4 Funkce
Nechť jsou dány množiny D ⊆ R, H ⊆ R. Předpis f, který každému x ∈ D přiřazuje právě jedno
y ∈ H, nazýváme funkcí jedné proměnné. Tuto funkci označujeme
y = f(x).
Množina D se nazývá definiční obor funkce f a značí se D(f), množina H se nazývá obor hodnot
funkce f a značí se H(f).
Jednoduše řečeno je tedy pro nás funkce pravidlo, které vybraným číslům přiřazuje nějaká čísla,
ale nemůže se stát, že by jednomu číslu přiřadilo dva různé výsledky.
Již na střední škole se probírá mnoho příkladů funkcí:
• lineární funkce y = ax + b;
• kvadratická funkce y = ax2
+ bx + c, kde a ∕= 0;
• lineární lomená funkce (nepřímá úměra) y = k
x
, kde k ∈ R \ {0};
• exponenciální funkce y = ax
(a > 0), speciálně y = ex
, kde e je Eulerovo číslo (e ≈ 2,71828);
• logaritmická funkce y = loga x (a > 0, a ∕= 1), speciálně pro a = e máme přirozený logaritmus
y = ln x a pro a = 10 dekadický logaritmus y = log x.
Kromě typického zadání můžeme funkce zadat také tabulkou hodnot nebo jejich grafickou reprezentací
– grafem.
Křivka v rovině je grafem nějaké funkce proměné x právě tehdy, když neexistuje žádná přímka
rovnoběžná s osou y, která by protínala tuto křivku více než jednou.
Příklad 4.1. Na obrázku níže je graf funkce f(x). Najděte celá čísla, která jsou nejblíže řešení
rovnice f(x) = 2.
Příklad 4.2. Na obrázku níže je graf funkce f(x). Určete, která z následujících rovnic má právě dvě
kladná řešení:
f(x) = −3, f(x) = −2, f(x) = 0, f(x) = 2, f(x) = 3.
Příklad 4.3. Na obrázku níže je graf funkce f(x). Určete, které z následujících intervalů jsou podmnožinou
řešení nerovnice f(x) > 0:
(−6, 7), (−5, −1), (4, 6), (0, ∞), (0, 4).
Příklad 4.4. Na obrázku níže jsou grafy funkcí f(x) a g(x). Najděte celá čísla, která jsou nejblíže
řešení rovnice f(x) = g(x).
Známe-li graf nějaké funkce f(x), můžeme snadno nakreslit i graf funkce složitější, základní pravidla
vypadají takto:
1. Graf funkce f(x) + p získáme posunutím o p jednotek grafu funkce f(x) ve směru osy y.
2. Graf funkce f(x + p) získáme posunutím o p jednotek grafu funkce f(x) ve směru osy x. Pro p
kladné posunujeme doleva, pro p záporné doprava.
3. Graf funkce −f(x) získáme tak, že část grafu funkce f(x), která byla pod osou, symetricky
zobrazíme nad osu x a část grafu funkce f(x), která byla nad osou, symetricky zobrazíme pod
osu.
4. Graf funkce |f(x)| získáme tak, že část grafu funkce f(x), která byla pod osou, symetricky
zobrazíme nad osu x.
Příklad 4.5. Nakreslete grafy funkcí:
1. y = 2x 2. y = −x − 1
3. y = (x − 1)2
4. y = −(x + 1)2
5. y = 1
x+1
6. y = 1
x
− 1
7. y = log(x − 2) 8. y = log x + 1
9. y = 2x−2
10. y =
󰀃1
2
󰀄x
− 3
11. y = 3 − 2x
12. y = 3x
− 2
13. y =
√
x + 2 14. y =
√
x + 1
Příklad 4.6. Určete rovnici přímky z obrázku:
Příklad 4.7. Nakreslete oblast ohraničenou grafy funkcí
y = 3 − x2
, y = 1 − x .
Určete průsečíky těchto grafů.
Příklad 4.8. Nakreslete oblast ohraničenou grafy funkcí
y = x2
− 2x, y = 4 − x2
.
Určete průsečíky těchto grafů.
Nechť u: A → B a f : B → R jsou funkce. Pak funkce F : A → R daná předpisem y = f(u(x)) se
nazývá složená funkce. Funkce u se nazývá vnitřní složkou, funkce f vnější složkou složené funkce F.
Příklad 4.9. Určete vnější a vnitřní složku složené funkce:
a) f : y = ln(x2
+ 1), b) g: y =
󰁴
x−1
x+1
, c) h: y = e2x+1
.
Příklad 4.10. U většiny majetku, jako jsou automobily, elektronika či nábytek, hodnota v průběhu
let klesá – dochází k tzv. odepisování. Obvykle se předpokládá, že hodnota majetku klesá každý rok
o pevně stanovené procento z jeho původní ceny. Uvažme například nákladní automobil s pořizovací
cenou €20 000 . Jeho hodnota se každý rok sníží o 10 % původní ceny. Napište funkci, která vyjadřuje
hodnotu automobilu v závislosti na čase a nakreslete její graf.
Příklad 4.11. Firma vyrábí a prodává Q jednotek produkce. Cena P za jednu jednotku závisí na
prodaném množství a je dána vztahem
P(Q) = 102 − 2Q.
Náklady C na výrobu a prodej Q jednotek jsou
C(Q) = 2Q +
1
2
Q2
.
Napište funkci popisující zisk firmy. O jakou funkci se jedná? Nakreslete graf funkce a určete množství
Q, pro které je zisk maximální.