Optimalizace a rozhodování, Zadání případových
studií 2023
1. Zpracování rostlinných a minerálních olejů
Finální produkt je vyráběn zpracováním surových olejů a jejich smícháním. Surové oleje
patří do dvou kategorií: rostlinné oleje (VEG 1, VEG 2) a minerální oleje (MIN 1, MIN 2,
MIN 3). Každý olej lze zakoupit pro okamžité doručení (leden) nebo zakoupit na futures
trhu pro dodání v následujícím měsíci. Ceny nyní a na futures trhu jsou následující (£/tuna):
Olej Leden Únor Březen Duben Květen Červen
VEG 1 110 130 110 120 100 90
VEG 2 120 130 140 110 120 100
MIN 1 130 110 130 120 150 140
MIN 2 110 90 100 120 110 80
MIN 3 115 115 95 125 105 135
Konečný výrobek se prodává za £150 za tunu. Pro raﬁnaci potřebují rostlinné oleje a
minerální oleje různé výrobní linky. V žádném měsíci není možné raﬁnovat více než 200
tun rostlinných olejů a více než 250 tun minerálních olejů. V procesu raﬁnace nedochází
ke ztrátě váhy a náklady na raﬁnaci lze zanedbat. Je možné skladovat až 1000 tun každého
surového oleje pro pozdější použití. Náklady na skladování rostlinného i minerálního oleje
činí £5 za tunu za měsíc. Raﬁnované oleje ani konečný výrobek nelze skladovat.
Existuje technologické omezení viskozity konečného výrobku. V jednotkách, ve kterých
se viskozita měří, musí být výsledná hodnota mezi 3 a 6. Předpokládá se, že viskozita se
lineárně mísí a viskozity surových olejů jsou
Typ Hodnota
VEG 1 8,8
VEG 2 6,1
MIN 1 2,0
MIN 2 4,2
MIN 3 5,0
Jakou politiku nákupu a výroby by měla společnost uplatňovat, aby maximalizovala
zisk? V současné době je na skladě 500 tun každého druhu surového oleje. Je požadováno,
aby tyto zásoby existovaly také ke konci června.
Je třeba uplatnit následující dodatečné podmínky na problém výroby potravin:
1. Výsledný produkt nesmí být složen z více než tří olejů (v žádném měsíci).
2. Pokud je olej použit v daném měsíci, musí ho být použito alespoň 20 tun.
3. Pokud jsou v měsíci použity oleje VEG 1 nebo VEG 2, musí být také použit olej MIN 3.
Rozšiřte model výroby potravin tak, aby zahrnoval tyto omezení a najděte nové optimální
řešení.
1
2. Plánování výroby
Strojírenská továrna vyrábí sedm výrobků (PROD 1 až PROD 7) na následujících strojích:
čtyři brusky, dvě svislé vrtačky, tři vodorovné vrtačky, jeden vrták a jedna hoblovací fréza.
Každý výrobek přináší určitý příspěvek k zisku (deﬁnovaný jako £/kus prodejní ceny minus
náklady na suroviny). Tyto částky (v £/kus) spolu s časem výroby na jednotku (hodiny)
potřebným na každý proces jsou uvedeny níže. Pomlčka značí, že výrobek tento proces ne-
potřebuje.
PROD 1 2 3 4 5 6 7
Příspěvek k zisku 10 6 8 4 11 9 3
Bruska 0,5 0,7 0,3 0,2 0,5 - Vertikální
vrtačky 0,1 0,2 0,3 - 0,6 - Horizontální
vrtačky 0,2 - 0,8 - 0,6 - Vrták
0,05 - 0,03 0,07 - 0,1 0,08
Hoblovací fréza 0,01 - 0,05 - - 0,05 V
průběhu aktuálního měsíce (leden) a následujících pěti měsíců budou určité stroje z
důvodu údržby mimo provoz. Konkrétně to budou:
• Leden: 1 bruska
• Únor: 2 horizontální vrtačky
• Březen: 1 vrták
• Duben: 1 vertikální vrtačka
• Květen: 1 bruska a 1 vertikální vrtačka
• Červen: 1 hoblovací fréza a 1 horizontální vrtačka
Podle oddělení marketingu se v jednotlivých měsících prodají následující množství pro-
duktů:
1 2 3 4 5 6 7
Leden 500 1000 300 300 800 200 100
Únor 600 500 200 0 400 300 150
Březen 300 600 0 0 500 400 100
Duben 200 300 400 500 200 0 100
Květen 0 100 500 100 1000 300 0
Červen 500 500 100 300 1100 500 60
Je možné skladovat až 100 kusů od každého produktu za cenu £0,5 za kus měsíčně. V
současné době nejsou skladovány žádné zásoby, ale cílem je mít na konci června zásobu 50
kusů každého typu produktu. Továrna má šestidenní pracovní týden se dvěma směnami
po osmi hodinách denně. Není třeba řešit žádné problémy s řazením výroby. Kdy a co by
měla továrna vyrábět, aby maximalizovala celkový zisk? Doporučte jakékoli zvýšení cen a
hodnotu nákupu nových strojů. Rozšiřte model tak, aby umožnil tato dodatečná rozhodnutí.
Jaká je hodnota dodatečné ﬂexibility, kterou umožňuje volba dob odstávky?
Poznámka: Lze předpokládat, že každý měsíc má pouze 24 pracovních dnů. Místo toho,
aby bylo direktivně stanoveno, kdy jsou jednotlivé stroje vypnuty kvůli údržbě, zkuste pro
každý stroj najít nejvhodnější měsíc, kdy bude může být mimo provoz. Každý stroj musí být
mimo provoz kvůli údržbě jeden měsíc ze šesti, s výjimkou brusek, u kterých musí být za
šest měsíců mimo provoz jen dvě.
2
3. Plánování pracovní síly
Společnost prochází řadou změn, které ovlivní její potřeby v oblasti pracovní síly v následujících
letech. Vzhledem k instalaci nových strojů bude zapotřebí méně nekvaliﬁkovaných
pracovníků, ale naopak bude potřeba více kvaliﬁkovaných a polokvaliﬁkovaných pracovníků.
Kromě toho se v příštím roce očekává pokles obchodu, což sníží potřebu pracovníků
ve všech kategoriích. Očekávané potřeby v oblasti pracovní síly pro příští tři roky jsou ná-
sledující:
Kategorie Nekvaliﬁkovaní Polokvaliﬁkovaní Kvaliﬁkovaní
Stávající stav 2000 1500 1000
Rok 1 1000 1400 1000
Rok 2 500 2000 1500
Rok 3 0 2500 2000
Společnost si přeje pro příští tři roky rozhodnout o své politice týkající se následujících
oblastí personální práce: Nábor, Přeškolování, Propouštění, Nadzaměstnanost, Zkrácená
pracovní doba.
Nad rámec personální strategie ﬁrmy dochází k přirozenému úbytku pracovní síly. Poměrně
velké množství pracovníků odejde během prvního roku. Po této době je tato míra
mnohem nižší. S ohledem na to mohou být míry úbytku stanoveny následovně:
Kategorie Nekvaliﬁkovaní Polokvaliﬁkovaní Kvaliﬁkovaní
Méně než rok služby 25% 20% 10%
Více než rok služby 10% 5% 5%
V poslední době nebyly provedeny žádné nábory a všichni současní pracovníci jsou zaměstnáni
déle než jeden rok.
1) Nábor
Je možné nabrat omezený počet nových pracovníků. V průběhu jednoho roku jsou možné
následující počty náborů v každé kategorii:
Kategorie Nekvaliﬁkovaní Polozkušení Zkušení
Nábor 500 800 500
2) Překvaliﬁkování
Je možné překvaliﬁkovat až 200 nekvaliﬁkovaných pracovníků ročně tak, aby se stali polokvaliﬁkovanými.
Toto stojí £400 na každého pracovníka. Přeškolení polokvaliﬁkovaných
pracovníků na kvaliﬁkované je omezeno na nejvýše čtvrtinu kvaliﬁkované pracovní síly,
protože část školení probíhá v průběhu práce. Překvaliﬁkace polokvaliﬁkovaného pracovníka
tímto způsobem stojí £500. Degradace pracovníků na nižší úroveň kvaliﬁkace je možná,
ale 50% takových pracovníků odchází, i když to ﬁrmu nic nestojí (Tato ztráta je navíc k přirozenému
odchodu popsanému výše).
3) Propouštění
Odchodné pro nekvaliﬁkovaného pracovníka činí £200 a pro polokvaliﬁkovaného nebo kvaliﬁkovaného
pracovníka £500.
4) Nadzaměstnanost
V celé ﬁrmě je možné zaměstnat až 150 pracovníků navíc, než je potřeba, ale dodatečné
náklady na zaměstnance za rok na jednoho pracovníka jsou:
Nekvaliﬁkovaní Polokvaliﬁkovaní Kvaliﬁkovaní
£1500 £2000 £3000
3
5) Zkrácená pracovní doba
Až 50 pracovníků v každé kategorii dovedností může být zařazeno do krátkého pracovního
režimu. Náklady na toto (na zaměstnance za rok) jsou:
Nekvaliﬁkovaní Polokvaliﬁkovaní Kvaliﬁkovaní
£500 £400 £400
Zaměstnanec v zkráceném pracovním režimu plní pracovní požadavky ve výši 50 %
úrovně zaměstnance na plný úvazek. Deklarovaným cílem společnosti je minimalizovat propouštění.
Jak by měli postupovat, aby tohoto dosáhli? Pokud by jejich politika byla minimalizovat
náklady, kolik by jim to ušetřilo navíc? Odvoďte pro každý rok náklady na zachování
všech jednotlivých typů práce.
4
4. Rozdělení lékařů na směny v nemocnici
Představme si nemocnici, ve které na pohotovosti pracuje 60 lékařů. Lékaři pracují v třísměnném
provozu, směny jsou osmihodinové. Pro jednoduchost předpokládejme, že směny začínají
vždy o půlnoci (směna 1), v 8:00 (směna 2) a v 16:00 (směna 3). Vedení nemocnice se
chystá vytvořit optimální plán směn tak, aby využilo co nejméně lékařů. Z dlouhodobého
pozorování vedení zná minimální počet zaměstnanců, kteří musí být přítomni na jednotlivých
směnách. Ten je uveden v tabulce
Směna PO ÚT ST ČT PÁ SO NE
1 9 3 4 4 3 10 12
2 7 9 14 8 7 15 15
3 7 11 10 9 11 12 13
Lékaři si u vedení nemocnice za pomoci odborů vydobyli následující podmínky:
1. Pracovat vždy 4 po sobě jdoucí dny v týdnu a poté 3 po sobě jdoucí dny nepracovat.
2. Ve čtyřech po sobě následujících dnech pracovat vždy na stejné směně (např. 4x za
sebou mít směnu 1).
Sestavte a vyřešte lineární úlohu, kterou řeší vedení nemocnice. Vedení chce najít dlouhodobý
rozvrh, podle kterého se budou směny řídit, ne pouze rozvrh na jeden týden. Vedení
tak při řešení počítá s tím, že na pondělní směně pracují lékaři, kteří začali čtyřdenní směnu
minulý týden. Jejich cílem je minimalizovat množství zaměstnanců, kteří pokryjí potřebné
minimální počty. Tuto úlohu lze formulovat i tak, že chceme minimalizovat náklady na
platy zaměstnanců, nechceme tedy, aby v době, kdy potřebujeme 12 zaměstnanců jich na
pracovišti bylo např. 20.
Ve druhé části příkladu budete řešit situaci, ve které jsou zaměstnanci dvou různých
typů. Vzhledem k propukající epidemii hlásí nemocnice mírný nárůst počtů pacientů, a
tedy i počtů lékařů potřebných na jednotlivých směnách. Tyto počty jsou uvedeny v tabulce
Směna PO ÚT ST ČT PÁ SO NE
1 9 3 3 5 5 15 12
2 7 9 15 8 7 15 15
3 7 11 10 9 12 12 13
Nárůst požadavků na lékaře není prozatím nijak závratný, jejich maximální počet se však
snížil na 45, neboť někteří jsou kvůli pobytu v rizikových oblastech nyní uzavřeni v domácí
karanténě. Místní univerzita však nemocnici nabídla studenty lékařské fakulty, kteří mohou
vypomáhat. Studentů je k dispozici 100. Studenty, na rozdíl od stálých zaměstnanců, najímá
nemocnice pouze na jednotlivé směny, a mohou pracovat bez dalších omezení.
Jediné bezpečnostní omezení, které nemocnice vyžaduje, je, aby studenti na všech směnách
tvořili maximálně jednu třetinu ze všech potřebných lékařů. V této části se již nebudeme
snažit minimalizovat celkový počet zaměstnanců, ale celkové náklady na ně. Mzdu
všech lékařů i studentů uvádíme ve stejných jednotkách. Mzda jednoho zaměstnance je 42
(za 4 směny), studenti dostanou 8 za práci na směně 1 nebo směně 2 a 14 za práci na směně
3. Sestavte úlohu, která odpovídá druhé části příkladu a vyřešte ji.
5
5. Bankovní rozhodování o spotřebitelských úvěrech
Banka má momentálně k dispozici 50 milionů Kč, které chce buď investovat do státních dluhopisů
nebo vypůjčit klientům, jejichž poptávka po spotřebitelských úvěrech je v současné
době velmi vysoká. Investování do státních dluhopisů je v podstatě bezrizikové, úvěrování
je však pro banku mnohem výnosnější. Vedení banky chce maximalizovat zisk, ovšem za
předpokladu, že nebudou muset podstoupit příliš velké riziko.
Banka svoje klienty řadí podle jejich charakteristik do osmi skupin označených písmeny
A-H. V kategorii označené písmenem A jsou pouze nejlepší klienti, se kterými má banka již
zkušenost, a ví, že s pravděpodobností 0,999 svůj úvěr splatí i s úroky. Pravděpodobnost, že
klient nebude schopen svoji půjčku splatit, zde označíme mírou defaultu. Ze zkušenosti zná
vedení též pravděpodobnost toho, že klient, který není schopen splácet, vrátí bance polovinu
hodnoty svého úvěru (bez úroků). Banka zároveň ví, že klienti ve skupině A snadno získají
úvěr i u jiné banky, neboť jsou téměř bezrizikoví. Musí jim tak nabídnout nízké úroky, aby si
vybrali její produkt. Banka má již vypracovanou strategii, podle které nabídne jednotlivým
kategoriím úrokové sazby. Stupnici s úroky, mírou defaultu a pravděpodobností navrácení
poloviny úvěru v případě defaultu pro jednotlivé skupiny klientů zobrazuje tabulka
Kategorie A B C D E F G H 2T repo
Úrok (%) 2,9 3,9 4,9 6,9 7,5 10,9 12,9 16,9 1
Míra defaultu 0,001 0,009 0,04 0,085 0,1 0,12 0,18 0,2 0
Pravd. splacení 0,999 0,991 0,96 0,915 0,9 0,88 0,82 0,8 1
Pravd. polovina 0,75 0,75 0,5 0,5 0,5 0,3 0,3 0,25 0
V posledním řádku tabulky vidíme, jaká je pravděpodobnost, že klienti, kteří nebudou
schopni splácet, vrátí bance polovinu vypůjčené částky bez úroků. Banka tak z těchto klientů
ztratí pouze polovinu hodnoty poskytnutého úvěru a úroky. Kromě osmi kategorií klientů
je v tabulce též sloupec označený 2T repo, což je úroková sazba, za kterou si mohou
banky na 2 týdny uložit peníze u ČNB. Tento způsob investování je bezrizikový, pravděpodobnost
splacení je tak rovna jedné. Stejně jako úrokové sazby pro klienty je i 2T repo
sazba roční, v tabulce je uvedena sazba platná od 27. 3. 2020. Tato sazba se v průběhu roku
může změnit, v příkladu však považujeme sazbu za neměnnou po celý rok. Banka by tedy
své přebytečné prostředky uložila u ČNB na celý rok.
Vedení banky chce maximalizovat svůj zisk. Vzhledem ke striktním pravidlům ban- kovního
systému však nemůže vypůjčit své peníze úplně libovolně. Banka musí kvůli rizikovosti
alespoň třetinu hodnoty svých úvěrů vypůjčit klientům z kategorie A a B. Ze stejného
důvodu může banka do kategorií F, G a H vypůjčit maximálně polovinu toho, co zapůjčí do
kategorií A, B a C. Banka si též váží svých klientů z kategorie A, se kterými má předběžně
domluvené úvěry o hodnotě 800 000 Kč. Klientům v kategorii A chce tak vedení nabídnou
úvěry minimálně v této hodnotě.
Vzhledem k tomu, že se vedení rozhoduje o hodnotách úvěrů pro jednotlivé kategorie,
počítá se ztrátou jako s částkou, kterou jednotlivé kategorie nesplatí, tj. se součinem hodnoty
úvěrů v dané kategorii a míry defaultu, od kterého odečte hodnotu částky, již splatí část
nesplácejících klientů. Vedení banky chce uvážit tři situace, které se liší pojetím rizika. Ve
všech situacích se však zajímá o úrokový výnos z prvního roku splácení. V první z nich
chce maximalizovat výnos (z úroků a návratů částí úvěrů od klientů v defaultu) s tím, že
omezí maximální hodnotu, kterou jsou ochotni ztratit, na částku 2 500 000 Kč. Ve druhé
situaci se pak chce podívat na zisk jako rozdíl výnosů a ztráty. Ve třetí situaci, kterou chce
vedení otestovat, je hodnota výnosu dvakrát důležitější než riziko. Jaké pojetí rizika přinese
bance větší zisk? Jak se situace změní, jestliže se vedení rozhodne kvůli solidaritě a dobré
reputaci vypůjčit alespoň 5 000 000 Kč lidem z kategorií F, G a H? Sestavme a vyřešme úlohu
lineárního programování, před kterou stojí vedení banky.
6
6. Půlroční plán výrobce pálenek
Představme si výrobce, který produkuje čtyři druhy ovocných pálenek. Jeho cílem je naplánovat
výrobu na následujících šest měsíců tak, aby minimalizoval náklady na výrobu a
skladování zásob. Na začátku roku nemá výrobce žádné zásoby. Ze zkušenosti s podnikáním
zná výrobce poptávky, kterým v jednotlivých měsících čelí, i výrobní kapacity, jež může v
daném měsíci využít. Náklady na výrobu jednotlivých pálenek se v průběhu půlroku mění,
neboť se mění cena ovoce potřebného pro jejich výrobu. Maximální produkční možnosti a
poptávky po jednotlivých druzích pálenek (označených P1, P2, P3 a P4) v hektolitrech jsou
uvedeny v tabulce, ve které sloupce představují jednotlivé měsíce. Produkční možnosti se
podobně jako ceny mění, a to z důvodu lišících se dostupných množství ovoce. V poslední
části tabulky vidíme náklady na výrobu jednotlivých pálenek a cenu za skladování (ozn. S),
jež je pro všechny pálenky stejná. Všechny náklady jsou uvedeny ve sto tisících Kč.
Maximální výroba
Produkt 1 2 3 4 5 6
P1 100 100 110 120 140 60
P2 120 100 80 80 60 120
P3 80 90 100 110 100 90
P4 40 50 90 90 120 110
Poptávka
P1 80 110 50 130 40 80
P2 60 40 180 90 50 130
P3 40 100 80 60 170 60
P4 40 40 40 20 150 90
Náklady
P1 1 1,2 0,9 0,8 0,9 1
P2 1,1 1 0,8 0,95 1,1 1,2
P3 1 0,9 0,8 0,9 1 1,1
P4 0,8 0,8 0,75 0,7 0,85 1
S 0,5 0,5 0,7 0,9 0,8 0,6
Výrobce chce naplánovat výrobu tak, aby vždy uspokojil poptávky a minimalizoval při
tom náklady. Náklady na reorganizaci výroby však neuvažuje. Pomozme nyní výrobci najít
plán optimální výroby a tvorby zásob, který splní zadané požadavky.
Ve druhé části příkladu se podívejte na situaci, do které se výrobce dostal po dvou měsících
výroby podle optimálního plánu z první části příkladu. Vzhledem k pandemii, která na
začátku roku nečekaně zasáhla celý svět, se výrazně změnila očekávaná poptávka po všech
druzích pálenky. Náklady na výrobu a skladování však zůstaly stejné. Výrobce chce nyní
optimální plán pro zbývající čtyři měsíce upravit tak, aby opět pokryl očekávané poptávky
po svých výrobcích. Jeho maximální výrobní kapacity jsou ovšem nyní určeny optimálním
výrobním plánem z první části úlohy, neboť podle něho výrobce nakoupil zá- soby a přijal
zaměstnance. Zároveň chce zachovat alespoň 90 % celkového naplánovaného měsíčního
využití výrobních kapacit, neboť nechce propouštět zaměstnance. Zachování výroby chce
dosáhnout výrobou dezinfekce (označené D), které je v současné době nedostatek, a k jejíž
výrobě může využít líh a další již zakoupené suroviny. Náklady na výrobu dezinfekce jsou
spolu s novými poptávkami uvedeny v tabulce níže. Dezinfekci může výrobce vyrábět s využitím
výrobních kapacit pro všechny druhy pálenek. Dezinfekci výrobce nikdy neskladuje,
neboť ji chce co nejdříve rozvést na potřebná místa. Zásoby, které má k dispozici na začátku
třetího měsíce, jsou zásoby ze druhého měsíce při provozování původního optimálního výrobního
plánu. Najděte nyní nový optimální výrobní plán tak, aby byla splněna všechna
7
omezení. Kolik dezinfekce je výrobce schopen v jednotlivých měsících vyrobit? Jak by se situace
změnila, kdyby chtěl výrobce zachovat 90 % celkového (ne měsíčního) využití kapacit
podle původního plánu?
Poptávka 3 4 5 6
P 1 40 100 180 40
P 2 120 45 40 95
P 3 40 130 120 30
P 4 110 10 40 45
Náklady 3 4 5 6
D 0,6 0,7 0,75 0,8
8
7. Plánování produkce farmy
Zemědělec chce pro následujících pět let naplánovat produkci své farmy o rozloze 200 akrů.
V současné době má stádo 120 krav. Tvoří ho 20 jalovic a 100 dojnic. Na každou krávu potřebuje
1 akr půdy. Dojnice průměrně porodí 1,1 telete ročně. Polovina těchto telat budou
býci, kteří jsou téměř okamžitě prodáni za průměrnou cenu 30 liber za kus. Zbývající jalovice
mohou být buď téměř okamžitě prodány za 40 liber, nebo odchovány tak, aby se staly
ve věku dvou let dojnicemi. Plánuje se, že všechny dojnice budou prodány ve věku 12 let za
průměrnou cenu 120 liber za kus, i když pravděpodobně kvůli nemocem dojde ke ztrátě 5
% ročně u jalovic a 2 % u dojnic. Rozhodnutí o tom, kolik jalovic v aktuálním roce prodat,
již bylo učiněno a realizováno. Mléko od jedné krávy generuje roční příjem ve výši 370 liber.
Při současné kapacitě kravína lze chovat maximálně 130 krav. Vybudování dodatečného
prostoru pro zvýšení tohoto limitu bude vyžadovat kapitálové výdaje ve výši 200 liber na
krávu. Každá dojnice spotřebuje 0,6 tuny obilí a 0,7 tuny cukrové řepy ročně. Oba plodiny
lze pěstovat na farmě. Na jednom akru jsou schopni vypěstovat ročně 1,5 tuny cukrové řepy.
Pro pěstování obilí je vhodných pouze 80 akrů, které lze rozdělit do čtyř skupin s následujícími
výnosy:
Skupina Počet akrů Výnos (tuny/akr)
1 20 1,1
2 30 0,9
3 20 0,8
4 10 0,65
Zrno lze zakoupit za 90 liber za tunu a prodat za 75 liber za tunu. Cukrovou řepu lze
zakoupit za 70 liber za tunu a prodat za 58 liber za tunu. Požadavky na práci jsou:
• jalovice: 10 hodin ročně
• dojnice: 42 hodin ročně
• akr obilí: 4 hodiny ročně
• akr cukrové řepy: 14 hodin ročně
Další náklady jsou:
• jalovice: £50 ročně
• dojnice: £100 ročně
• akr obilí: £15 ročně
• akr cukrové řepy: £10 ročně
Náklady na práci na farmě jsou v současné době £4000 ročně a stávající zaměstnanci
mohou za rok odvést až 5500 hodin práce. Jakékoliv práce nad tuto hodnotu budou stát
£1,20 za hodinu.
Jak by měl zemědělec operovat během následujících pěti let k maximalizaci zisku? Veškeré
kapitálové výdaje by byly ﬁnancovány 10letým úvěrem s 15% ročním úrokem. Úrok
a splácení kapitálu by byly placeny ve 10 rovnoměrných ročních splátkách. V žádném roce
nesmí být cash ﬂow záporné. Navíc by zemědělec nechtěl snížit celkový počet dojnic na
konci pětiletého období o více než 50 % ani zvýšit tento počet o více než 75 %.
9
8. Tarifní pásma
Elektrárna musí zajistit poptávku po elektrické energii, která kolísá dle denní doby podle
údajů v tabulce:
0:00 - 6:00 15000 MW/h
6:00 - 9:00 30000 MW/h
9:00 - 15:00 25000 MW/h
15:00 - 18:00 40000 MW/h
18:00 - 24:00 27000 MW/h
Pro výrobu elektřiny má k dispozici 3 výrobní jednotky (Siemens, GE a Tesla). Okamžitý
výkon generátorů pracovníci obsluhy přenastavují jen v termínech změny tarifního pásma;
během jednotlivých intervalů je výkon konstantní a musí se pohybovat ve stanoveném rozmezí
minimálního a a maximálního výkonu (žádný generátor nelze úplně vyřadit z provozu).
Tabulka níže udává rozmezí pro výkon společně s provozními náklady (v tisících Kč).
Generátor Výkon Náklady
minimální maximální za h při min. výkonu za MWh nad min. výkon
Siemens 10200 MW 24000 MW 1000 2
GE 12500 MW 17500 MW 2600 1,3
Tesla 7500 MW 20000 MW 3000 3
Nad rámec zajištění požadované poptávky je třeba zajistit, aby v každém období bylo možné
zajistit mimořádné zvýšení odběru až do výše 15% odhadovaného počtu MW, a to pomocí
generátorů, které jsou aktuálně v chodu. Na jaký výkon mají generátory v jednotlivých časových
intervalech pracovat, aby byly celkové denní náklady co nejmenší?
1. Zapište a vyřešte matematický model.
2. Navrhněte na základě vypočtených výsledků hrubou prodejní cenu energie v jednotlivých
časových pásmech (pokud by se kalkulovala pouze z provozních nákladů). Jaké
jsou marginální náklady produkce pro jednotlivá období (tj. jakým tarifem by měl být
odběr zpoplatněn)?
3. Kolik by se ušetřilo zrušení 15-procentní rezervy?
10
9. Distribuční struktura
Firma má dvě továrny, jednu v Liverpoolu a druhou v Brightonu. Kromě toho má čtyři
sklady s úložnými kapacitami v Newcastle, Birminghamu, Londýně a Exeteru. Firma prodává
svůj produkt šesti zákazníkům C1, C2, ..., C6. Zákazníci mohou být zásobováni buď
ze skladu, nebo přímo z továrny. Náklady na distribuci (které nese ﬁrma) jsou známy; jsou
uvedeny v tabulce (v £za doručenou tunu).
Dodavatel
Liverpool Brighton Newcastle Birmingham London Exeter
Newcastle 0,5
Birmingham 0,5 0,3
London 1,0 0,5
Exeter 0,2 0,2
C1 1,0 2,0 1,0
C2 1,5 0,5 1,5
C3 1,5 0,5 0,5 2,0 0,2
C4 2,0 1,5 1,0 1,5
C5 0,5 0,5 0,5
C6 1,0 1,0 1,5 1,5
Někteří zákazníci vyjádřili preference ohledně toho, zda chtějí být zásobováni z továrny
nebo ze skladu, na který jsou zvyklí. Preferovaní dodavatelé jsou:
C1 - Liverpool (továrna)
C2 - Newcastle (sklad)
C3 - Žádné preference
C4 - Žádné preference
C5 - Birmingham (sklad)
C6 - Exeter nebo Londýn (sklady)
Každá továrna má měsíční kapacitu, kterou nelze překročit:
Liverpool 150 000 tun
Brighton 200 000 tun
Každý sklad má maximální měsíční průtok, který nelze překročit:
Newcastle 70 000 tun
Birmingham 50 000 tun
Londýn 100 000 tun
Exeter 40 000 tun
Každý zákazník má měsíční požadavek uvedený níže, který musí být splněn:
C1 50 000 tun
C2 10 000 tun
C3 40 000 tun
C4 35 000 tun
C5 60 000 tun
C6 20 000 tun
Společnost by chtěla zjistit:
1. Jaká distribuční struktura by minimalizovala celkové náklady?
11
2. Jaký by byl efekt zvýšení kapacity továrny a depa na distribuční náklady?
3. Jaké by byly efekty malých změn v nákladech, kapacitách a požadavcích na distribuční
strukturu?
4. Bylo by možné splnit všechny preference zákazníků ohledně dodavatelů a pokud ano,
jaké by byly dodatečné náklady na toto splnění?
12
10. Letecká společnost
Letecká společnost prodává letenky na lety do konkrétní destinace. Let má odletět za tři
týdny. Může využít až šest letadel, každé stojí 50 000 liber na pronájem. Každé letadlo má:
• 37 míst v první třídě,
• 38 míst v business třídě,
• 47 míst ve třídě ekonomické.
Až 10 % míst v libovolné kategorii lze přesunout do sousední kategorie. Společnost si přeje
stanovit cenu pro každé z těchto sedadel. Budou existovat další možnosti aktualizace těchto
cen po jednom týdnu a dvou týdnech. Jakmile zákazník zakoupí letenku, není možnost
zrušení. Z důvodu administrativní jednoduchosti jsou v každém období možné pouze tři
možnosti cenové úrovně v každé třídě (musí být vybrána jedna z nich). Není nutné vybrat
stejnou cenovou úroveň pro všechny třídy. Ty jsou uvedeny v tabulce pro aktuální období
(období 1) a dvě budoucí období.
Cenová úroveň 1 Cenová úroveň 2 Cenová úroveň 3
Období 1
First £1200 £1000 £950
Business £900 £800 £600
Economy £500 £300 £200
Období 2
First £1400 £1300 £1150
Business £1100 £900 £750
Economy £700 £400 £350
Období 3
First £1500 £900 £850
Business £820 £800 £500
Economy £480 £470 £450
Poptávka je nejistá, ale bude ovlivněna cenou. Byly provedeny předpovědi těchto poptávek
podle pravděpodobnostního rozdělení, které rozděluje úrovně poptávky do tří scénářů
pro každé období. Pravděpodobnosti tří scénářů v každém období jsou:
• Scénář 1: 0,1
• Scénář 2: 0,7
• Scénář 3: 0,2
Předpovídané poptávky jsou uvedeny v tabulce níže. Rozhodněte o cenových úrovních
pro aktuální období, kolik míst prodávat ve každé třídě (v závislosti na poptávce), dočasný
počet letadel k rezervaci a dočasné cenové úrovně a počty míst na prodej v budoucích obdobích
s cílem maximalizovat očekávaný výnos. Měli byste plánovat tak, abyste byli schopni
splnit závazky ve všech možných kombinacích scénářů.
13
Období 1
Scénář 1 Scénář 2 Scénář 3
Cenová úroveň 1 2 3 1 2 3 1 2 3
First 10 15 20 20 25 35 45 50 60
Business 20 25 35 40 42 45 45 46 47
Economy 45 55 60 50 52 63 55 56 64
Období 2
Scénář 1 Scénář 2 Scénář 3
Cenová úroveň 1 2 3 1 2 3 1 2 3
First 20 25 35 10 40 50 50 55 80
Business 42 45 46 50 60 80 20 30 50
Economy 50 52 60 60 65 90 10 40 60
Období 3
Scénář 1 Scénář 2 Scénář 3
Cenová úroveň 1 2 3 1 2 3 1 2 3
First 30 35 40 30 40 60 50 70 80
Business 40 50 55 10 40 45 40 45 60
Economy 50 60 80 50 60 70 60 65 70
Dodatečně se ukázalo (tj. zpětně vždy po začátku dalšího období), že poptávka v jednotlivých
obdobích (v závislosti na cenové úrovni, kterou jste zvolili) byla, jak je uvedeno v
tabulce níže.
Období 1 Období 2 Období 3
Option 1 2 3 1 2 3 1 2 3
First 25 30 40 22 45 50 45 60 75
Business 50 40 45 45 55 75 20 40 50
Economy 50 53 65 50 60 80 55 60 75
Použijte skutečné hodnoty poptávky determinové cenami, které jste nastavili v prvním
období, k opětovnému spuštění modelu na začátku druhého období pro nastavení cenových
úrovní pro toto období a dočasných cenových úrovní pro období 3.
Opakujte tento postup s opětovným spuštěním na začátku třetího období. Poskytněte
ﬁnální provozní řešení.
Porovnejte toto řešení s tím, které bylo získáno na začátku období 1 pomocí cenové strategie
zaměřené na maximalizaci výnosu na základě očekávaných poptávek.
14