Matematika II — jaro 2005 — 1. test — sk. B — 21.3.2005 Jméno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hodnocení UČO: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. (1 bod) Určete nejmenší přirozené číslo n takové, že ( 3 √ 2 · (cos π 7 + i sin π 7 ))n ∈ Z. n = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. (1 bod) Najděte všechna komplexní čísla x taková, že x3 = −2. x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. (1 bod) Dejte příklad ireducibilního polynomu nad Z2 stupně 3: . . . . . . . . . . . 4. (1 bod) Dejte příklad polynomu nad R, jenž má kořen √ 2 + i √ 3: . . . . . . . . . 5. (3 body) Napište rozklad polynomu f = (x2 − 2)2 · (x3 + 1) na ireducibilní faktory nad okruhy Q, R a C. Rozklad nad Q : f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R : f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C : f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. (3 body) Určete všechna celá čísla a taková, že polynom x4 − x3 + ax + 3 má racionální kořen: a = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pro výpočty použijte následující volné místo nebo druhou stranu. Opravovat se však budou pouze výsledky přepsané do vyhrazeného místa u zadání jednotlivých příkladů. Matematika II — jaro 2005 — 1. test — sk. B — 21.3.2005 Jméno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hodnocení UČO: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. (1 bod) Určete nejmenší přirozené číslo n takové, že ( 3 √ 2 · (cos π 7 + i sin π 7 ))n ∈ N. n = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. (1 bod) Najděte všechna komplexní čísla x taková, že x4 = −2. x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. (1 bod) Dejte příklad ireducibilního polynomu nad Z2 stupně 3: . . . . . . . . . . . 4. (1 bod) Dejte příklad polynomu nad R, jenž má kořen √ 3 + i √ 2: . . . . . . . . . 5. (3 body) Napište rozklad polynomu f = (x2 − 2)2 · (x3 − 1) na ireducibilní faktory nad okruhy Q, R a C. Rozklad nad Q : f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R : f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C : f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. (3 body) Určete všechna celá čísla a taková, že polynom x4 − x2 + ax + 3 má racionální kořen: a = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pro výpočty použijte následující volné místo nebo druhou stranu. Opravovat se však budou pouze výsledky přepsané do vyhrazeného místa u zadání jednotlivých příkladů. Matematika II — jaro 2005 — 1. test — sk. M — 21.3.2005 Jméno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hodnocení UČO: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. (1 bod) Určete nejmenší přirozené číslo n takové, že ( 5 √ 3 · (cos π 3 + i sin π 3 ))n ∈ Z. n = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. (1 bod) Najděte všechna komplexní čísla x taková, že x2 = −i. x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. (1 bod) Dejte příklad ireducibilního polynomu nad Z3 stupně 3: . . . . . . . . . . . 4. (1 bod) Dejte příklad polynomu nad R, jenž má kořen √ 3 + i √ 8: . . . . . . . . . 5. (3 body) Napište rozklad polynomu f = (x2 − 3)2 · (x3 + 8) na ireducibilní faktory nad okruhy Q, R a C. Rozklad nad Q : f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R : f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C : f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. (3 body) Určete všechna celá čísla a taková, že polynom x5 + ax3 + 2 má racionální kořen: a = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pro výpočty použijte následující volné místo nebo druhou stranu. Opravovat se však budou pouze výsledky přepsané do vyhrazeného místa u zadání jednotlivých příkladů. Matematika II — jaro 2005 — 1. test — sk. M — 21.3.2005 Jméno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hodnocení UČO: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. (1 bod) Určete nejmenší přirozené číslo n takové, že ( 5 √ 3 · (cos π 3 + i sin π 3 ))n ∈ N. n = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. (1 bod) Najděte všechna komplexní čísla x taková, že x4 = −i. x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. (1 bod) Dejte příklad ireducibilního polynomu nad Z3 stupně 3: . . . . . . . . . . . 4. (1 bod) Dejte příklad polynomu nad R, jenž má kořen √ 8 + i √ 3: . . . . . . . . . 5. (3 body) Napište rozklad polynomu f = (x2 − 3)2 · (x3 − 8) na ireducibilní faktory nad okruhy Q, R a C. Rozklad nad Q : f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R : f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C : f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. (3 body) Určete všechna celá čísla a taková, že polynom x5 + ax2 + 2 má racionální kořen: a = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pro výpočty použijte následující volné místo nebo druhou stranu. Opravovat se však budou pouze výsledky přepsané do vyhrazeného místa u zadání jednotlivých příkladů. Matematika II — jaro 2005 — 1. test — sk. Z — 21.3.2005 Jméno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hodnocení UČO: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. (1 bod) Určete nejmenší přirozené číslo n takové, že ( 7 √ 2 · (cos π 5 + i sin π 5 ))n ∈ Z. n = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. (1 bod) Najděte všechna komplexní čísla x taková, že x3 = 1 + i. x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. (1 bod) Dejte příklad ireducibilního polynomu nad Z5 stupně 2: . . . . . . . . . . . 4. (1 bod) Dejte příklad polynomu nad R, jenž má kořen √ 2 + i √ 5: . . . . . . . . . 5. (3 body) Napište rozklad polynomu f = (x4 − 2x2 ) · (x2 + 3) na ireducibilní faktory nad okruhy Q, R a C. Rozklad nad Q : f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R : f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C : f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. (3 body) Určete všechna celá čísla a taková, že polynom x3 + ax2 + ax − 5 má racionální kořen: a = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pro výpočty použijte následující volné místo nebo druhou stranu. Opravovat se však budou pouze výsledky přepsané do vyhrazeného místa u zadání jednotlivých příkladů. Matematika II — jaro 2005 — 1. test — sk. Z — 21.3.2005 Jméno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hodnocení UČO: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. (1 bod) Určete nejmenší přirozené číslo n takové, že ( 7 √ 2 · (cos π 5 + i sin π 5 ))n ∈ N. n = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. (1 bod) Najděte všechna komplexní čísla x taková, že x2 = 1 + i. x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. (1 bod) Dejte příklad ireducibilního polynomu nad Z5 stupně 2: . . . . . . . . . . . 4. (1 bod) Dejte příklad polynomu nad R, jenž má kořen √ 5 + i √ 2: . . . . . . . . . 5. (3 body) Napište rozklad polynomu f = (x4 − 2x2 ) · (x2 + 8) na ireducibilní faktory nad okruhy Q, R a C. Rozklad nad Q : f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R : f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C : f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. (3 body) Určete všechna celá čísla a taková, že polynom x3 + ax2 − ax − 5 má racionální kořen: a = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pro výpočty použijte následující volné místo nebo druhou stranu. Opravovat se však budou pouze výsledky přepsané do vyhrazeného místa u zadání jednotlivých příkladů. Matematika II — jaro 2005 — 1. test — sk. Ž — 21.3.2005 Jméno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hodnocení UČO: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. (1 bod) Určete nejmenší přirozené číslo n takové, že ( 5 √ 3 · (cos π 9 + i sin π 9 ))n ∈ Z. n = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. (1 bod) Najděte všechna komplexní čísla x taková, že x2 = −1 + i. x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. (1 bod) Dejte příklad ireducibilního polynomu nad Z7 stupně 2: . . . . . . . . . . . 4. (1 bod) Dejte příklad polynomu nad R, jenž má kořen √ 5 + i √ 3: . . . . . . . . . 5. (3 body) Napište rozklad polynomu f = (x3 − 3x) · (x2 + 4) na ireducibilní faktory nad okruhy Q, R a C. Rozklad nad Q : f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R : f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C : f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. (3 body) Určete všechna celá čísla a taková, že polynom x4 + ax2 + ax + 3 má racionální kořen: a = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pro výpočty použijte následující volné místo nebo druhou stranu. Opravovat se však budou pouze výsledky přepsané do vyhrazeného místa u zadání jednotlivých příkladů. Matematika II — jaro 2005 — 1. test — sk. Ž — 21.3.2005 Jméno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hodnocení UČO: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. (1 bod) Určete nejmenší přirozené číslo n takové, že ( 5 √ 3 · (cos π 9 + i sin π 9 ))n ∈ N. n = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. (1 bod) Najděte všechna komplexní čísla x taková, že x3 = −1 + i. x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. (1 bod) Dejte příklad ireducibilního polynomu nad Z7 stupně 2: . . . . . . . . . . . 4. (1 bod) Dejte příklad polynomu nad R, jenž má kořen √ 3 + i √ 5: . . . . . . . . . 5. (3 body) Napište rozklad polynomu f = (x3 − 3x) · (x2 + 7) na ireducibilní faktory nad okruhy Q, R a C. Rozklad nad Q : f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R : f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C : f = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. (3 body) Určete všechna celá čísla a taková, že polynom x4 − ax2 + ax + 3 má racionální kořen: a = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pro výpočty použijte následující volné místo nebo druhou stranu. Opravovat se však budou pouze výsledky přepsané do vyhrazeného místa u zadání jednotlivých příkladů.