Matematika II — jaro 2005 — 2. test — sk. B — 2.5.2005
Jméno: . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . Hodnocení
UČO: . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
1. (1 bod) Spočítejte součiny matic A · B a B · A, pokud existují, kde
A =
1 2 −1
−1 2 0
, B =


1 2
−1 0
2 1

 .
A · B = . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . B · A = . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
2. (1 bod) Nechť C = (cij) je matice typu n krát n daná vztahem
cij =
1 pro i ≤ j
0 pro i > j.
Spočítejte druhý řádek v součinu D = C · C, D = (dij). d2j = . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
3. (2 body) Určete determinant matice F.
F =




0 1 0 1
2 −1 0 1
1 2 1 1
2 1 1 0



 |F| = . . . . .. . . . . .
4. (2 body) Určete matici inverzní k matici G.
G =


1 0 1
0 2 −1
1 1 2

 G−1
= . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
5. (2 body) Určete všechna řešení následující soustavy lineárních rovnic v tělese reálných
čísel. x1 + 2x2 + 2x3 = 1
2x1 + 5x2 + 3x3 = 0
2x1 + 3x2 + 5x3 = 4
. . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . ..
6. (2 body) Určete všechna reálná čísla a, b taková, že následující soustava lineárních rovnic
v tělese reálných čísel má jedno, resp. nekonečně mnoho, resp. žádné řešení.
(Množinu řešení již není třeba vypisovat.)
x1 + 2x2 + 3x3 = 0 Řešení: jedno ⇐⇒ . . . . . . . . . . . .. . . . . .
2x1 + 3x2 + 4x3 = 1 nekonečně ⇐⇒ . . . . . . . . . . . .. . . . . .
3x1 + 4x2 + ax3 = b žádné ⇐⇒ . . . . . . . . . . . .. . . . . .
Opravovat se budou pouze výsledky přepsané do vyhrazeného místa u zadání jednotlivých příkladů.
Pro výpočty použijte druhou stranu nebo další papír. Na vypracování je 50 minut.
Matematika II — jaro 2005 — 2. test — sk. O — 2.5.2005
Jméno: . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . Hodnocení
UČO: . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
1. (1 bod) Spočítejte součiny matic A · B a B · A, pokud existují, kde
A =


2 1
0 −1
2 1

 , B =
1 2 −1
−1 3 0
.
A · B = . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . B · A = . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
2. (1 bod) Nechť C = (cij) je matice typu n krát n daná vztahem
cij =
1 pro i ≤ j
−1 pro i > j.
Spočítejte první řádek v součinu D = C · C, D = (dij). d1j = . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . .
3. (2 body) Určete determinant matice F.
F =




0 3 0 1
1 −1 0 1
1 2 1 1
2 1 1 0



 |F| = . . . . .. . . . . .
4. (2 body) Určete matici inverzní k matici G.
G =


1 0 −1
0 2 −1
−1 1 2

 G−1
= . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
5. (2 body) Určete všechna řešení následující soustavy lineárních rovnic v tělese reálných
čísel. 3x1 + 5x2 + 2x3 = 2
x1 + x2 − 2x3 = 0
x1 + 2x2 + 2x3 = 1
. . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . ..
6. (2 body) Určete všechna reálná čísla a, b taková, že následující soustava lineárních rovnic
v tělese reálných čísel má jedno, resp. nekonečně mnoho, resp. žádné řešení.
(Množinu řešení již není třeba vypisovat.)
x1 + x2 + x3 = 1 Řešení: jedno ⇐⇒ . . . . . . . . . . . .. . . . . .
x1 + 3x2 + 2x3 = 0 nekonečně ⇐⇒ . . . . . . . . . . . .. . . . . .
2x1 + ax3 = b žádné ⇐⇒ . . . . . . . . . . . .. . . . . .
Opravovat se budou pouze výsledky přepsané do vyhrazeného místa u zadání jednotlivých příkladů.
Pro výpočty použijte druhou stranu nebo další papír. Na vypracování je 50 minut.
Matematika II — jaro 2005 — 2. test — sk. Z — 2.5.2005
Jméno: . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . Hodnocení
UČO: . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
1. (1 bod) Spočítejte součiny matic A · B a B · A, pokud existují, kde
A =
3 1 −1
−1 2 0
, B =


1 2
−1 0
−2 1

 .
A · B = . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . B · A = . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
2. (1 bod) Nechť C = (cij) je matice typu n krát n daná vztahem
cij =
2 pro i ≤ j
0 pro i > j.
Spočítejte druhý řádek v součinu D = C · C, D = (dij). d2j = . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
3. (2 body) Určete determinant matice F.
F =




0 1 0 1
2 −1 0 1
1 2 −1 1
2 2 1 0



 |F| = .. . . . . . . . . .
4. (2 body) Určete matici inverzní k matici G.
G =


0 1 1
2 0 −1
1 1 2

 G−1
= . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
5. (2 body) Určete všechna řešení následující soustavy lineárních rovnic v tělese reálných
čísel. x1 + 2x2 + 2x3 = 1
2x1 + 5x2 + 3x3 = 1
2x1 + 3x2 + 5x3 = 3
. . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . ..
6. (2 body) Určete všechna reálná čísla a, b taková, že následující soustava lineárních rovnic
v tělese reálných čísel má jedno, resp. nekonečně mnoho, resp. žádné řešení.
(Množinu řešení již není třeba vypisovat.)
x1 + x2 + x3 = 1 Řešení: jedno ⇐⇒ . . . . . . . . . . . .. . . . . .
x1 + 2x2 + 3x3 = 1 nekonečně ⇐⇒ . . . . . . . . . . . .. . . . . .
2x1 + 3x2 + ax3 = b žádné ⇐⇒ . . . . . . . . . . . .. . . . . .
Opravovat se budou pouze výsledky přepsané do vyhrazeného místa u zadání jednotlivých příkladů.
Pro výpočty použijte druhou stranu nebo další papír. Na vypracování je 50 minut.
Matematika II — jaro 2005 — 2. test — sk. Žl — 2.5.2005
Jméno: . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . Hodnocení
UČO: . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
1. (1 bod) Spočítejte součiny matic A · B a B · A, pokud existují, kde
A =


−1 2
−1 0
3 −1

 , B =
1 2 1
−1 2 0
.
A · B = . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . B · A = . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
2. (1 bod) Nechť C = (cij) je matice typu n krát n daná vztahem
cij =
2 pro i ≤ j
−2 pro i > j.
Spočítejte první řádek v součinu D = C · C, D = (dij). d1j = . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. .
3. (2 body) Určete determinant matice F.
F =




0 −1 0 1
2 −1 0 −1
−1 2 1 1
2 1 1 0



 |F| = . . . . . . . . . . .
4. (2 body) Určete matici inverzní k matici G.
G =


1 0 −1
0 2 1
−1 −1 2

 G−1
= . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . ..
5. (2 body) Určete všechna řešení následující soustavy lineárních rovnic v tělese reálných
čísel. 3x1 + 5x2 + 2x3 = 3
x1 + x2 − 2x3 = 3
x1 + 2x2 + 2x3 = 0
. . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . ..
6. (2 body) Určete všechna reálná čísla a, b taková, že následující soustava lineárních rovnic
v tělese reálných čísel má jedno, resp. nekonečně mnoho, resp. žádné řešení.
(Množinu řešení již není třeba vypisovat.)
x1 + x2 − x3 = 1 Řešení: jedno ⇐⇒ . . . . . . .. . . . . . . . . . .
x1 + 3x2 + 2x3 = 1 nekonečně ⇐⇒ . . . . . . .. . . . . . . . . . .
2x1 + ax3 = b žádné ⇐⇒ . . . . . . .. . . . . . . . . . .
Opravovat se budou pouze výsledky přepsané do vyhrazeného místa u zadání jednotlivých příkladů.
Pro výpočty použijte druhou stranu nebo další papír. Na vypracování je 50 minut.