Exponenciální rovnice, logaritmy a inverzní funkce Lukáš Kokrda Ekonomicko správní fakulta Masarykova Universita podzim 2022 Lukáš Kokrda □ i5P - = Exponenciální rovnice, logaritmy a inverzní funkce Řešení rovnic specifického typu Exponenciální rovnicí nazýváme každou rovnici, ve které je neznámá x G IR v exponentu mocniny nějakého čísla. Za základní tvar exponenciální rovnice lze považovat af(x) = bg(x)^ kde a > 0, b > 0 a r(x), g[x) jsou nějaké výrazy. Metoda řešení: Rovnici převedeme logaritmováním na tvar f(x)log(a) = g(x)log(b), ve speciálním případě, kdy a = b, dostaneme f{x)=g(x). □ i5P - = Lukáš Kokrda Exponenciální rovnice, logaritmy a inverzní funkce Řešení exponenciální rovnice - společný základ Příklad: V reálném oboru řešte: 3x+i _ Q2-x = a Řešení: Převedeme druhý člen na pravou stranu Dosadíme 9 = 32 3x+l = g2-x 3X+I = 32(2-*) Logaritmováním dostaneme x + 1 = 2(2 - x) 3x = 3 x = 1 □ i5P Lukáš Kokrda Exponenciální rovnice, logaritmy a inverzní funkce Řešení exponenciální rovnice - vytknutí Příklad: V reálném oboru řešte 32x-l _ 32x-4 = 315 _ 32x-2 □ Lukáš Kokrda Exponenciální rovnice, logaritmy a inverzní funkce Řešení exponenciální rovnice - vytknutí Příklad: V reálném oboru řešte 32x-l _ 32x-4 = 315 _ 32x-2 32x • 3"1 - 3ZX • 3_£| + 3ZX • 3"z = 315 >2x o-4 2x o-2 Lukáš Kokrda Exponenciální rovnice, logaritmy a inverzní funkce Řešení exponenciální rovnice - vytknutí Příklad: V reálném oboru řešte 32x-l _ 32x-4 = 315 _ 32x-2 32x • 3"1 - 3ZX • 3_£| + 3ZX • 3"z = 315 >2x o-4 2x o-2 32x(3-l _ 3-4 + 3-'^ = 315 -4 -2\ _ Lukáš Kokrda Exponenciální rovnice, logaritmy a inverzní funkce Řešení exponenciální rovnice - vytknutí Příklad: V reálném oboru řešte 32x-l _ 32x-4 = 315 _ 32x-2 32x • 3"1 - 3ZX • 3_£| + 3ZX • 3 2x o-4 »2x o—2 3^(3-1 - 3~4 + 3-2) 32X/1 _ i , i\ ° V3 81 ^ 9^ = 315 = 315 = 315 Lukáš Kokrda Exponenciální rovnice, logaritmy a inverzní funkce Řešení exponenciální rovnice - vytknutí Příklad: V reálném oboru řešte 32x-l _ 32x-4 = 315 _ 32x-2 32x • 3"1 - 3ZX • 3_£| + 3ZX • 3 2x o-4 »2x o—2 3^(3-1 - 3~4 + 3-2) 32X/1 _ i , i\ ° V3 81 ^ 9^ o2x 35 ° -81 = 315 = 315 = 315 = 315 Lukáš Kokrda Exponenciální rovnice, logaritmy a inverzní funkce Řešení exponenciální rovnice - vytknutí Příklad: V reálném oboru řešte 32x-l _ 32x-4 = 315 _ 32x-2 32x • 3"1 - 3ZX • 3_£| + 3ZX • 3 2x o-4 »2x o—2 3^(3-i _ 3-4 + ° V3 81 ^ 9/ o2x 35 ° '81 o2x = 315 = 315 = 315 = 315 = 729 Lukáš Kokrda Exponenciální rovnice, logaritmy a inverzní funkce Řešení exponenciální rovnice - vytknutí Příklad: V reálném oboru řešte 32x-l _ 32x-4 = 315 _ 32x-2 32x • 3"1 - 3ZX • 3_£| + 3ZX • 3 2x o-4 »2x o—2 3^(3-1 - 3~4 + 3-2) 32X/1 _ i , i\ ° V3 81 ^ 9^ o2x 35 ° -81 o2x >2x = 315 = 315 = 315 = 315 = 729 = 36 Lukáš Kokrda Exponenciální rovnice, logaritmy a inverzní funkce Řešení exponenciální rovnice - vytknutí Příklad: V reálném oboru řešte 32x-l _ 32x-4 = 315 _ 32x-2 32x • 3"1 - 3ZX • 3_£| + 3ZX • 3 2x o-4 »2x o—2 3^(3-1 - 3~4 + 3-2) 32X/1 _ i , i\ ° V3 81 ^ 9^ o2x 35 ° -81 o2x >2x = 315 = 315 = 315 = 315 = 729 = 36 2x = 6 ^ x = 3. Lukáš Kokrda Exponenciální rovnice, logaritmy a inverzní funkce Řešení exponenciální rovnice - substituce Příklad: V reálném oboru řešte 25x - 6 • 5X + 5 = 0 Lukáš Kokrda Exponenciální rovnice, logaritmy a inverzní funkce Řešení exponenciální rovnice - substituce Příklad: V reálném oboru řešte 25x - 6 • 5X + 5 = 0 Řešení: Upravíme na tvar (5X)2 - 6 • 5X + 5 = 0 Lukáš Kokrda Exponenciální rovnice, logaritmy a inverzní funkce Řešení exponenciální rovnice - substituce Příklad: V reálném oboru řešte 25x - 6 • 5X + 5 = 0 Řešení: Upravíme na tvar (5X)2 - 6 • 5X + 5 = 0 Zavedeme substituci y = 5j :x y2 - 6y + 5 = 0 Lukáš Kokrda Exponenciální rovnice, logaritmy a inverzní funkce Řešení exponenciální rovnice - substituce Příklad: V reálném oboru řešte 25x - 6 • 5X + 5 = 0 Řešení: Upravíme na tvar (5X)2 - 6 • 5X + 5 = 0 Zavedeme substituci y = 5j :x y2 - 6y + 5 = 0 Dostaneme kořeny 6 ± V36 - 20 n,2 =-z-=>• yi = 1 A y2 Lukáš Kokrda Exponenciální rovnice, logaritmy a inverzní funkce Řešení exponenciální rovnice - substituce Příklad: V reálném oboru řešte 25x - 6 • 5X + 5 = 0 Řešení: Upravíme na tvar (5X)2 - 6 • 5X + 5 = 0 Zavedeme substituci y = 5; :x y2 - 6y + 5 = 0 Dostaneme kořeny 6 ± V36 - 20 yi,2 =-3-^ n = 1 A y2 Tedy po provedení zpětné substituce dostaneme: □ Lukáš Kokrda Exponenciální rovnice, logaritmy a inverzní funkce Řešení exponenciální rovnice - substituce Příklad: V reálném oboru řešte 25x - 6 • 5X + 5 = 0 X Řešení: Upravíme na tvar (5X)2 - 6 • 5X + 5 = 0 Zavedeme substituci y = 5X y - 6y + 5 = 0 Dostaneme kořeny 6 ± V36 - 20 yi,2 =-j-^ yi = 1 A y2 = 5 Tedy po provedení zpětné substituce dostaneme: a) pro yi = 5 získáme první řešení původní rovnice z 5 = 5 X Lukáš Kokrda Exponenciální rovnice, logaritmy a inverzní funkce Řešení exponenciální rovnice - substituce Příklad: V reálném oboru řešte 25x - 6 • 5X + 5 = 0 X Řešení: Upravíme na tvar (5X)2 - 6 • 5X + 5 = 0 Zavedeme substituci y = 5X y2 - 6y + 5 = 0 Dostaneme kořeny 6 ± V36 - 20 yi,2 =-2-^ yi = 1 A y2 = 5 Tedy po provedení zpětné substituce dostaneme: a) pro yi = 5 získáme první řešení původní rovnice z 5 = b) pro y2 = 1 získáme druhé řešení původní rovnice z 1 5X 5X Lukáš Kokrda Exponenciální rovnice, logaritmy a inverzní funkce A co když je něco špatně? • Jak určit mocninu x tak, aby platilo: 5X = 6 • Touto funkcí je logaritmická funkce f(x) = loga(x) • a £ M+ — {1} základ logaritmické funkce o D(f) = (0,oo) y = ioga(x) • „Kolik musí být y, aby platilo, že ay — x?" o jinak: „a na kolikátou je x?" Lukáš Kokrda Exponenciální rovnice, logaritmy a inverzní funkce Logaritmy Lukáš Kokrda Exponenciálni rovnice, logaritmy a inverzní funkce Základní značení a logaritmické vzorce Základní značení Základní vzorce • log10(x) = log(x) • log(x) + log(y) = log(x • y) • loge(x) = ln(x) # |og(x) _ |0g(y) = |og U\ • e je Eulerovo číslo # |og {> 0, a 7^ 1 Tato rovnice má pro libovolné b jediné řešení tvaru x = ab. Logaritmické rovnice složitějších typů se nejprve upraví na tvar loga f(x) = logaár(x), kde a > 0, a ^ 1 přičemž rovnici řešíme na množině těch x e IR, pro něž výrazy ŕ(x) a g(x) nabývají kladných hodnot. Pokud tuto množinu neurčíme předem, je nutno provést zkoušku. Odlogaritmováním rovnice dostaneme f(x) = g(x) a dále řešíme rovnici bez logaritmu Lukáš Kokrda Exponenciální rovnice, logaritmy a inverzní funkce Logaritmická rovnice V reálném oboru řešte rovnici log(3x - 2) = 2 • log(x - 4) Lukáš Kokrda Exponenciálni rovnice, logaritmy a inverzní funkce Logaritmická rovnice V reálném oboru řešte rovnici log(3x - 2) = 2 • log( Řešení: Upravíme pravou stranu log(3x - 2) = log(x Lukáš Kokrda Exponenciálni rovnice, logaritmy a inverzní funkce Logaritmická rovnice V reálném oboru řešte rovnici log(3x - 2) = 2 • log(x - 4) Řešení: Upravíme pravou stranu log(3x-2) = log(x-4)2, Odlogaritmujeme 3x - 2 = x2 - 8x + 16 Lukáš Kokrda Exponenciálni rovnice, logaritmy a inverzní funkce Logaritmická rovnice V reálném oboru řešte rovnici log(3x - 2) = 2 • log(x - 4) Řešení: Upravíme pravou stranu log(3x-2) = log(x-4)2, Odlogaritmujeme 3x - 2 = x2 - 8x + 16 Vyřešíme kvadratickou rovnici x2 - llx + 18 = 0 11 ± y/121 - 72 X12 = 4 □ ► Lukáš Kokrda Exponenciálni rovnice, logaritmy a inverzní funkce Logaritmická rovnice V reálném oboru řešte rovnici log(3x - 2) = 2 • log(x - 4) Řešení: Upravíme pravou stranu log(3x-2) = log(x-4)2, Odlogaritmujeme 3x - 2 = x2 - 8x + 16 Vyřešíme kvadratickou rovnici x2 - llx + 18 = 0 11 ± V121 - 72 *i,2 =-ž-' tedy xi = 9, x2 = 2. Lukáš Kokrda Exponenciálni rovnice, logaritmy a inverzní funkce Logaritmická rovnice V reálném oboru řešte rovnici log(3x - 2) = 2 • log(x - 4) Řešení: Upravíme pravou stranu log(3x-2) = log(x-4)2, Odlogaritmujeme 3x - 2 = x2 - 8x + 16 Vyřešíme kvadratickou rovnici x2 - llx + 18 = 0 11 ± y/121 - 72 *i,2 =-2-' tedy xi =9, x2 = 2. Musíme provést zkoušku, pro xi dostaneme = 9 L(xi) = log(25), P(xi) = 2log(5), L(xi) = P(xi) □ e Lukáš Kokrda Exponenciálni rovnice, logaritmy a inverzní funkce Logaritmická rovnice Pro X2 — 2 dostaneme /.(x2) = log4, P(x2) = 2 • log(-2), pravá strana není definována - kořenem je tedy pouze x\ Lukáš Kokrda □ i5P Exponenciální rovnice, logaritmy a inverzní funkce Logaritmická rovnice V reálném oboru řešte rovnici 1 - I<>g3 -ô + '°g Xz Lukáš Kokrda Exponenciálni rovnice, logaritmy a inverzní funkce Logaritmická rovnice V reálném oboru řešte rovnici - log3 ~2 + log3 3x - 4 = 0 X Řešení: Upravíme levou stranu - log3 (x"2) + log3 (3) + log3 (x) - 4 = 0 Lukáš Kokrda Exponenciálni rovnice, logaritmy a inverzní funkce Logaritmická rovnice V reálném oboru řešte rovnici 1 - log3 -2 + !og3 3x - 4 = Řešení: Upravíme levou stranu - log3 (x"2) + log3 (3) + log3 (x) 2 • log3(x) + 1 + log3(x) - 4 Lukáš Kokrda Exponenciální rovnice, logaritmy a inverzní funkce Logaritmická rovnice V reálném oboru řešte rovnici - log3 ~2 + log3 3x - 4 = 0 Řešení: Upravíme levou stranu - log3 (x"2) + log3 (3) + log3 (x) - 2 • log3(x) + 1 + log3(x) - 4 = 3 • log3(x) -3 = 0 4 □ ► Lukáš Kokrda Exponenciálni rovnice, logaritmy a inverzní funkce Logaritmická rovnice V reálném oboru řešte rovnici - log3 ~2 + log3 3x - 4 = 0 X Řešení: Upravíme levou stranu - log3 (x"2) + log3 (3) + log3 (x) - 2 • log3(x) + 1 + log3(x) - 4 = 3 • log3(x) -3 = 0 'og3(*) = 1 4 □ ► Lukáš Kokrda Exponenciálni rovnice, logaritmy a inverzní funkce Logaritmická rovnice V reálném oboru řešte rovnici - log3 ~2 + log3 3x - 4 = 0 X Řešení: Upravíme levou stranu - log3 (x"2) + log3 (3) + log3 (x) - 4 = 0 2 • log3(x) + 1 + log3(x) -4 = 0 3 • log3(x) -3 = 0 'og3(*) = 1 Provedeme zkoušku - dosadíme do původní rovnice, levá strana je pro x = 3 definována a je nulová, tedy x = 3 je řešením. Lukáš Kokrda Exponenciální rovnice, logaritmy a inverzní funkce nverzní funkce 9 Co je inverzní funkce k funkci f{x)l • „Funkce g(x) pro kterou platí g(f(x)) = f(g(x)) = x." • Zkrácené značení /r_1(x) • Neplést s f^j!!! Každá funkce nemusí mít inverzi • Poznávací znamení „Grafy funkcí f(x) a f_1(x) jsou symetrické podle osy y = x." Navzájem inverzní třídy funkcí • Lineární x Lineární • Mocninné x Mocninné (tady ale opatrně) • Exponenciální x Logaritmické Lukáš Kokrda Exponenciální rovnice, logaritmy a inverzní funkce nverzní funkce - Lineární x Lineární Lukáš Kokrda Exponenciální rovnice, logaritmy a inverzní funkce nverzní funkce - Mocninné x Mocninné Lukáš Kokrda Exponenciální rovnice, logaritmy a inverzní funkce Inverzní funkce - Exponenciální x Logaritmické Lukáš Kokrda Exponenciální rovnice, logaritmy a inverzní funkce Inverzní funkce - Výpočet Postup f (x) = 3 log3(2x + 2) - 3 O Zapsat funkci ve tvaru y = f (x) • y = 3 log3(2x + 2) - 3 Lukáš Kokrda Exponenciálni rovnice, logaritmy a inverzní funkce Inverzní funkce - Výpočet Postup f (x) = 3 log3(2x + 2) - 3 O Zapsat funkci ve tvaru y = f (x) • y = 3 log3(2x + 2) - 3 Q Prohodit x za y a naopak o x = 3log3(2y + 2)-3 Lukáš Kokrda Exponenciálni rovnice, logaritmy a inverzní funkce Inverzní funkce - Výpočet Postup f(x) = 3 log3(2x + 2) - 3 O Zapsat funkci ve tvaru y = f(x) • y = 3 log3(2x + 2) - 3 Q Prohodit x za y a naopak • x = 3log3(2y + 2)-3 O Vyjádřit y • x + 3 = 3log3(2y+ 2) Lukáš Kokrda Exponenciální rovnice, logaritmy a inverzní funkce Inverzní funkce - Výpočet Postup f(x) = 3 log3(2x + 2) - 3 O Zapsat funkci ve tvaru y = f( • y = 3 log3(2x + 2) - 3 Q Prohodit x za y a naopak • x = 3log3(2y + 2)-3 O Vyjádřit y • x + 3 = 3log3(2y+ 2) • | • x + 1 = log3(2y + 2) Lukáš Kokrda Exponenciální rovnice, logaritmy a inverzní funkce Inverzní funkce - Výpočet Postup f(x) = 3 log3(2x + 2) - 3 O Zapsat funkci ve tvaru y = f( • y = 3 log3(2x + 2) - 3 Q Prohodit x za y a naopak • x = 3log3(2y + 2)-3 O Vyjádřit y • x + 3 = 3log3(2y+ 2) • | • x + 1 = log3(2y + 2) • 33,x+1 = 2y + 2 Lukáš Kokrda Exponenciální rovnice, logaritmy a inverzní funkce Inverzní funkce - Výpočet Postup f(x) = 3 log3(2x + 2) - 3 O Zapsat funkci ve tvaru y = f(x) • y = 3 log3(2x + 2) - 3 O Prohodit x za y a naopak • x = 3 log3(2y + 2) - 3 O Vyjádřit y • x + 3 = 3 log3(2y + 2) • | • x + 1 = log3(2y + 2) • 35x+1 = 2y+ 2 • 3|-x+i _2 = 2y Lukáš Kokrda Exponenciální rovnice, logaritmy a inverzní funkce nverzní funkce - Výpočet Postup ř~(x) = 3 log3(2x + 2) - 3 O Zapsat funkci ve tvaru y = f(x) • y = 3log3(2x + 2) -3 O Prohodit x za y a naopak • x = 3 log3(2y + 2) - 3 Vyjádřit y • x + 3 = 3log3(2y+ 2) • | • x + 1 = log3(2y + 2) • 35'x+1 = 2y + 2 • 35x+1 - 2 = 2y • y = l . 33*+! - 1 S = Lukáš Kokrda Exponenciální rovnice, logaritmy a inverzní funkce nverzní funkce - Grafické overení Lukáš Kokrda Exponenciálni rovnice, logaritmy a inverzní funkce