Nerovnice Lukáš Kokrda Ekonomicko správní fakulta Masarykova Universita podzim 2020 Lukáš Kokrda Nerovnice Nerovnice Zavedení pojmů nerovnice: Jsou dány dva výrazy L(x) a P(x) s proměnnou x. Mají se určit hodnoty této proměnné z oboru M, pro něž platí L(x) < P(x), resp.L(x) > P(x) nebo L(x) < P(x), resp.L(x) > P(x). Zápis úlohy v některém z uvedených tvarů se nazývá nerovnice. Zavádí se obdobná terminologie jako u rovnic. Lukáš Kokrda Nerovnice Rozdíly oproti rovnicím - úpravy o násobení konstantou c • když c > 0 L(x) > P(x) c • L(x) > c ■ P(x) když c < 0 L(x) > P(x) c ■ L(x) < c ■ P(x) 9 Příklad x - 3 > 2x - 5 □ l5P Lukáš Kokrda Nerovnice Rozdíly oproti rovnicím - úpravy o násobení konstantou c • když c > 0 L(x) > P(x) c • L(x) > c ■ P(x) když c < 0 L(x) > P(x) c ■ L(x) < c ■ P(x) 9 Příklad x - 3 > 2x - 5 -x > -2 (-1) □ i5P Lukáš Kokrda Nerovnice Rozdíly oproti rovnicím - úpravy o násobení konstantou c • když c > 0 L(x) > P(x) =► c ■ L(x) > c ■ P{x) • když c < 0 L{x) > P(x) =► c ■ L(x) < c ■ P{x) 9 Příklad x - 3 > 2x - 5 -x > -2 /-(-l) x < 2 □ i5P Lukáš Kokrda Nerovnice Kvadratická nerovnice - řešený příklad Úprava rovnice x2 - 25 > 3x + 15 Lukáš Kokrda Nerovnice Kvadratická nerovnice - řešený příklad Úprava rovnice x2 - 25 > 3x + 15 x2 - 3x - 10 > 0 Lukáš Kokrda Nerovnice Kvadratická nerovnice - řešený příklad Úprava rovnice x2 - 25 > 3x + 15 x2 - 3x - 10 > 0 (x + 2) • (x - 5) > 0 Lukáš Kokrda Nerovnice Kvadratická nerovnice - řešený příklad Úprava rovnice x" - x2 -3x (x + 2) • (x 25 10 5) > 3x + 15 > 0 > 0 Vlastní řešení -2 x + 2 - + + x-5 - - + + - + Lukáš Kokrda Nerovnice □ i5P Kvadratická nerovnice - řešený příklad Úprava rovnice x" - x2 -3x (x + 2) • (x 25 10 5) > 3x + 15 > 0 > 0 Vlastní řešení -2 x + 2 - + + x-5 - - + + - + Řešení x £ (—oo, —2} U (5, oc) Lukáš Kokrda Nerovnice □ i5P Kvadratická nerovnice - sami 2x2 + 3x - 2 < x2 + 2x - 3 Lukáš Kokrda Nerovnice Kvadratická nerovnice - sami 2x2 + 3x - 2 < x2 + 2x - 3 x2 + x + 1 < 0 Lukáš Kokrda Nerovnice Kvadratická nerovnice - sami 2x2 + 3x - 2 < x2 + 2x - 3 x2 + x + 1 < 0 • Diskriminant Lukáš Kokrda Nerovnice Kvadratická nerovnice - sami 2x2 + 3x - 2 < x2 + 2x - 3 x2 + x + 1 < 0 • Diskriminant D = 1 - 4 = -3 Lukáš Kokrda Nerovnice Kvadratická nerovnice - sami 2x2 + 3x - 2 < x2 + 2x - 3 x2 + x + 1 < 0 Diskriminant • Rešení D = 1 -4 = -3 x G 0 Lukáš Kokrda Nerovnice Kvadratická nerovnice - teď něco „normálního" (x- 2)(x + 3)(x- 5) > 0 Lukáš Kokrda Nerovnice □ i5P Kvadratická nerovnice - teď něco „normálního" (x-2)(x + 3)(x-5) > 0 -3 x- 2 + + Lukáš Kokrda Nerovnice □ i5P Kvadratická nerovnice - teď něco „normálního" (x- 2)(x + 3)(x- 5) > 0 -3 2 5 x- 2 - - + + x + 3 - + + + Lukáš Kokrda Nerovnice □ i5P Kvadratická nerovnice - teď něco „normálního" (x- 2)(x + 3)(x- 5) > 0 -3 2 5 x- 2 - - + + x + 3 - + + + x - 5 - - - + Lukáš Kokrda Nerovnice □ i5P Kvadratická nerovnice - teď něco „normálního" (x- 2)(x + 3)(x- 5) > 0 -3 2 5 x- 2 - - + + x + 3 - + + + x - 5 - - - + - + - + Lukáš Kokrda Nerovnice □ i5P Kvadratická nerovnice - teď něco „normálního" (x- 2)(x + 3)(x- 5) > 0 -3 2 5 x- 2 - - + + x + 3 - + + + x - 5 - - - + - + - + • Řešení x e (-3, 2} U (5, oo) Lukáš Kokrda Nerovnice □ i5P Nerovnice Příklad: V K. řešte nerovnici x+ 1 4-x ---< 0 x + 2 1-x ~ Lukáš Kokrda Nerovnice Nerovnice Příklad: V K. řešte nerovnici x+ 1 4-x ---< 0 x + 2 1-x ~ Řešení: Sečteme výrazy vlevo: (x + l)(l-x)-(4-x)(x + 2) (x + 2)(l-x) Lukáš Kokrda Nerovnice Nerovnice Příklad: V M řešte nerovnici x + 1 4 - x x + 2~ 1 -x < 0 Řešení: Sečteme výrazy vlevo: (x + l)(l-x)- (4-x)(x + 2) (x + 2)(l-x) < 0 -2x-7 < 0 (x + 2)(l-x) Najdeme kořeny čitatele: —2x — 7 = 0 <^ x = —3,5 Lukáš Kokrda Nerovnice Nerovnice Příklad: V R řešte nerovnici x + 1 4-x x + 2 1 -x < 0 Řešení: Sečteme výrazy vlevo: (x + l)(l-x)-(4-x)(x + 2) (x + 2)(l-x) < 0 -2x-7 < 0 (x + 2)(l-x) Najdeme kořeny čitatele: — 2x — 7 = 0 44> x Najdeme kořeny jmenovatele: (x + 2)(1 - x) = 0 O xi = -2 a x2 = 1. = -3,5 Lukáš Kokrda Nerovnice Nerovnice -2x-7 (x + 2)(l-x) < 0 Lukáš Kokrda Nerovnice Nerovnice -2x-7 (x + 2)(l-x) < 0 -3,5 -2 -2x - 7 + Lukáš Kokrda Nerovnice Nerovnice -2x-7 (x + 2)(l-x) < 0 -3,5 -2 -2x - 7 + - - - x + 2 - + + Lukáš Kokrda Nerovnice Nerovnice -2x-7 (x + 2)(l-x) < 0 -3,5 -2 -2x - 7 + - - - x + 2 - + + 1 -x + + + - Lukáš Kokrda Nerovnice Nerovnice -2x-7 (x + 2)(l-x) < 0 -3,5 -2 -2x - 7 + - - - x + 2 - + + 1 -x + + + - - + - + Lukáš Kokrda Nerovnice Nerovnice -2x-7 (x + 2)(l-x) " -3,5 -2 1 -2x - 7 + - - - x + 2 - + + 1 -x + + + - - + - + Z tabulky je zřejmé, že řešením jsou intervaly (-oo,-3, 5) U (-2,1) Lukáš Kokrda Nerovnice □ i5P Nerovnice - sami x + 6 x + 1 < 2 Lukáš Kokrda Nerovnice Nerovnice - sami x + 6 x + 1 < 2 x + 6 x + 1 - 2 < 0 Lukáš Kokrda Nerovnice Nerovnice - sami x + 6 x + 1 < 2 x + 6 x + 1 - 2 < 0 4-x x + 1 < 0 Lukáš Kokrda Nerovnice Nerovnice - sami x + 6 x + 1 < 2 x + 6 x + 1 - 2 < 0 4-x x + 1 < 0 -1 Lukáš Kokrda Nerovnice Nerovnice - sami x + 6 x + 1 < 2 x + 6 x + 1 - 2 < 0 4-x x + 1 < 0 -1 4-x + + Lukáš Kokrda Nerovnice Nerovnice - sami x + 6 - < 2 x + 1 - x + 6 —--2 < 0 x + 1 4-x -7 <0 x + 1 -1 4 4-x + + - x + 1 - + + Lukáš Kokrda Nerovnice Nerovnice - sami x + 6 - < 2 x + 1 - x + 6 —--2 < 0 x + 1 4-x -7 <0 x + 1 -1 4 4-x + + - x + 1 - + + - + - Lukáš Kokrda Nerovnice Nerovnice - sami x + 6 x + 1 < 2 x + 6 x + 1 - 2 < 0 4-x x + 1 < 0 -1 4 4-x + + - x + 1 - + + - + - Z tabulky je zřejmé, že řešením jsou intervaly (—oo, —1) U (—2,1) Lukáš Kokrda Nerovnice Další typy nerovnic Příklad: ■v Reste nerovnici x + 3 < V*+ 33 Definiční obor rovnice jsou všechna x £ (—33, oc). Lukáš Kokrda Nerovnice Další typy nerovnic Příklad: ■v Reste nerovnici x + 3 < Vx + 33 Definiční obor rovnice jsou všechna x G (—33, oc). Jestliže jsou obě strany rovnice nezáporné můžeme umocnit na druhou. To platí pro x > —3. Úlohu dělíme na dvě části: Lukáš Kokrda Nerovnice □ S1 Další typy nerovnic Příklad: ■v Reste nerovnici x + 3 < Vx + 33 Definiční obor rovnice jsou všechna x £ (—33, oc). Jestliže jsou obě strany rovnice nezáporné můžeme umocnit na druhou. To platí pro x > —3. Úlohu dělíme na dvě části: a) pro interval x £ (—33, —3) platí, že levá strana je záporná a pravá nezáporná, tedy nerovnice je splněna, pro všechna x G (-33, -3), tj. Ki = (-33, -3) Lukáš Kokrda Nerovnice Další typy nerovnic Příklad: ■v Reste nerovnici x + 3 < V*+ 33 Definiční obor rovnice jsou všechna x G (—33, oc). Jestliže jsou obě strany rovnice nezáporné můžeme umocnit na druhou. To platí pro x > —3. Úlohu dělíme na dvě části: a) pro interval x G (—33, —3) platí, že levá strana je záporná a pravá nezáporná, tedy nerovnice je splněna, pro všechna x G (-33, -3), tj. Ki = (-33, -3) b) pro interval x G (—3,oc) jsou obě strany nerovnice nezáporné, proto umocníme: (x + 3)2 < x + 33 Lukáš Kokrda Nerovnice Další typy nerovnic Příklad: ■v Reste nerovnici x + 3 < V*+ 33 Definiční obor rovnice jsou všechna x G (—33, oc). Jestliže jsou obě strany rovnice nezáporné můžeme umocnit na druhou. To platí pro x > —3. Úlohu dělíme na dvě části: a) pro interval x G (—33, —3) platí, že levá strana je záporná a pravá nezáporná, tedy nerovnice je splněna, pro všechna x G (-33, -3), tj. Ki = (-33, -3) b) pro interval x G (—3,oc) jsou obě strany nerovnice nezáporné, proto umocníme: (x + 3)2 < x + 33 x2 + 6x + 9 < x + 33 Lukáš Kokrda Nerovnice Další typy nerovnic Příklad: ■v Reste nerovnici x + 3 < V*+ 33 Definiční obor rovnice jsou všechna x G (—33, oc). Jestliže jsou obě strany rovnice nezáporné můžeme umocnit na druhou. To platí pro x > —3. Úlohu dělíme na dvě části: a) pro interval x G (—33, —3) platí, že levá strana je záporná a pravá nezáporná, tedy nerovnice je splněna, pro všechna x G (-33, -3), tj. Ki = (-33, -3) b) pro interval x G (—3,oc) jsou obě strany nerovnice nezáporné, proto umocníme: (x + 3)2 < x + 33 x2 + 6x + 9 < x + 33 x2 + 5x - 24 < 0 Lukáš Kokrda Nerovnice Další typy nerovnic Příklad: ■v Reste nerovnici x + 3 < V*+ 33 Definiční obor rovnice jsou všechna x £ (—33, oc). Jestliže jsou obě strany rovnice nezáporné můžeme umocnit na druhou. To platí pro x > —3. Úlohu dělíme na dvě části: a) pro interval x e (—33, —3) platí, že levá strana je záporná a pravá nezáporná, tedy nerovnice je splněna, pro všechna x G (-33, -3), tj. Ki = (-33, -3) b) pro interval x e (—3, oo) jsou obě strany nerovnice nezáporné, proto umocníme: (x + 3)2 < x + 33 x2 + 6x + 9 < x + 33 x2 + 5x - 24 < 0 (x + 8)(x-3) < 0 Lukáš Kokrda Nerovnice Další typy nerovnic Kořeny levé strany xi = —8 a X2 = 3 rozdělí reálná čísla na tři intervaly k = (-00, -8), k = (-8,3), l3 = (3,00) -8 □ i5P - = Lukáš Kokrda Nerovnice Další typy nerovnic Kořeny levé strany xi = —8 a X2 = 3 rozdělí reálná čísla na tři intervaly k = (-00, -8), k = (-8,3), l3 = (3,00) -8 x + 8 + + □ i5P - = Lukáš Kokrda Nerovnice Další typy nerovnic Kořeny levé strany xi = —8 a X2 = 3 rozdělí reálná čísla na tři intervaly /i = (-00, -8), h = (-8,3), l3 = (3, 00) -8 3 x + 8 - + + x- 3 - - + □ i5P - = Lukáš Kokrda Nerovnice Další typy nerovnic Kořeny levé strany xi = —8 a X2 = 3 rozdělí reálná čísla na tři intervaly /i = (-00, -8), h = (-8,3), l3 = (3, 00) -8 3 x + 8 - + + x- 3 - - + + - + □ i5P - = Lukáš Kokrda Nerovnice Další typy nerovnic Kořeny levé strany xi = —8 a X2 = 3 rozdělí reálná čísla na tři intervaly /i = (-00, -8), h = (-8,3), l3 = (3, 00) -8 3 x + 8 - + + x- 3 - - + + - + (-8,3), tedy K2 = (-3,00) n (-8.3) = (-3,3) □ i5P - = Lukáš Kokrda Nerovnice Další typy nerovnic Kořeny levé strany xi = —8 a X2 = 3 rozdělí reálná čísla na tři intervaly /i = (-00, -8), h = (-8,3), l3 = (3, 00) -8 3 x + 8 - + + x- 3 - - + + - + (-8,3), tedy K2 = (-3, 00) n (-8.3) = (-3,3) Sjednocením výsledků z bodu a) a bodu b) dostáváme závěr: K = Ki U K2 = (-33,3). Lukáš Kokrda Nerovnice Další typy nerovnic Příklad: ■v Řešte nerovnici |og2(|og3(loSo,5(x))) > 0 Lukáš Kokrda Nerovnice Další typy nerovnic Příklad: ■v Reste nerovnici log2(log3(log0?5(x))) > 0 Řešení získáme postupným odlogaritmováním: Lukáš Kokrda Nerovnice Další typy nerovnic Příklad: ■v Reste nerovnici log2(log3(logn 5(x))) > 0 Řešení získáme postupným odlogaritmováním log3 (log0;5(x)) >2° log3 log0,5x >! Lukáš Kokrda Nerovnice Další typy nerovnic Příklad: ■v Reste nerovnici log2(log3(log0?5(x))) > 0 Řešení získáme postupným odlogaritmováním: log3 (log0>5(x)) >2° log3 log0,5x >1 Znaménko nerovnosti jsme neotáčeli, protože základ je větší než 1 Pokračujeme v odlogaritmování: Lukáš Kokrda Nerovnice Další typy nerovnic Příklad: ■v Reste nerovnici log2(log3(logn 5(x))) > 0 Řešení získáme postupným odlogaritmováním: log3 (log0;5(x)) >2° log3 log0,5x >! Znaménko nerovnosti jsme neotáčeli, protože základ je větší než 1 Pokračujeme v odlogaritmování: log0;5 x >3X log0;5 x >3 Lukáš Kokrda Nerovnice Další typy nerovnic Pokračujeme v odlogaritmování, tentokrát budeme nerovnost otáčet protože základ logaritmu je menší než 1. Lukáš Kokrda Nerovnice Další typy nerovnic Pokračujeme v odlogaritmování, tentokrát budeme nerovnost otáčet protože základ logaritmu je menší než 1. x <(0,5)3 x 0 navíc logo,5x > 0 a log3 0°go,5x) > °- Lukáš Kokrda Nerovnice Pokračujeme v odlogaritmování, tentokrát budeme nerovnost otáčet protože základ logaritmu je menší než 1. x <(0,5)3 x 0 navíc logo,5x > 0 a log3 0°go,5x) > °- Závěr: všechna x z intervalu (0,1/8) splňují nerovnici výše.