Tto/e-kcť cv cyčivujt-icke   toz,4iťe,vt'
m<*,&ct  C 4j & a- &fd£«tf vt+fekee. jsou, *k*L%*L*iy) :
K--
a
3"   1*   ^   1*   3 f   fo
•C* |  0.2    O.tj    Q.&   4.0    0*8    04
jc3 , o.^í o.« *o m M í-ž
Oj    gj   j     A
M
4
Vr
2-r^í-
^/
(QloU&ut
V-í-
\
-ii
J)of^, \e^y (čy 2 wait ,c k*/ t c i%\ ŕ« n i'} : CyC(Rx) :  "V
*3
i>4 o. y   /i
4     A      0,8

í'tckd fPOmcvmsĹA
Definice fc**vlýl'iá'k*> -pťomžvivicx   (l. 2<*d+b) 4372) tinfptJticM+f+oHiiitviaĹ fit, chAsrcikktiz&tAs!**, pefteV
pľotu&vteu M/e U j G k~*Y
*tOto*,nviaL fit, cM&ttKkk*ittU&H4* vtjhk, nebo 3fiOdAr\ociu.6€MvT osm^jca^jJc, í-zv* množinu i&tmJL
Io&zjdvou* protu&vtou. M/e U j G k, čy*\Í4jck'č,(<é' pfot/icf-ío (obykĺc ^<&\M<sc{ilc*C) vto 4Lne,tovdjAÍ mdu<& X fH?~ točme X-j /I je. £&n**-{£ck£ frwioíJLo   kUf-e. I^Á/ef-mu fiM&Au. X pFiiaaup, tfzk<u*? ^(X)) <u>*> frfi-vty jfvMmiqoiXMa^ na. U- kout k fdivil X (t<* iweuo jteMerova^-hCfOMod (SJ  3^ »HXsZJVaí fet-tn .                                    —
frlkUd* tozcUl   X je Einfyifftckau pro^Mtw, ä oZtiau&ZLouvt Ml/elc" O,  U- L Oj JOOj.   Te*vv\y ílío ŕsM«vif$*cUe, -Pf-e?^M^t^/ ceŽtj&Cu fixsviy t^tnotXi^y   Vnolnou, byt   nach/ctyiy t,jkttý"
\ňk «JajaJ v We^ T*Vobc< fo(X) Je fťwtotJh phißmtou, -jJ&ívilMWMj iy fuVty MnoUMLi kaJteieMiu Ye^^K;
0 j** uelofso2
-zH
f to  u E [?&/ 4°°1
v!ct"*i*n* jwý.  vice-went, m&*My }
20     25   3*    3r
h—i---------1---------\—\—<--------\—:*>
ä   sf   co    6f To  }r   %o *k

0   -Umvr

?ta.vab
ou
\
°4"1---------
^t-
. /
pŕVMsffiy
4/zph :
0
[HUT
...   O^Í^Ql/
&*i"1
TT             IT
M&tMN  ZpŮsŠol?   oMtfOZJPVéťHt     \u*\kc( ¥H&**X#ílC>fiTT/   P^O
rtephcti/divvj -"i
Lze \ry,jii z* &st,lc£ct<d(dt de>fancc^ „fOLviy" pw/d*-  <, v\t,pr*tfd<z> au ccpjPikovtU wedtfillcdsk^/ í<*ke l/eßmi
č-V                            ,
obi***!- toetozUeJtiAOs
m4«&
ab>»&dr*i           ^               uy    x   ^viy       /        i      ^hr^Mtö^i
vrcxA/dou
*t
Tří+*4MÍdtM*C norm* (i-*ormy) ivoř! Široko* iřfétti Í0*i$ký*h Spoiok pro řea,£c&Lci ptuwk« *. stf*4~
nečéň'.
íli '•
£>&§.:  {-»orirhdL, /e fu,nkcc dv*K dt**u,m*H
ičukovď; Že:
aý Ja v kaJZdcm a>r*u,tHeH tu  vteUĚes au t c /
b) Je KomwíiJkivnC   &l* B ^ &
c)  A* a'*oe**'íi*/**'     (ttt *,)€ * = JCí(míz) Jty 3f>£du,í£, ohtAkiiéujTcr podtufaky
Vef*: S- normou (é- kovtormos) /e fuvkoes 2 «*•*•• • £:  ft 4J *£<**]-♦ [oj] ia,kov<í> Í6: o») ^e mkt&sajjícj v klidit* (U^UAMChÍ^
b)  je kothuiajtivní
c)  ie *£oe£a*tivnr
d) 3f>Q>Xu.fe chrctMiccu/c/ poalmfuky
t-toorvny koresponduj! & pránike^m (AM$). s-normy se sjednocením (0%ý.
3-normu Ľze odvodil a í-notn*y pomoct t/zt^Jtit;
minimum                      MlN(ä.} b) * /*»** {*, k j * &A to Ha/imuchef              Hy (a.,t>) * -r--------~-----------r-
o, i t   * f-/min, W0-*)P+(*-♦>/   í
Z
*
(f±4)
z
m
culb*fyw
(im--f)
*2»                                                                                            r
(x*-i)              ouiL> s 'IMIJtr> (>+4X*+t"1)* ^^1
VJecíiHy   é - ttof-ľv»v   t/Holnou, by'í  (pomoci c^scctGLéi{/é6y) rozšířeny   na,   ýí>Z «tMí^wewíy.   yiitph*:
7        '                   l^M.?/^^^,^,
m+*imu,m               max (a, b} * mvr^jbl
ffAiŕd&fé. soulek     VOR (ct? b) r «5Uf k - 0/£
(110)
z
STZOVG
(+>*)*[
ou\/y kdy* *Ay*o
ó%
HtmJk
*        ab()M)ťŕ
a, s b ^im^yU  (J+ t?) P)
'f
*                      .    OSÍ) = 4-Iq«
CO S   \o =    Hl
A+b£±M£-z£
1
2-


'*•    ^
*=*
«*/lt k xty >   j   ^     httf€  xsi
if. If Mu, 4-Ho**wi jje ohtQMtčtM*' (shora, mimi Vo<Aoíov>er t?ro «£- normy t?2,a*ht ;
Nlkie^e, é - Homv  (á-Worthy)  obs^Mu^t  fQA^umeíris
ío*X*kjdM s potek -   Mfcpř'2
o* o     p<*/t   o^í ^   se reť/tc/cccie k«^ eti-*,ft* souZi^
(ftéhdtejUÍ 2. i*Mo ícoríe vicohodnetev*r £e>mlky)
fticbo*.  kýl  edmutny f moc*   ftát*é*p#Ki'   A : CU& h =   Af/« (Y *s+ é>)
ver*í) oIgLvcl,  Žihokf hepehíocCh fomdíLuUÁi Moekii,
fotok*m>lní \tjbir~ opetaiéoi-tZ  Afi/J)    (/coHiuMk*)   cl OR (disitAtofi&e}  ^aii/ist H«s "typu, heZevtého x>tob^
A   O* V    Zf?u#ohu,íl    Z&   C*,UvhÍ&€/   fcJ&Vi   Z <Stf*W»Mevt>-iiť to*,   hoduoíus (pieces fPls&L&oféi)   Vttítí Htff osé^A^t (f*v V)   toe&o   VHCtfu  *7eiT es-tej^iYp&A)
f«<k   éy   *e*Mi*$* InoJnohy   heutoyťZlatiAyvliu in*~ Vyólcdeslc. JiWmr stovy    faeii <^\y^\A^ev\by neu*
{/ýboMou. zAe, ie. *£, nejsou zasfoéčcbt i*Zo(ne <PH&ue
hodnohy ^umIcc^ fht£&LŽ*o$é* - jéaZf krusby cvfjpd
(clyby vHŽPidko fstttftt Mohou, byé ofe ue£k>e wiihy ißnohovcLuy)- To ise*£e k ézv* robustnosti.
m*£ 6* m£%* uJcdzmé pjco MvýhPštms k^tyt teukh? sfjk*«* *ý*t*&y  h€c*t/>ow*'*C4u$ř +hm,H*Ué€+*L tem* bi**v*>*ijeh dmJt & Mích k/z^L íetHue faůět+Jzě*. ftekc p, z+fceffl»' to! í íc disposici r<Zr»ď meŽ^
fy. :     filzk*. Ce»«, řlzev!   AMJ>   Kry^okoi phCS*l*s4 $t*fai*!\
mii{c fijicí ^fci-A/fce^í#<.  TbhiMUstascc, pr*\>{Z*/MiA, $4,
Sp^lceu, AřUJ>   /Hčíilcuriť }y)4et~<sJcci W&i oI\/£ua.<C (4c(/-
lAe   fou.il b A y   \Aybt-7, tccopp.   Xf  (*/*ebt-+ 4&u£Zu), TF. :  Viový AŕJJ? hychly  ovu,4*wol>i£
S*k i/íeiAi   ivtlréť&kc,*,  tM&ťi  novy co tycM&y zhCiUicu-
Vtoío ^ v 4aJc0ve<\AA ffipadv  peicštéf /\ WHinfré-
ne.
k<ishtf,~£i operetách C é*Jce\sý ? -žesp>0*Jtt: V a.. I,   €- [Oji J
FUZ2.T implikace:
0j4r-£ prfftfztee :   p* „•* p v A'   *   f-flf***"
(A+ 3 jfi*u žit kUsiolcl mnoiiny.)
2*pr> tmfžlUdCCr p— (f je inUrpttbv+M ^*o
ry Á* <Y pr<nciw>ew*!»i l*,U pravdivé!flanko f ■
i      A        A
O        i          A
D        0           A
A        O           0
?F. J f * .»* jß v*tZ! wez AO" , Of' „ x jg vits! **Z 3 ". p^   > pravdivé, ( **«&%*>*€> J&t'i, 2& X> AO<z,
éŠBte&ti   prs! —+ je z*,baJZ€*t<o
Fu2.zy iwpéikoiscc/
c výrok „J4<sl£t,2&jt, tioJc vys&ký pm,k. ob/€M> r .™€y '. TuM&tt, ff(stkS¥iosli furt/ m«o£iny A, fy. iUi^i^Uckd hodnote^»vysoký Ucuk) it*L*ěhiit>
e- wo,
C
^ŕ*?
F*mí

IjevA J6 i# v A
-II


X
«pro   >f f ^f f
•   /f  je v 3        ------------»----------------0.ÄT
•   & ie v 2>      -------------• u-----------------   >*-0 ÝX&4
i**í)
4	
<-^L	
0	JM.<U<
3C}>
Je-£i" p ptopo^loc & fit A ; We A  ii AZV *»"**< "CU »M,pK   Vt4Mý ilosk.   Os Qr f>YX>fOiic£ ij=5     Iml|?K flitry oWewi; po^fc ^e cct&ée j>cu2,Iv*s f^2-"^/ \**p£*ke*jC{s ö/cf^tfv/fiwte agu U o -fuzzy reJí<2i/Ce/;
(Al-*3)6^  - ^W->3^
& (f,  ViQMý élo~k  -----* A qZ m*,0ý obieuA s A(*c)-> 2{m)
JtaLitM Z (Možných tvzjtheiAi IttaAeti&Jtvif tiAAp&Uauces *ms 'mfllk***, s f>h*sVcfii/C3tft!(*ii  heobteéáUui ***** 0q,4:
• k if w£U/ ií*k " -* - i j* ma,fy *bj€iM " * AC*) -*• 30) = o-fs- -*-f - i
Striktní feny iWfilk+ttr á*, v mf&h*^ fflfibdťck
£*Uk>\ŕm£cJU by mm,Ĺí chyb**, »litt,«/ &(<f)} f*A míz****, MÄpr. do*-l<*Á '
M*) -* 3(y) * OB -* Ä?fTf * O
Je -io uJcA,7,lca- 4<Mof áA  n+fx*Jr*i<*' čkybo, J*#Htaf r tfebc v**Aei -iMAÍmu ***& (/3éi^pcc  t*t<Z£*, tfcZscbťér

t pvolďo, vu^ HfÄ,£^ chyby **ehéHt*
A(*)->3Gfr) - /**>*>[4-A(*)} 3^) J
Fuzzy čo$ik*s a. (cĚ4t*"tek*í £*>fi'tk<^.
V kfaéičke fefyct,  ľe ^0>A A  c/* 3    ^W žôe^ pat^ -ÉäfiVjí ^ét* ze*£*L   nepravdivý (éj* *€,  kow*£*S é>kt>af-
±mb*tk/j črfefCwuu&t  úe^iaícJ opeŕdhPty (A}Vj^ ...j
pt+vdive  žľ %£ ßz, wePHStodivCr    £te, pMahj- at<*s£si fHKvdivGS^ť ho<J*oíy faafr* „ fierozheattonUßoiy '\ „tom/tm* *f*A*/*  Te*>te> Wf?u*Sob Vede, k -éz^   l/tceh&J^okovýiAl jzegikdw- %iv\<*,\MQ\A4ß**9f ies<vbo <dv«s vytvky cu éf-i -o^aj/di^oßhn' hoaÍHoirŕ* jfy /ze vyfaetH  3* - 7^5 fbewdivostrt/cfo ióthuLlesk'.  SmaíMuiosi' ÍHtetph&t-QX^/ un'tkocUit úľ \zYlnod<A<?-> tfavpK v   t^otóe' ^íô«. ŕ<at^
Uí&uc?J0V4L6\   4>cUeiAi4sl<is   (vtoceduhy)
pat/r/ ^«pŕ-   ž^£? c^ŕ>* «ŕ^Ji^ií H&jU^tvtztoeZ/Ž!: Medu A f>OVl€,\*S-     (aa(a-*b))^x> totdufi íoile**:    ((A-^3)A^3) —> "^A ŕy^ť-^c *mu,9 •'   ((A-> 3) A (S -vcp -!► (^4 -^ č) K ^y^fc-zlce, :   ^-^ ^) -» f-r3 -^ —i ^ )
Jc-£ís   í(A) e   V* fö,   f]    boa(a\AA n*o ve*(<d€?4kov&(M
Y>hc?f?c?^řcG „ AO J& A " (nebo fe*z(t40č?fu&z- A ); -p^A
ne. A"  weboßi -«A  j€^
t(-iA)= 4~i(A)
f to namehiěkí fMtvdtVpßi«!hpdnoéy ů(*) *, 1(b) čft f Im o \sdy\y i*J< ío :
t (a) a i (b) »i (a a ■&)-- {(i, «;«(ťA(*h <*V^ ŕ
(Á) V i (3) > í (A V B) -- ^ w»x(^ t*(^'i
/
/
"1
Přibili** ia**tov*m! fompcl éeort&fiwy mmbm t*-ěhmaJ od Ĺoifi 2mJ*h9L x * f$13* 2*dé***WL 4*0*1
přibili**,    neujed^ vJm^I   o* ytťohzsno» iHforim+e&. Sirmdebed*»! 2*J*hovy éed-ic, A repre2.e«é*c*,
jí ýuxzy mnoSA^y A^ko hednoíy.
Ptedfok^d^itMe, že, itochu*dfvČ **, vtžCol^iy Jt*-X a, a% G. Y o/  tLz, Ic<*-"*cUImC V2Ud\ m**i jt cc At jfe<


2íLv£h-
4 *{(*)
Woe*(c*e l*fe*-evicAj vt-caAddo řtkJLf že z*t<M^e-^ ct^í^c^o^ k   jc = #)'   <p<si,lc 4r neJoýviL hodnoty f(«r%/
i:
i	\%W		^>-/r>;
Y*&) •	/ \ /    1 '           1		fí-lk tad jednoduché.
v__<s	1 1		
	*fc*	Ofr'	~*JC
feJwu řM^ vmA n%%ndmt, *ft*f km****L%«,l
;#•«. W»«áy /(*> pri »ftfcéehe' kmíktíUrhitL 6^ety J*x     '             '
Äf:      IF   X,**^    THEN   ^r/**f    GTH£KU/ÍS£ *z*.     /F   X=J^   TH€*y   £->ír   OTHelHAJlSG
¥rtdpoktald*i¥HCj ž,t/ -&A+AM& MmJcoio hodiněif*, Ot'fiA (*>*.pŕ. mZFetRtw*) O/ chceiMc- ton,!!b fl/eX/ k*t-t«*f>wdu,yZ('3   &* pomoct   bdze, ^>ť<SLvlčtt,H:
Hi:   IF Xr=X,+   THEM M'M^  OTHERMS& ...

r*
ftobUm  {ý * &J, > Ví j   ftp, V+) byt/cS * ozMi*yZ&s<£i* \odco iniehf>o£a,c!e,.
N+o\£ X *c M/ ißOVC  JuMQAijtCcfcc T>hOH*6*1»6r (éj-
by»*** JuMAvísíi^kýcU hodnel)y viapp^ "«* ie liJkdf *c *A°fc mmU ^.jbJJttmdUA* ft+kUmem bO/Ft JumHccí vřÍ4Íu,Š\A04Í.i  ko*$eJci/ey4tM. \B -zc
•chť x *L, m/ jsou. Sum Qvif-Uekc t>hoH46*<*& ( éj.
2 fd«tu Ay':
R^:    IF  * p, A;i TUEN   ^ p &£ AJc4              x ie A*
-   ie 3;
2.4V6I-:
^ť
L. 'Z.dbd&h HAvrhL i*r>»£*é</f' f>f*Lviätt>y iMm?ü*u>iI ~ tCeM repre2.ewéa<c* nžkterých obťt~>ýtM &&-
Příčinné, pt-Mt'dlLo :
A   C   3                       vil^i **l<kd<& C ^lojjd
^ í* A                         ißoJc laevi/ iter**/ i/y s oky
JL  fe 3                         tfcoJc M€*r \^e£u»t/  Ut^y________
Jt je A n B                  Oak v\#*.í \rtt».i vysoký a, ne*ť
*£< Je A                          líak weit/ i/eiur>,* vysoký
X íe A U J}                   ^-^J6 ***•' ľ*í**u   vv5okv   neí?í?
^ je ?x CR)                 ^Mty
ou Je  b&xke 3           ^ je fcŕ^ke £
-n (x je A)                      -i (x Je vysokej
& ie "»A                               je nevu i/y^Ue
(6MP).
KLaVicMe (nc-£uTZy) irfek-evtcvit VfavioUU) lAt^aíu^ p&nevič> i
Vŕwis«;          (F p   THE «í f íukí_________z_________
"2^veh
at J^ oKu/^cf.
Fuxty 'mfíifcm,í<n! mfetétteěsfe -z*,£&Í£*iils n*, Icowt-p*%rinim erwiéít mfiYtMi* dit, Ĺ. *#béreK«c:
ptetyis*,     IF  oc p, A    TMřM   M je 3
i«Lveh                                          *  /e S7
ferfe- cbe^v pĚaJLl A* + A  a/ 37f3. PFHou* -3> 3& opet-^tohu :
Ko**e4<ve»t 2? ie> pt-oiekce, (A^>3) na, A*.
CM P JvjvaUkuJď. Uta, Ic&sLS^ky MP kdfí A?=A q/
Jíwfo fturidleiM odvoxeut fcs modus íolie^s>> feiere V« ^vcf feřo^íefce počtete říkat:  ie-£*  p-*<^ «pi-o-vcf«^
praviotío ßMT:
^cLuě/h                 äJ6 i*e A*
(ft-c B= -»3 <v ,A7= i>4 Jo$l*Me>AAt, kdoublchy MT)
IF xje^ THEN v je 5 x je/l'
7JCJ
A |i(-T)
.4'
An(y)
*V(y) = ""n&MJ'))
Mamdani
A H(*)                           ^			^W                             B
^w/			
/           ^ /                                                       Ý			
		í-ej \ _j------A-----------^            n	
Hô.(y) = max(l-ip.fl(7))
Kleene-Dienes
|is.(y) = min(l, 1-5+Hstv))           ^
Lukasiewicz
pW                        A	,  A[i(y)                            B		
VaV>/	X		
/          e	i.....\.................................................................		■     ■ji       ■
	I i-e|  \ i—j—i------^---------►          n		
yť
^■(ľ) = max[min(5,|ia(>)), 1-5]
Zadeh-Willmott
tVÍV)" M^^pro5>Mrf^),jinakl       ^
Brouwer-Gödel
A^W
AH(y)
üß.(^) = ^^)
Larsen
IVÖ0- 1-WVjW
Reichenbach
IV 60 = minCfi^)/?, 1) pro§9*0, jinak 1      ^
Goguen
^S'(J') = 1 Pro U V-JÍA jinak 0               y
Rescher-Gaines
Vt'il,Ciž,vtl USUZOVÁNI fQŕhcc/' áMV
NccUV A. A* &;&} C} C* 2>j J); Ucha, Ěuvxy wrfvvCvtY*
?t-*,tnt.$4,-

Jfr ;e A*

Hmoct íía^ !*ib£lkcLCCs <x< tdtMyeJU přemi S   VtsIcAitoe,
/                            .«junSzy Cmu&ixaa*.
pcdwilriUy IS vol,  Mř-eufí* £J^4né
®  TurtY itop£ika-e& (2)   ÄTowr?a?2/Vw/ f>HK.vidĚ.0   M-ßereiAc^
A-+ B
£sŕ« /I *v3 //^"^ ýc*nny UAwzAMy.
funny <*n j?£í(c<íl&& /& c*&ßCotoiA*M&  t<K^o Wtoy tre-Jc-tc&e/. fuxiy tepeme. hýi^C r-epr^^e-M^SH/AUujc, Gomoc{ C^Pstri<te^,
funny heiUcc^ 7? ^,**^s>t/tfu*<3o ^ iw\p£^hauef A-*S i& fatty tovi*U**j*' ft*. k*th4ezskju<* ^OfiiMLc X*Y kote A*K*,3>ZY.
'ZA!A :
Je-£C 4e*(yr  K fanny K^e 2.   X Jo Y «s % úl  E&VVy Cvd\4AV\02,\M,<Sls  *í4ť   sC )    TteJe   ĚtCVty   P*ot<MVlo viUfi^   At     mA^S
T   wdusk»o\/*t\A<*s f>OtweGt SC te^ oCtLfoa^ ji&Jco Icowp0i*cez^ ^ Ä   JC * }\         (kevHp&^ŽMA, <z>ŕ*HsiJ€<?)
ie M   foZft-Gcho jolIco   nnoLX-iAoivi  -PtocxuJcb Jo o^ *R. (skmdiltoi seuxzlto]j hovadí jfe. v -fa***, z«- (AJt**>bevi/ a~c
Fuzly fHxylcdlG^
Y°io*-*>vcl \a*; «*f ^iř^*7 ■/«■ d e*?/«, vf t/ 4L <*skc-1 ŕfco*i£ e- (cvevt).
Vho kstíatd -pravxdlío    (F'ATHEU ^B   by hy£o  vĽec-ue^
ho>y J>hCKv]d&t  by   vyŽ&e?(o\/et£o   IMticho ^^hk-, Ce&fe, «sitové   í ~P6Lt*\&TCv&   ind>l-o&ty&   obdobne/ kstslco výpg>£í*r aj>o'\€aa c & /to fe>he M c /'
3 be?. yiwhfCtfifC ^ew/oí Warier. Li<z, -h Mw ve~ tctÁ*J o-penzilph iiMjpčlkci&e,  (U% he-face t) cu vhc&fusícín

V* A1* K
X

5 m x
«(^A'W A^f*))

kJ*  A*& fit* (cat-U-zsky soupisy A a, 3*   Spojkcu /WJ> Se oi/c^př-tf hojte, jacleO phZtotU . Í^M-te k&ťUzský S&lkČZm
.je   \a,\cO photshik     £mj*.zc fC&tfrZSKf
je, k-&oLSZszov<*y\ -poHAocst opeŕ-6u?e- toto* 3 T*ui*titAAulMtk%
<£**} ý&Yj -zsZ.
Necht   &xis-kc£< ^vt^^ovcIaa^ tf <*- $ »   V<*,1< fitm zxx&h <?> = (A*x &)o-R
/*-c M - toa-JC  max X        f


~    f  A ^cĹ^O                   ,&ŕžhfe Si t*. */oí4*dí^í u/<Jtc/
OhdoioHeZ Qie\ zo^e^^iíí f>tefsio(č<? Pľe? £üj?- -voce.4r 'po^^^eÁc-(jnZLAp 4«k& o7,v\6*Z€x/aMét OTHERWISE f>te> apfJ?c£e.*jt£ oj „ vyluZov<sLct%o " <^ĽPoU^Í ELSE m«př+ i/ $ysbĹtM€rcA\
HA'.   IF A<   AA/2> ~&a   THEN  (ľ7     ftif *a: tr Á2. Avj? 3^   THElU  Ct   ELSE*
I n let pi-elates  ĚL££ za{£+i>i *i«c 4&*nf  Co ooi  (*-k?
r£f?h& •z^^i'ioi^ct \4ydi f hol t v \olux*, &aaA*j f' 7>ttz (/ i<?t£y    t**Á: t>\-*1*?v*lI  EL SB jadco 3f>o\Uu. OR } Ufc.h<K se, tte/ě*LPf*~
- 7?-, U 7?«   U   -^    U   K^   =
= O,

/t = f

ln<fe>t&ncts pomoc* fazzy f>r&\/!Ue,IL
Jednoduchý vtlvaď-   1 mA^h/ vh0$*£*m*j IvysfupHa
%>   IF ** \   THEN j-3^
*ey>  ^^Yj   A^QX^Y,   3^9 X*Y
Az,, 3^  Isou fuzzy wi*o5l*y.  X£ H} VSÄ (**ae*e)
Vr*v\d(£cu *f>roxitoioc£t  n^zK^moi* utlAAAG>*!Ar*i *<*r-neklet* v*l*f/*y*iur*t' offices I A^ S^ j, ^VcU
f
ty (AtmfP: feUoL 4ť} <4cŕ) Jcx).
+JO


*****                                      ♦<"**)..

4a-,- 4í1í-.
N
THEA/^
4—»—*
\ J6«X
x     á«
^              ■
Leveled 4f>vßkcv THEhJ WoLze být ifipiewteutioi/ci-'molúwxt/vitouccs jts^wooi miniu*a, A . Oo^s-ko ^
tfpu/^iwť X/ Ofi^esohoLock-jr £&u,cl\a (n*,k&y •zv+s+.ý ia^-
čínských **.fe*i+\fcM sy£b>£wi€>eh(v'dtCLMn*sí*ct)'. N*cht"A?3}A} iS€>u fu*-zy Zlstcu* ÔMP 3pt»*£es
IP X 4*e 4   TWe>/ * =5
—^M--------
/F it*k* vysoký TH£ V o^ew-mtjj
objeutfc mLl
IF ■*- fc A THEM ^ ^ E>     tF tí«Jc Ct vysoký THfefJ etjjcui je iwtÉy
X j^e -*A______________       it^k neu/ V/MÁ<y
!,*, /-
X-í^
ijj«»*» ie «euc&Ĺfevý
3'
(3)   Vodvnvioť'íhGL, ;
IF jc^* A TH&N   m A 3
x Je /A'ca
IFtÍA^je.veiky THEřJ obje** g. m&y

i -í-	!<*-(*)	^ je, B' o 3
	a/	H v.
c		x
/**7
f^V
BÍBT"~
y
he^p^^e^ß^^g^«^ Č4yi%výšc> UM+oi&Aych vlast-
F   •* $z> A   -tW^K   ^ j/c 3 ~2*ÁcLaJ.*l vléĽsínesi ;   n+ukľ Ai * Ax    $
SO,- 4
*  Auf w,Ví ^Ai*)) &(tf} - "',i{&(4)í*Va'(*)Jt
ToÁmnď^^:   f\ceki   A7 C. A
r SI4f W'W f»ř*t), >ť6*), ^^} # -^^ nt*r£*&Ha -BMcjöufU! vlák*ÍHosk>\   nectiť A** A   (x*R} a + JČ)
»YV -íup»1« {*-*(*)) M*>3($)} *
Pca(*Hv7^H^iaí,:     /Kočk-í    A} C A

Infetwc^s (fatty i*ftr*é*ie+>)   vyeíxÁrí^  ae Tmhm^jn&HeUo tnedTu,$ pomnó :
*

/F     ^ = Ax     THtTM /F    X~A*,    THEM
# - 3/k/
pfH?po<%*&e'
^Icir
a
.3'
f ^;*ii (*9*Ř*rl .'*) s*- fi*kk} i^ J6*A}  (Ay£X} ^*x)f pR£e*ta[ obvyktt, A* its o^írai hodvtoto^.
jZ. Híed<£ &e} friehai p*~en%'t$<K/ (vb^cnZpremisy ~i*^ ytíéfckt^du*) :Les£Asv7,y tAWoiZ^y Aji   &*/*>ř^-kiýwtyí)  odpovídá   Qm> ko* sislen-Uit c) {«J^t«.. Je~£^  k**4ift€vic*> > O) <o<*,k 6*- -ptwljio ^IaMax  (do Uilhy J&&U -aas&Zeu* *a~ kov\*Í9feuý%
k c&£>koi/e>i*>u   \ryá£e<sfk** ihfeě--e*tc*. íi/eic
A* & Á>) ty pťMiMo poskytne S2 (*b*c**Z &1*3*) if.   Individ***'^*   vrtspwky  && j*6>»~ fo^ooi*
cok«j*wlov*hy clo ce&kc\/*t%* vyS%*^fk:^ B> i*ferewcMtbc kroku :
3 = OTHERWISE 31      V£Y, 3Í^Y
&. Obee***  vznikne, fbzíy ww&i\M*~ 3> (to****** byt V)o\riMaJl\A>l  Ol,  kon^*JĽ\sn)+
Vysd+dek ífiftivtno vhodnf & hf*ft$tc«s «fŠC~
Li*s vt«f>P+ Vysi^eU t>fev^^L  too* faifyis-fcc-kou,  kod*oíl\,    O/í^   Hc-c&CsYUt^ cx^tfiir' tf^uW Ca/k (f>oséi^(t>ovci/b - faMhphťtecm* ie. <AtA,i*\t> Uflé v\as fôun&él jŕz -Pri £e*ha*/ev*M\ furrty iMoMeĚu,.
d izv. í/e^izií^Uce; což hľ f*s4ujp} f?rc
exishcfi! \r&vA€/ \MeicAy    é?-$E (ß*).
~Z  lo obecviX vtelila *^t?e^n«/ ^k^Movi-ť  & /
V^r-Ys*;            ~t*Y
Jefauvtl^CfcčLcC vidy* V+wícn*/ te&JliA*/ hegu/^Ä^w»7 e&e«iesA íy (\te#ti£.y} **.\ um!

< = ? k** v** ?(**)**
FUZZY PRAVIDLA
Jako jednoduchý příklad operátorů fuzzy množin uvažme problém rozpoznávání vzorů. Vzory mohou reprezentovat objekty zkoumané z hlediska kvality, např. vyráběné součástky či sklízené ovoce. Jiným typem důležitého rozpoznávání vzorů jsou lékařské snímky, seismická data z minerálních a ropných průzkumů aj.
Následující tabulka ukazuje hypotetická data reprezentující stupeň příslušnosti do fuzzy množin raket, stíhaček a dopravních letadel, odpovídajících nějakým obrazcům. Takové obrazce mohou být vytvářeny laserovým televizním systémem na velké vzdálenosti a obsahovat nejistotu vlivem pohybu a orientace
cíle, šumu apod.
obrazec	stupeň příslušnosti		
	raketa	stíhačka	dopravní
1	1.0	0.0	0.0
2	0.9	0.0	0.1
3	0.4	0.3	0.2
4	0.2	0.3	0.5
5	0.1	0.2	0.7
6	0.1	0.6	0.4
7	0.0	0.7	0.2
8	0.0	0.0	1.0
9	0.0	0.8	0.2
10	0.0	1.0	0.0
12                     3                    4                     5
I Y h+ f
6               7                      8                    9                   10
+ t-l-* +
Sjednocení fuzzy množin lze považovat za reprezentaci pravidel typu
IF e THEN h kde e je pozorovaný obrazec a A je sjednocení fuzzy množin. Například:
IF obrazec, THEN cü(02IR + 0.3/5 + 0.5/D)
kde R=raketa, S=stíhačka a D^dopravní letadlo. Výraz v závorce je sjednocená fuzzy množina cíle. Pravidlo může být případně vyjádřeno jako
IF obrazec, THEN cíl4   kde   cíl4 = 0.2/R + 0.3/5 + 0.5/D
Předpokládejme, že je nějaký čas na provedení dalšího pozorování cíle a že
získáme obrazec6:
IF obrazec6 THEN cil6   kde   cil6 = 0.1//? + 0.6/5 + 0.4/D
Všechny naměřené elementy cíle tedy jsou:
cíl = cíl4 + cíl6 =
= 021 R + 0.3/5 + 0.5/D + 0. VR + 0.6/5 + 0.4/D = = 0.2/R + 0.6/5+ 0.5/D
tj. ve sjednocení (fuzzy množině cíl) zůstaly pouze maximální stupně příslušnosti.
Je-li element s nejvyšším stupněm příslušnosti interpretován jako nejvíce možný cíl (nejvíce do úvahy připadající typ cíle), pak to bude stíhačka s hodnotou 0.6. Avšak kdyby dopravní letadlo mělo také stupeň příslušnosti do množiny cíl o velikosti = 0.6, pak by bylo třeba říci, že cíl je se stejnou možností stíhačka nebo dopravní letadlo.
Obecně, je-li dáno N pozorování a pravidel:
IF e, THEN h, IF e2 THEN h2
IF eN THEN hN
kde všechny h-t souvisejí s nejakou obecnou hypotézou h, pak sjednocení hypotéz h-t určuje stupeň příslušnosti h:
uA = max(nA„ ntó9..., ^,.v)
\xh hypotézy h se nazývá pravdivostní hodnota h.
Je rozumné stanovit předpoklad, že pravdivost hypotézy nebude větší než pravdivost jejího antecedentu. Tedy:
\ih = max(Ľftl, uft2,..., \ihN) = max[min(^eI)5 min(ne2),..., min(^íV)]
kde každé ef může být nějakým fuzzy výrazem. Například e, by mohlo být definováno j ako
e, = eA AND (eB OR ~-ec)
a k vyhodnocení by se použily fuzzy operátory:
\x.e{ = minfjie.,, max(u.eß, l-jieC)]
Kombinovaný stupeň příslušnosti antecedentu se nazývá jako pravdivostní
hodnota antecedentu.
Max-min kompozice
Uvedený vztah pro h je tzv. max-min kompoziční pravidlo fuzzy logiky (kompoziční pravidlo inference). V jednoduchém prípade dvou důkazů na
pravidlo:
Wen AND e12 THEN/?, IF e21 AND e22 THEN h2
TF eN1 AND eN2 THEN hN je max-min kompoziční pravidlo inference
Hh = max[min(ut,ll5 \iel2), min(u.c2„ ue22),..., min(u,íA„ ueJV2)] s obdobným rozšířením pro další důkazy eß, ei4 atd.
1				**»:											^ i			
				S3                                                  S í   ..---■"             ^      *											^			
		1!       M		"'■■... mi . ■■    ^        ctí ......   S											fi	3		
		x      3									M       3					03		
		r.           -"~									-""				^ ■ ■--	g		
		--           «		?š"                            II							--       M			S				
		<                H II                 >>		5 ^    "5							<          H II           >>				š *	řa		
		£                  -~v		B          -                   ^              '        " 3.        "'■■-.   áľ         !     ŠQ							£                       TV			í"'"'---.	í	r>		
		^>		■    á'							S					ca		
		3.			..:.-1.							=1				í		
				Y.,								í1           Y\						
		4									/							
		?S	/                 x-            ^								/                                        \.							
											^ _'/^                                                              ?s						_,—v	
			/                                                 ^****										1—1                                               ' j^**^1				l-H	
	c<		/—~*          /                    M                      ■j**""*''^				^			<s			L             /                       Sä                    __^****"^				I	
			r   c™				1			a....			-f         /              :    -i-------				í *	
			tj             ^^~~~~^^				6'											Q
	5 =1	*>^                 "^ :                II                                    ■    B       '•■ .					o "x" S	Q O i		5 =1	3.:		o" '     B II               -    :^				o o' ¥ E II	O CQ Q
•S =1				4         =t ;			Oj 3. •N		•S =1		-		1     ^ i					O
		Á		M                                                                                                 l									,t*					
		H					H	0>					H                                      ■  «				H	CD
		3 :cT i                                         «'				1					2* u  : *		■ *					O C d)
	i	ď :      i                           : <s            j:						-M		5"	J-\-             13     _^-							
	=i	-'■-'ä;   :             |*__^r						S 1—(		U								Ö
so"		*  :                   CC           ■      \.							Ctí		PP                                ^N«   ■							
■i          r"		!S.                         ^"fc.							r*		Dl-                        ^S^							
II           5C				II                      if.                                       \					II           < ^       =1				II		a"-                            "x.			
				>,      =t;                      "\											-:                   -,;>s\			
•s v§-	5	■—^                         í>   Vr    ;  "C							|S	<			J 3 ;f •■-.....! ^					
n.	3								*-     3.	íl				**    =t   :3.                     f---...				
									n					n.				
		.          v,                                  IS									—.                      M							
<		A               j h        ^           :         A					H		<		A		!-!•<:         A				K	
II		j            II           i							II		3 :		II                       . 5					
tS		Z"                             «Hl									U		N                                       .O					
X	„	O           ..--;                  H                .			o                       ^^-				M		^--,							
"«	g	■ ■■"'   >      "s     =5							"«	3		■"    >       "S         s!  ;  ^^^						
S	51...	/      §     L^-*								y...		/Ť      §     <2^^^						
«-.      -		y^               -     -^*>«^							-      -			/^                     --       r:"^*v^:						
<   á		y*               «    =í;     "X^							<      í				<   í;    '^^					
n		/^                                            II                                          ^""-s.							ľ				u          .-•■' ^^^					
																		
M                  /		K                                                           ^							x          :  /				x                                                ^					
										<								
* r				SL   :*					=1	=i				* :^				
p? ^		O		ä -					PÍ    ^		o			pf ^'                 °				
''ýjiiA&toí otowiiuGL všade, neut  \ro2d<*£e>\A><xs feu*o~
hoatuety (ii. ftt**o hoJnoty F!diet' mAc*>). Neviť ieJy   Zé^pe-éh&lif eľc-fU***f Cíco^^e-,
'Ji*.'
THEM   fl = ^ (*<> - ; X*)        j. 4}t, ~} /*/
-ppř- aktivaci vUe> ftayitUÍ s& vj*1*Jm& fnodue-
tf=4
Takagiho-Sugenúv model
Takagiho-Sugenův inferenční model se formálně odlišuje od Mamdani-ho metody tím, že pravé strany pravidel nejsou tvořeny fuzzy množinami, nýbrž obecně funkcemi vstupních proměnnýchj£fo, x2i..., xH)> které mapují kartézský součin X{xX2x . .. *XN - Y:
IF        xf*Ay AND x2*^2;. AND ... AND x^ANj
Obvykle se používá lineární mapovací funkce vyjádřená následujícím vztahem:
JV
jJ(Xp *2, ... x„)  = q0J+Y, ^ijxi >     J = l> 2> - > M
případně zcela jednoduchá forma, kde je v každém pravidle na pravé straně konstanta:
f.(xv x2> ... xN) = k.,    j = 1, 2, ... , M
Odlišná forma konsekventu ovlivňuje způsob inference. Spojce THEN zde odpovídá algebraický součin, takže úhrnnou míru splnění podmíněné části7-tého pravidla ^ lze považovat za váhu, modifikující parciální příspěvek pravé strany pravidla. Protože na pravé straně pravidla nevystupuje fuzzy množina, nýbrž ostré číslo, není zapotřebí deruzzifikace. Přesto i zde zůstává problém řešení konfliktu pravidel, a to ze stejné příčiny jako u Mamdaniho metody. Je-li nutno stanovit celkový výsledek, složený z částečných příspěvků jednotlivých pravidel, spočítá se výsledná hodnota y' jako vážený aritmetický průměr příspěvků jednotlivých pravidel:
M
7 = 1
Takagiho-Sugenúv model je do jisté míry výpočtově jednodušší, neboť není nutno defuzzifikovat výsledek inference, což je obvykle náročná operace, avšak v praxi nemusí být vždy snadné určit koeficienty qfJ a tak definovat potřebné mapovací funkce. Přestože nejsou konsekventy pravých stran stanoveny formou částečně se překrývajících fuzzy množin, popsaná interpolační metoda využívající vážený aritmetický průměr umožňuje spojitou změnu výstupu obdobně jako v případě Mamdaniho modelu.
Sestavení a použití Takagi-Sugenova modelu lze ilustrovat následujícím postupem (hypotetický příklad je z důvodu srozumitelnosti a stručnosti velmi zjednodušen). Předpokládejme, že vztah mezi vstupní veličinou x a výstupní veličinou v je znám pouze pomocí řady uskutečněných měření tak, jak je zobrazen v horní části obrázku formou bodů vyznačených křížky. Závislost je nelineární a měření je ovlivněno šumem ve snímaných veličinách. Dále uvažujme, že zpracování naměřených dat umožnilo získat dvě regresní přímky yt=0.045x+0.31 aj>2=0.013x+0.56, tj. vľXah y=f(x) jev tomto okamžiku modelován nespojitou lineární aproximací po částech. V oblasti hodnot přibližně xe[7, 9.5], nejvíce zatížených šumem při měření, je čárkovanou křivkou naznačena možnost aproximace neznámého nelineárního spojení obou lineárních funkcí. V popisovaném příkladu lze postupovat např. tak, že obor hodnot x se rozdělí na dvě části - nízké hodnoty, modelované fuzzy množinou NÍZKÝ, a vysoké hodnoty x, modelované fuzzy množinou VYSOKÝ (viz spodní část obrázku). Oblast překrytí obou fuzzy množin odpovídá té části universa, kde nebylo možno najít vhodnou lineární aproximaci, která by zároveň tvořila přechod mezi yx ay2. Nyní již je možné stanovit přibližná fuzzy pravidla:
ky=f(x)
j2 = 0,012x + 0,504
10     11      12    13     t
kfi(x)
1.0-
M(ß)
t-------r
10     11      12    13     A
Rý   IF x is NÍZKÝ      THEN y =y{ = 0,051 x + 0,062 R2:   IF x is VYSOKÝ  THEN y =y2=0,0\2x + 0,504
Prijde-H na vstup např. hodnota x=8, která spadá do oblasti, kde nebylo možno stanovit regresní přímku, pak lze spočítat, že pro ilustrovanou situaci platí jUníZký(8)~0.3 1 a ,"vysoký(8)^0- 18. Konkrétní hodnoty kon-sekventů budou tedy po dosazení y^OAl a y2=0.6. K výsledku přispívají obě pravidla a tento konflikt řeší váhovaný aritmetický průměr, kde váhami proj^ ay2 jsou získané stupně příslušnosti 0.31 resp. 0.18:
y'=(031 *0.47+0.18*0.6)/(0.31+0.18)=0.52.
O této hodnotě je možno říci, že vcelku odpovídá očekávání vzhledem k existující neurčitosti v popisu závislostiy=f(x).
-íi-i-ťa-

rule	íl	Í2	Í3                       U	PO	Pi	P2	P3	P4
R\	-	_	outwards      sm	all        3.000	0.000	0.000	-0.045	-0.004
*2	-	-	forward         sm	all        3.000	0.000	0.000	-0.030	-0.090
«3	small	small	outwards         -	3.000	-0.041	0.004	0.000	0,000
R4	small	small	forward            -	0.303	-0.026	0.061	-0.050	0.000
Rs	small	small	inwards           —	0.000	-0.025	0.070	-0.075	0.000
Re	small	big	outwards         -	3.000	-0.066	0.000	-0.034	0.000
R7	small	big	forward              -	2.990	-0.017	0.000	-0.021	0.000
«8	small	big	inwards            -	1.500	0.025	0.000	-0.050	0.000
«9	medium	small	outwards          -	3.000	-0.017	0.005	-0.036	0.000.
-Rio	medium	small	forward             -	0.053	-0.038	0.080	-0.034	0.000
AU	medium	small	inwards             -	-1.220	-0.016	0.047	-0.018	0.000
Ä12	medium	b.g	outwards         -	3.000	-0.027	0.000	-0.044	0.000
R-13	medium	big	forward           -	7.000	-0.049	0,000	-0.041	0.000
Ria	medium	big	inwards	4.000	-0.025	0.000	-0.100	0.000
Hl5	big	smalt	outwards         -	0.370	0.000	0.000	-0.007	0.000
Ä16	big	small	forward	-0.900	0.000	0.034	-0.030	0.000
Rl7	big	small	inwards             -	-1.500	0.000	0.005	-0.100	0.000
Äifl	big	big	outwards         -	1.000	0.000	0.000	-0.013	0.000
«19	big	big	forward             -	0.000	0.000	0.000	-0.006	0.000
^20	big	big	inwards            -	0.000	0.000	0.000	-0-010	0.000

A                      medians
fa+2^
0    **    V)   do   lyo   so   $o  jo   SO «0  «*> Mô *U 43c mo  í
-4tf       -Ho        -2o            Ô            -1<7             **>           É0           Ž
0-----1—i—r-*i—(>—r-
0        to         k*        io
it
a* ž fhoAtidert  T*4 éS Tíze s& uf**4n! v&iťZť fhmAŕtdt-
fjL - D>JOJ - 0.OZ6* 40+0*064'3O-O.0SO-O + Ô'SO r r 4.&13
Íl * &.<n~a 04**40 + Q*3o-G.0Z4*0 +D-S&-u     S-----'     5"
^ 6
/č*
M*z-

_ e.
/   \
/   \
b,
<*
Řízení cementárenské vypalovací pece pomocí
fuzzy logiky u společnosti ENCI v Maastrichtu
(Nizozemí)
Cílem optimálního procesu bylo:
•       maximální produkce cementu
•       konstantně vysoká kvalita
•       co nejnižší výrobní náklady
Sekundární cíle:
•       produkce nejméně po dobu 85% celkového času
•       redukce odstávek o 25%
•       vzrůst produkce nejméně o 3%
•       úspory energie
•       redukce emisí
•       redukce spotřeby ohnivzdorných materiálů
•       zvýšení využití vypalovací pece
•       zvýšení kvality cementu
Fyzikálně-chemický model, potřebný pro vývoj klasického řídicího systému, nebylo možné v rozumné době vyvinout (jedná se o směsi, nikoliv o chemikálie; existuje mnoho proměnných s nejasnou vzájemnou korelací, apod.).
Řídicí model systému rovněž nebylo možné vyvinout v době, kdy by se dal prakticky využít.
Bylo zvoleno řešení využít fuzzy modelování chování zkušených operátorů (Zadehova teorie fuzzy logiky a fuzzy množin). Fuzzy logika umožňuje počítačům pracovat s přibližnými hodnotami {nadměrná spotřeba paliva, nedostatečný obsah kyslíku, malá změna veličiny...). Udávaná cena projektu byla zhruba 600 000 HF1.
Cementárna v St.Pietersberg u Maastrichtu (Nizozemí) společnosti ENCI (Eerste Nederlandse Cement Industrie). Výroba cementu je řízena fuzzy logikou v kombinaci s klasickým řízením. Fuzzylogický řídicí systém pochází od dánské fimy FLS Automation v Kodani.
Kromě celkového zvýšení produkce o cca 3% byly sníženy náklady na spotřebu energie, na údržbu (prodloužením jednoho výrobního cyklu), a sníženy emise NOx a SO2. Návratnost nákladů byla 1 rok.
70°
Během procesu není kvalita a homogenita surovin
konstantní
Z ekonomických důvodů se pro ohřev používá 8 druhů
paliva
Vznikají poruchy vlivem heterogenity surovin
200 m dlouhý válec ztrácí kruhový průřez, při otáčení
vznikají oscilace
Dochází k usazování sloučenin síry, což může
zablokovat např. ohřívání či chlazení
Vzniká množství zplodin NOx
Různí operátoři mají sklon reagovat různě na tentýž druh
změn při procesu
9001
-rwi__ 1. 1
1 v 1
11   1 -U--LI—
n/rnin
1900°
700° 20°
------------n—
1450c

160c
Princip rozšíření
Princip rozíření poskytuje obecnou metodu, jak rozšířit doménu dané ostré funkce tak, aby zahrnovala i fuzzy množiny. Tím je umožněno rozšíření klasických výpočtů na výpočty s fuzzy množinami modelujícími přibližné hodnoty proměnných. Použití principu rozšíření zpřístupňuje využití fuzzy množin ve všech oblastech.
Nechť jsou dány fuzzy množiny At ^ Xt definované na příslušných universech (i=l, 2, . . . , n). Dále nechť f(xi9 x2,. . . , xj je nefuzzy (ostrá) mapovací funkce/: X{xX2x . . . xXn - Y. Cílem je rozšířit/tak, aby operovala i s Aj a jako výsledek vracela fuzzy množinu Fe Y.
Definice (rozšíření): Výsledná funkce příslušnosti \ify), y€Y, se po aplikaci ostré funkce / na fuzzy argumenty A{ stanoví
následovně:
fifW   =      SUP      ^(^(^l)»-"»^/*,,))
za předpokladu, že existuje/'1^, jinak Uf{y)=0.
Jiný způsob získání výsledné fuzzy množiny F je pomocí sjedno-
ceni:
F -      J   mm{\iA[x{\...,\iA{xJ)If{xx,...,xn)
Z.x.-.xA'
						,     ^						Ctí
						m		:				'OJ
						X						X
						;					...f	
			m			í-						
			r-i									
			^O				.. o					CO
	'■		•—'									
			Ö									
			+									
			co					/f'				
			rs									
			lO									
			íř	c~i								
			ö	rn		;   S/						j     (N
			+	^								
			,_s	O		j-    /						
	:   VO		m	+								
	:   Ö		«N									
	+		O	^t							..............	
	i  »n		—"	Ö			_					
	i  ^		+	+		/ ■   o						O
	ö		'—-	m		.■■        -     Csl						fN
	+		f"l									
	^f			p		~						
	p		í5	+		-						
	+		ö +									
	^		m	ö		r						
	Ö		CN CN	+		in						!   Kr^
	:       +			^								
	; cN		CN	<N								
	^	rn	o	ö								
	:     O	(N	li	II				m.II	..............'........			
		X	'—-	'----s								
		II	"5"	1*								
	1     ^	■*"	<	<					•    ^			
	i     ^	tt	tC	'<+!			o		m i n x!			o
									<			
	.	'y.				......f-			............■>-		.............	
	1.........	<			............	......í      IT) .......						in
							.-■' 1—					
												
_,_,						'......   CvJ		,_,				
síS						1-		x   ■ ■"—'			'■•*. .......	.......c-/
1						q °		i      ;				
	o'""	oo	_____	"~Ťr	CN				OO      \D	Tf;	tN	p  °
		o	O	o	Ö	ö			©      O	Ö	ö	ö
I
Možnost a pravděpodobnost
Termín možnost má ve fuzzy teorii zvláštní význam. Možnost se v podstatě vztahuje na povolené hodnoty. Např. předpokládejme, že propozice/? je definována vzhledem k vrhům dvěma kostkami na universu U jejich součtu:
P = xe U,     U= {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
Ve fuzzy terminologii platí pro každé i typu integer:
Poss(x=ř) = 1   pro 2 < i < 12 Poss(x=0 = 0   pro ostatní i
kde Poss(x=/) označuje "Možnost, že x může nabýt hodnotu ľ.
Možnost se velice liší od pravděpodobnosti. Distribuce možnosti není totéž
jako distribuce pravděpodobnosti. Distribuce pravděpodobnosti pro vrhy kostkami je frekvence očekávaných výskytů hodnot náhodné proměnné x (součtu bodů na obou kostkách).
Např. 7 se může vyskytnout jako 1+6,2+5 a 3+4, takže pravděpodobnost, že při hodu bude součet = 7 je 2*3/36 = 1/6, zatímco pravděpodobnost, že při hodu bude součet = 2 je 1/36.
Oproti tomu je zde distribuce možnosti konstantní hodnota = 1 (pro nezfalšované kostky) pro všechna čísla typu integer od 2 do 12 (tj. při hodu kostkou je každý ze součtů e {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} naprosto možný). Propozice p indukuje distribuci možnosti Tíx. Znamená to, že pro danou Oh hyjwílfŕŕrrsň ^ fuzzy množinu F a jazykovou proměnnou Xje propozice p definována takto:
P = X]qF     h-4,ř.    f *   výska, je moslý
Je-li propozice p vyjádřena uvedenou formou, říkáme, že se nachází v kanonické formě. Fuzzy množina FJe fuzzy predikát (F ovšem může být i fuzzy relací).
Příklad: uvažme propozici přirozeného jazyka:
p = Pepa je vysoký Kanonická forma "Xjq F" je reprezentována v termínech proměnné výška:
výíAa(Pepa) je VYSOKÝ (výška je zde jazyková proměnná). Tedy,
Poss(yýí£o(Pepa) = x) = \íVysokÁx) Jako distribuci možnosti lze propozici/? zapsat takto:
Pepa je vysoký - TlvýmPepa) = VYSOKÝ
kde symbol šipky znamená "převedeno na", výška je jazyková proměnná a VYSOKÝ je fuzzy množina.
Rozdíl mezi pravděpodobností a možností lze ilustrovat např. následujícím
příkladem:
Jaká je pravděpodobnost, že v normálním pětimístném osobním autě jede 9 pasažérů? A jaká je možnost takového jevu?
Kdybychom chtěli zjistit pravděpodobnost (a posteriori), tak bychom si asi museli stoupnout někam k silnici a zaznamenávat, kolik osob jede v každém automobilu, který vyhovuje našemu případu. Distribuci pravděpodobností pro 1,2, atd. osoby na automobil pak získáme z četností pozorovaných případů. Může se stát, že ani po dlouhém pozorování silnic nezjistíme 9 osob v jednom automobilu, takže pravděpodobnost jevu
P(9 osob v autě) = 0
protože se jev nikdy během pozorování neuskutečnil.
Lze si ovšem docela dobře představit, že by se 9 lidí nějakým (nepříliš pohodlným způsobem) do auta naskládalo, tedy že takový jev není nemožný, i když se nám ho nepodařilo zaznamenat. V takovém případě (možného jevu - i třebas zcela subjektivně možného, protože názory se mohou lišit) lze přiřadit jevu E=(9 osob) nějakou numerickou hodnotu, vyjadřující stupeň uskutečnitelnosti (tj. míru možnosti) e [0, 1]. Proto platí, že vztah mezi pravděpodobností P(x) a možností Yl(x) je: 0 < P(x) < H(x) < 1, tedy možnost je vždy větší nebo rovna pravděpodobnosti. Nulovou hodnotu možnosti přiřazujeme pouze nemožným jevům.
aP(x), n(x)     n
•4P I
0123456789   10                                                           xeN
Distribuce pravděpodobnosti P a možnosti n téhož diskrétního jevu, že v pětimístném osobním autě pojede určitý počet osob
Poznámka: existuje rozšíření pojmu pravděpodobnosti také do fuzzy domény, takže dostáváme obecnější nástroj fuzzy pravděpodobnost. Fuzzy pravděpodobnost popisuje pravděpodobnosti, jejichž hodnota je známa nepřesně, vágně, přibližně.
Pravděpodobnost je reálné číslo, které (je-li vágní) lze modelovat pomocí fuzzy čísla:
pravděpodobnost nákazy touto nemocí je přibližně 0.015
pravděpodobnost havárie je nepatrná
pravděpodobnost, že akumulátor je vybitý, je značně vysoká
Možnost má charakter nestatistický, zatímco pravděpodobnost naopak statistický. I když je možné, že pan X. Y. sní na snídani 5 vajec, dlouhodobá pozorování indikují, že nikdy zatím nesnědl víc než 3.
1
p(x), n(x)
n
_!-----,-----1----f----1
xeU
Distribuce pravděpodobnosti P a možnosti II téhož diskrétního jevu
AP(x),n(x)
xeR
Distribuce pravděpodobnosti P a možnosti n téhož spojitého jevu
Distribuce možnosti indukovaná/? je rovna fuzzy množině Fa je definována následujícím přiřazením:
UX = F
což znamená, že pro všechny hodnoty x e U, Poss(X=x) = Hp(x), x e U.