CVIČENÍ 2: LINIE ROZPOČTU, PREFERENCE A UŽITEK
Linie rozpočtu
1. Odpovězte a vysvětlete:
(a) (!) Jaká je definice linie rozpočtu a rozpočtové množiny? Napište je do matematických výrazů pro dva statky.
(b) (!) Co je to kompozitní statek? K čemu nám tento pojem slouží?
(c) (©) Jaké může mít linie rozpočtu tvary?
2. (!) Petr má rozpočtové omezení piXi -\-p2X2 = m, kde x\ a pi je množství a cena statku 1 a X2 a P2 množství a ceny statku 2. Napište, jak bude vypadat nové Petrovo rozpočtové omezení, pokud dostane dávku (paušální dotaci) s ve výši poloviny svého příjmu m a zároveň je uvalena na statek 2 daň z přidané hodnoty i ve výši 50 %. Zakreslete původní a nové rozpočtové omezení do grafu.
3. (!) Lucie dbá na zdravou výživu. Za své kapesné si kupuje pouze rajčata a jogurty. Pokud utratí celé své kapesné, může si dovolit přesně 15 rajčat a 2 jogurty nebo 5 rajčat a 4 jogurty.
(a) Pokud by utratila celé své kapesné pouze za jogurty, kolik by si jich mohla koupit?
(b) Jak velké je Luciino kapesné, pokud víme, že jedno rajče v místním konzumu stojí 2 Kč?
4. (©) Lucie má sestřenici Nikitu. Nikita si za své kapesné kupuje plastové bazuky a mačety v místním hračkářství. Pokud utratí celý svůj rozpočet, může získat 4 bazuky a 3 mačety. Jedna bazuka stojí dvakrát tolik co jedna mačeta. Tento měsíc rodiče Nikitě dali dvojnásobné kapesné. Pokud si bude chtít nadále kupovat 4 bazuky, kolik mačet si může maximálně pořídit?
5. (©) Karel má stresující povolání. Proto chodí každý pracovní den hned po práci do cukrárny. Přijde tam vždy přesně hodinu před zavíračkou. Jí zde pouze věnečky V a trubičky T. Na útratu má každý den 150 Kč. Jeden věneček stojí ho stojí 15 Kč a jedna trubička 10 Kč. Karel nemůže jíst zákusky moc rychle. Zatímco jeden věneček sní přesně za 5 minut, trubičku jí 10 minut, protože se mu drolí. Pokud nestihne dojíst před zavíračkou, majitelka cukrárny ho vyhodí a zákusky mu sebere. Nakreslete Karlovo rozpočtové omezení a vyznačte jeho rozpočtovou množinu.
6. (©) Lada má zvláštní stravovací návyky. Jí pouze párky v rohlíku a to jen, pokud je zakoupí v pravé poledne. Párky navíc nakupuje pouze na jednom místě v Brně a na jednom místě v Praze. Ladin denní rozpočet je 50 Kč a jeden párek v rohlíku stojí 10 Kč, ať už je zakoupen v Praze nebo v Brně. Zakreslete Ladinu denní rozpočtovou množinu, kde na vodorovné ose jsou párky v rohlíku zakoupené v pravé
poledne v Praze a na svislé ose párky v rohlíku zakoupené v pravé poledne v Brně.
7. (©) V současnosti ve Spojených státech funguje systém tzv. školních obvodů (school districts). Všechny rodiny musí platit školní daně, z kterých se financují veřejné školy v daném obvodu. Pokud se rodina rozhodne poslat děti do soukromé školy, nadále platí provoz státních škol prostřednictvím školních daní. Manželé Smithovi mají příjem m a platí školní daň d. Pokud pošlou své dítě do soukromé školy, platí stále školní daň d a navíc musí platit skoukromé školné s. Předpokládejme, že je v okolí na výběr velké množství soukromých škol s libovolnou výší školného vyšší s > d. Nakreslete rozpočtové omezení Smi-thových s částkou v, která půjde na vzdělání jejich dítěte, na vodorovné ose a kompozitním statkem y na svislé ose. Předpokládejte přitom, že se tato částka utracená na vzdělání v bude přesně rovnat školním daním d v případě, že jejich dítě navštěvuje veřejnou školu, a školnému s v případě, že navštěvuje soukromou školu.
Preference a užitek
8. Odpovězte a vysvětlete:
(a) (!) Definujte úplnost, reflexivitu a tranzitivitu. K čemu tyto předpoklady slouží?
(b) (!) Definujte monotónnost a konvexnost. K čemu tyto předpoklady slouží?
(c) (©) Jsou dokonalé substituty a dokonalé kom-plementy striktně konvexní?
(d) (©) Co je to nežádoucí statek? Jak bude vypadat jeho indiferenční křivka?
(e) (©) Co je to bod nasycení? Jsou preference s bodem nasycení monotónní?
9. Odpovězte a vysvětlete:
(a) (!) Jak funguje užitková funkce?
(b) (!) Co je to monotónní transformace užitkové funkce? Uveďte příklad této transformace?
(c) (©) Zapište do vzorce nějaký příklad pro každou z následujících užitkových funkcí: dokonalé substituty, dokonalé komplementy, kvazilineární preference, Cobb-Douglasovy preference.
(d) (©) Co je to mezní míra substituce? Jaká je její interpretace?
10. (!) Alenka z říše divů spotřebovává pouze houby h a dortíky d. Alenčiny indiferenční křivky mají rovnici d = konstanta — 3\/h, kde vyšší konstanta odpovídá vyšší indiferenční křivce.
(a) Napište nějakou Alenčinu užitkovou funkci. Jak se jmenují tyto preference?
(b) Spočítejte mezní míru substituce v bodech (h,ď) = (4, 9) a (9, 12).
(c) Vykazuje tato Alenčina indiferenční křivka klesající mezní míru substituce?
11. (!) Udo chodí každý rok na Oktoberfest s kolegou z práce Jůrgenem. Udo má rád pivo a pije ho rychle. Je mu jedno, jestli ho pije z půllitru nebo z tupláku. Naproti tomu Jůrgen je „Feinschmecker" a nemá rád zvětralé pivo. Když mu Udo přinese tuplák, vypije polovinu a polovinu vylije pod stůl.
(a) Pokud počet půllitrů označíme p a počet tupláků i, jak by mohla vypadat Udova a Jůrge-nova užitková funkce?
(b) Jakou budou mít mezní míru substituce, pokud počet tupláků vyznačíme na vodorovné ose?
12. (©) Kromě piva spotřebovává Udo také bavorské klobásky. Preferuje vždy více piva před méně pivem, ale z klobásek se mu časem začne dělat špatně. Dokud jich sní méně než 20, chutnají mu tak, že by byl ochotný je směňovat v konstantním poměru 2 klobásky za 1 pivo. Pak se jich ale přejí a každou další klobásu by byl ochotný sníst jen v případě, že by si k němu dal jedno pivo. Udo obvykle za večer na Oktoberfestu vypije 10 piv a sní 10 klobás. Dnes Udo na soutěži jedlíků spořádal 24 klobás. Kolik si bude muset dát piv, aby se cítit stejně dobře jako obvykle?
13. (©) Kamila Pilná chce mít vždy co nejvíc bodů. Chodí na cvičení k Ing. Slavíkovi, který má na cvičeních dvě průběžné písemky. Do konečné známky však počítá pouze body z písemky, která dopadla lépe.
(a) Napište její užitkovou funkci, pokud bi jsou body z první a 62 body z druhé písemky. Jaký tvar budou mít Kamiliny nějakou indiferenční křivky nad kombinacemi bodů z první a druhé písemky?
(b) Jak bude vypadat její užitková funkce, pokud bude chodit do cvičení k Ing. Krkavcovi, který naopak započítává pouze horší výsledek z obou
písemek? Jaký tvar budou mít její indiferenční křivky?
14. (©) Dr. Dobrák má 3 průběžné písemky. Nejhorší skóre z těchto tří písemek pak nepočítá a dává každému studentu jeho průměrné skóre ze dvou zbývajících písemek. Jedna z jeho studentek dostala 70 ze své první písemky. X2 je skóre z její druhé písemky a 2:3 je skóre z její třetí písemky. Nakreslete její indiferenční křivku, která bude procházet bodem (x2,x3) = (50, 80).
15. (©) Toto jsou užitkové funkce vybraných pohádkových postav:
Rampa McQuack: U(x, y) = xy; Jerry: U(x,y) = xy(l - xy); Tom: U(x,y) = lOOOzy + 2000; Dulík: U(x,y) = -1/(10 + zy); Pat: U(x,y) = x/y; Mat: U{x,y) = —xy.
(a) Které postavy mají stejný tvar indiferenčních křivek jako Rampa McQuack?
(b) Které  postavy mají stejné  preference jako Rampa McQuack?
16. (©) Tan Tee má rád silný zelený čaj, čím silnější, tím lepší. Síla čaje se měří počtem čajových lístků x v konvici. Nedokáže však rozlišit malé rozdíly. V průběhu let jeho žena zjistila, že Tan Tee preferuje čaj s x lístky před čajem s x' lístky (tedy x >~ x'), pouze pokud x — x' > 2. Jinak je mezi těmito dvěma čaji indiferentní (tedy x ~ x').
(a) Ukažte na příkladu, že ~ není pro Tan Tee tranzitivní.
(b) Ukažte, že >~ je pro Tan Tee tranzitivní.
17. (©) Předpokládejme, že preference jsou monotónní a konvexní. Jak by vypadaly indiferenční křivky u (nedokonalých) substitutů a komplementů? Vymyslete situaci, kdy by mohly být u jednoho spotřebitele dva statky (např. rohlík a bábovka) pro nízký užitek substituty a pro vysoký komplementy?
VÝSLEDKY
Linie rozpočtu
2. pixi +P2(l + t)x2 = m + s PiXi + 1, 5p2X2 = 1, 5m
3. (a) 5.
(b) 50 Kč.
4. 14.
Preference a užitek
10. (a) U(d, h) = d + 3\/h. Kvazilineární preference.
(b) Pro h = 4, MRS =  -3/4, a pro h = 9, MRS = -1/2.
(c) Ano.
11. (a) Udo: U{p, t) =p + 2í; Jürgen: U{p, t) = p + t. (b) Udo: —2, Jürgen: —1.
12. 9.
13. (a) U(bi, 62) = max{&i, 62}. Indiferenční křivky bu-
dou mít tvar obráceného písemene L - úsečky doleva a dolů od zlomu, (b) U(bi, 62) = min{&i, 62}. Indiferenční křivky budou mít tvar písemene L.
14. Indiferenční křivka se bude skládat ze tří úseček. První povede z bodu (2:2,2:3) = (0, 80) do bodu (70, 80), druhá z (70, 80) do (80, 70) a třetí z (80, 70) do (80, 0).
15. (a) Tom, Jerry, Mat a Dulík. (b) Tom a Dulík.