Martin Chvátá 268707@mail.muni.cz BKMMABA - Matematika pro byznysovou analytiku podzimní semestr 2022, Brno Martin Chvátal Úvodní informace Přednášky ► ► ► ► ► Sobota 17.9. 16:00-19:50, P201 Sobota 8.10. 12:00-15:50, P103 Pátek 9.12. 16:00-19:50, P304 Pokud máte jakýkoliv dotaz k čemukoliv během hodiny, rovnou se ptejte, nečekejte s dotazy. V období mezi přednáškami se očekává, že si projdete probranou látku. S případnými dotazy se na mne můžete obrátit na email, Teamsy, případně na začátku následující hodiny. Martin Chvátal Úvodní informace Termín Den Cas Místnost -S7- R Ř+0 0 ► Prosím zapisujte se ideálně už na první termín, aby jste mohli plně využít i termíny opravné (při případném neúspěchu). Martin Chvátal Požadavky pro úspěšné ukončení ► Podrobněji ve Studijních materiálech v ISu, složka Organizační pokyny. ► Odevzdání všech 5ti odpovědníků během semestru (online). ► 1. odpovědník ► 2. odpovědník ► 3. odpovědník ► 4. odpovědník 19.9. -2.10. 10.10. -23.10. 31.10. -14.11 14.11. -28.11 5.12.-19.12. ► 5. odpovědník: ► Odevzdání odpovědníků =4> připuštění ke zkoušce. ► Až 5 bodů za odpovědník (body v poznámkovém bloku v ISu). Martin Chvátal Úvodní informace Požadavky pro úspěšné ukončení ► Zkouška písemná část (60b) na 90 minut, ústní část dobrovolně (až 10b na zlepšení známky). ► Hodnocení: F - do 40ti bodů, E - 40 - 50 (bez) bodů, D - 50 - 60 (bez) bodů, C - 60 - 70 (bez) bodů, B - 70 - 80 (bez) bodů, A - 80 bodů a více. Martin Chvátal Úvodní informace Jakékoli opisování, zaznamenávání nebo vynášení testů, používání nedovolených pomůcek jakož i komunikačních prostředků nebo jiné narušování objektivity zkoušky (zápočtu) bude považováno za nesplnění podmínek k ukončení předmětu a za hrubé porušení studijních předpisů. Následkem toho uzavře vyučující zkoušku (zápočet) hodnocením v ISu známkou "F"a děkan zahájí disciplinární řízení, jehož výsledkem může být až ukončení studia. Martin Chvátal Úvodní informace Obsah přednášek ► 1. blok ► Výroková logika ► Matice ► Lineární nezávislost ► Determinanty a inverzní matice ► Soustavy lineárních rovnic ► 2. blok ► Vlastní čísla a vektory ► Funkce a limity ► Derivace ► 3. blok ► Optimalizace funkce jedné proměnné ► Funkce dvou proměnných ► Neurčitý a určitý integrá Martin Chvátal Úvodní informace Literatura ► SYDS/ETER, Knut, Peter J. HAMMOND, Arne STR0M a Andrés CARVAJAL: Essential mathematics for economic analysis. Fifth edition. Harlow: Pearson, 2016. xvi, 807. ISBN 9781292074610. ► BAUER, Luboš, Hana LIPOVSKÁ, Miloslav MIKULÍK a Vít MIKULÍK: Matematika v ekonomii a ekonomice. První vydání. Praha: Grada Publishing, a.s., 2015. 352 s. ISBN 978-80-247-4419-3. Další literatura je uvedena v informacích o předmětu. Martin Chvátal Přednáška < Martin Chvátal Úvodní informace Výroková logika - výrok Logika - věda, která se zabývá usuzováním, pravdivostí, dokazatelností a vyvratitelností. ► „Číslo 6 je dělitelné 3 a zároveň 4." Výrok: každá oznamovací věta, u které lze určit pravdivost. ► „Jablko je ovoce" (pravdivý výrok). ► „Číslo 8 je prvočíslo" (nepravdivý výrok). ► „ESF je nejlepší fakulta na světě" - NENÍ výrok. Atomický výrok: nejjednodušší výrok. ► „Číslo 6 je dělitelné 3." ► „Číslo 6 je dělitelné 4." Martin Chvátal Výroková logika Výroková logika - spojky Výrokové spojky: A konjunkce - „a" - „a současně", V disjunkce - „nebo", ^> implikace - „jestliže ... pak", <^> ekvivalence - „právě tehdy, když" - „tehdy a jen tehdy, když", txampie Snědl jsem jablko. Snědl jsem hrušku. Snědl jsem jablko a hrušku, (konjunkce) Snědl jsem jablko nebo hrušku, (disjunkce) Jestliže jsem snědl jablko, pak jsem snědl i hrušku, (implikace) Snědl jsem jablko právě tehdy, když jsem snědl hrušku. (ekvivalence) Nesnědl jsem jablko, (negace) negace. Martin Chvátal Výroková logika Výroková logika - formule Formule: složení atomických výroků pomocí spojek. ► Výše uvedené příklady jsou formule. ► Výroky značíme pomocí velkých písmen. xample A A 6, (konjunkce) A V 6, (disjunkce) A ^> 6, (implikace) A <^> 6, (ekvivalence) -A (negace) >4 ß ,Snědl jsem jablko,' Snědl jsem hrušku. Martin Chvátal Výroková logika Výroková logika - pravdivost Pravdivost: ► atomický výrok platí —> pravdivost 1, ► atomický výrok neplatí —> pravdivost 0, ► pro formule viz tabulka níže A B A A B AV B A=> B A^> B 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 111 1 0 0 1 1 0 0 11 >A 0 0 1 1 B -.(yA -.ß) =>■ B B 0 1 0 1 1 0 o o o o Martin Chvátal Výroková logika Výroková logika - pravdivost A<-c(T,T,F,F);B<-c(T,F,T,F) A& B A I B imp<-function(A,B){!A | B} imp(A,B) eqv<-function(A,B){(A& B)|(!A & !B)} eqv(A,B) < □ ► < 3 ► < E ► < E ► Martin Chvátal Výroková logika Výroková logika - pravdivost Negace B A A B /A V B A=> B B 0 0 0 0 -.yA ^B -./W-iß -i/lA-iß -nßA/1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 Martin Chvátal Výroková logika Výroková logika - pravdivost Example Napište pravdivostní tabulku pro formuli A =>- (B A ->(/4 V B)). A B A V B -i(/4 V B) B A ->(A V B) 11 1 0 0 10 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 A=>(BA^(AVB)) 0 0 1 1 ► Tautologie, kontradikce. Martin Chvátal Výroková logika Výroková logika - příklady Pan Spöck každé pondělí, úterý a středu lže, kdežto pan Dat lže ve čtvrtek, pátek a v sobotu. V ostatní dny mluví chlapci pravdu. Jednou se ovšem potkali a proběhl následující rozhovor: Pan Spöck: „Včera jsem lha1 11 Pad Dat: „Jo, já taky." Který je den? Martin Chvátal Výroková logika Výroková logika - příklady Pan Spöck každé pondělí, úterý a středu lže, kdežto pan Dat lže ve čtvrtek, pátek a v sobotu. V ostatní dny mluví chlapci pravdu. Jednou se ovšem potkali a proběhl následující rozhovor: Pan Spöck: „Včera jsem lhal." Pad Dat: „Jo, já taky." Který je den? Spöck Pravda Lež Dat Pravda Lež čtvrtek x x X Martin Chvátal Výroková logika Výroková logika - příklady Ze třídy byla ukradena třídní kniha. Podezřelí jsou Antonín, Barbora a Cyril. Bylo zjištěno, že: V době krádeže nebyl ve třídě Antonín nebo tam nebyla Barbora. Pokud v době krádeže nebyla ve třídě Barbora, nebyl tam ani Antonín Cyril byl ve třídě právě tehdy, když tam nebyl Antonín. Pachatel byl v době krádeže ve třídě sám. U koho má učitel třídní knihu hledat? Martin Chvátal Výroková logika Výroková logika - příklady Exampie Ze třídy byla ukradena třídní kniha. Podezřelí jsou Antonín, Barbora a Cyril. Bylo zjištěno, že: V době krádeže nebyl ve třídě Antonín nebo tam nebyla Barbora. Pokud v době krádeže nebyla ve třídě Barbora, nebyl tam ani Antonín Cyril byl ve třídě právě tehdy, když tam nebyl Antonín. Pachatel byl v době krádeže ve třídě sám. U koho má učitel třídní knihu hledat? A B c -■/I V-iß -.ß ->A C ^^A 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 Martin Chvátal Výroková logika Predikátová logika X Kvatifikátory V Pro všechny - Vx G (-2,5) 3 Existuje - 3x G (—2,5) : |x| < 1. Negace ► -. (Vx : A) 3x : ^A ► -. (3x : A) Vx : ^A < 6 Definice limity L v bodě a y s > 0 35 > 0 : Vx G 0; x — a <5^ \ f{x)-L\ A = B, všechny prvky vynásobíme daným číslem, tzn. bn = c • a;;. Martin Chvátal Matice Operace s maticemi ► ROVNOST: A — B^ pokud mají stejný rozměr a prvky na odpovídajících si pozicích se rovnají, tzn. a,y = b-,j. V " SCITANI: A ± B = C, musí mít stejný rozměr a prvky na odpovídajících si pozicích sečteme/odečteme, tzn. cü ~ 3ü ^ hj. ► NÁSOBENÍ SKALÁREM: c>A = B, všechny prvky vynásobíme daným číslem, tzn. bn = c • a;;. Nalezněte čísla a, í), c G IR, tak aby platila rovnost a 3 b-c c+1 2 3 -2 4 Řešení: a = 2, c = 3, b = 1. Martin Chvátal Matice Určete 2/4 a 2/4 + B. Operace s maticemi Mějme matice Určete 2A a 2A + B. 2A = 2 2 -4 5 2/4 + ß = 9 5 -6 1 Martin Chvátal Matice Operace s maticemi A <- matrix(c(l,-2,l,2.5),2) B <-matrix(c(7,-2,3,-4),2) Násobení skalárem: 2*A 2*A + B Martin Chvátal Matice Operace s maticemi ► NÁSOBENÍ DVOU MATIC: C = AB,kdeA,B je matice o rozměru n x m, resp. m x / a matice C je rozměru n x /. Prvky matice C vzniknou následovně: c,y = X]/ľ=i aik ' ^kj- A-B = 1 • (-1) + 1 2-(-l) + 3 6 2 4 1 (-2)+ 3-3 (-2)+ 4-3 1 • 0 + 1 • (-1) + 31 2-0 + 3-(-I)+ 4-1. Operace s maticemi Example A <- matrix(c(l,2,l,3,3,4),2) B <- matrix(c(-l,-2,3,0,-l,l),3) Maticové násobení: A %*% B B %*% A Operace s maticemi ► asociativita: (A • B) • C = A • (6 • C) ► distributivita zprava: (>A + B) • C = A • C + 6 • C) ► distributivita zleva: A-(B+C) = A- B + A- C ► je-li c £ IR, pak (c - A) - B = A - (c - B) = c - (A - B) ► obecně NEPLATÍ komutativita A - B ^ B • A Example Je-li A = 1 5 7/ |aß=| ( 0 1> \-l V | , pak A - B = 1 r'-l 3^ v-4 íiy 1 , ale Martin Chvátal Matice Jednotková matice ► Pro reálná čísla: a ■ 1 = a = 1 • a. ► Označení: /. Čtvercová matice. Na hlavní diagonále jsou 1 a všude jinde 0. 1 0 0 ••• 0 0 1 0 ••• 0 0 0 1 ••• 0 / 0 0 0- Pak l2. A = A -13 = A. Martin Chvátal Matice xampie A <- matrixícíl^^.S.S.ô)^) 12 <- diag(2) 13 <- matrix(c(l,0,0,0,l,0,0,0,l),3) Musíme násobit matice „správných" rozměrů 12 %*% A A %*% 13 Naopak dostaneme chybu: 13 %*% A A %*% 12 Matice Transponovaná matice ► Prohodíme sloupce a řádky. ► Označení: AT nebo A'. Symetrická matice: A — AT. Martin Chvátal Matice Lineární závislost ► Řekneme, že vektory xi, X2,..., xn jsou lineárně nezávislé, jestliže rovnice anxi + ai2x2 H-----h anxn = 0 má pouze triviální řešení, tzn. au = a\2 = • • • = an = 0. V opačném případě říkáme, že jsou vektory lineárně závislé. ► Lineární kombinace (levá strana), soustava rovnic Mějme u = Q ,v . Zřejmě platí 1 • u + 2 - v = ( 2) + (_2 4-4 2-2 vektory u, v jsou lineárně závislé. Martin Chvátal Matice Lineární závislost Obrázek: Lineárně závislé vektory. Obrázek: Lineárně nezávislé vektory. Martin Chvátal Matice Hodnost matice ► Počet lineárně nezávislých sloupců/řádků matice. ► Značíme h(A). Example 10 0 0 1 0 ) . Pak h(A) 0 0 1 = 2. Martin Chvátal Matice Gaussova eliminační metoda Elementární řádkové úpravy: ► vynásobení řádku nenulovým číslem, ► prohození dvou řádků, ► přičtení libovolného násobku jednoho řádku k řádku jinému. ► Dostáváme ekvivalentní matice (nesou stejnou informaci co se závislosti týče). ► Upravíme do schodovitého tvaru. Example /l 2 3\ /l 2 3\ Z1 2 3 \ y4=íll4J~Í0-l l]-Í0 -1 l] \2 0 6/ \0 -4 0/ \0 0 -4/ h(A) = 3 A^matrixícíl.l^^.l.O.S^.e)^) library(pracma) rref(A) Martin Chvátal Matice Determinant ► Číslo, které přiřadíme čtvercové matici, značíme det(A) nebo A\. ► regulární matice: det(A) 7^ 0 ► singulární matice: det(A) = 0 ► matice lxl: det(a) — \a\ — a a b matice 2x2: det a b c d. c d = ad — be ► matice 3x3: 3ll 3i2 3i3 det ( a2i a22 a23 ) = 331 332 333 311 3i2 3i3 321 322 323 33i 332 333 = 3H322333 + 312323331 + ~ ~ ~ 3333213i2 Determinant Sarrusovo pravidlo (pouze pro matice 3x3) A A T an a\2 &13 vx Ü21 «22 &23 /-X- an «12 &21 &22 / \ Martin Chvátal Matice Determinant - Laplaceův rozvoj ► Sníží řád matice pro výpočet determinantu. ► \A\ = J^/Lií-l)/+7a//lQj\i kde matice C\-} vznikne z matice A vynecháním /-tého řádku a j-tého sloupce. ► Pro jednoduchost vybíráme řádek či sloupec s největším počtem 0. Determinant - Laplaceův rozvoj pak podle druhého řádku + (-1)2+2 • 0 • + (-1)2+4 • 2 • 0-12 11-1 0-10 0 1-1 1-11 0 2-1 + A <- matrix(c(0,1,1,0,1,0,-1,2,-1,0,1,-1,2,2,-1,0),4);(det(A)) □ CP1 ~~ ► ^ = Determinant - Laplaceův rozvoj Je-li A = A\ = {-!} pak podle prvního sloupce + (-l)2+1-l- (-1)3+1 • 1 • 0 + l + (-2) + 0 = -l + (-1)4+1 • 0 • 1- 12 -1 1 -1 2- 10 1-12 0 0 2 -1 1 -1 + Determinant - přímý výpočet ► Má-li matice pod hlavní diagonálou samé 0, pak je determinant roven součinu prvků na hlavní diagonále. 311 312 "' 3i n 0 a22 ' ' ' 32n . A= \ A — 3n • 322 ' ' ' 3 nn 0 0 ... ann ► Pomocí elementárních řádkových úprav ► vynásobení řádku nenulovým číslem ^> determinant daným číslem vydělím, ► prohození dvou řádků ^> determinantu změním znaménko, ► přičtení libovolného násobku jednoho řádku k řádku jinému determinant nezměním. Determinant - přímý výpočet A 0 1 -1 CM 1 0 0 CM 1 0 0 2 0 1 -1 2 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 0 2 -1 0 0 2 -1 0 1 0 0 2 1 0 0 2 0 1 -1 2 0 1 -1 2 0 -1 1 -3 0 0 0 -1 0 2 -1 0 0 0 1 -4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 1 0 2 2 -4 -1 = 1 • 1 • 1 • (-1) = -1 Martin Chvátal Matice Inverzní matice ► pro reálná čísla: a • ^ = a • a 1 = ► Značíme A . Definice: A • A ► čtvercová matice ► regulární matice Examp Je-li A = = A - A 0 1 1 0 pak A'1 = 0 1 1 0 Exampie 0 1-1 10 2 12 1 A <- matrix(c(0,l,l,l,0,2,-l,2,l),3);(solve(A)) Výpočet inverzní matice k A = Martin Chvátal 4 Matice Inverzní matice - Jordánova eliminační metoda ► Zapíšeme rozšířenou matici a pomocí elementárních řádkových úprav získáme inverzní matici Cl*"1)- /\ . . . 0 2 1 -1 2 1 2 -1 1 0 1 0 0 1 -2 1 0 0 1 0 -1 Ověřit. Adjungovaná matice a inverze Adjungovaná matice: adj A = C21 ,n+l Cl2 + |C22 n+2 T (_l)n+l|Cnl| (-l)"+^|Cn2 kde matice C,y vznikly z /4 vynecháním /-tého řádku a 7-tého sloupce. ► Inverzní matice: A'1 = ► determinant musí existovat a být různý od 0. 1 Adjungovaná matice a inverze Exampl / 0 1 -1 Mějme 4 = í 1 0 2 \ 1 2 1 poté adjungovanou matici . Nejprve spočtěme determinant a A\ =0 + 2+ (-2) -0-0-1 T = -1 adj A 4 +1 +2 -3 +1 +1 +2 -1 -1 -4 -3 +2 +1 +1 -1 +2 +1 -1 Dohromady tedy +4 +3 -2 -1 -1 +1 -2 -1 +1 Maticový zápis ► Systém lineárních rovnic: anXi + 312X2 • • • + alm*m 321*1 + 322*2 • • • + 32m*m bi b2 änlXl + 3n2X2 ... + 3 n m ^m Maticový zápis daného systému: = bn 311 312 321 322 3r?l 3n2 • • • 3nm matice soustavy A x = b vektor neznámých vektor pravých stran Martin Chvátal Systém lineárních rovnic Maticový zápis Example Uvažujme systém 2xi + 3x2 - x3 xi - 3x2 + x3 -xi + 2x2 - 3x3 7, 1. Pak maticový zápis tohoto systému je -3 A Martin Chvátal Systém lineárních rovnic Gausova eliminační metoda Převedeme do maticového zápisu ... rozšířená matice soustavy. ► Pomocí elementárních řádkových úprav převedeme rozšířenou matici soustavy do tvaru, aby pod diagonálou byly samé 0. Martin Chvátal Systém lineárních rovnic Gausova eliminační metoda Převedeme zpátky do soustavy rovnic a danou soustavu vyřešíme. xi 3x2 + x3 = 3 x2 - 2x3 = 4 - 21x3 = 37 =^x3 = - 37 21 =^x2 = -4 - 2 • - 37 21 =^xi = 3 + 3 • - 10 21 10 21 37 21 70 21 Martin Chvátal Systém lineárních rovnic Gausova eliminační metoda Řešení soustavy rovnic: A<-matr\x(c(2X-lt3r3t2rl^r3)93) b<-c(7,3,l) x<-solve(A,b) Martin Chvátal Systém lineárních rovnic Cramerovo pravidlo Umožňuje přímý výpočet soustavy lineárních rovnic (m = n)\ |A I Xi = 11 A ' Xn = Ail kde matice A\ vznikne z matice soustavy A nahrazením /-tého sloupce vektorem pravých stran. Example 2 3-1 A = 1-3 1 = 18-3-2 + 3-4 + 9 = 21 -1 2 -3 Martin Chvátal Systém lineárních rovnic Cramerovo pravidlo Ai \A2\ = \As\ = 7 3-1 3 -3 1 12-3 2 7-1 13 1 -1 1 -3 2 3 7 1 -3 3 -12 1 37 = 63 + 3 - 6 - 3 - 14 + 27 = 70 = -18 - 7 - 1 - 3 - 2 + 21 = -10 = -6 - 9 + 14 - 21 - 12 - 3 = -37 ^x3 = 21' x2 = 10 21 xi = 70 21 Martin Chvátal Systém lineárních rovnic Determinant Co když \A = 0? Example Pro systém x + y - x - y 2 = - 2 je determinant matice soustavy 1 1 -1 -1 = 0. ► \A\ = 0 značí, že jsou jednotlivé rovnice (řádky matice) na sobě lineárně závislé. Martin Chvátal Systém lineárních rovnic Počet řešení soustavy rovnic ► Právě jedno řešení: ► počet lineárně nezávislých rovnic = počet neznámých ► h(A) = h(A\b) = n. ► Nekonečně mnoho řešení: ► počet lineárně nezávislých rovnic < počet neznámých ► h(A) = h(A\b) < n. ► Žádné řešení: ► když dojdeme ke "sporu", ► h(A) < h(A\b). Example Systém X + y = 2 X + y = 3 zřejmě nemá žádné řešení. Martin Chvátal Systém lineárních rovnic Vlastní čísla, vlastní vektory ► Definice: Jestliže pro nenulový vektor v a reálné číslo A platí A • v = Av, pak v nazýváme vlastní vektor a A vlastní číslo k matici A. ► Postup A • v - Av = 0 (A-XI)-y = 6 det(A - XI) = 0 Ai, A2,■■■, A„ (A - A//) • v = 0 Vl,V2, ... ,v„ Martin Chvátal Systém lineárních rovnic Vlastní čísla, vlastní vektory Najděte vlastní čísla a vlastní vektory matice A = 4 -1 i 0 A - XI A- A- 4-A -1 3 -A = A2 - 4A + 3 = Ai = 3, A2 = 1 -1\ (vn 3 -3J ' \v12 = (4-A)-(-A)-3-(-l) (A-3)(A-1) = 1 = 0 3 -1 3 -1 V21 V22 Vi = Martin Chvátal Systém lineárních rovnic Vlastní čísla, vlastní vektory Example A<-matrix(c(4,3,-l,0),2) eigen(A) eigen(A)$values eigen(A)$vectors Vlastní vektor je libovolný násobek: eigen(A)$vectors[,l]/eigen(A)$vectors[l] eigen(A)$vectors[,2]/eigen(A)$vectors[3] Martin Chvátal Systém lineárních rovnic Funkce Funkcí f : A —> B nazýváme pravidlo/předpis, který prvkům z množiny A přiřadí nejvýše jeden prvek z množiny B. Množinu prvků z A, které se na něco zobrazí nazýváme definiční obor D(f) = {adéla, iva, veronika, barbora}. Množinu prvků z 6, na které se něco zobrazí nazýváme obor hodnot H(f) = {kolečko, obdélník, pětiúhelník, srdce}. Martin Chvátal Diferenciální počet ► Funkci zadáváme předpisem, tabulkou, výčtem prvků. ► Reálná funkce reálné proměnné: A = B = IR. ► Zadáváme předpisem: y = f(x). Obrázek: Funkce f : y = y/x, D{f) = (0, oo), H{f) = (0, oo) plot(function(x) sqrt(x), xlim=c(-l,9), col="red", Iwd = 3, ylab="y", main = "y=sqrt(x)") i—i r ^ QH Martin Chvátal Diferenciální počet Funkce - definiční obor ► JW^tď ■■•Jmenovatel ^0 ► ^argument ... argument > 0 ► log(argument) ... argument > 0 Určete definiční obor funkce f \ y — 3x . Máme tu dvě V(*-i)2-i problémové funkce .. .zlomek a odmocninu. Nejprve se podíváme na zlomek. Tedy ve jmenovateli nesmí být 0. Řešíme rovnici y/(X-l)2-1 = 0 (x- l)2 - 1 = 0 (x-l)2 = l xi = 2, x2 = 0 Tedy v definičním oboru nesmí být body 0 a 2. r o1 5 j r — Martin Chvátal Diferenciální počet Funkce - definiční obor Example Dále pod odmocninou nesmí být záporné číslo, tzn. řešíme nerovnici (x - l)2 - 1 > 0 (x - l)2 > 1 x > 2Ax < 0 Dohromady máme D{f) = (-oo, 0) U (2, oo) = R \ (0, 2). Jelikož je v tomto příkladě ve jmenovateli zlomku pouze daná odmocnina, mohli jsme to počítat najednou, jako (x — l)2 — 1 > 0. Martin Chvátal Diferenciální počet Funkce, parita ► Řekneme, že funkce f je sudá, jestliže D(f) je symetrický podle 0 a f(-x) = f(x). ► Řekneme, že funkce f je lichá, jestliže D(f) je symetrický podle 0 a f(-x) = -f(x). ixample Rozhodněte o paritě funkcí f (x) = a g{x) = _ x2+l x+3 ' D(f) = M\{0} ^ Xj" (-X)3 D(fir) = R\{-3} x2 + l x2 + l —x* x* = —f(x) =4> ŕ je lichá g" není ani sudá ani lichá Martin Chvátal Diferenciální počet Funkce, parita ► sudá - graf osově symetrický podle osy y ► lichá - graf středově symetrický podle počátku Obrázek: Funkce y = \ je sudá. Obrázek: Funkce y = ^- je lichá Martin Chvátal Diferenciální počet Funkce, inverzní funkce ► Značíme f 1(x). ► Definice: /"(r"1^)) = ^W*)) = x- ► Existuje pouze pro prosté funkce (stále rostoucí či stále klesající). ► Grafy f a f-1^) jsou osově symetrické podle osy y — x. Obrázek: Funkce y = ex je inverzní k y = ln(x) a naopak. Martin Chvátal Diferenciální počet Funkce, inverzní funkce Exampl' Určete inverzní funkci k funkci f : y = x2 + 1 f'1 :x = y2 + 1 x - 1 = y2 V* — 1 = |y y = — 1 Funkce f není prostá =4> neexistuje inverze. Pokud bychom do zadání přidali definiční obor (0,oc), pak by ŕ-1 : y = \fx — 1. ► D(ŕ) = A^r"1) ► H(f) = CKr"1) Martin Chvátal Diferenciální počet Funkce, limita ► Limita - zkoumáme chování funkce v okolí určitého bodu ► v daném bodě spojitá/definovaná —>► funkční hodnota ► jinak limita - „nekonečné přiblížení" Example x i 0,1 0,01 0 -0,01 -0,1 - 1 sin x x 0.8415 0.9983 0.9999 0.9999 0.9983 0.8415 sinx lim -= 1 x-S>0 x ► Řekneme, že funkce ŕ má v bodě xq limitu jestliže > 0 36 > 0 : Vx G R platí: |x - x0| < ô => \f(x) - L\ < e. Značení: lim ŕ(x) = L. x^xq Martin Chvátal Diferenciální počet Funkce, limita zprava/zleva ► K bodu se můžeme blížit zleva ( lim f(x)) nebo zprava x—tx, x^x. o f(x) = x2-l . 0 -x2 + 1 . ► lim f(x) = -1 X—YXr ► lim f(x) = 1 X—>Xr ► f{0) = 0 x < 0 x = 0 x > 0 Martin Chvátal Diferenciální počet Funkce, limita lim sin* = i x-^0 x i; ohraničená funkce _ n MÍŤI noUnflřnn" - U x—>-oo nekonečno" ► lim f(x) — lim /7(x) a r(x) < g"(x) < h(x), pak x—>-a x—>-a lim g(x) = lim r(x). x—>-a x—>-a ► Pokud lim ŕ(x) = A a lim g"(x) = ß, pak x—>-a x—>-a ► lim [f(x)±g(x)] = A+ B, ► lim r(x) • g(x) = A-B, ► limig = !,proß/0. x—>a Martin Chvátal Diferenciální počet Funkce, limita - ĽHospitalovo pravidlo ► Pro limity typu a " ±^". ► Pokud existuje lim pak lim = lim x^a g'{x) lim x2+6 X 3-7x oo oo = lim 2x x—>-oo 3x2-7 oo oo = lim x—>-oo 6x oo = o lim x—>-oo x + sin x x = lim 1 + cosx = $ x—>-oo sinx = hm H--= 1 x—>-oo X Martin Chvátal Diferenciální počet Funkce, derivace ► Definice: fíxo) = lim f^~f^\ ► Smernice tečny v daném bode. ► Rovnice tečny: y = f(x0) + f'(xo) • (x - x0) ► Diferenciál klesající rostoucí ► f (x) < 0 funkce ► ľ (x) > 0 funkce ► ŕ'(x) = 0 ► f"(x),f(3\x),...,f(n\x) / \ f 1 / / _ 2 ■1 0 v —z \ Martin Chvátal Diferenciální počet Funkce, počítání derivací [k]1 = 0, je-li k konstantní funkce: [sin x]1 = cos x, r v 1 [tg *]' = COS X ^ are sin x]1 = aretg x]1 = 1 1+ X 2 ' [a*]1 = a*' ln a, pro a > 0, ■2-1 [* ]1 = a1 * [cos x]1 = -sin [cotg*]' = 1 sin * [arccos 1 = -1 [arccotg x]' = -1 1+ x 2 ' [log, *]' = 1 X1 ln a , pro a > 0,ů ^ 1, [ln x]1-- X Martin Chvátal Diferenciální počet Funkce, počítání derivací [/1 ď = r i g* [f-gX-f-g* [M = ľg + fgf ' ľ g - íy součinové pravidlo podílové pravidlo = 9f(f)* f ŕetízkové pravidlo ► Lokální extrémy ► Maximum - „před" funkce roste, „po" funkce klesá. ► Minimum - „před" funkce klesá, „po" funkce roste. ► Lokální extrém =4> fř(xo) = 0. ► ff(xf) — 0 + tam kde není definovaná =>* stacionární body = kandidáti na extrém. Obrázek: Funkce f : y = Obrázek: Funkce g : y = ^~ Body, kde je derivace nulová jsou kandidáti na extrém. f'(x) — x xij = 0 ... minimum 2 g\x) — \ => xi^g = 0 ... není extrém Martin Chvátal Diferenciální počet Funkce, konvexnost, konkávnost ► Konvexní funkce - v každém bodě leží „nad" tečnou. ► Konkávni funkce - v každém bodě leží „pod" tečnou. ► Derivace f"{x) > 0, f"{x) < 0, inflexní body. ► konvexní .. ► konkávni .. ► f"{xi) = 0 kandidáti na změnu zakřivení Martin Chvátal Diferenciální počet Funkce, asymptoty ► Asymptota = tečna v nekonečnu. ► Asymptoty bez směrnice ► kolmé na osu x, tzn. přímky x = x,- ► v bodech nespojitosti, ► v krajích definičního oboru, lim f(x) = ±00. ► Asymptoty se směrnicí ► přímky y = ax + b, pro x jdoucí k plus/minus nekonečnu Example Funkce y = - má asymptotu bez směrnice x = 0 a se směrnicí ► b ► a y = 0. Martin Chvátal Diferenciální počet Průběh funkce ► Nalezneme nulové body zadané funkce. ► Určíme znaménka funkce na jednotlivých intervalech. ► Spočteme derivaci. ► Nalezneme nulové body derivace. ► Určíme znaménka derivace na jednotlivých intervalech. ► Určíme extrémy. ► Spočteme druhou derivaci. ► Nalezneme nulové body druhé derivace. ► Určíme znaménka druhé derivace na jednotlivých intervalech ► Určíme inflexní body. ► Nalezneme asymptoty. ► Načrtneme obrázek ► Rozhodneme o paritě, určíme H(f), globálnost extrémů. Martin Chvátal Diferenciální počet Funkce, globální extrémy ► Extrémy na celém definičním oboru: ► v bodech lokálních extrémů, ► v krajích definičního oboru. Funkce y — x2 má jeden lokální extrém, a ten je i extrémem globálním. Funkce na obrázku má dva lokální extrémy, ale žádný globální. Kdybychom si danou funkci vzali jen na intervalu (2; 4), měla by funkce tři lokální extrémy a dva globální. Martin Chvátal Diferenciální počet Taylorův polynom ► Taylorův polynom stupně n se středem xo. ► Definice: 7n(x,xo) = f(xo) + f'(xo)(x - x0) + ^(x - x0)2 + • ► McLaurinův polynom: xo = 0. ► Aproximace funkce. Taylorova řada: n = oc. + f(n)(xo) n\ (x-x0y Example Určete Taylorův polynom třetího stupně funkce Inx se středem v bodě 1. f'(x) = (Inx)' = i f"(x) = (±Y = -1 f"'(x) = f(i) = o, f(i) = i, r(i) = -i, = 2 X" Teď dosadíme do vzorce: 7"(x) = (x — 1) — (x-l)2 + _(x-l): 2 1 3 —i o1 ^ -e: Martin Chvátal Diferenciální počet Taylorův polynom ► Diferencia ► přírůstek na tečně, Taylorův polynom prvního stupně, tzn Df{x) = f{xo) + f'{xo){x-xo), ► df(x) = f'(x0)(x-xo). Pomocí diferenciálu odhadněte ^/9, 05. Nejprve si zvolíme střed xo = 9. Dále f'(x) — (\fx)' — Nyní podle vzorečku pro diferenciál ^9705 = y/9 + ^= • 0, 05 = 3,0083. Martin Chvátal Diferenciální počet Funkce více proměnných Funkce f : Rn R, např. f (xi, x2,..., xn) = xi + x| + xixn + x2xn_i Funkce dvou proměnných z = f(x,y) : ► graf je 3-rozměrný ► definiční obor je 2-rozměrný -4] Určete a znázorněte definiční obor funkce f : z = In ((1 - x2 - y2)(x2 + y2 - 4)) . a) 1 - x2 - y2 > 0 A x2 + y2 - 4 > 0 x2 + y2 < 1 A x2 + y2 > 4 b) 1 - x2 - y2 < 0 A x2 + y2 - 4 < 0 x2 + y2 > 1 A x2 + y2 < 4 D(f) = {[x,y] G M2 : 1< x2 +y2 < 4} . Martin Chvátal Diferenciální počet funkce více proměnných Funkce více proměnných Martin Chvátal Diferenciální počet funkce více proměnných Parciální derivace ► Více proměnných, více směrů =4> více derivací. ► Ve směru souřadnicové osy - parciální derivace: ► f(x, y, z) fx(x, y, z), fy(x, y, z), fz(x, y, z) ► /x(x,y), fy(x,y), /xx(x,y), /xy(x,y), /ýx(x,y), /ýy(x,y) i fxyxxy (*>y)- ► derivujeme pouze podle jedné proměnné, ostatní chápeme jako konstanty. Exampl' Určete všechny parciální derivace funkce r(x, y) = x2 + y2 — 2x + xy — 3 až do řádu 2. fx(x, y) = 2x - 2 + y ŕy(x, y) = 2y + x £cx(*, y) = 2 ŕxy(x, y) = 1 ŕyx(*,y) = 1 ŕyy(x^y) = 2 Martin Chvátal Diferenciální počet funkce více proměnných Hledání extrémů ► Podobně jak u funkcí jedné proměnné: ► rx(x,y) = 0,ry(x,y) = 0^ kandidáti na extrém [x/,y,-]. ► Hessova matice \fYx(x,y) fyy{x,y)J ► Dosadíme kandidáty a spočteme determinant ► |/-/(x/,y/)| > 0 A /xx(x/,y,) > 0 ^> minimum, ► |/-/(x/,y/)| > 0 A /xx(x/,y,) < 0 ^> maximum, \^{xí->Yí)\ < 0 ^> není extrém (sedlový bod). Martin Chvátal Diferenciální počet funkce více proměnných Hledání extrémů install. packages("plot3D") library(plot3D) X<- seq(-10,10, length.out = 20) Y<- seq(-10,10, length.out = 20) M<-mesh(X,Y) x<-M$x y<-M$y z=xA2 + yA2 perspbox(x,y,z, bty = 'b2', ticktype = 'detailed', d = 2, main 'funkce z=xA2 + yA2') persp3D(x,y,z,add = T) Diferenciální počet funkce více proměnn Neurčitý integrál ► / f (x) d* ► Hledáme primitivní funkci F, aby F'[x) ► Jf(x)dx={F(x) + c} = f (x). Exampie Nalezněte integrál J 7xdx. Co musím zderivovat, abych dostal x ... „nějaký násobek" x2 ... (x2)7 = 2x ... (ľx2)7 = 14x ... (7/2 • x2)7 = 7x. Takže 7/2 • x2 je primitivní k 7x. Ale stejně tak 7/2 • x2 — 3 a nebo 7/2 • x2 + tt. Martin Chvátal Integrální počet Neurčitý integrál pro et ^ — 1 / e*dx = ex + C x°- dx--4- C. x > 0: n + 1 J ^dx - In |x| -h C, a: / 0 /sin(jí) dx = — cos(x) -h C /* —^—— dx — tg(x) -f C, x ^ ^ -\-kn J co$z(x) 2 /gqs(x) dx = sin(#) + C j —\—— dx = — cot.g(x) + C, x j sin (x) jsinh(:r) dx = cosh(x) + O J cosh(aľ) dx = / i + x2 dX ~ arctg^ + C S ^ík)dx=tsh(x)+r" ,/ J i™ 1.1. \ mA.- J -\-— t£r = — cotgh(jr) H- C, a; / 0 /, dx — arcsin(x) + C. x e ( — 1,1) Vi - x2 S1 Martin Chvátal Integrální počet Neurčitý integrál Racionální lomená funkce: J Pokud je m > r?, nejprve podělíme, ► rozložíme zlomek na parciální zlomky, ► zintegrujeme každou část zvlášť. Rozklad na parciálni zlomky: ► rozklad zlomku na součet zlomků tvaru ► N se nedá rozložit, M má nižší stupeň než N. Martin Chvátal Integrální počet Rozklad na parciální zlomky Spočtěte / (x_1)(xx2+2) dx. Jmenovatel více rozložit nelze. Zapíšeme tedy obecné členy 3x A Bx+C + (x - l)(x2 + 2) x - 1 x2 + 2 ' Vynásobíme jmenovatelem a vyřešíme vzniklou rovnici: 3x = A(x2 +2) + (Bx + C)(x - 1). Postupně do rovnice dosadíme za x tři různá čísla: x = 1 x = 0 x = -1 3 = 3A 0 = 2- C ■3 = 3 + (-ß + 2)(-2) A ■ C ■■ => B = Martin Chvátal Integrální počet Rozklad na parciální zlomky 3x 1 -x+ 2 + (x-l)(x2 + 2) x-1 x2+ 2 Dosadíme zpátky do integrálu: 3x (x-l)(x2 + 2) dx = 1 x-1 dx— x x2+ 2 dx+ x2+ 2 dx. Spočtěme jednotlivé integrály: x-1 x dx = ln(x — 1) + ci _ , _ 1 f 2x x2 + 2dX-2./ x2 + 2 dx = - ln(x2 + 2) + c2 Martin Chvátal Integrální počet Rozklad na parciální zlomky 2 ľ 2 í l dx = / —t—z-r- dx = / -«-dx = ^rctg0=)+c3 Dohromady 3x (x-l)(x2 + 2) dx = ln(x-l)+^ ln(x2+2)+\/2arctg ( Martin Chvátal Integrálni počet Substituční metoda ► Jf(x)dx = Jf(4>(x))'(x)dx Pomocí subs, metody spočtěte J xsinx2dx. xsin x2 dx = z = x2 dz = 2x dx 2 1 . cos z - sin zdz =--h c 2 2 cos X' + c Martin Chvátal Integrální počet Substituční metoda ► vždy mohu substituovat cokoliv jakkoliv, ale chceme aby nám to pomohlo Example Pomocí subs, metody spočtěte J ^2 dx. x In x 1 x In x dx = dx = z = In x dz = - dx x Z = dz = 1 1 — + c = —.— + c z In x dz = - In x 1 ■ ± (be- irr x x = / -ldz = -z + c In x + c Martin Chvátal Integrální počet Metoda per-partes ► j u - vr — u - v — J uf - v ► V případech jako: J P(x)-sinxdx, J P(x)-cosxdx, J P(x)-ex dx, J P(x)-lnxdx Pomocí metody per-partes spočtěte Jxlnxdx. 2x In xdx = u = In x vf = 2x 2 V — X — x In x — — • 2x dx x = x2 In x - / 2 dx = x2 In x - 2x + c < □ ► 4 ffl > 4 > < -E ► Martin Chvátal Integrální počet Určitý - Riemannův integrál ► Integrál jb ŕ(x)dx na daném intervalu (a, b). ► Orientovaný obsah oblasti ohraničené zadanou křivkou, osou x a přímkami x = a a x = b. ŕ j f(x)dx = A1 -A2 + Ax. Ja ► Newton-Leibnitzova formule: Jb f (x) dx = [F(x)]ba = F (b) - F(a), kde F je primitivní k f, cosxdx = [sin x]^ = sin tt — sin(—7ľ) = 0 □ ► < s Martin Chvátal Integrální počet Určitý - Riemannův integrál ► Substituční metoda - pokud transformujeme meze, není nutné dosadit zpátky Example x In x dx = z = In x dz = - dx x e2 2 1 1 2 1 ľ dz = 1 2 1 ZJ n 2 Martin Chvátal Integrální počet Určitý - Riemannův integrál ► Per-partes - jb u • vf = [u • v]b — jb u' v Example n xdx = u — In x x V — X = [x In x]J - = e - [x]{ = o- o + l = l Martin Chvátal Integrální počet Nevlastní integrál ► Integrály do „nekonečna ► „Utíká": ■i i it ^ mez - t00 i j a^0+, * ' Example Spočtěte dx. Z41 1 ľa 1 ŕ 1 / 0 dx = lim TT dx + lim 1 dx r-l *Z a^0+ J a xz ľ a i" i -- lim + lim . x_ •d -i a^0+ x. a - lim 1 - 1 + lim -l + i = oo a-^0~ . a a^0+ L l_l aJ Martin Chvátal Integrálni počet