PRÁCE OPRAVOVANÁ TUTOREM Matematika 2, kombinované studium, 2022 JMÉNO (hůlkovým písmem): ............................................. UČO: ............................................. Datum odevzdání: ............................................. Podpis: ............................................. POT musí být vypracován RUČNE (prosím o slušnou úpravu, nečitelné řešení nebude hodnoceno). U úloh se hodnotí nejen výsledné řešení, ale též POSTUP! Pro ověření správnosti výsledků lze použít výpočetní programy. Práci je nutné odevzdat v papírové podobě na posledním tutoriálu nebo vložit naskenovanou jako 1 soubor formátu pdf do odevzdávárny nejpozději do 31.12.2022. Zadání úloh Příklad 1: Pro následující matice najděte vlastní čísla a také vektory, které odpovídají reálným vlastním číslům. -> (si) -> (.15) / 5 0 0 \ / 2 1 -1 \ c) 0 2 0 Id) 0 1 1 I \ 0 0 1 / \ 2 0 -2 / Příklad 2: Určte matici kvadratické formy a pomocí Sylvestrova kritéria rozhodněte o její definitnosti: a) 24x2 + 3y2 - 2yz + 2z2 - 12xy + Axz b) 2x2 - Axy + by2 - 6yz + 3z2 c) —x\ + 4íciíC2 + IOX2X3 + 4^2 + 6x3 d) —x2 + 2xy — 5y2 — 4yz — z2 Příklad 3: Najděte lineární aproximaci (Taylorův polynom prvního řádu) v bodě [1,1] pro funkce a) f(x, y) = e-xy b) f{x,y) = 2ď2-y2 c) f(x,y) = ln(l + xy2) d) f(x,y) = l + ln(2x-y) Příklad 4: Načrtněte uvedené množiny a rozhodněte, zda jsou konvexní: a) {{x,y):x2 + y2>9} b) {{x,y) : xy < 1} c) {(x, y) : x > 0, y>0, xy > 1} d) {(z, ž/) : x + ž/ < 3} Příklad 5: Rozhodněte o konvexitě/konkávnosti uvedených funkcí na množině M = {(x, y), x > 0, a y > 0}. Zdůvodněte! a) z = x + y2 — ex b) z = ex+y - % 2 2 c) z = ln(x + 2i/) d) z = e2aľ'y Příklad 6: Použitím grafické metody řešte problémy lineárního programování a určete, která omezení jsou v bodě optima aktivní (mají nenulovou stínovou cenu). Zapište též duální problém. a) max 3xi + 4^2 s podmínkami | jjj ^2 ~ ^ x\ > 0, x^ > 0 i \ r, i^i- í 4x + 5w < 20 ^ ^ ^ ^ bj max zx + ly s podmínkami < <-oi x > 0, y > 0 —x + 2y > 6 c) max x + j/ s podmínkami ^ x + 2j/ > 10 ,n ■ , > i • f 2x + 3j/ < 12 ^ n ^ 0 d J rran y — x s podmínkami < x > 0, y > z 3x + j/ < 15 ; + 32/ < 12 -2x + 2/ < -1 Příklad 7: Pro každou z úloh formulujte matematický model a výsledný problém lineárního programování řešte graficky. a) Jste vedoucí stavebního úřadu. Vaše oddělení provádí kolaudaci dvou typů nových komerčních budov - čerpacích stanic a restaurací. Závěrečná kolaudace zahrnuje práci tří samostatných inspektorů: instalatéra, elektrikáře a stavebního inspektora. • Instalatér 4 hodiny kontroluje čerpací stanici a 2 hodiny restauraci. • Elektrikář 2 hodiny kontroluje čerpací stanici a 6 hodin restauraci. • Stavební inspektor 4 hodiny kontroluje čerpací stanici a 6 hodin restauraci. S ohledem na dobu potřebnou pro plnění jiných úkolů, instalatér provádí inspekce 28 hodin týdně; elektrikář 30 hodin; a stavební inspektor 36 hodin. Jaký maximální počet komerčních budov dokážete za týden zkontrolovat? b) V keramické dílně vyrábějí designové misky a hrnky. K výrobě je potřeba pouze speciální keramická hlína a kvalifikovaná pracovní síla. Tabulka uvádí náročnost jednotlivých produktů na výrobní zdroje společně s jejich prodejní cenou. Výrobek Práce (hodin/ks) Hlína (kg/ks) Příjem (Kč/ks) Miska 1 0,4 40 Hrnek 2 0,3 50 Dílna má na týden k dispozici 1 pracovníka s 40-hodinovým pracovním týdnem a 12 kg hlíny, odbyt je zajištěn prostřednictvím partnerské firmy. Rozvrhněte výrobu mezi jednotlivé výrobky tak, aby byl maximalizován zisk. c) Město má dvě spalovny komunálního odpadu. Spalovna A zpracuje 1 tunu odpadu za 3,80 EUR a její kapacita je 28 tun denně. Spalovna B s denní kapacitou 30 tun zpracuje 1 tunu odpadu za 4,25 EUR. Město produkuje denně 100 tun odpadu, přičemž veškerý odpad, který se nezpracuje ve spalovnách, musí být uložen na skládce za cenu 5 EUR za tunu. Město chce minimalizovat náklady na zpracování komunálního odpadu, ale musí respektovat environmentálni omezení, která limitují denní produkci znečišťujících látek ve spalovnách na 180 kg uhlovodíků a 640 kg pevných částic. Spalovna A produkuje 3 kg uhlovodíků a 20 kg pevných částic na 1 tunu spáleného odpadu, spalovna B 5 kg uhlovodíků a 10 kg pevných částic na 1 tunu spáleného odpadu. Určete optimální množství odpadu, které má být zpracováno v městských spalovnách. d) Specializovaný zemědělský obchod prodává směsi hnojiv s obchodními názvy Gro-Plus a Crop-Fast. Směsi mají různý obsah účinných látek, viz tabulka: Značka Dusík (kg/balení) Fosfor (kg/balení) Gro-Plus 2 4 Crop-Fast 4 3 Zemědělské družstvo potřebuje pro svá pole minimálně 16 kg dusíku a 24 kg fosforu. Jedno balení Gro-Plus stojí 60 Kč, zatímco balení Crop-Fast je jen za 30 Kč. Navrhněte družstvu, nejlevnější kombinaci hnojiv, tak aby byly splněny požadavky na obsah účinných látek. Příklad 8: Užitím metody Lagrangeových multiplikátorů řešte problém a pomocí zjištěné hodnoty multiplikátoru odhadněte, o kolik se zvýší optimum při změně omezení o 0,1. a) max 21n(ic) + ln(y) za podmínky x + y = 1. b) min 2x + Sy — 4 za podmínky x ■ y = 6. c) min exl2 + ey za podmínky x + 2y = 4. d) min x + 4y2 za podmínky x ■ y = 1. Příklad 9: Pro daný optimalizační problém sestavte Lagrangeovu funkci a vyjádřete Kuhn-Tuckerovy podmínky pro optimální řešení. a) max 2 — x2 — y2 s podmínkami x > 1 a y > 2 b) min x2 + x + y2 za podmínky x2 + y2 < 1. c) min (x + l)2 + \y2 za podmínky 2x + y > 4. d) mm (x — l)2 + 2(y — 2)2 za podmínky x — y > 0. Příklad 10: Spotřebitel má užitkovou funkci F (x, y), kde x je množství výrobku A a y množství výrobku B. Vyjádřete pro něj mezní míru substituce mezi A a B (tj. —y'{x)) a a vyčíslete ji pro x = 1, y = 1. a) F(x,y) = y/ty b) F(x,y) = 2 - ex - ey c) F{x,y) = v^-vVTT d) F(x, y) = ln(l + 2x) + lnfe + 1)