BPM_STAE: Koncepty a procedury - cvičení 11. kapitola 10 1. Stručně vysvětlete význam nezávislých a závislých výběrů. Uveďte jeden příklad každého. 2. Popište výběrové rozdělení x\ — x2 pro dva nezávislé výběry, když o\ a a2 jsou známy a buď oba výběry mají velkou velikost nebo obě populace mají normální rozdělení. Jaké jsou průměr a směrodatná odchylka tohoto rozdělení? 3. Následující informace je získána ze dvou nezávislých výběrů ze dvou normálně rozdělených populací. ni = 20 xx = 8.34 ax = 1.89 n2 = 15 x2 = 4.85 a2 = 2.72 (a) Jaký je bodový odhad pro /ii — jj,2? (b) Sestavte 99% interval spolehlivosti pro /ii — jj,2 a určete chybové rozpětí tohoto odhadu. 4. Následující informace je získána ze dvou nezávislých výběrů ze dvou populací. nx = 750 xx = 1.05 s1 = 4.85 n2 = 800 x2 = 1.54 s2 = 7.60 (a) Jaký je bodový odhad pro fii — jj,2? (b) Sestavte 95% interval spolehlivosti pro fii — fi2 & určete chybové rozpětí tohoto odhadu. 5. Následující informace je získána ze dvou nezávislých výběrů ze dvou normálně rozdělených populací. Testujte na hladině významnosti 5%, zda jsou oba populační průměry odlišné. ni = 24 x,x = 5.56 si = 1.65 n2 = 27 x2 = 4.80 s2 = 1.58 6. Následující informace je získána ze dvou nezávislých výběrů ze dvou populací. Testujte na hladině významnosti 5%, zda je /ii menší než jj,2. ni = 300 ži = 22.0 si = 4.9 n2 = 250 x2 = 27.6 s2 = 4.5 7. Vysvětlete, jaké podmínky musí být splněny pro použití studentova t-rozdělení k sestavení intervalu spolehlivosti a testování hypotézy o /ii —jj,2 pro dva nezávislé výběry ze dvou populací s neznámými, ale stejnými směrodatnými odchylkami. 8. Následující informace byla získána ze dvou nezávislých výběrů ze dvou normálně rozdělených populací s neznámými, ale stejnými směrodatnými odchylkami. ni=21 Si = 12.82 si=4.12 n2 = 20 x2 = 16.75 s2 = 3.46 (a) Jaký je bodový odhad pro /ii — jj,2? (b) Sestavte 95% interval spolehlivosti pro /ii — jj,2. 9. Následující informace byla získána ze dvou nezávislých výběrů ze dvou normálně rozdělených populací s neznámými, ale stejnými směrodatnými odchylkami. Testujte na hladině významnosti 5%, zda jsou oba populační průměry odlišné. ni=21 Si = 12.82 si=4.12 n2 = 20 x2 = 16.75 s2 = 3.46 1 10. Následující informace byla získána ze dvou nezávislých výběrů ze dvou populací s neznámými, ale stejnými směrodatnými odchylkami. Testujte na hladině významnosti 1%, zda jsou populační průměry odlišné. ni = 50 xx = 90.40 si = 10.40 n2 = 55 x2 = 86.30 s2 = 9.75 11. Následující informace byla získána ze dvou nezávislých výběrů ze dvou populací s neznámými, ale stejnými směrodatnými odchylkami. Testujte na hladině významnosti 5%, zda je yui větší než jj,2. ni = 50 xx = 90.40 si = 10.40 n2 = 55 x2 = 86.30 s2 = 9.75 12. Následující informace byla získána ze dvou nezávislých výběrů ze dvou normálně rozdělených populací s neznámými, ale stejnými směrodatnými odchylkami. Vzorek 1: 47.7, 42.8, 51.9, 34.1, 65.8, 61.5, 52.1, 40.8, 53.1, 46.1. 47.9, 45.7, 46.7 Vzorek 2: 50.0, 47.4. 32.7, 38.6, 54.0, 46.3, 42.5, 40.8, 39.0, 68.2 (a) Nechť yui resp. jj,2 je střední hodnota populace 1. resp. populace 2. Jaký je bodový odhad pro /ii — jj,2? (b) Sestavte 98% interval spolehlivosti pro /ii — jj,2. (c) Testujte na hladině významnosti 1%, zdaje yui větší než jj,2. 13. Následující informace byla získána ze dvou nezávislých výběrů ze dvou normálně rozdělených populací s neznámými, ale stejnými směrodatnými odchylkami. Vzorek 1: 2.18, 2.23, 1.96, 2.24, 2.84, 1.87, 2.68, 2.15, 2.49, 1.95, Vzorek 2: 1.82, 1.86, 2.00, 1.89, 1.73, 1.34, 1.43, 2.05, 1.54, 2.50, 2.08, 2.13, (a) Nechť yui resp. jj,2 je střední hodnota populace 1. resp. populace 2. Jaký je bodový odhad pro /ii — jj,2? (b) Sestavte 99% interval spolehlivosti pro fii — jj,2. (c) Testujte na hladině významnosti 2.5%, zda je /ii nižší než jj,2. 14. Za předpokladu, že obě populace pochází z normálního rozdělení s nerovnými a neznámými směrodatnými odchylkami, sestavte 95% interval spolehlivosti pro fii —jj,2 pro následující hodnoty. Testujte na hladině významnosti 5%, zda se oba populační průměry liší. Testujte na hladině významnosti 1%, zda je yui menší než jj,2. ni = 24 x,x = 20.50 si = 3.90 n2 = 16 x2 = 22.60 s2 = 5.15 15. Za předpokladu, že obě populace mají nerovné a neznámé směrodatné odchylky, sestavte interval spolehlivosti 99% pro /ii — jj,2 pro následující hodnoty. Testujte na hladině významnosti 1%, zda se oba populační průměry liší. Testujte na hladině významnosti 2.5%, zdaje /ii větší než jj,2. ni=50 ži = 0.863 si = 0.143 n2 = 48 x2 = 0.796 s2 = 0.048 16. Vysvětlete, kdy byste použili postup k sestavení intervalů spolehlivosti a testování hypotéz pro párové výběry. 17. Najděte intervaly spolehlivosti pro Předpokládejte, že populace párových rozdílů je normálně rozdělená. (a) n = 12, d = 17.5, s0,n = 15, ď= 8.8, sd = 4.7, a = 0.01. (c) Ho:Hd = 0,H1:nd<0,n = 20, ď = -7.4. sd = 2.3. a = 0.10. 19. Jaký je tvar výběrového rozdělení p\ —p2 pro dva velké vzorky? Jaké jsou střední hodnota a směrodatná odchylka tohoto výběrového rozdělení? 20. Kdy jsou výběry považovány za dostatečně velké pro to, aby výběrové rozdělení rozdílu mezi dvěma výběrovými poměry bylo (přibližně) normální? 21. Sestavte 95% interval spolehlivosti pro pi —p2 pro následující hodnoty: ri\ = 300, p\ = 0.55, ni = 200, pí = 0.62 22. Sestavte 99% interval spolehlivosti pro p\ — pí pro následující hodnoty: ri\ = 100, p\ = 0.81, rig = 150, P2 = 0.74 23. Uvažte následující informace získané ze dvou nezávislých vzorků: ri\ = 300, p\ = 0.55, rig = 200, P2 = 0.62. Otestujte na hladině významnosti 1%, zda jsou oba poměry populací různé. 24. Uvažte následující informace získané ze dvou nezávislých vzorků: ri\ = 100, p\ = 0.81, rig = 150, P2 = 0.77. Otestujte na hladině významnosti 5%, zda je p\ — p2 odlišné od nuly. 25. Představte si, že zkoumáme míru výskytu určité vlastnosti v rámci dvou různých populací. Výběr 1000 pozorování z první populace obsahuje 290 případů s touto vlastností. Další výběr 1200 pozorování z druhé populace obsahuje 396 případů s touto vlastností. Naším cílem je zjistit, zda se podíl případů s touto vlastností v obou populacích liší. (a) Najděte bodový odhad p\ — P2- (b) Sestavte 98% interval spolehlivosti pro p\ — P2- (c) Ukážete oblasti zamítnutí a nepřijetí na výběrovém rozdělení p\ — p2 pro Hq : p\ = p2 versus H\ : p\ ^ P2-Použijte hladinu významnosti 1%. (d) Najděte hodnotu testové statistiky z pro test z části c). (e) Zamítnete nulovou hypotézu uvedenou v části c) na hladině významnosti 1%? 26. Představte si, že zkoumáme míru výskytu určité vlastnosti v rámci dvou různých populací. Výběr 500 pozorování z první populace obsahuje 305 případů s touto vlastností. Další výběr 600 pozorování z druhé populace obsahuje 348 případů s touto vlastností. Naším cílem je zjistit, zda se podíl případů s touto vlastností v obou populacích liší. (a) Najděte bodový odhad p\ — P2- (b) Sestavte 97% interval spolehlivosti pro p\ — P2- (c) Nalezněte oblasti zamítnutí a nepřijetí na výběrovém rozdělení p\ —p2 pro Hq :p\= P2 versus H\ :p\ > P2-Použijte hladinu významnosti 2.5%. (d) Najděte hodnotu testové statistiky z pro test z části c). (e) Zamítnete nulovou hypotézu uvedenou v části c) na hladině významnosti 2.5%? 3