Posloupnosti, limity a úvod do kombinatoriky
Lukáš Kokrda
Ekonomicko správní fakulta Masarykova Universita
podzim 2020
□ |5P - =
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Co je posloupnost
Posloupnost je určité pravidlo, podle kterého přiřazujeme přirozeným číslům jiná čísla, která nemusí nutně být přirozená.
Tématický příklad. Vezměme si posloupnost čísel
{1,3,5,7,...}.
Snadno rozpoznáme pravidlo, které stanovuje členy posloupnosti a podle tohoto pravidla můžeme sestavit tabulku
1 -> 1 2^3 3^5 4^7
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Co je posloupnost
Zůstaneme-li u zobrazení, pak můžeme říci, že posloupnost a je zobrazení přirozených čísel do množiny čísel reálných, tj.
a : N —^ IR.
Důležitá poznámka
Posloupnost je každé zobrazení a, jehož definičním oborem jsou přirozená čísla a oborem hodnot je část množiny reálných čísel. Tedy V(a) = N a H(a) C IR.
Stejně jako u přirozených čísel je přesně stanoveno, jak jdou po sobě, tak i posloupnost má pevně stanovené pořadí.
Lukáš Kokrda
Posloupnosti a limity
Značení posloupnosti
Výše jsme si řekli, že posloupnost je druhem zobrazení, která obvykle značíme f(n). Přesto se u těchto speciálních zobrazení dělá „výjimka" a posloupnosti značíme
3n.
V různé literatuře, či na internetu, se můžeme setkat i se značením jiným, jako je například:
•
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Zadání posloupnosti
Posloupnosti, stejně jako mnohá jiná zobrazení, mohou být zadány více způsoby:
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Zadání posloupnosti
Posloupnosti, stejně jako mnohá jiná zobrazení, mohou být zadány více způsoby:
• Výčtem členů,
např.jl, 2,1,2,... }
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Zadání posloupnosti
Posloupnosti, stejně jako mnohá jiná zobrazení, mohou být zadány více způsoby:
• Výčtem členů,
např.jl, 2,1, 2,... }
• Rekurentním vzorcem,
např. an+i = an + 2, B\ — 1 nebo an+2 = an+i + a„, ai = a2 = 1
Lukáš Kokrda
Posloupnosti a limity
Zadání posloupnosti
Posloupnosti, stejně jako mnohá jiná zobrazení, mohou být zadány více způsoby:
• Výčtem členů,
napf.jl, 2,1, 2,... }
9 Rekurentním vzorcem,
např. an+i = an + 2, a± = 1 nebo an+2 = an+i + a„, ai = a2 = 1
• Explicitním vzorcem pro r?-tý člen,
napr. an = 4>, an = n!, a„ = (-1)"
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Zadání posloupnosti
Posloupnosti, stejně jako mnohá jiná zobrazení, mohou být zadány více způsoby:
• Výčtem členů,
např.jl, 2,1, 2,... }
9 Rekurentním vzorcem,
např. an+i = an + 2, a± = 1 nebo an+2 = 3n+i + a„, ai = a2 = 1
• Explicitním vzorcem pro n-tý člen,
např. an = 4,, a„ = n!, a„ = (-1)"
V předešlých příkladech jsme se již setkali se zadáním posloupnosti. Uvedenému způsobu říkáme pomocí výčtu členů. Správně bychom měli říci, že jsme zadali posloupnosti pomocí výčtu prvních několika členů.
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Posloupnosti zadané rekurentně a explicitně
U kol:
Zadejte posloupnost lichých čísel {1, 3, 5, 7,...}
□ i5P
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Posloupnosti zadané rekurentně a explicitně
Ukol:
Zadejte posloupnost lichých čísel {1, 3, 5, 7,...} O rekurentním vzorcem,
□ i5P
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Posloupnosti zadané rekurentně a explicitně
Ukol:
Zadejte posloupnost lichých čísel {1, 3, 5,7,...} O rekurentním vzorcem,
3n+l = 3n + 2
□ i5P
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Posloupnosti zadané rekurentně a explicitně
Ukol:
Zadejte posloupnost lichých čísel {1, 3, 5, 7,...} O rekurentním vzorcem,
3n+l = 3n + 2
Q explicitním vzorcem.
□ i5P
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Posloupnosti zadané rekurentně a explicitně
Ukol:
Zadejte posloupnost lichých čísel {1, 3, 5,7,...} O rekurentním vzorcem,
3n+l = 3n + 2
O explicitním vzorcem.
an = -l + 2n
□ i5P
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Vlastnosti posloupností
Již jsme řekli, že posloupnost je speciálním druhem zobrazení
jehož definičním oborem jsou přirozená čísla (nebo jejich část). Proto vlastnosti posloupností budou podobné jako vlastnosti funkcí
Monotonie - tendence chování posloupnosti s každým dalším členem
9 rostoucí,
• klesající,
• nerostoucí,
• neklesající.
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Monotonie
Rostoucí posloupnost
0
První čtyři členy posloupnosti an Klesající posloupnost:
= 2 • n.
4. f
3. --2. --1. --
3\
32
33
34
0
1.
2.
3.
4.
První čtyři členy posloupnosti an+\ —     ai = A
Lukáš Kokrda
Posloupnosti a limity
4.
=       vT) O
M om oto nie
Neklesající
Prvních šest členů posloupnosti an = {1,1,2,3,3,4. Nerostoucí posloupnost:
5. f...........#.........#.........é3
4. --3. -2. --1. --
0
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Prvních šest členů posloupnosti an = {5, 5, 5,4, 3, 2,1
Lukáš Kokrda
Posloupnosti a limity
Omezenost
Ohraničenost nám u posloupností udává informaci o tom, zda má posloupnost nějakou mez.
Například posloupnost, která pro žádný člen nenabývá hodnoty menší než nula. Pak o takové posloupnosti řekneme, že je zdola ohraničená.
Rozlišujeme tyto případy ohraničenosti:
• shora ohraničená,
• zdola ohraničená,
o ohraničená (současně zdola i shora), 9 neohraničená.
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Omezenost
Shora ohraničená:
Horní mez
Shora ohraničená posloupnost an — 1 — n.
Zdola ohraničená:
5. 4-
31
4. --3. --
2.--------
j-------
32
34
33
Dolnf mez
-1-
0
Zdola ohraničená posloupnost an — {n — 3)2 + 1.
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Speciální posloupnosti
Existuje více druhů posloupností:
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Speciální posloupnosti
Existuje více druhů posloupností: O aritmetická posloupnost, an = ao + n • d
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Speciální posloupnosti
Existuje více druhů posloupností: O aritmetická posloupnost, an = ao + n • d O geometrická posloupnost, an = ao • qn
□ e
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Speciální posloupnosti
Existuje více druhů posloupností: O aritmetická posloupnost, an = ao + n • d Q geometrická posloupnost, an = ao • qn O Fibonacciho posloupnost, an+2 = ^n+i + ^n, ai = 1, a2 = 1
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Speciální posloupnosti
Existuje více druhů posloupností: O aritmetická posloupnost, an = ao + n • d Q geometrická posloupnost, an = ao • qn Q Fibonacciho posloupnost, an+2 — an+\ + an O harmonická posloupnost, an =   J" ,
□
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Speciální posloupnosti
Existuje více druhů posloupností: O aritmetická posloupnost, an = ao + n • d O geometrická posloupnost, an = ao • qn O Fibonacciho posloupnost, an+2 = ^n+i + ^n, ai = 1, a2 = 1 O harmonická posloupnost, an = aQ+n.d Q aritmeticko-geometrická posloupnost. an = (ao + n • c/) • qn
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Speciální posloupnosti
Existuje více druhů posloupností:
O aritmetická posloupnost, an = ao + n • d
O geometrická posloupnost, an = ao • qn
O Fibonacciho posloupnost, an+2 = ^n+i + ^n, ai = 1, a2 = 1
O harmonická posloupnost, an = aQ+n.d
Q aritmeticko-geometrická posloupnost. an = (ao + n • c/) • qn V této přednášce se více zaměříme na první dvě
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Fibonacciho posloupnost - jen jako zajímavost
Jako Fibonacciho posloupnost je v matematice označována nekonečná posloupnost přirozených čísel, začínající 1,1, 2, 3, 5, 8,13, 21,... (čísla nacházející se ve Fibonacciho posloupnosti jsou někdy nazývána Fibonacciho čísla), kde každé číslo je součtem dvou předchozích.
Zlatý řez r = lim ^n±1
□       i5P        - =
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Aritmetická posloupnost
Aritmetická posloupnost je druhem matematické posloupnosti, která se vyznačuje stálým rozdílem mezi libovolnými dvěma sousedními členy. Tento stálý rozdíl se nazývá diference a značí se písmenem d.
Pozor, číslo d může mít i zápornou hodnotu nebo může být rovno nule!
Rekurentní zápis: an+i = an + d Explicitní zápis: an = ao + n • d
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Aritmetická posloupnost
Setkáváme se i s případy, kdy nás zajímá hodnota nějakého členu posloupnosti, ale namísto prvního členu a\ známe hodnotu jiného.
Vzoreček
Vzorec r-tého členu z s-tého Jedná se o vzorec, který se označuje jako vzorec r-tého členu z s-tého a zní
ar = as + (r — s) • d.
Zde je ar hledaný člen a as člen, který známe. Vzorec pro určení diference
i    3r as
d —-
r — s
Pokud bychom položili r — n a s = 1, pak obdržíme
3n = 3i + (r? - 1) • d.
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Geometrická posloupnost
Geometrická posloupnost je druh matematické posloupnosti, kde každý člen kromě prvního je stálým násobkem předchozího členu. Tento násobek se nazývá kvocient geometrické posloupnosti, značí se q, a pro posloupnosti s nenulovými členy je roven podílu libovolného členu kromě prvního a členu předchozího.
Rekurentní zápis: an+i = an • q
Explicitní zápis: an = ao • qn
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Geometrická posloupnost
Setkáváme se i s případy, kdy nás zajímá hodnota nějakého členu posloupnosti, ale namísto prvního členu a\ známe hodnotu jiného.
Vzoreček
Vzorec r-tého členu z s-tého Jedná se o vzorec, který se označuje jako vzorec r-tého členu z s-tého a zní
ar = as.
Zde je ar hledaný člen a as člen, který známe. Vzorec pro určení kvocientu
Pokud bychom položili r = n a s = 1, pak obdržíme
an = ai • q{n-1}.
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Sumační zápisy
Někdy je třeba sečíst určitý počet, nebo dokonce všechny členy posloupnosti. Tento problém lze zapsat celým výčtem, který bývá značně rozsáhlý, nebo zkrácený, kde se vypíše několik členů součtu a pomocí „..." se zápis zkrátí, ale zde může dojít k nepřesnostem, či dokonce k nepochopení záměru. Z tohoto důvodu se zavedly takzvané sumy.
• Znak     označuje součet, Yl označuje násobení
• / = 1 určuje, jak rozlišujeme jednotlivé prvky a zároveň od které hodnoty začínáme
• n určuje, kterou hodnotou indexu končíme
n
n
Zápis násobení || a
i=i
□       i5P        - =
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Často používané sumační triky
V některých případech nechcete sčítat všechny prvky, ale například všechny sudé, liché, případně střídavě měnit znaménka vybraných
v I o
clenu
n
9 Součet sudých členů ^a2/
i=l
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Často používané sumační triky
V některých případech nechcete sčítat všechny prvky, ale například všechny sudé, liché, případně střídavě měnit znaménka vybraných
v I o
clenu
n
9 Součet sudých členů ^a2/
i=l n
• Součet lichých členů     a2/-i (součet od 1.)
i=l
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Často používané sumační triky
V některých případech nechcete sčítat všechny prvky, ale například všechny sudé, liché, případně střídavě měnit znaménka vybraných
v I o
clenu
n
9 Součet sudých členů ^a2/
i=l n
• Součet lichých členů     a2/-i (součet od 1.)
i=l n
• Součet lichých členů     a2/+i (součet od 3.)
i=l
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Často používané sumační triky
V některých případech nechcete sčítat všechny prvky, ale například všechny sudé, liché, případně střídavě měnit znaménka vybraných
v I o
clenu
n
9 Součet sudých členů ^a2/
i=l n
• Součet lichých členů     a2/-i (součet od 1.)
i=l n
• Součet lichých členů     a2/+i (součet od 3.)
i=l
n
• Střídání znamének        l)'a/ (1- záporný)
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Často používané sumační triky
V některých případech nechcete sčítat všechny prvky, ale například všechny sudé, liché, případně střídavě měnit znaménka vybraných
v I o
clenu
n
9 Součet sudých členů ^a2/
i=l n
• Součet lichých členů     a2/-i (součet od 1.)
i=l n
• Součet lichých členů     a2/+i (součet od 3.)
i=l
n
• Střídání znamének ^(—l)'a/ (1- záporný)
n
o Střídání znamének        l)/+1a; (1. kladný)
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Procvičování zápisů
• Zapište součet druhých mocnin prvních 10 členů
□ i5P
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Procvičování zápisů
• Zapište součet druhých mocnin prvních 10 členů
10
i=l
• Zapište součet rozdílů po sobě jdoucích lichých a sudých 10
v I o
clenu
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Procvičování zápisů
Zapište součet druhých mocnin prvních 10 členů
10
E3?
2
a
i=l
9 Zapište součet rozdílů po sobě jdoucích lichých a sudých
v I o
clenu
10
^~^(—l)/+1a; aletrnativně ^^32/-i — ^^2/
i=i i=i i=i
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Procvičování zápisů
• Zapište aritmetický průměr posloupnosti o 100 členech
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Procvičování zápisů
• Zapište aritmetický průměr posloupnosti o 100 členech
100
£3/
100
• Zapište geometrický průměr n členů
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Procvičování zápisů
• Zapište aritmetický průměr posloupnosti o 100 členech
100
£3/
100
• Zapište geometrický průměr n členů
\í=i
o Zapište součet čísel od 1 do 100
□ ►   4 & ►   <       ► 4
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Procvičování zápisů
• Zapište aritmetický průměr posloupnosti o 100 členech
100
£3/
100
• Zapište geometrický průměr n členů
\í=i
o Zapište součet čísel od 1 do 100
100
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Procvičování zápisů
• Definujte skalární součin dvou vektorů pomocí su
□ i5P
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Procvičování zápisů
• Definujte skalární součin dvou vektorů pomocí sumy
n
u - v = ^2(Ui • V i)
i=l
9 Definujte součin matic pomocí sumy C = A • B
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Procvičování zápisů
• Definujte skalární součin dvou vektorů pomocí sumy
n
u - v = ^2(Ui • V i)
i=l
9 Definujte součin matic pomocí sumy C = A • B
m k=l
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Sumační zápis - dvojitá suma
Některé zápisy jsou príliš složité na to aby je bylo možné zapsat pomocí jedné sumy. Například zápis součtu všech prvků matice A.
n     m ním \
YY au Pf'Padně Y Yau
i=lj=l i=l  \j=l J
Dvojitá suma jde použít i k sofistikovanějším zápisům, například součtu prvků pod hlavní diagonálou matice včetně diagonály
n i
;=i j=i
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Aritmetická posloupnost
U kol: Sečtěte čísla od 1 do sta.
Tady víc než kde jinde platí, že matematika není o počítání, ale o tom jak se počítání vyhnout.
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Aritmetická posloupnost
Seřadíme za sebe všechna čísla od 1 do 100 a utvoříme dvoj první číslo s poledním, druhé s předposledním, atd.
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Aritmetická posloupnost
Seřadíme za sebe všechna čísla od 1 do 100 a utvoříme dvojice: první číslo s poledním, druhé s předposledním, atd. Součet v každé dvojici bude přesně 101. Dále takovýchto párů vznikne přesně 50, což je polovina z čísla 100. Pak nám už zbyv jen obě čísla vynásobit a výsledek 5050 je na světě.
□       i5P        - =
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Aritmetická posloupnost
Seřadíme za sebe všechna čísla od 1 do 100 a utvoříme dvojice: první číslo s poledním, druhé s předposledním, atd. Součet v každé dvojici bude přesně 101. Dále takovýchto párů vznikne přesně 50, což je polovina z čísla 100. Pak nám už zbývá jen obě čísla vynásobit a výsledek 5050 je na světě.
Tímto způsobem můžeme každou dvojici přepsat jako a± + an a těchto dvojic bude polovina z celkového počtu sčítaných členů. Protože je počet členů r?, potom počet všech dvojic (součtů) je ÍJ. Nyní, když vynásobíme obě čísla, získáme součet sn prvních n členů a odpovídající vzorec je tvaru
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Aritmetická posloupnost
Seřadíme za sebe všechna čísla od 1 do 100 a utvoříme dvojice: první číslo s poledním, druhé s předposledním, atd. Součet v každé dvojici bude přesně 101. Dále takovýchto párů vznikne přesně 50, což je polovina z čísla 100. Pak nám už zbývá jen obě čísla vynásobit a výsledek 5050 je na světě.
Tímto způsobem můžeme každou dvojici přepsat jako a± + an a těchto dvojic bude polovina z celkového počtu sčítaných členů. Protože je počet členů r?, potom počet všech dvojic (součtů) je ÍJ. Nyní, když vynásobíme obě čísla, získáme součet sn prvních n členů a odpovídající vzorec je tvaru
Sn — ô (al + an) '
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Geometrická posloupnost
Pří hře ruleta existuje schéma, které by mělo zaručovat v ideálním případě po několika hrách jistý zisk (pravděpodobně po několika opakování je to zakázané). Sázíme pouze na barvu (červená/černá) první vklad je 10 Kč pokud uhádneme je výhra je 20 Kč, jestliže neuhádneme vsadíme 20 Kč. Uhádneme-li máme 40, neuhádneme vsadíme v další hře 40. Určete: a) kolik utratíme jestliže uspějeme až v šesté hře b) v kolikáté hře musíme uspět, abychom měli zisk právě 10 Kč?
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Geometrická posloupnost
Z řešení předchozího příkladu máme součet prvních 6 členů, lze vyvodit, že
10(2° + 21 + 22 + 23 + 24 + 25) = 10 • (26 - 1).
□       i5P        - =
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Geometrická posloupnost
Z řešení předchozího příkladu máme součet prvních 6 členů, lze vyvodit, že
10(2° + 21 + 22 + 23 + 24 + 25) = 10 • (26 - 1). Kdybychom sázeli trojnásobek změnil by se předchozí zápis 10(3° + 31 + 32 + 33 + 34 + 35) = 10 • (36 - l)/2.
□       i5P        - =
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Geometrická posloupnost
Z řešení předchozího příkladu máme součet prvních 6 členů, lze vyvodit, že
10(2° + 21 + 22 + 23 + 24 + 25) = 10 • (26 - 1). Kdybychom sázeli trojnásobek změnil by se předchozí zápis 10(3° + 31 + 32 + 33 + 34 + 35) = 10 • (36 - l)/2.
Vzoreček
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Limita posloupnosti
Posloupnost {an £ R}^Li má vlastní limitu A (konverguje k limitě A G IR, je konvergentní) jestliže ke každému e > 0 existuje r?o G N takové, že pro všechna n > r?o platí
an — A < e.
a
+ n
A+E A A-e
__ ♦___+___+ __ ♦
o      o      * *
T-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-=*
0
n
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Limita posloupnosti
Neexistence limity
			
	n < *		
	i   i   i   i   i i 0	1     1     1     1     v    1 1 ♦ 0 *	III5 n o o
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Základní vlastnosti
Posloupnost se nazývá konvergentní, pokud má vlastní (reálnou) limitu A. Posloupnost se nazývá divergentní, pokud není konvergentní.
Nechť (an) a (bn) jsou konvergentní posloupnosti a nechť lim an = A, lim bn = B a c je libovolné reálné číslo.
□       i5P        - =
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Základní vlastnosti
Posloupnost se nazývá konvergentní, pokud má vlastní (reálnou) limitu A. Posloupnost se nazývá divergentní, pokud není konvergentní.
Nechť (an) a (bn) jsou konvergentní posloupnosti a nechť lim an = A, lim bn = B a c je libovolné reálné číslo.Potom jsou konvergentní posloupnosti (an + bn), (an —      (anbn), (c • an) a platí
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Základní vlastnosti
Posloupnost se nazývá konvergentní, pokud má vlastní (reálnou) limitu A. Posloupnost se nazývá divergentní, pokud není konvergentní.
Nechť (an) a (bn) jsou konvergentní posloupnosti a nechť lim an = A, lim bn = B a c je libovolné reálné číslo.Potom jsou konvergentní posloupnosti (an + bn), (an —      (anbn), (c • an) a platí
lim(an + bn) = lim an + lim bn = /4 + 6 lim(an — bn) = lim an \\\r\ bn = A — B lim(anbn) = lim an lim bn = /4B lim(c • an) = c • lim an = c • A
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Výpočet limit
Nyní k samotnému výpočtu limit, jedná se pouze o „dosazení" požadovaného „čísla" do daného předpisu (v případě posloupností oc), pokud výsledek je reálné číslo, pak je limita rovna tomuto číslu. Může ale dojít k takzvaným neurčitým výrazům
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Výpočet limit
Nyní k samotnému výpočtu limit, jedná se pouze o „dosazení" požadovaného „čísla" do daného předpisu (v případě posloupností oc), pokud výsledek je reálné číslo, pak je limita rovna tomuto číslu. Může ale dojít k takzvaným neurčitým výrazůmNeurčité
výrazy:        g, l°°,oc - oc
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Výpočet limit
Nyní k samotnému výpočtu limit, jedná se pouze o „dosazení" požadovaného „čísla" do daného předpisu (v případě posloupností oc), pokud výsledek je reálné číslo, pak je limita rovna tomuto číslu. Může ale dojít k takzvaným neurčitým výrazůmNeurčité
výrazy:        g, l°°,oc - oc
Pokud limita po dosazení vyjde v jednom z výše uvedeném tvaru je třeba ji upravit.
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Výpočet limit
Nyní k samotnému výpočtu limit, jedná se pouze o „dosazení" požadovaného „čísla" do daného předpisu (v případě posloupností oc), pokud výsledek je reálné číslo, pak je limita rovna tomuto číslu. Může ale dojít k takzvaným neurčitým výrazůmNeurčité
výrazy:        g, l°°,oc - oc
Pokud limita po dosazení vyjde v jednom z výše uvedeném tvaru je
třeba ji upravit.
Neplést ale s určitými výrazy
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Výpočet limit
Nyní k samotnému výpočtu limit, jedná se pouze o „dosazení" požadovaného „čísla" do daného předpisu (v případě posloupností oc), pokud výsledek je reálné číslo, pak je limita rovna tomuto číslu. Může ale dojít k takzvaným neurčitým výrazůmNeurčité
výrazy:        g, l°°,oc - oc
Pokud limita po dosazení vyjde v jednom z výše uvedeném tvaru je
třeba ji upravit.
Neplést ale s určitými výrazy
Určité výrazy: ^ = 0, ±± = ±oc, £ = 0
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Výpočty limit - příklady
Určete limitu lim -
n—>oo
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Výpočty limit - příklady
Určete limitu lim -
/7—>00 11
Určete limitu lim -Jr
lim —
n^oo n2 n
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Výpočty limit - příklady
Určete limitu lim -
/7—>00 11
lim - = 0
/7—>00 n
Určete limitu lim -Jr
n^oo n2 n
n                 n2 • (i) 0 lim -= lim   „   . Kn\. =-= 0
n-»oo nz — n      n-s>oo p2 ■ (1 — j-j 1—0
.2
Určete limitu lim   2 in7" .>,nnn
^_>-oo n lOOn+4000
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Výpočty limit - příklady
Určete limitu lim -
n—>oo
lim - = 0
/7—>00 n
Určete limitu lim -r-
m —n
n n2 ■ (i)
lim -= lim Kn>
0
..... n. - ..... _ / -t s.
n—>oo nz — n n—>oo n2 ■ íl — -J
3n2
1-0
= 0
Určete limitu lim
n_Voo n2-100n+4000
lim —z---= lim
n-^oo n2 - lOOn + 4000 n^oo
n2-Z
n2 . (i _ 129 + 4000^ !
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Kombinační číslo
Studenti jazykového gymnázia mají na výběr ze čtyř jazyků (angličtiny, němčiny, francouštiny, ruštiny), během studia se budou věnovat právě dvěma jazykům. Kolika způsoby mohou studenti vybírat? Máme množinu J = {A, A/, F, /?}, potom cardJ = 4.
Student tedy může vybírat z:
{A, A/}, {A, F}, {A, /?}, {A/, F}, {A/, /?}, {F, /?}.
□       iS        - =
Kombinační číslo - obecně
Chceme-li vybrat /c-prvkové podmnožiny z n-prvkové množiny, pak toto můžeme vyjádřit kombinačním číslem
n
n\
n
k J k\{n-k)\ n(n - l)(n - 2)... (n - k)\     n(n - l)(n - 2)... (n - k - 1)
k J k\(n-k)\ k\
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Vlastnosti kombinačního čísla
Pro /c, r? G N a n > k platí:
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Modifikujme příklad 1
Při studiu si student vybírá tři jazyky ze čtyř, kde jazyk na prvním místě je hlavní (Cl), jazyk na druhém místě je vedlejší (B2) a na třetím místě je doplňkový jazyk (A2). Vypište všechny možnosti. Pak je zřejmé, že výběr A, A/, R NENI stejný jako výběr A/, /?, A.
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Modifikujme příklad 1
Při studiu si student vybírá tři jazyky ze čtyř, kde jazyk na prvním místě je hlavní (Cl), jazyk na druhém místě je vedlejší (B2) a na třetím místě je doplňkový jazyk (A2). Vypište všechny možnosti. Pak je zřejmé, že výběr A, N, R NENI stejný jako výběr A/, R, A.
A,N,R N,R,A R.A.N A,R,N N AR R,N,A
A,N,F N,F,A F,A,N A,F,N N,A,F F,N,A
A,F,R F,R,A R,A,F A,R,F F,A,R R,F,A
F,N,R N,R,F R,F,N F,R,N N,F,R R,N,F
< □ ► < rSP ► <     > < ■= >     3 -r)c\(y
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Počet všech možností z příkladu výše můžeme vyjádřit jako
kde 6 = 3! =3-2-1.
Tento výpočet můžeme napsat obecně
speciální případ
Na večírek jisté firmy je pro zaměstnance připravena barmanská ahow(B), raut (R), živá hudba (H), degustace vín (D). Žádné dvě akce neprobíhají zároveň. Kolika způsoby může akce na večírku uspořádat?
B,R,H,D   D,B,R,H   H,D,B,R   R,H,D,B B,D,R,H B,H,D,R   B,R,H,D   BfDfHfR ... R, D, H, B   ... ...
B,D,H,R
Počet všech možností můžeme vyjádřit obdobně jako v předchozím příkladu
24-1 4 | = 24 • 1, kde 24 = 4! = 4 • 3 • 2 • 1
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Speciální případ
Tento výpočet lze zobecnit na pro n prvků a vyjádřit pak vzorcem
„i|  n)=n*__-_= ni
n ) n\ • (n - n)\
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Úlohy bez opakování
Postupně jak šla přednáška, tak jsem zavedli Kombinace
K(n, k) =
k\(n-k)\ o Variace
V{n,k) =
(n-k) • Permutace
P(n) = n\
□
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity
Úlohy s opakování
Pro celkovou ucelenost, zavedeme všechny předchozí možnosti s opakováním:
• Kombinace
• Variace
V'(n,k) = nk
• Permutace
P'(n\= ( (kl + k2 ■ ■ ■ kn)\ \
r^n)    \   k1\k2\...kn )
Lukáš Kokrda Posloupnosti a limity