1. (10 bodů) Definujte pojem lineárního zobrazení. Definujte pojem jádro lineárního zobrazení. Charakterizujte,
kdy je lineární zobrazení injektivní. Definujte pojem izomorfismu vektorových prostorů.
Dejte příklad dvou různých izomorfních vektorových prostorů dimenze 3.
2. (10krát ±1 bod (správně 1 bod, chybně −1, bez odpovědi 0)) Odpovězte (škrtnutím nehodícího se
ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a) ano — ne ({a + bi | a, b ∈ Z}, +, ·) je okruh.
(b) ano — ne Každý lineární polynom nad tělesem je ireducibilní.
(c) ano — ne Polynom nad tělesem R je ireducibilní právě tehdy, když nemá kořen.
(d) ano — ne Násobení matic je komutativní operace.
(e) ano — ne Obsahuje-li čtvercová matice nulový sloupec, pak má determinant roven 0.
(f) ano — ne Množina Z je podprostor vektorového prostoru R nad R.
(g) ano — ne Lineární obal báze vektorového prostoru V je celý prostor V.
(h) ano — ne Hodnost jednotkové matice typu n × n je n.
(i) ano — ne Součin dvou regulárních matic je regulární matice.
(j) ano — ne Hodnost matice lineárního zobrazení konečněrozměrných vektorových prostorů je
rovna dimenzi obrazu tohoto zobrazení.
3. (10 bodů) Nalezněte všechna a ∈ C taková, že polynom 3x4
− 7x3
− 6x2
+ 6ax + 2a2
∈ C[x] má
kořen 2. Pro tato a určete násobnost kořene 2.
4. (10 bodů) Rozložte racionální lomenou funkci
x5
− 7x3
+ 12x
(x2 − 4)2
na součet parciálních zlomků nad R.
5. (10 bodů) Určete determinant matice A typu n × n, kde
A =









1 2 3 4 . . . n
1 1 2 3 . . . n − 1
1 1 1 2 . . . n − 2
1 1 1 1 . . . n − 3
...
...
...
...
...
1 1 1 1 . . . 1









.
6. (10 bodů) V C řešte soustavu lineárních rovnic
i · x + (1 + i) · y = bi
(1 + i) · x + a · y = 0
v závislosti na parametrech a, b ∈ C.
7. (10 bodů) Ve vektorovém prostoru R3[x] jsou dány podprostory
U = {f ∈ R3[x] | f(2) = 0}, V = {a3x3
+ a2x2
+ a1x + a0 ∈ R3[x] | a1 = 0}.
Určete báze a dimenze podprostorů U, V a U ∩ V.
8. (10 bodů) Nalezněte předpis f(x, y, z) = (. . . , . . . , . . .) lineárního zobrazení f : R3
→ R3
takového,
že Ker(f) = (1, 2 − 1), (0, 1, 2) a f((1, 1, −2)) = (1, 2, 0).
1. (10 bodů) Definujte pojem vektorového prostoru nad tělesem T. Definujte pojem báze a dimenze
konečněrozměrného vektorového prostoru. Proč je tato definice korektní? Dejte příklad vektorového
prostoru nad vhodným tělesem, který není konečněrozměrný.
2. (10krát ±1 bod (správně 1 bod, chybně −1, bez odpovědi 0)) Odpovězte (škrtnutím nehodícího se
ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a) ano — ne ({a + b
√
2 | a, b ∈ Z}, +, ·) je okruh.
(b) ano — ne Každý lineární polynom nad tělesem je invertibilní.
(c) ano — ne Polynom nad tělesem Q je ireducibilní právě tehdy, když nemá kořen.
(d) ano — ne Násobení matic je asociativní operace.
(e) ano — ne Obsahuje-li čtvercová matice dva stejné sloupce, pak má determinant roven 0.
(f) ano — ne Množina Z je podprostor vektorového prostoru Q nad Q.
(g) ano — ne Lineární obal báze vektorového prostoru V je ona báze.
(h) ano — ne Hodnost matice typu m × n je menší nebo rovna n.
(i) ano — ne Součet dvou regulárních matic je regulární matice.
(j) ano — ne Je-li f : Rn
→ Rm
surjektivní lineární zobrazení, pak m ≤ n.
3. (10 bodů) Nalezněte všechna a ∈ C taková, že polynom 2x4
− 5x3
− 3x2
+ 2a2
x + 2a ∈ C[x] má
kořen 2. Pro tato a určete násobnost kořene 2.
4. (10 bodů) Rozložte racionální lomenou funkci
x5
− 4x3
(x2 − 4)2
na součet parciálních zlomků nad R.
5. (10 bodů) Určete determinant matice A typu n × n, kde
A =







2 1 1 . . . 1
1 2 1 . . . 1
1 1 2 . . . 1
...
...
...
...
1 1 1 . . . 2







.
6. (10 bodů) V C řešte soustavu lineárních rovnic
i · x + (1 − i) · y = 0
(1 + i) · x + ai · y = b
v závislosti na parametrech a, b ∈ C.
7. (10 bodů) Ve vektorovém prostoru R3[x] jsou dány podprostory
U = {f ∈ R3[x] | f(−1) = 0}, V = {a3x3
+ a2x2
+ a1x + a0 ∈ R3[x] | a2 = 0}.
Určete báze a dimenze podprostorů U, V a U ∩ V.
8. (10 bodů) Nalezněte předpis f(x, y, z) = (. . . , . . . , . . .) lineárního zobrazení f : R3
→ R3
takového,
že Ker(f) = (1, 1, 2), (3, 0, 2) a f((−1, 1, 1)) = (−1, −2, 1).