Matematika II — jaro 2005 — 1. test — sk. B — 21.3.2005
1. (1 bod) Určete nejmenší přirozené číslo n takové, že
(
3
√
2 · (cos
π
7
+ i sin
π
7
))n
∈ Z. n = 21
2. (1 bod) Najděte všechna komplexní čísla x taková, že x3
= −2.
x = 3
√
2(cos α + i sin α), kde α ∈ {π
3
, π, 5π
3
}
3. (1 bod) Dejte příklad ireducibilního polynomu nad Z2 stupně 3: např. x3
+ x2
+ 1
4. (1 bod) Dejte příklad polynomu nad R, jenž má kořen
√
2 + i
√
3: např. x2
− 2
√
2x + 5
5. (3 body) Napište rozklad polynomu f = (x2
−2)2
·(x3
+1) na ireducibilní faktory nad okruhy
Q, R a C.
Rozklad nad Q : f = (x2
− 2)2
(x + 1)(x2
− x + 1)
R : f = (x −
√
2)2
(x +
√
2)2
(x + 1)(x2
− x + 1)
C : f = (x −
√
2)2
(x +
√
2)2
(x + 1)(x − 1
2
− i
√
3
2
)(x − 1
2
+ i
√
3
2
)
6. (3 body) Určete všechna celá čísla a taková, že polynom x4
−x3
+ax+3 má racionální kořen:
a = −3, 5, −19, 37
Matematika II — jaro 2005 — 1. test — sk. B — 21.3.2005
1. (1 bod) Určete nejmenší přirozené číslo n takové, že
(
3
√
2 · (cos
π
7
+ i sin
π
7
))n
∈ N. n = 42
2. (1 bod) Najděte všechna komplexní čísla x taková, že x4 = −2.
x = 4
√
2(cos α + i sin α), kde α ∈ {π
4 , 3π
4 , 5π
4 , 7π
4 }
3. (1 bod) Dejte příklad ireducibilního polynomu nad Z2 stupně 3: např. x3 + x2 + 1
4. (1 bod) Dejte příklad polynomu nad R, jenž má kořen
√
3 + i
√
2: např. x2 − 2
√
3x + 5
5. (3 body) Napište rozklad polynomu f = (x2 − 2)2 · (x3 − 1) na ireducibilní faktory nad okruhy Q,
R a C.
Rozklad nad Q : f = (x2 − 2)2(x − 1)(x2 + x + 1)
R : f = (x −
√
2)2(x +
√
2)2(x − 1)(x2 + x + 1)
C : f = (x −
√
2)2(x +
√
2)2(x − 1)(x + 1
2 + i
√
3
2 )(x + 1
2 − i
√
3
2 )
6. (3 body) Určete všechna celá čísla a taková, že polynom x4 − x2 + ax + 3 má racionální kořen:
a = 3, −3, 25, −25
Matematika II — jaro 2005 — 1. test — sk. M — 21.3.2005
1. (1 bod) Určete nejmenší přirozené číslo n takové, že
(
5
√
3 · (cos
π
3
+ i sin
π
3
))n
∈ Z. n = 15
2. (1 bod) Najděte všechna komplexní čísla x taková, že x2 = −i.
x = −
√
2
2 + i
√
2
2 ,
√
2
2 − i
√
2
2
3. (1 bod) Dejte příklad ireducibilního polynomu nad Z3 stupně 3: např. x3 + x2 + 2
4. (1 bod) Dejte příklad polynomu nad R, jenž má kořen
√
3 + i
√
8: např. x2 − 2
√
3x + 11
5. (3 body) Napište rozklad polynomu f = (x2 − 3)2 · (x3 + 8) na ireducibilní faktory nad okruhy Q,
R a C.
Rozklad nad Q : f = (x2 − 3)2(x + 2)(x2 − 2x + 4)
R : f = (x −
√
3)2(x +
√
3)2(x + 2)(x2 − 2x + 4)
C : f = (x −
√
3)2(x +
√
3)2(x + 2)(x − 1 − i
√
3)(x − 1 + i
√
3)
6. (3 body) Určete všechna celá čísla a taková, že polynom x5 + ax3 + 2 má racionální kořen:
a = −3, 1
Matematika II — jaro 2005 — 1. test — sk. M — 21.3.2005
1. (1 bod) Určete nejmenší přirozené číslo n takové, že
(
5
√
3 · (cos
π
3
+ i sin
π
3
))n
∈ N. n = 30
2. (1 bod) Najděte všechna komplexní čísla x taková, že x4 = −i.
x = cos α + i sin α, kde α ∈ {3π
8 , 7π
8 , 11π
8 , 15π
8 }
3. (1 bod) Dejte příklad ireducibilního polynomu nad Z3 stupně 3: např. x3 + x2 + 2
4. (1 bod) Dejte příklad polynomu nad R, jenž má kořen
√
8 + i
√
3: např. x2 − 4
√
2x + 11
5. (3 body) Napište rozklad polynomu f = (x2 − 3)2 · (x3 − 8) na ireducibilní faktory nad okruhy Q,
R a C.
Rozklad nad Q : f = (x2 − 3)2(x − 2)(x2 + 2x + 4)
R : f = (x −
√
3)2(x +
√
3)2(x − 2)(x2 + 2x + 4)
C : f = (x −
√
3)2(x +
√
3)2(x − 2)(x + 1 + i
√
3)(x + 1 − i
√
3)
6. (3 body) Určete všechna celá čísla a taková, že polynom x5 + ax2 + 2 má racionální kořen:
a = −3, −1.
Matematika II — jaro 2005 — 1. test — sk. Z — 21.3.2005
1. (1 bod) Určete nejmenší přirozené číslo n takové, že
(
7
√
2 · (cos
π
5
+ i sin
π
5
))n
∈ Z. n = 35
2. (1 bod) Najděte všechna komplexní čísla x taková, že x3 = 1 + i.
x = 6
√
2(cos α + i sin α), kde α ∈ { π
12 , 9π
12 , 17π
12 }
3. (1 bod) Dejte příklad ireducibilního polynomu nad Z5 stupně 2: např. x2 + 2
4. (1 bod) Dejte příklad polynomu nad R, jenž má kořen
√
2 + i
√
5: např. x2 − 2
√
2x + 7
5. (3 body) Napište rozklad polynomu f = (x4 − 2x2) · (x2 + 3) na ireducibilní faktory nad okruhy Q,
R a C.
Rozklad nad Q : f = x2(x2 − 2)(x2 + 3)
R : f = x2(x −
√
2)(x +
√
2)(x2 + 3)
C : f = x2(x −
√
2)(x +
√
2)(x − i
√
3)(x + i
√
3)
6. (3 body) Určete všechna celá čísla a taková, že polynom x3 + ax2 + ax − 5 má racionální kořen:
a = 2, −4
Matematika II — jaro 2005 — 1. test — sk. Z — 21.3.2005
1. (1 bod) Určete nejmenší přirozené číslo n takové, že
(
7
√
2 · (cos
π
5
+ i sin
π
5
))n
∈ N. n = 70
2. (1 bod) Najděte všechna komplexní čísla x taková, že x2 = 1 + i.
x = 4
√
2(cos α + i sin α), kde α ∈ {π
8 , 9π
8 }
3. (1 bod) Dejte příklad ireducibilního polynomu nad Z5 stupně 2: např. x2 + 2
4. (1 bod) Dejte příklad polynomu nad R, jenž má kořen
√
5 + i
√
2: např. x2 − 2
√
5x + 7
5. (3 body) Napište rozklad polynomu f = (x4 − 2x2) · (x2 + 8) na ireducibilní faktory nad okruhy Q,
R a C.
Rozklad nad Q : f = x2(x2 − 2)(x2 + 8)
R : f = x2(x −
√
2)(x +
√
2)(x2 + 8)
C : f = x2(x −
√
2)(x +
√
2)(x − i2
√
2)(x + i2
√
2)
6. (3 body) Určete všechna celá čísla a taková, že polynom x3 + ax2 − ax − 5 má racionální kořen:
a = 3, −6
Matematika II — jaro 2005 — 1. test — sk. Ž — 21.3.2005
1. (1 bod) Určete nejmenší přirozené číslo n takové, že
(
5
√
3 · (cos
π
9
+ i sin
π
9
))n
∈ Z. n = 45
2. (1 bod) Najděte všechna komplexní čísla x taková, že x2 = −1 + i.
x = 4
√
2(cos α + i sin α), kde α ∈ {3π
8 , 11π
8 }
3. (1 bod) Dejte příklad ireducibilního polynomu nad Z7 stupně 2: např. x2 + 2
4. (1 bod) Dejte příklad polynomu nad R, jenž má kořen
√
5 + i
√
3: např. x2 − 2
√
5x + 8
5. (3 body) Napište rozklad polynomu f = (x3 − 3x) · (x2 + 4) na ireducibilní faktory nad okruhy Q,
R a C.
Rozklad nad Q : f = x(x2 − 3)(x2 + 4)
R : f = x(x −
√
3)(x +
√
3)(x2 + 4)
C : f = x(x −
√
3)(x +
√
3)(x − 2i)(x + 2i)
6. (3 body) Určete všechna celá čísla a taková, že polynom x4 + ax2 + ax + 3 má racionální kořen:
a = −2, −7, −14
Matematika II — jaro 2005 — 1. test — sk. Ž — 21.3.2005
1. (1 bod) Určete nejmenší přirozené číslo n takové, že
(
5
√
3 · (cos
π
9
+ i sin
π
9
))n
∈ N. n = 90
2. (1 bod) Najděte všechna komplexní čísla x taková, že x3 = −1 + i.
x = 6
√
2(cos α + i sin α), kde α ∈ {3π
12 , 11π
12 , 19π
12 }
3. (1 bod) Dejte příklad ireducibilního polynomu nad Z7 stupně 2: např. x2 + 2
4. (1 bod) Dejte příklad polynomu nad R, jenž má kořen
√
3 + i
√
5: např. x2 − 2
√
3x + 8
5. (3 body) Napište rozklad polynomu f = (x3 − 3x) · (x2 + 7) na ireducibilní faktory nad okruhy Q,
R a C.
Rozklad nad Q : f = x(x2 − 3)(x2 + 7)
R : f = x(x −
√
3)(x +
√
3)(x2 + 7)
C : f = x(x −
√
3)(x +
√
3)(x − i
√
7)(x + i
√
7)
6. (3 body) Určete všechna celá čísla a taková, že polynom x4 − ax2 + ax + 3 má racionální kořen:
a = 2, 7, 14.