PRÁCE OPRAVOVANÁ TUTOREM
Matematika 2, kombinované studium, 2023
JMÉNO (hůlkovým písmem): .............................................
UČO: .............................................
Datum odevzdání: .............................................
Podpis: .............................................
POT musí být vypracován RUČNE (prosím o slušnou úpravu, nečitelné řešení nebude hodnoceno). U úloh se hodnotí nejen výsledné řešení, ale též POSTUP! Pro ověření správnosti výsledků lze použít výpočetní program Wolfram Alpha. Práci je nutné odevzdat v papírové podobě na posledním tutoriálu nebo vložit naskenovanou jako JEDEN soubor formátu pdf do odevzdávárny nejpozději do 31.12.2023.
Zadání úloh
Příklad 1: Pro následující matice najděte vlastní čísla a také vektory, které odpovídají reálným vlastním číslům.
»{t-D b> i-lt)
/ 6 0 0 \ / 2 1 -1 \
c)      0 2 0 Id)      0 1 1 \ 0 0 4 / \ 2 0 -2 /
Příklad 2: Pomocí Sylvestrova kritéria rozhodněte o definitnosti kvadratické formy:
a) 24x2 + 3y2 - 2yz + 2z2 - 12xy + Axz b) 2x2 - Axy + by2 - 6yz + 3z2 c)   —x\ + 4xiX2 + IOX2X3 + 4^2 + 6x3      d)   —x2 + 2xy — by2 — Ayz — z2
Příklad 3: Najděte lineární aproximaci (Taylorův polynom prvního řádu) v bodě [1,1] pro funkce
a) f(x,y) = 2exy
b) f(x, y) = ex2-y2
c) f(x, y) = ^n(x + xy2 ~ 1)
d) f{x,y) = V3x - 2y
Příklad 4: Načrtněte uvedené množiny a rozhodněte, zda jsou konvexní:
a) {(x,y) :25>x2 + y2> 16}
b) {{x,y) : xy < 1}
c) {(x, y) : x > 0, y>0, xy > 1}
d) : x + y < 2}
Příklad 5: Rozhodněte o konvexitě/konkávnosti uvedených funkcí na množině M = {(x, y), x > 0, a y > 0}. Zdůvodněte!
a) z = 1 + ?/2 — ex
b) z = ex+y - f
c) z = ln(x + 3?/)2
d) z = e2aľ'y
Příklad 6: Použitím grafické metody řešte problémy lineárního programování a určete, která omezení jsou v bodě optima aktivní (mají nenulovou stínovou cenu). Zapište též duální problém.
b) max 2x + 7y
s podmínkami
c) max x + y
s podmínkami
d) min y — x
s podmínkami
■ + 3y < 12 x + y <  — 1
x > 0, y>2
Příklad 7: Pro každou z úloh formulujte matematický model a výsledný problém lineárního programování řešte graficky.
a) Zákazník se rozhoduje o nákupu ovoce, přitom má na výběr pomeranče a jablka. Cena pomerančů je 40 Kč za kg a cena jablek je 25 Kč za kg. Je známo, že 1 kg pomerančů obsahuje 4 mg vitamínu C a 1 kg jablek obsahuje 5 mg vitamínu C. Maximalizujte celkový obsah vitamínu C v zakoupeném ovoci, máte-li k dispozici rozpočet 200 Kč a tašku o nosnosti 20 kg.
b) Kandidát na starostu v okresním městě plánuje poslední etapu předvolební kampaně, na kterou si vyhradil rozpočet 40 000Kč. Agentura mu nabízí zajistit vyvěšení reklamních banerů po 500Kč s odhadovným dosahem 3000 lidí za baner. Dále je možné objednat odvysílání předvolebních spotů v kabelové televizi s cenou 800 Kč a dosahem 7000 lidí za jedno odvysílání. Kandidát rozhodl, že by chtěl objednat alespoň 16 reklam každého druhu, s podmínkou, že zveřejněných banerů nebude více než odvysílaných spotů. Pomožte navrhnout kampaň v rámci stanoveného rozpočtu, tak aby oslovila co nejvíce lidí a přitom splňovala všechny stanovené podmínky.
c) V keramické dílně vyrábějí designové misky a hrnky. K výrobě je potřeba pouze speciální keramická hlína a kvalifikovaná pracovní síla. Tabulka uvádí náročnost jednotlivých produktů na výrobní zdroje společně s jejich prodejní cenou.
Výrobek	Práce (hodin/ks)	Hlína (kg/ks)	Příjem (Kč/ks)
Miska	1	0,4	40
Hrnek	2	0,3	50
Dílna má na týden k dispozici 1 pracovníka s 40-hodinovým pracovním týdnem a 12 kg hlíny, odbyt je zajištěn prostřednictvím partnerské firmy. Rozvrhněte výrobu mezi jednotlivé výrobky tak, aby byl maximalizován zisk.
d) Specializovaný zemědělský obchod prodává směsi hnojiv s obchodními názvy Gro-Plus a Crop-Fast. Směsi mají různý obsah účinných látek, viz tabulka:
Značka	Dusík (kg/balení)	Fosfor (kg/balení)
Gro-Plus	2	4
Crop-Fast	4	3
Zemědělské družstvo potřebuje pro svá pole minimálně 16 kg dusíku a 24 kg fosforu. Jedno balení Gro-Plus stojí 60 Kč, zatímco balení Crop-Fast je jen za 30 Kč. Navrhněte družstvu, nejlevnější kombinaci hnojiv, tak aby byly splněny požadavky na obsah účinných látek.
Příklad 8: Užitím metody Lagrangeových multiplikátorů řešte problém a pomocí zjištěné hodnoty multiplikátoru odhadněte, o kolik se zvýší optimum při změně omezení o 0,1.
a) max ln(x) + 21n(y)      za podmínky x + y = 1.
b) min 2x + Sy — 4      za podmínky x ■ y = 6.
c) min exl2 + ey      za podmínky x + 2?/ = 4.
d) min x + 4t/2      za podmínky x • y = 1.
Příklad 9: Pro daný optimalizační problém sestavte Lagrangeovu funkci a vyjádřete Kuhn-Tuckerovy podmínky pro optimální řešení.
a) max 2 — x2 — y2   s podmínkami   x > 1   a   y > 2
b) min x2 + x + y2 za podmínky x2 + y2 < 1.
c) mm   (x + 1) + 2ÍI za podmínky 2x + y > 4.
d) mm (x — l)2 + 2(y — 2)2 za podmínky x — y > 0.
Příklad 10: Spotřebitel má užitkovou funkci F (x, y), kde x je množství výrobku A a y množství výrobku B. Vyjádřete pro něj mezní míru substituce mezi A a B (tj. —y'(x)) a vyčíslete je pro x = 1,1/ = 1.
a) F(x, y) = Vx + V9y
b) F(x, y) = 2 - ex - ey
c) F(x, y) = VŠx ■ Vž/ + 2
d) F{x, y) = ln(l + 2x) + ln(?/ + 1)