2 Výrazy
Zlomky Připomeňme některá základní pravidla pro počítání se zlomky. Nechť a, b, c, d ∈ R, b ∕= 0,
d ∕= 0, potom platí
a · d
b · d
=
a
b
,
a
b
+
c
d
=
a · d + b · c
b · d
a
b
·
c
d
=
a · c
b · d
,
a
b
c
d
=
a · d
b · c
, (c ∕= 0) .
Příklad 2.1. Vypočítejte
a) 3
5
+ 1
6
, b) 13
3
+ 15
4
,
c) 7
9
· 5
4
, d) 4
7
· 5
8
,
e)
15
6
3
4
, f) 3
8
: 6
14
.
Mocniny Pro všechna reálná čísla a, b a přirozená n, m platí
am
· an
= am+n
(am
)n
= am·n
(a · b)m
= am
· bm
Jsou-li a a b kladná, dají se předchozí vztahy rozšířit pro reálná m a n. Navíc si připomeňme, že pro
a ∕= 0
a−1
=
1
a
a pro a > 0, p, q ∈ N můžeme vždy psát
a
p
q = q
√
ap ,
přičemž n-tou odmocninou (n ∈ N) z nezáporného čísla a rozumíme takové nezáporné číslo x, pro
které platí
xn
= a.
Píšeme x = n
√
a a tedy platí 󰀃 n
√
a
󰀄n
= a .
Při úpravách můžeme často také využít vztahů
(a ± b)2
= a2
± 2ab + b2
a2
− b2
= (a − b)(a + b)
Příklad 2.2. Vypočítejte
a) (22
)3
, b) 83
43 ,
c)
󰀃1
2
+ 1
3
󰀄2
, d)
󰀃5
2
󰀄2
· (−6
5
),
e)
√
16 + 9, f)
√
16 +
√
9.
Příklad 2.3. Zjednodušte
a)
√
8, b)
√
50,
c) 3
√
24, d) 5
√
64.
Příklad 2.4. Pomocí vytýkání/krácení upravte následující výrazy (určete podmínky).
a) 2x2
− 4x + 8, b) x2
√
2 − 2x,
c) 3x3
− x2
, d) x3+x2
(2x−1)(x+1)
,
e) 2x+6
x2−9
, f) x2−4x+4
x2−4
.
Příklad 2.5. Upravte výrazy, případně určete podmínky.
a) x2+xy
x2−y2 , b) 4−4a+a2
a2−4
,
c) 2+a
a2b
+ 1−b
ab2 − 2b
a2b2 , d) 1
x−2
− 1
x+2
,
e) 2
x
+ 1
x+1
− 3, f)
10x2
x2−1
5x
x+1
.
Příklad 2.6. Z daných výrazů vyjádřete určenou proměnnou.
a) q = 0,15p + 0,14, p =?;
b) S = α + βP, P =?;
c) αx − a = βx − b, x =?;
d) ALα
Lβ
= Y0, L =?;
e)
󰀃
1 + r
100
󰀄t
= 2, r =?.
Pro to, abychom mohli například z posledního příkladu vyjádřit proměnnou t, musíme zavést loga-
ritmus.
Logaritmus Jednoduše řečeno je logaritmus exponent, na který musíme umocnit základ, abychom
dostali dané číslo. Píšeme loga b = c. Platí vztah
ac
= b ⇐⇒ c = loga b.
Pro číslo a, tzv. základ logaritmu, platí a > 0, a ∕= 1. Pro b, argument logaritmu, pak platí b > 0.
Například jelikož 32
= 9, tak log3 9 = 2.
Speciálně je-li základ logaritmu číslo 10, tak píšeme místo log10 x jen log x a mluvíme o dekadickém
logaritmu. Je-li základem Eulerovo číslo, pak místo loge x píšeme jen ln x a mluvíme o přirozeném
logaritmu. Máme tak například
log 0,1 = −1, log 10 = 1, log 100 = 2, atd.
ln 1 = 0, ln e = 1.
Pro počítání s logaritmy platí například tato pravidla:
loga xy = loga x + loga y
loga
x
y
= loga x − loga y
loga xn
= n loga x
pro všechna x, y > 0 a n ∈ R.