SMĚNA A PRODUKCE - řešené příklady 1. Spotřebitelé A a B mohou nakupovat pouze dva statky, statek 1 a 2. Spotřebitel A má Cobb-Douglasovu užitkovou funkci Ua(x\, xa) = x\xAl kde x\ je množství statku 1 a x\ je množství statku 2. Spotřebitel B má užitkovou funkci Ub(xb,xb) = xBx2B. Spotřebitel A má počáteční vybavení statku 1 uj\ = 8 a statku 2 uj2a = 2. Spotřebitel B má počáteční vybavení statku 1 ujb = 2 a statku 2 uj2b = 3. (a) Jaká je rovnovážná cena statku 1, když je statek 2 numeraire (p2 = 1)? (b) Jaké jsou rovnovážné spotřební koše spotřebitelů A a B? Řešení (a) Rovnováhu můžeme popsat pomocí vektoru cen {p\,p2), kterých pro statek 1 a 2 platí, že součet poptávek spotřebitele A a B se rovná součtu vybavení spotřebitele A a B, tedy xa(Pi,P2) +xb(Pi,P*2) = ^a + ^b xa(Pi,P*2) + xb(Pi,P*2) = uA+u%, kde xA{p\,p2) je poptávka spotřebitele A po statku 1. Po dosazení vybavení spotřebitelů si můžeme vyjádřit poptávky spotřebitele B jako xb(p*i,P*2) = W-x1a(p*1,p*2) (1) x2B(p*i,p*2) = 5-xA(p*1,p*). (2) Každý spotřebitel v rovnováze volí nejlepší koš, který si může dovolit. Protože jsou in-diferenční křivky obou spotřebitelů hladké a konvexní a je zaručeno vnitřní řešení (Cobb-Douglasova užitková funkce), budeme hledat takovou rovnovážnou alokaci, ve které se budou indiferenční křivky spotřebitelů dotýkat linie rozpočtu. V této alokaci bude platit, že MRSA = MRSs xa(P\'P*2) = xb(Pi>P*2) XjSPiiPI) xb(p*i,P*2)' Substitucí (1) a (2) za poptávky spotřebitele B získáme xa(pIP2) = 5-Xa(Pi>P2) xa(Pi>P2) ÍO-^aCpÍ-P^)' Úpravou tohoto výrazu dostaneme poměr, ve kterém jsou v rovnováze spotřebovávány statky 1 a 2 x1A(p*1,p*)=2xA(p*1,p*). (3) V rovnovážné alokaci je zároveň sklon linie rozpočtu rovný sklonu indiferenčních křivek obou spotřebitelů, tedy platí, že -4 = MRSA. P2 Statek 2 je numeraire (pg = 1)- Dosazením za P2 ^ ^a MRSa získáme p* = xa(p*i>P*2) 1 xa(p1>P2)' Substitucí (3) dostaneme * = xa(Pi,P2) Pl ^x\{Pl,P2) (b) Rovnovážná alokace spotřebitele A je {x\{pl,pl),x\{p\,p*2)). Poptávky spotřebitele A po statku 1 a 2 pro Cobb-Douglasovy preference jsou i _ mA 2 _ Xa ~ 2pl &xa - 2p* ' kde je ttia je příjem spotřebitele A. Příjem spotřebitele A se rovná hodnotě vybavení spotřebitele A, tedy mA = pl^\ + P^a = ®-Dosazením do poptávek získáme rovnovážný spotřební koš spotřebitele A (x1A{plp*2),x2A(p*1,p*2)) = (6,3). Analogicky vypočítáme rovnovážný rovnovážný spotřební koš spotřebitele B (xB(pl1f2)1xl(pl1f2)) = (A12). Řešení příkladu je znázorněno v následujícím obrázku. Bod W znázorňuje počáteční alokaci a bod M rovnovážnou alokaci. Smluvní křivka je označená zkratkou CC. Linie rozpočtu BL má sklon — p\/p2 = —1/2. x2 3 2 A x1 4 2 B t i s. 1 1--- i >2 1--- r '3 ■^GG i i i i ^2 6 8 xi 2. Spotřebitelé A a B mohou nakupovat pouze dva statky, statek 1 a 2. Spotřebitel A má užitkovou funkci U a (a a' a ) = l{3 }, kde množství statku 1 je množství statku je 2. Spotřebitel B má užitkovou funkci t/s(xg, x2B) = xB + x^. Spotřebitel A má počáteční vybavení statku 1 uj\ = 9 a statku 2 uj2a = 5. Spotřebitel B má počáteční vybavení (ujb,u!b) = (6,5). Jaké jsou rovnovážné spotřební koše spotřebitelů A a B? Řešení Rovnováhu můžeme popsat pomocí vektoru cen (pÍjP;Í)j Při kterých pro statek 1 i 2 platí, že součet poptávek spotřebitelů A a B se rovná součtu vybavení spotřebitelů A a B, tedy xa(Pi,P2) + xb(Pi,P2) = ^a + ^b ad (PÍ > Psí) + xb(Pi,P*2) = u2a + uj 2 b ! kde x\(pi,P2) je poptávka spotřebitele A po statku 1. Statky 1 a 2 jsou pro spotřebitele A dokonalé kom-plementy. Bude poptávat spotřební koše se stejným množstvím obou statků, tedy x — x a. Naopak pro spotřebitele B jsou statky 1 a 2 dokonalé substituty. Spotřebitel B bude ochotný spotřebovávat oba statky pouze v případě, že se jeho mezní míra substituce rovná sklonu linie rozpočtu, tedy MRSB PÍ P*2 Pokud si např. cenu statku 2 určíme jako numeraire (píj = 1) a spočítáme mezní míru substituce spotřebitele B, rovnovážná cena statku 1 bude PÍ = 1- Poptávka spotřebitele A po statcích 1 a 2 je ^(Pl.Psí) = ^(PÍ.Psí) m a Pí +P5 Za příjem spotřebitele A uia můžeme dosadit rriA = Pi^\ + P2wa- Poptávka spotřebitele A po statcích 1 a 2 xA(pl,p^) = x2A{p\,p*2) je mA PÍ +P2 * 1 i * 2 Pl^a+P2^1 PÍ +P2 = 7. Rovnovážný spotřební koš spotřebitele A tedy bude (s;a(pÍ,P2),^a(pÍ'P2)) = (7>7)- Rovnovážný spotřební koš spotřebitele B bude rozdíl mezi celkovým vybavením a spotřebním košem spotřebitele A, tedy (xIípIp^xKpIpZ)) = (8,3). Řešení příkladu ukazuje následující obrázek. Bod W znázorňuje počáteční alokaci a bod M rovnovážnou alokaci spotřebitele. Sklon linie rozpočtu je stejný jako sklon indiferenčních křivek spotřebitele B. Smluvní křivka CC má tvar x2A = xi 8 6 x2 7 5 A — s?- /! iCa rvi J -\w_______ IVCb = BL /cc . 1 \ B 3 5 x2 7 Xl Spotřebitelé A a B mohou nakupovat pouze dva statky, statek 1 a 2. Spotřebitel A má kvazilineární užitkovou funkci Ua(x\,xa) = x\ + A^/xA, kde x\ je množství statku 1 a x2A je množství statku 2. Spotřebitel B má užitkovou funkci Ub(xb,xb) = xB + 6^/x2B. Spotřebitel A má počáteční vybavení statku 1 lja = 20 a statku 2 uj2a = 6. Spotřebitel B má počáteční vybavení ujb = 60 a lo2b = 7. Jaká je rovnovážný spotřební koš spotřebitele A? Řešení Rovnováhu můžeme popsat pomocí vektoru cen (pÍjP;>)j Při kterých pro statek 1 a 2 platí, že součet poptávek spotřebitele A a B se rovná součtu vybavení spotřebitele A a B, tedy xa(Pi,P*2) + xb(Pi,P*2) = uA + ujb xa(Pi,P2) + xb{PiiP*2) =u2A + u%, kde xA(pi,p2) je poptávka spotřebitele A po statku 1. Po dosazení vybavení spotřebitelů si můžeme vyjádřit poptávky spotřebitele B jako xb(plP2) = 80-x1A(pt,p*) x2b(p*i,P*2) = ^-x2a(p*1,p*). (4) Každý spotřebitel v rovnováze volí nejlepší koš, který si může dovolit. Indiferenční křivky obou spotřebitelů jsou hladké a konvexní (viz konkrétní tvar užitkové funkce). V dalším postupu budeme předpokládat, že bude dosaženo vnitřního řešení. Budou-li oba spotřebitelé v rovnovážné alokaci spotřebovávat kladná množství obou statků, je tento předpoklad splněn a nalezené řešení je rovnovážné. Pokud by některý ze spotřebitelů poptával záporné množství některého ze statků, nalezená alokace by nebyla rovnovážná. V tomto případě bychom museli hledat rohové řešení. Nyní však hledáme takovou výslednou alokaci, ve které se indiferenční křivky spotřebitelů dotýkají linie rozpočtu. V této alokaci bude platit, že MRSA = MRSs \/^a(Pi»P2) = \/sg(PÍ.P2) 2 3 3^2A(pt,p^=2^x2B(pt,p*) Substitucí (4) za poptávku spotřebitele B získáme 3^2A(pl,p*2) = 2^13-x2A(pl,p*) 9xa(Pi,P2) = 52-4xA(pí,p2) 13x2A(pl,p*2) = 52 V rovnovážné alokaci je zároveň sklon linie rozpočtu rovný sklonu indiferenčních křivek obou spotřebitelů, tedy platí, že _El = MRSA. P\ Pokud si rovnovážnou cenu statku 2 zvolíme jako numeraire (p2 = 1) a dosadíme za MRSa, získáme Pi = 1- Spotřebitel A poptává 4 jednotky statku 2 a utrácí zbytek svého příjmu za statek 1. Pokud je jeho příjem vyšší nebo rovný výdajům na poptávané množství statku 2, jeho poptávka po statku 1 je Pl kde je příjem vtia = Pi^\ + P&a = Jeno spotřeba statku 1 je tedy *A(pí,p£) = 26 -4 = 22. Spotřebitel A tedy poptává spotřební koš (xa(p1,p*2),xa(pIp*2)) = (22,4). Vzhledem k velikosti celkového vybavení bude i spotřebitel B poptávat kladná množství obou statků. Dosáhli jsme vnitřního řešení u obou spotřebitelů. Nalezená alokace je tedy rovnovážná.