-2 • 2x • III. Výpočet f"'(x) f'"(x) = 2 (1 + x2) ~3 • 2x • 2x - (1 + x2) ~2 • 2 • IV. Dosazení f(0) = 0, f'(0) = 1, f"(0) = 0, f"'(0) = -2 Lukáš Kokrda Derivace 2 □ s1 Řešený příklad Určete 7~3 funkce ^(x) = arctg(x) se středem v 0. • I. Výpočet f'{x) r-'(x) = (arctg(x))/ = I^? = (l + x2)-1 • II. Výpočet f"{x) f»{x) = ((1 + X2)"1)' = - (1 + x2)-2 • 2x • III. Výpočet f"'(x) f"'{x) = 2(1 + x2)"3 • 2x • 2x - (1 + x2)"2 • 2 • IV. Dosazení f(0) = 0, ř~'(0) = 1, f"(0) = 0, f"'(0) = -2 • V. Dosazení do vzorce Lukáš Kokrda Derivace 2 Řešený příklad Určete T3 funkce ^(x) = arctg(x) se středem v 0. • I. Výpočet f'{x) r(x) = (arctg(x))' = T^ = (l + x2)-1 • II. Výpočet f"{x) f"{x) = ((1 + X2)-1)' = - (1 +x2)-2 • 2x • III. Výpočet f"'(x) f"'{x) = 2 (1 + x2) ~3 • 2x • 2x - (1 + x2) ~2 • 2 • IV. Dosazení f(0) = 0, f'(0) = 1, f"(0) = 0, f"'(0) = -2 • V. Dosazení do vzorce T3(x) = o + i- • (x - 0) + £ • (x - O)2 + ^ • (x - O)3 Lukáš Kokrda Derivace 2 □ S1 Řešený příklad - graficky Lukáš Kokrda Derivace 2