Analytická geometrie v rovině a prostoru Lukáš Kokrda Ekonomicko správní fakulta Masarykova Universita podzim 2020 Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Souřadnice v rovině Dvojice číselných os x, y v rovině , pro které platí: 1. obě osy jsou navzájem kolmé, 2. jejich průsečíku odpovídá na obou osách číslo 0, se nazývá kartézská soustava souřadnic v rovině a označuje se Oxy. Každý bod roviny lze zapsat pomocí dvou souřadnic. A=[2,2] .B=[3,1] 1 2 3 x Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Trojice číselných os x,y, z v prostoru, pro které platí: 1. každé dvě z nich jsou navzájem kolmé, 2. všechny procházejí bodem O, 3. bod 0 odpovídá na všech osách bou 0 se nazývá kartézská soustava souřadnic v rovině a označuje s Oxyz. Každý bod prostoru lze zapsat pomocí tří souřadnic. 2\ ... \B=[2,3,2] Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Vektory v analytické geometrii Dva typy vektorů • Vázané o Volné Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Vektory v analytické geometrii • Dva typy vektorů • Vázané • Volné • Vázané vektory • požívají se k určování souřadnic bodů • značení velká tiskací písmena a souřadnice do hranatých závorek A = [ai, a2, a3], 6 = [61, fa2, 63] Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Vektory v analytické geometrii Dva typy vektorů • Vázané o Volné • Vázané vektory o požívají se k určování souřadnic bodů • značení velká tiskací písmena a souřadnice do hranatých • používají se k určovaní smeru, posunu, ... • značení malá písmena se šipkou, nebo pomocí dvou bodů, složky do kulatých závorek závorek A = [ai, a2, a3], B = b2, 63 • Volné vektory -1 (ui, u2, 03) □ i5P - = Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Vzdálenost bodů a velikost vektoru 9 Potřeba určit vzdálenosti/velikosti Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Vzdálenost bodů a velikost vektoru Potřeba určit vzdálenosti/velikosti Metrika • Předpis, který definuje vzdálenosti (velikosti) • Nejznámější metrika je Eukleidovská metrika Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Vzdálenost bodů a velikost vektoru 9 Potřeba určit vzdálenosti/velikosti • Metrika • Předpis, který definuje vzdálenosti (velikosti) • Nejznámější metrika je Eukleidovská metrika 9 Značení • Vzdálenost bodů \AB\ • Velikost vektoru Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Vzdálenost bodů a velikost vektoru 9 Potřeba určit vzdálenosti/velikosti • Metrika • Předpis, který definuje vzdálenosti (velikosti) • Nejznámější metrika je Eukleidovská metrika 9 Značení • Vzdálenost bodů \AB\ • Velikost vektoru \~Ú\ 9 Eukleidovská metrika \AB\ = v/(6i-31)2 + (62-a2)2+(/?3-33)2 □ i5P Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Vzdálenost bodů a velikost vektoru 9 Potřeba určit vzdálenosti/velikosti • Metrika • Předpis, který definuje vzdálenosti (velikosti) • Nejznámější metrika je Eukleidovská metrika 9 Značení • Vzdálenost bodů \AB\ • Velikost vektoru \~Ú\ 9 Eukleidovská metrika \AB\ = v/(6i-31)2 + (62-a2)2+(/?3-33)2 Pr. A = [2,3], 6 = [-1,4], □ i5P Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Vzdálenost bodů a velikost vektoru 9 Potřeba určit vzdálenosti/velikosti • Metrika • Předpis, který definuje vzdálenosti (velikosti) • Nejznámější metrika je Eukleidovská metrika 9 Značení • Vzdálenost bodů \AB\ • Velikost vektoru \~Ú\ 9 Eukleidovská metrika \AB\ = v/(6i-31)2 + (62-a2)2+(/?3-33)2 Pr. A = [2,3], B = [-1, A],\AB\ = V(-l-2)2 + (4-3)2 = ^9 + 1 = □ i5P Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Vzdálenost bodů a velikost vektoru 9 Potřeba určit vzdálenosti/velikosti • Metrika • Předpis, který definuje vzdálenosti (velikosti) • Nejznámější metrika je Eukleidovská metrika 9 Značení • Vzdálenost bodů \AB\ • Velikost vektoru \~Ú\ 9 Eukleidovská metrika Př: A = [2,3], B = [-1,4\,\AB\ = - 2)2 + (4 - 3)2 = V9 + 1 = AB ^{bi - ai)2 + (b2 - a2)2+(b3 - a3)2 Vzdálenost bodů a velikost vektoru 9 Potřeba určit vzdálenosti/velikosti • Metrika • Předpis, který definuje vzdálenosti (velikosti) • Nejznámější metrika je Eukleidovská metrika 9 Značení • Vzdálenost bodů \AB\ • Velikost vektoru \~Ú\ 9 Eukleidovská metrika Pí: A = [2,3], B = [-1,4\,\AB\ = - 2)2 + (4 - 3)2 = V9 + 1 = AB ^{bi - ai)2 + (b2 - a2)2+(b3 - a3)2 P?: = (-1,5) Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Vzdálenost bodů a velikost vektoru 9 Potřeba určit vzdálenosti/velikosti • Metrika • Předpis, který definuje vzdálenosti (velikosti) • Nejznámější metrika je Eukleidovská metrika 9 Značení • Vzdálenost bodů \AB\ • Velikost vektoru \~Ú\ 9 Eukleidovská metrika Př: A = [2,3], B = [-l,4],|>4e| = - 2)2 + (4 - 3)2 = V9 + 1 = VlÔ P?: it = (-1, 5),|^| = V("l)2 + (5)2 = Vl + 25 = V26 AB ^{bi - ai)2 + (b2 - a2)2+(b3 - a3)2 Operace s vektory U — (Ui, t/2, 3),V— (Vi, V2, 3) Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Operace s vektory U — (Ui, t/2, 3),V— (Vi, V2, 3) Násobení konstantou C .~ít = C • (i7i, ^3) = (c • lil, C • C • U3) Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Operace s vektory U — (Ui, t/2, 3),V— (Vi, V2, 3) Násobení konstantou C .~ít = C • (i7i, ^3) = (c • lil, C • C • o Sčítání vektorů ~^ + ~^ = + vi, u2 + v2, u3 + v3) □ i5P Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Operace s vektory U — (Ui, t/2, 3),V— (Vi, V2, 3) o Násobení konstantou C • ~Ů = C • (i7i, U2, ^3) = (C • £il, C ■ C • a Sčítání vektorů it + ~^ = (ui + vi, u2 + v2, u3 + v3) 9 Odčítání vektorů it - ~Č = (Ui - Vi, U2 - V2, U3 V3) □ &\ Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Operace s vektory ~á = (ui, Násobení konstantou c • Ijt = c • o Sčítání vektorů • Odčítání vektorů o Skalární součin U2, 3) , = (Vi, V2, 3) "2, ^3) = (c • tfi, C • U2, C • (^1 + vi, u2 + v2, u3 + v3) (U! ~ Vi, U2 ~ V2, U3 V3) Ui • Vi + U2 • V2 + U3 • V3 □ i5P Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Geometrický význam skalárního součinu • Uhel dvou vektorů cos(#) = á • b • Kdy jsou dva vektory ~Ý a b kolmé? Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Geometrický význam skalárního součinu • Uhel dvou vektorů cos(#) = J • b • Kdy jsou dva vektory ~Ý a b kolmé? o Když platí T • b = 0 • Určení kolmého vektoru b k vektoru ~^ = (ai a2) ^ = (a2, -ai) Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Navíc v prostoru - Vektorový součin Vektorový součin je operace v prostou mezi dvěma vektory, která nám vrátí nový vektor, který je na tyto dva vektory kolmý. Vzorec Součin vektorů — Ijt x ~Ý ~W = (u2V3 - V2U3] U3Vľ - V^U\\ uiv2 - ViU2\ ) Pro snadnější zapamatování: U2V3-V2U3 U3V1-V3U1 U^-VjU Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Význam vektorového součinu • Jak spočítat obsah obecného rovnoběžníku s hranami Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Význam vektorového součinu • Jak spočítat obsah obecného rovnoběžníku s hranami a a b ? • Pomoci vektorového součinu! Lukáš Kokrda S1 Analytická geometrie v rovině a prostoru = = >o 0,0 Význam vektorového součinu 9 Jak spočítat obsah obecného rovnoběžníku s hranami ~Ě a b? 9 Pomoci vektorového součinu! _^ 9 Plocha obecného rovnoběžníku je dán ~Ý x b Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Význam vektorového součinu 9 Jak spočítat obsah obecného rovnoběžníku s hranami ~Ě a b? 9 Pomoci vektorového součinu! • Plocha obecného rovnoběžníku je dán | a x b • Př: Rovnoběžník má strany ~Ý = (1, 2, —3) a b = (2,1, 2) určete jeho obsah. Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Význam vektorového součinu 9 Jak spočítat obsah obecného rovnoběžníku s hranami ~Ě a b? 9 Pomoci vektorového součinu! _^ o Plocha obecného rovnoběžníku je dán \~Ý x b | • Př: Rovnoběžník má strany ~Ý = (1, 2, —3) a b = (2,1, 2) určete jeho obsah. S = |(2-2 —1-(—3), —3-2 —2-1,1-1 —2-2)| = |(7,-8,-3)| = A/72 + (-8)2 + 92 = VÍ22^ . . V Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Jednotkový vektor V některých výpočtech potřebujeme vektor o velikosti 1 Způsob výpočtu • Vektor je rovnoběžný s původním vektorem á • Velikost vektoru e je rovna 1 • Významné jednotkové vektory: • ? = (1,0,0) . ? = (0,1,0) . = (0,0,1) Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Přímky v rovině „Přímka je jednorozměrný základní geometrický útvar. Lze ji popsat jako nekonečně tenkou, dvoustranně nekonečně dlouhou, dokonale rovnou křivku." Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Přímky v rovině „Přímka je jednorozměrný základní geometrický útvar. Lze ji popsat jako nekonečně tenkou, dvoustranně nekonečně dlouhou, dokonale rovnou křivku." • Značení:„^rV a malé psací písmeno, např: p Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Přímky v rovině „Přímka je jednorozměrný základní geometrický útvar. Lze ji popsat jako nekonečně tenkou, dvoustranně nekonečně dlouhou, dokonale rovnou křivku." • Značení:„^rV a malé psací písmeno, např: p • Možnosti zápisu: □ e Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Přímky v rovině „Přímka je jednorozměrný základní geometrický útvar. Lze ji popsat jako nekonečně tenkou, dvoustranně nekonečně dlouhou, dokonale rovnou křivku." • Značení:„<->" a malé psací písmeno, např: p • Možnosti zápisu: • Parametrický zápis Lukáš Kokrda iS ► < 1 ► < 1 Analytická geometrie v rovině a prostoru Přímky v rovině „Přímka je jednorozměrný základní geometrický útvar. Lze ji popsat jako nekonečně tenkou, dvoustranně nekonečně dlouhou, dokonale rovnou křivku." • Značení:,,^" a malé psací písmeno, např: p • Možnosti zápisu: • Parametrický zápis • Obecná rovnice Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Přímky v rovině „Přímka je jednorozměrný základní geometrický útvar. Lze ji popsat jako nekonečně tenkou, dvoustranně nekonečně dlouhou, dokonale rovnou křivku." • Značení:,,^" a malé psací písmeno, např: p • Možnosti zápisu: • Parametrický zápis • Obecná rovnice • Přímka je jednoznačně určena pomocí: Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Přímky v rovině „Přímka je jednorozměrný základní geometrický útvar. Lze ji popsat jako nekonečně tenkou, dvoustranně nekonečně dlouhou, dokonale rovnou křivku." • Značení:„^rV a malé psací písmeno, např: p a Možnosti zápisu: • Parametrický zápis • Obecná rovnice • Přímka je jednoznačně určena pomocí: • dvěma navzájem různými body Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Přímky v rovině „Přímka je jednorozměrný základní geometrický útvar. Lze ji popsat jako nekonečně tenkou, dvoustranně nekonečně dlouhou, dokonale rovnou křivku." • Značení:„^rV a malé psací písmeno, např: p a Možnosti zápisu: • Parametrický zápis • Obecná rovnice • Přímka je jednoznačně určena pomocí: • dvěma navzájem různými body • bodem a volným vektorem Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Parametrický zápis přímky • Zápis pomocí bodu A = [ai, a2] a směrového vektoru x=ai + ui • ŕ p = , , y=a2 + U2 - t Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Parametrický zápis přímky • Zápis pomocí bodu A = [ai, a2] a směrového vektoru = ("i, u2) x=ai + L/i • ŕ _ O p = ,(6l y=a2 + u2 • t Příklad: Zapište přímku p procházející bodem A = [2, —3] se směrovým vektorem ~it = (—1,2) Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Parametrický zápis přímky • Zápis pomocí bodu A = [ai, a2] a směrového vektoru lŕ = (ui, u2) x=ai + ^1 • ŕ . _ Trp y=a2 + u2- t Příklad: Zapište přímku p procházející bodem A = [2, směrovým vektorem ~it = (—1,2) x=2 — t _ y=-3 + 2f •f€R Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Obecná rovnice přímky • Zápis pomocí bodu A = [ai, a2] a normálového vektoru ~^ = (ni, n2) p = r?i • x + r?2 • y — (r/i • ai + r?2 • a2) = 0 Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Obecná rovnice přímky • Zápis pomocí bodu A — [ai, a?\ a normálového vektoru p = r?i • x + n2 • y — (r?i • a± + n2 • a2) — 0 o Příklad: Zapište přímku p procházející bodem A = [2, —3] se směrovým vektorem u = (—1,2) Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Obecná rovnice přímky • Zápis pomocí bodu A — [ai, a2] a normálového vektoru ~^ = (ni, n2) p = r?i • x + r?2 • y — (r?i • a± + r?2 • a2) = 0 o Příklad: Zapište přímku p procházející bodem A = [2, —3] se směrovým vektorem ~it = (—1,2) ^p = -x + 2y + 8 = 0 Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Vztahy obecné rovnice a parametrického zápisu 9 Vztah normálového 7^ a směrového lt vektoru ~Ř • Tt = Tt • Tt = 0 Přepis parametrického zápisu přímky do obecné rovnice x=2 — t _ = y=-3 + 2ťřGlR Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Vztahy obecné rovnice a parametrického zápisu • Vztah normálového n a směrového u vektoru ~t ■ ~f = ~f ■ ~t = 0 Přepis parametrického zápisu přímky do obecné rovnice x=2 - ŕ -2 **p= y=-3 + 2t 'ŕ ^ Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Vztahy obecné rovnice a parametrického zápisu • Vztah normálového n a směrového u vektoru ~t ■ ~f = ~f ■ ~t = 0 Přepis parametrického zápisu přímky do obecné rovnice 2x=4 - 2t y=-3 + 2r 2x + y- l = 0 • Přepis obecné rovnice do parametrického tvaru ^p = -x + 2y + 8 = 0 • 1) Najít bod splňující rovnici (zvolíme jednu souřadnici) Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Vztahy obecné rovnice a parametrického zápisu • Vztah normálového 7^ a směrového lt vektoru ~Ř • Tt = Tt • Tt = 0 Přepis parametrického zápisu přímky do obecné rovnice ^p = 2x + y = 4- 3-2ŕ + 2ŕ^>2x + y- l = 0 • Přepis obecné rovnice do parametrického tvaru ^p = -x + 2y + 8 = 0 • 1) Najít bod splňující rovnici (zvolíme jednu souřadnici) A = [8, 0] Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Vztahy obecné rovnice a parametrického zápisu • Vztah normálového 7^ a směrového lt vektoru ~Ř • Tt = Tt • Tt = 0 Přepis parametrického zápisu přímky do obecné rovnice ^p = 2x + y = 4- 3-2ŕ + 2ŕ^>2x + y- l = 0 • Přepis obecné rovnice do parametrického tvaru ^p = -x + 2y + 8 = 0 • 1) Najít bod splňující rovnici (zvolíme jednu souřadnici) 4 = [8,0] • 2) Najít směrový vektor (známe normálový it = (—1, 2)) Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Vztahy obecné rovnice a parametrického zápisu • Vztah normálového 7^ a směrového lt vektoru ~Ř • Tt = Tt • Tt = 0 Přepis parametrického zápisu přímky do obecné rovnice ^p = 2x + y = 4- 3-2ŕ + 2ŕ^>2x + y- l = 0 • Přepis obecné rovnice do parametrického tvaru ^p = -x + 2y + 8 = 0 • 1) Najít bod splňující rovnici (zvolíme jednu souřadnici) 4 = [8,0] 9 2) Najít směrový vektor (známe norm álový it = (-1, 2)) = (2, 1) Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Vztahy obecné rovnice a parametrického zápisu Vztah normálového 7^ a směrového "tt vektoru ~Ř • Tt = Tt • Tt = 0 Přepis parametrického zápisu přímky do obecné rovnice ^p = 2x + y = 4- 3-2ŕ + 2ŕ^>2x + y- l = 0 • Přepis obecné rovnice do parametrického tvaru ^p = -x + 2y + 8 = 0 • 1) Najít bod splňující rovnici (zvolíme jednu souřadnici) 4 = [8,0] • 2) Najít směrový vektor (známe norm álový it = (-1, 2)) = (2, 1) x = 8 + 2ř y = 0+ ř t e □ i5P - = Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Nalezení průsečíku dvou přímek • Obě zapsané pomocí obecných rovnic Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Nalezení průsečíku dvou přímek Obě zapsané pomocí obecných rovnic • Vyřešit soustavu lineárních rovnic např.: * ^ 2x — y = 3 Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Nalezení průsečíku dvou přímek • Obě zapsané pomocí obecných rovnic • Vyřešit soustavu lineárních rovnic např.: * ^ 2x — y = 3 9 Parametrický zápis a obecná rovnice Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Nalezení průsečíku dvou přímek • Obě zapsané pomocí obecných rovnic • Vyřešit soustavu lineárních rovnic např.: * ^ 2x — y = 3 9 Parametrický zápis a obecná rovnice Dosadit parametrické rovnice do obecné rovnice Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Nalezení průsečíku dvou přímek • Obě zapsané pomocí obecných rovnic • Vyřešit soustavu lineárních rovnic např.: * ^ 2x — y = 3 9 Parametrický zápis a obecná rovnice Dosadit parametrické rovnice do obecné rovnice • Vypočítat parametr Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Nalezení průsečíku dvou přímek • Obě zapsané pomocí obecných rovnic • Vyřešit soustavu lineárních rovnic např.: _ 2x - 9 Parametrický zápis a obecná rovnice Dosadit parametrické rovnice do obecné rovnice • Vypočítat parametr • Dosadit parametr do parametrických rovnic □ i5P Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Nalezení průsečíku dvou přímek • Obě zapsané pomocí obecných rovnic • Vyřešit soustavu lineárních rovnic např.: _ 2x - 9 Parametrický zápis a obecná rovnice Dosadit parametrické rovnice do obecné rovnice • Vypočítat parametr • Dosadit parametr do parametrických rovnic o Obě zapsané parametricky □ i5P Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Nalezení průsečíku dvou přímek • Obě zapsané pomocí obecných rovnic • Vyřešit soustavu lineárních rovnic např.: * ^ 2x — y = 3 9 Parametrický zápis a obecná rovnice Dosadit parametrické rovnice do obecné rovnice • Vypočítat parametr • Dosadit parametr do parametrických rovnic o Obě zapsané parametricky • Vytvořit soustavu rovnic (jednotlivé vztahy pro x a y se musí rovnat) Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Nalezení průsečíku dvou přímek • Obě zapsané pomocí obecných rovnic • Vyřešit soustavu lineárních rovnic např.: * ^ 2x — y = 3 9 Parametrický zápis a obecná rovnice Dosadit parametrické rovnice do obecné rovnice • Vypočítat parametr • Dosadit parametr do parametrických rovnic 9 Obě zapsané parametricky • Vytvořit soustavu rovnic (jednotlivé vztahy pro x a y se musí rovnat) • Vyře?it soustavu lineárních rovnic Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Nalezení průsečíku dvou přímek • Obě zapsané pomocí obecných rovnic • Vyřešit soustavu lineárních rovnic např.: * ^ 2x — y = 3 9 Parametrický zápis a obecná rovnice Dosadit parametrické rovnice do obecné rovnice • Vypočítat parametr • Dosadit parametr do parametrických rovnic 9 Obě zapsané parametricky • Vytvořit soustavu rovnic (jednotlivé vztahy pro x a y se musí rovnat) • Vyře?it soustavu lineárních rovnic o Dosadit jeden parametr do vztahů odpovídající přímky Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Vzdálenost bodu od přímky • Přímka ^p = r?i-x + r?2-y + c = 0 • Bod A — [ai, 32] 9 Vzdálenost bodu A od přímky p, zkráceně \Ap\ \Ap\ = ni • 3i + n2 - 32 + c n\ + n\ Lukáš Kokrda < 1 ► 1 ^^O alytická geometrie v rovině a prostoru Vzdálenost bodu od přímky 9 Přímka <->p = r?i-x + r?2-y + c = 0 9 Bod A — [ai, 32] • Vzdálenost bodu A od přímky p, zkráceně \Ap\ \Ap\ = ni ■ 3\ + 02 • 32 + c n? + n| op = 3- x + 4- y- 6 = 0,/\ = [4, 1] Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Vzdálenost bodu od přímky • Přímka p = r?i-x + r?2-y + c = 0 • Bod A = [ai, a2] • Vzdálenost bodu A od přímky p, zkráceně \Ap\ \Ap\ = ni ■ ai + ri2 • 32 + c • ^•p = 3- x + 4- y- 6 = 0,yA = [4, 1] \M = 3-4 + 4- 1-6 16-6 V9 + 16 = 2 9 Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Parametrické vyjadrení přímky (a v prostoru nikdy jinak) op = x = ai + u\ • t y = a2 + u2- t ,t eR z = a3 + u3 • ŕ kde A = [ai, a2, a3] je bod přímky opa vektor "7^ = (l/i, l/2, U3] je její směrový vektor □ i5P - = Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Vydálenost bodu od přímky • Jak spočítat vzdálenost bodu B od přímky, když neexistuje její obecná rovnice? Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Vydálenost bodu od přímky • Jak spočítat vzdálenost bodu B od přímky, když neexistuje její obecná rovnice? • Co třeba pomocí vektorového součinu? Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru >0 0,0 Vydálenost bodu od přímky • Jak spočítat vzdálenost bodu B od přímky, když neexistuje její obecná rovnice? • Co třeba pomocí vektorového součinu? • Nechť A je bod přímky f^pa vektor lt = (1/1, U2, u3) je její směrový vektor. Lukáš Kokrda r3P Analytická geometrie v rovině a prostoru Vydálenost bodu od přímky • Jak spočítat vzdálenost bodu B od přímky, když neexistuje její obecná rovnice? • Co třeba pomocí vektorového součinu? • Nechť A je bod přímky f^pa vektor lf = (1/1, l/2, ^3) je její směrový vektor. • Pak ÄBxlľl Bp = Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru >0 0,0 Zavedení roviny v prostoru Rovnice: X = A + lľt + ^s, s, t e R, se nazývá parametrická rovnice roviny nebo také parametrické vyjádření roviny ABC, kde B = A + lľ a C = A + ~Č. □ i5P - = Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Zavedení roviny v prostoru Ve zvolené kartézské soustavě souřadnic můžeme Oxyz body a vektory zapsat pomocí souřadnic: X[x;y;z],y4[ai;a2;a3],u = (ui; u2] u3),v = (vi; v2\ v3) □ i5P - = Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Zavedení roviny v prostoru Ve zvolené kartézské soustavě souřadnic můžeme Oxyz body a vektory zapsat pomocí souřadnic: X[x;y;z],y4[ai;a2;a3],u = (ui; u2] u3),v = (vi; v2\ v3) Parametrické vyjádření roviny v prostoru pak můžeme zapsat v souřadnicích x = ai + u\t + vis p = y = a2 + u2t + v2s , t, s e ffi. z = a3 + u3r+\/3S □ iS - = Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Zavedení roviny v prostoru Analogickým postupem stejně jako u přímky v rovině dostaneme obecnou rovnici roviny v prostoru. Rovinu určíme bodem a normálovým vektorem, který kolmý na rovinu, tj. na každý vektor v rovině. □ g - = -š Q, o Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Obecná rovnice roviny p = r?i-x + r?2-y + r?3'Z + c = 0 • ~it je normálový vektor roviny Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Obecná rovnice roviny p = A7i'X + r?2-y + r?3-z + c = 0 • it je normálový vektor roviny • pokud platí, že vektory it a ~Ý leží v rovině a jsou nezávislé, pak platí Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Vzdálenost bodu od roviny • Rovina p=ni-x + n2-y + ri3-z + c = 0 9 Bod A = [ai, a2, a3] • Vzdálenost bodu /4 od roviny p, zkráceně |/4p| IApI = ni • ai + n2 • 32 + n3 • a3 + c n? + n? + ni Lukáš Kokrda r3> Analytická geometrie v rovině a prostoru Vzdálenost bodu od roviny • Rovina p=r?i-x + r?2-y + r?3-z + c = 0 • Bod A = [ai, a2, a3] • Vzdálenost bodu /4 od roviny p, zkráceně \Ap\ \Ap\ = ni ■ 3i + H2 • 32 + "3 * ^3 + C n? + no + ni p = 3- x + 4- y- 2- z- 6 = 0, /4 = [4, 1,2] Lukáš Kokrda □ i5P Analytická geometrie v rovině a prostoru Vzdálenost bodu od roviny • Rovina p=A?i-x + r?2-y + r?3-z + c = 0 o Bod A = [ai, a2, a3] • Vzdálenost bodu A od roviny p, zkráceně \Ap\ \Ap\ = "I ■ 3i + "2 • 32 + H3 • 33 + C n? + no + ni • p = 3- x + 4- y- 2- z- 6 = 0,/\=[4,l, 2] |/\p| = 3.4 + 4-1-2-2-6 V9 + 16 + 4 v7^ Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Polohové úlohy v prostoru Dvě přímky Dvě přímky v prostoru mohou být: • Totožné - Nekonečně mnoho společných bodů. • Rovnoběžné - Žádný společný bod. Přímky leží v jedné rovině. • Různoběžné - Jeden společný bod. Přímky opět leží v jedné rovině. v • Mimoběžné - Žádný společný bod - Přímky neleží v jedné rovině. □ g - = = -O c\ O Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Polohové úlohy v prostoru Přímka a rovina Přímka a rovina v prostoru mohou nabývat těchto polohy: • Přímka a rovina jsou rovnoběžné - Žádný společný bod. Přímka a rovina nejsou rovnoběžné - Jeden společný bod. • Přímka leží v rovině - Nekonečně mnoho společných bodů. Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Polohové úlohy v prostoru Dvě roviny Dvě roviny v prostoru mohou nabývat tyto polohy: • Totožné - Nekonečně mnoho společných bodů. • Rovnoběžné - Žádný společný bod. • Různoběžné - Nekonečně mnoho společných bodů. Tyto body tvoří průsečnici rovin. Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Průsečík vs. průsečnice □ i5P Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Kuželosečky v rovině Druhy kuželoseček • Kružnice o Elipsa o Hyperbola • Parabola Kružnice Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Kružnice • Definice: • „Množina bodů, která má konstantní vzdálenost r od bodu S." • Střed kružnice S = [xo, yo] • Poloměr kružnice r 9 Kružnice ve středovém tvaru: (x - x0)2 + (y - y0)2 = r2 Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru • Definice: • „Množina bodů, která má konstantní součet vzdáleností od dvou bodů, ohnisek, rovnou délce 2a.11 9 Ohniska E, F • Střed elipsy S = [xq, yo] o Délka hlavní poloosy a • Délka vedlejší poloosy b o Excentricita e, vzdálenost ohnisek od středu • Vztah velikostí poloos a excentricity: a2 = b2 + e2 • Zápis elipsy ve středovém tvaru: (x ~ xq)2 (y - yo)2 a2 + b2 1 (x - xq)2 (y - yo)2 b2 + a2 1 □ i5P - = Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Elipsa vyobrazení (* - xq)2 (y - yo)2 a2 b2 C [0; b] D[0;-b] Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Definice: • „Množina bodů, která má konstantní rozdíl vzdáleností od dvou bodů, ohnisek, rovný délce 2a.11 Ohniska E, F Střed elipsy S = [xq, yo] Délka hlavní poloosy a Délka vedlejší poloosy b Excentricita e, vzdálenost ohnisek od středu Vztah velikostí poloos a excentricity: e2 = a2 + b2 Zápis elipsy ve středovém tvaru: (x ~ xq)2 _ (y - yo)2 a2 b2 (x - xq)2 (y - yo)2 a2 + b2 1 □ i5P - = Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Hyperbola vyobrazení Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Parabola • Definice: • „Množina bodů, které jsou stejně vzdáleny od dané přímky jako od daného bodu." • Vrchol paraboly V = [xq, yo] • Ohnisko F ■v 9 Řídící přímka d • Vzdálenost ohniska od řídící přímky p • Zápis elipsy ve středovém tvaru: (y - Yo)2 = 2p(x - x0), (y - y0)2 = -2p(x - x0) (x - x0)2 = 2p(y - y0), (x - x0)2 = -2p(y - y0) Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru Parabola vyobrazení (x - x0)2 = 2p(y - y0) a X p F í\ ! x V,- d i D < □ ► S" ► < > 4 Lukáš Kokrda Analytická geometrie v rovině a prostoru